2023年福建省厦门市普通高校对口单招数学自考模拟考试(含答案)

2023年福建省厦门市普通高校对口单招数

学自考模拟考试（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（10题）

ɪ

L以坐标轴为对称轴，离心率为半长轴为3的椭圆方程是（）

A.r⅞-

-7

c.⅛+⅛=1

D∙∕aI或才ir∣

函数]∙=.∕-2x-l的顶点坐标为().

A.(l,2)B.(-l,2)C.(-l,-2)D.(l,-2)

f.、[1一77・工》。・

∕<JΓ>"{

3.设1".'则f(f(-2))=()

A.-lB.1/4C.1/2D.3/2

函数V=4工+3的单调递增区间是()

4.

(-oθ,+oc)

ʃʌk.

b(θ.+∞)

C.(f①

[θ.+oc)

D.

5.一元二次不等式x2+x-6<0的解集为

A.(-3,2)B.(2,3)C.(-∞,-3)U(2,+∞)D.(-∞,2)U(3,+∞)

6.己知向量a=(3,-2),b=(-l,l),则3a+2b等于()

A.(-7,4)B.(7,4)C.(-7,-4)D.(7,-4)

7.己知集合A={x∣x>0},B={x∣-2<x<l),则AUB等于()

A.{x∣0<X<1}B.{x∣x>0}C.{x∣-2<X<1}D.{x∣x>-2}

8.直线2x-y+7=0与圆(x-b2)+(y-b2)=20的位置关系是()

A.相离B.相交但不过圆心C.相交且过圆心D.相切

9川列举法表示9的平方根的全体构成的集合是()

A.{-3}

B∙{3}

C.{-3,3}

设全集U={12345},∕={234},B={l2.5},C=⅛2.4}.

则集合{2,4}应是().

10.

A.

AΓ∖C

B.

JUB

C.

D.U

二、填空题(10题)

11.已知抛物线的顶点为原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M(m,-

2)到焦点的距离为4,则m的值为.

12.l÷3+5÷...÷(2π-b)=.

函数f(x)=3cos(x+£)的最小值是______=

13.6

14.口袋装有大小相同的8个白球，4个红球，从中任意摸出2个，则

两球颜色相同的概率是.

复数需=____________

15.

22

双曲线工一匕=1的渐近线方程是Y=。

16.94

某田径队有男运动员3。人，女运动员10人.用分层抽样的方

法从中抽出一个容里为20的样本，则抽出的女运动员有

17.人.

复数（1+。」及笑平面封隹的点＞5.第象限.

18.

方程3-2=。的根所在的区间是

19.

20.i为虚数单位，I∕i+l∕i3+l∕i5+l∕i7

三、计算题(5题)

21.已知函数y=0cos2x+3sin2x,XeR求：

(1)函数的值域；

(2)函数的最小正周期。

l-χ

己知函f(x)=Ioga-----,(a>0且a≠)

22.1+x

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由。

23.有语文书3本，数学书4本，英语书5本，书都各不相同，要把这

些书随机排在书架上.

(1)求三种书各自都必须排在一起的排法有多少种？

(2)求英语书不挨着排的概率P。

24.在等差数列｛a11｝中，前n项和为Sn,且S4=-62,S6=-75,求等差数列

｛an｝的通项公式an.

25.某小组有6名男生与4名女生，任选3个人去参观某展览，求

(1)3个人都是男生的概率；

(2)至少有两个男生的概率.

四、简答题(10题)

26.如图，四棱锥P-ABCD中，PAJL底面ABCD,AB//CD,

AD=CD=I,BAD=120o,PA=A,ACB=90oo

(1)求证：BC_L平面PAC。

(2)求点B到平面PCD的距离。

27.如图四面体ABCD中，AB_L平面BCD,BD_LCD.求证:

(1)平面ABDJL平面ACD；

(2)若AB=BC=2BD,求二面角B-Ae-D的正弦值.

28.数列上；的前n项和Sn,且与=LaZ=S*j=L23求

(1)32,aɜ,JU的值及数列E，的通项公式

(2)a2+a4+a6++a2n的值

3(n∖(π∖

—σe-,πa+—

29.已知CoS=5,….∙',求COs∖6,.,的值.

χ2y2

30.已知双曲线C：/下川―的右焦点为用划且点用到C

的一条渐近线的距离为贬.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设P为双曲线C上一点，若IPFII=,求点P到C的左焦点用的距

离.

31.解关于X的不等式56/+以〈1

32.在ABC中，BC=石,AC=3,sinC=2sinA

(1)求AB的值

(2)求的值

Sm(180-α)严(270+a)Tsin(360r)

33.化简cos(α-180)tan(900+α)cos(α-360)

71-2sm10cosl0

34.化简CoslO-7l-ssn2100

35.据调查，某类产品一个月被投诉的次数为0,1,2的概率分别是

0.4,0.5,0.1,求该产品一个月内被投诉不超过1次的概率

五、解答题(10题)

2

己知数列｛4｝的首项J=I,4“=3^,.1÷2n-6n+3(n=2,3,∙..)

数列｛b,,｝的通项公式b,产，“+!?：

(1)证明数列｛b"是等比数列.

36(2)求数列｛b,J的前n项和S,「

37.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=(3a-c)cosB.

(1)求cosB的值；

若BA-BC=2,b=2y∣2求a和C的值.

38.数列&；的前n项和Sn,且与=L-=MJ=】23求

(1)a2,a3,a4的值及数列加；的通项公式

(2)a2÷a4+a6÷÷a2n的值

39.

L2知向呈α=(-Lcos¢)h=(sa∖θ,2)ILi，人求3cos：("-6)+4suι26

的侦

40.

-*t-⅛-a.⅛⅞.⅛⅛⅛s⅜Λ50⅛,⅛7j*i*t-jfA⅛⅛Ħ=S⅜⅜Λ,从中奥

机独取io泉金晶.⅛⅛4.⅜.⅛s⅜CΛ⅛:R，并得到其基叶邕r⅛sj.

rυ求之⑷彖会痣支支的文数.并估针这批会品奕际弥漫的平均数；

「2)若WW金2的类际支£小于或4⅞∙于47g,M机分不合格产品,火估计这枇食品支贤的合格率.

45669

5000112

41.已知椭圆的中心为原点，焦点在X轴上，离心率为P,且经过点

M(4,1),直线1：y=x+m交椭圆于异于M的不同两点A,B直线

MA,MB与X轴分别交于点E,F.

(1)求椭圆的标准方程；

⑵求m的取值范围.

42.在直角梯形ABCD中，AB∕∕DC,ABjLBC,且AB=4,BC=CD=2.

点M为线段AB上的一动点，过点M作直线a_LAB.令AM=X,记梯

形位于直线a左侧部分的面积S=f(x).，(1)求函数f(x)

的解析式；(2)作出函数f(x)的图象.

求+F证.・----1-O-----M---To

5∕πlOoCmlO0

43.

,已知禹敦/(K)=II一。I—+〃，.V∈11.6],‹eR

X

(ɪ)若。=1,试刿新并证明后效/(工)的单司性；

CII)⅜f∕∈(∣.6)⅛t,求为双/'(A)的最大值的表达式Al.

44.

45.

2

,数列U的各项均为正数，S”为其前〃项和，对于任意〃£N*

，总有4,Sfr4

差数列.

(I)求数列W的通项公款∏)求数列“『a’的前〃项和。

六、单选题(0题)

46.噫8=

A.2B.3CA

参考答案

1.B

由题意可知，焦点在X轴或y轴上，所以标准方程有两个，而a=3,

c∕a=l∕3,所以C=Lb2=8,因此答案为B。

2.D

3.C

函数的计算∙f(-2)=2-2=l∕4>0,则f(f(-2))=f(1/4)=1-旺=1-1/2=1/2

4.A

5.A

6.D

丫向量:=(3,-2)∕=(-1,1),

.∙.3α=(9,-6),2/=(-2,2),

.*.3a+2i)=(7,-4)

综上所述，答案选择：D

7.D

:集合4={工口>。},β={ι∙∣-2<⅛∙<l},

.∙.4u3={Wτ>()}U{x∣-2<c<l}={c∣,>-2}.

8.D

由题可知，直线2x-y+7=0到圆(x-b)2+(y-b)2=20的距离等于半

径，所以二者相切。

9.C

10.B

11+4,

由题意可设抛物线的标准方程为/=-2py,

•「抛物线上的点M(M,-2)到焦点的距离为

4,

fn

-÷2=4,解得p=4.

二.抛物线的方程为X2=-Sy.

把点M(m,—2)代入τ∏2=16,解得Tn=±4.

故答案为：±4.

12.n2,

1+3+5+…+(2"-1)共有Ti项

.∙.l+3+5+...+(2n-l)

=i×[l÷(2n—l)]×n

1

=-^×o2n×n

=712.

13.-3

由于COS(X+π∕6)的最小值为-1,所以函数f(x)的最小值为-3.

14.

17

33

解析：都是白色的概率为PI=WL=Ii,都是

⅛33

2

红色的概率为P2=C^-=-5

4C⅛33

故两球颜色相同的概率为01+P2=

14317

—+—=—•

333333

15.

复数2-2i_(2-2D(Li)经士竺一,

^T+I(l÷i)(l-i)2

故答案为:2i.

16.

把双曲线的标准方程中的1换成O即得渐近线方

程，化简即可得到所求.

双曲线方程为£=i的，则渐近线方程

94

为线上-12=0,gp2∕=±∣x,

943

故答案为y=±∣χ.

17.5

18.1-π∕4

19.(1,2)

200复数的运算.l∕i+l∕i3+l∕i5+l∕i7=-i+i-i+i=0

21.

:解：y=ʌ/ɜcos2x+3sin2x

=2百(；COS2x+^-sin2x)

=2>∕i(sin-CoS2x+cos'sin2x)

66

=2y∕3sin(2x+令

(1)函数的值域为[一2百,2√5].

(2)函数的最小正周期为T=2Ξ=π.

2

22.

l-χ

解：(1)由题意可知：---->0,解得：—1<X<1»

1+x

函数/(X)的定义域为Xe(-1,1)

(2)函数/(χ)是奇函数，理由如下:

r/∖11一(一工)11+X1I-X

/(-X)=Ioga——=Ioga--=-Ioge--=-f(x)，

l+(-x)1-x1+x

Λ函数/(x)为奇函数

23.

解：（I）利用捆绑法

先内部排：语文书、数学书、英语书排法分别为力；、⑷、W

再把语文书、数学书、英语书看成三类，排法为H

排法为：H=Io3680

（2）利用插空法

全排列：412

语文书3本，数学书4本排法为：4

插空：英语书需要8个空中5个：团

英语书不挨着排的概率：尸=W连=2

父99

24.解：设首项为ai、公差为d,依题意:4aι+6d=-62;6a1+15d=-75

解得aι=-20,d=3,an=aι+(∏-1)d=3n-23

25.

解：（1）3个人都是男生的选法：Cl

任意3个人的选法：Cf0

P="

3个人都是男生的概率:

C1O6

（2）两个男生一个女生的选法：

C"C：_2

至少有两个男生的概率P=

C3

26.证明：（I）PAJ_底面ABCD

PAɪBC又NACB=90°,BC±AC则BC，平面PAC

（2）设点B到平面PCD的距离为h

AB//CDAB//平面PCD

又NBAD=I20。NADC=60。

又AD=CD=I

则4ADC为等边三角形，且AC=I

PA=APD=PC=2

27.

解：(1)证明过程略

(2)解析：：平面ABDI.面ACV；.平IMABD平而ACD=；AD作BE

±ADTE

则B£L平面ACD作BF_LAC于F

连接£F/.EFJ.AC：.BPJE为所求角

设BD=a则AC=2&aBF=√2a

EFAF,,√2a-√3Ο√30

--=--cLr=--L-・="-~α

CDAD√5α5

SinZBFE=-

5

28.

4=a>2)

则口∕=J4即Nr=τ

343

则数列从第二项起的公比是g的等比数列

+n1

⑵%+“，+°JΠ=∣κ^)-ι

29.

3∈(y,Λ∙),ΛSina=I

∞sa=——,α

5

/7ζ、TC•・TC

cos(α+­)=cosaeŋs-----SInasin—

666

=(*√34ɪ3√3+4

---一X-=

25210

30.(1)：双曲线C的右焦点为Fl(2,0),.∙.c=2

|2|

又点到的一条渐近线的距离为应，..亚+从

F1Cl∙,即以

≡=√2

C

解得b=√3

aa=ca-b3≡激双曲线C的标准方程为£-2=1

22

(2)由双曲线的定义得Pel-IP刚=2√Σ

..照I-阕=2笈解得眼∣=3^

故点阅C的左焦点F由距离为3我

31.

解:将所求不等式转化为

56X2+ax-a2<0-⅛∙56x2+ax-a2=0

当a>0时,所求不等式的解集为｛x∣-9<x<§

7o

当a<0时,所求不等式的解集为｛xq<x<-?

32.

(1)VβC=√5,sinC=2sin^

由正弦定庠得48H型曲£=2石

s∞A

(2)由余弦定理得：

,4Bj+AC1-BCi2√5

IABAC5

√543

:∙Sin/■一,sin2/≡≡-,cos2∕,一

555

410

33.sinα

34.

J(Sinlo-CoslO

解:原式一

CoslO-√cos2100

_Isin10-coslO∣COSlo-sin10

sinlθTCOSlOocos10-SinIo

35.设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表示“一个月内

被投诉的次数为1”

.∙.P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.5=0.9

36.

⑴依题意得：

圆C的圆心坐标为C(LO)

半径r=√32-1=2√2

.∙.圆C的方程为：

22

(X-I)+V=8

在椭圆D中，焦点在、轴上，

b=4,t*=3

,.ci=yjb2+c--yJ4'+32=J25=5

，椭圆的方程为：

X2V2

—+—=1

2516

(2)由⑴可知椭圆”的方程为：言暇=1

则yj16-空

25

在椭圆。上任取一点∕i(ɪ,v)

则圆C的圆心C(LO)到〃点的距离为

.∙.圆C的圆心与椭圆D上任意一点的距离大于圆C的半径。

37.

解:

一L、cabc

⑴在AABC中设^一-二^―-==2R

sinAsinBsmC

贝!1：a=2RsinA.b=2RsinB,c=2RsinC

VbcosC=(3a-c)cosB

Λ2RsinBcosC=(3-2RsinA-2RsinC)φsB

≡P：SinBcosC=3sinAcosB-SinCcosB

SinBcosC+CosBsinC=3sinAcosB

sin(B+C)=3sinAcosB

sin(180o-A)=3sinAcosB

sinA=3sinAcosB

1

3sinN3

(2)依题意如右图所示

∖∙BA∙BC=∣ft4∣∣BC∣cosB=-ac=2

；・QC=6---------------(1)

11111

τ71„a+c-ba+c-8

又二=COSB=--------------=---

3Iac12

.∙.β2+c2=12------------(2)

联立①②解得

38.

1ɪC11416

(1)%=MSIt,α2«2='<Λ3=",Λ4=—

4=；Sl522)

则"4=J%即%L=T

343

则数列从第二项起的公比是g的等比数列

+生"鸿）一］

。、+α4÷

⑵’

39.

・..a=(-LCoSe)5=(sιn6,2)“ZeLB

I.-sιn6+2cos6=O.Jtane=2

3cos2^÷8sm^cos^3+8ιanS19

3cos'(∕r-8)+4sm26=3cos2夕+8SlUeCOs8=

cos26+sm]θ1÷tan2Θ5

40.

C)违I。装会M支戈的众数为50fgJ,...................................2分

因为这1。裳食品支支的平均数为

454646495050505l5152，,、

----+------+-----+------+-----+-----+------+-----+-----+----二49(g),

1()

所以可以牯计这枇会品实际支爰的平均数为49(rgJ;................................4分

(2)Sl乃JiJO敦登品中实际鱼叁小于或等于47g的考3堂.，

3

所以可以估计这枇食g食叁的不合格率为正.......................6分

7

故可以估计这批会品女£的合格率乃历.......................8分

73

41.(1)设椭圆的方程为χ2∕a2+y2∕b2=l因为e=9,所以a2=4b?,又因为椭

圆过点M(4,1),所以16废+1小2=1,解得点=5,a2=20,故椭圆标准

方x2∕20+y2∕5=l

⑵将y=m+x：代入x2∕20+y2∕5=1并整理得5x2+8mx+4m2-20=0令2

=(8m2)-20(4m2-20)>0,解得-5<m<5.又由题意可知直线不过M(4,1),

所以4+m≠l,m≠-3,所以m的取值范围是(-5,-3)U(-3,5).

42.

(1)当0≤ι≤4时.记直线α与AD或

Dc的交点为E,再分两类I当。≤∙r≤2时,悌形

住直线α左禽的部分是等腰直角三角形AME.

AM=EM=x.∕(jr)≡SΛΛJMC≡-ɪɪ*ι当2V/

≤4时.梯形在直线α左网的部分AMED是出用

梯形.AM=x,DE=x-2.ME=2./(x)≡

)+£

SΔΛM<--~O-×2-2x-2.缘上•函数

4-J∖0≤J≤2.

/(x)的解析式为Ja)=2

2x—,2«2<ɪ≤4.

(2)作出函数/(ɪ)的图象如下：

43.

$OzvlO0-√35∕n∣θ0

边=______GC

00

SZnIOCo5IO

00

2('COSIO-^SZHIO)

SiMlO0CadO0

=2(5/7i300Co.d()°-Cm3()',S∕n∣()0)

SznlO11Co.VlO0

O

2S∕Λ2O

^SMIO1Cm10"

4S∕Λ20O

0

^25∕∙∕1∣O"CosIO

=4

=右边

44.

⑴刿和：若4=1,后就/(N)在［1.6］上爰增为数.

9

证M：ia=IAff(Λ)=X一一，

9X

在区河∣1,6∣上任意士，&,设$<4,

「「9999

./(•，)―/(κ)=(ɪi------)—(工>-----)=(Nl-X,)—(-----