云南省曲靖市宣威市2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文科）试题

20192020学年云南省曲靖市宣威市高二第二学期期末数学试卷(文科)一､选择题(共12小题)1.设集合，集合，则的子集个数是（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】C【解析】试题分析：的子集个数是考点：子集的个数2.已知复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除，求模，化简运算，求出的坐标得出答案.【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限．故选:A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除求模运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A.， B.， C.， D.，【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意知，样本容量为，其中高中生人数为，高中生的近视人数为，故选B.【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.4.2018年5月至2019年春季，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦．假设蝗虫的日增长率为5%，最初有N0只，则经过（）天能达到最初的16000倍（参考数据；ln1.050≈0.0488，lnl.5≈0.4055，ln1600≈7.3778，ln16000≈9.6803）．A.198 B.199 C.197 D.【答案】B【解析】【分析】设过天能达到最初的16000倍，得到方程，结合对数的运算性质，即可求解.【详解】设过x天能达到最初的16000倍，由已知可得，N0（1+0.05）x＝16000N0，所以x＝≈198.4，又x∈N，故x＝199天能达到最初的16000倍．故选：B.【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出方程，结合对数的运算公式求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.5.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据是的二倍角求出的值，再求和的值.【详解】因为是的二倍角，所以，又，所以，所以；所以.故选：C.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，考查了同角公式，考查了两角和的正弦公式，属于中档题.6.袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232321230023123021132220001231130133231013320122103233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】经随机模拟产生的18组随机数中，恰好第三次就停止包含的基本事件有3个，由此可以估计恰好第三次就停止的概率.【详解】解：经随机模拟产生的18组随机数中，

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恰好第三次就停止包含的基本事件有：

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132，共3个，

由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为.

故选：B.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.7.已知有穷数列{an}共有4项，前n项和为Sn（n∈N*），则下列结论错误的是（）A.若这个数列是等差数列，则a1+a4＝a2+a3，B.若a1+a4＝a2+a3，则这个数列是等差数列，C.若这个数列是等差数列，则∀n∈{1，2，3，4}，Sn＝，D.若∀n∈{1，2，3，4}，Sn＝，则这个数列是等差数列.【答案】B【解析】【分析】对于选项A，根据等差数列的性质可知A正确；对于选项B，当时，B错误；对于选项C，根据等差数列的前项和公式可知，C正确；对于选项D，取和，可得，根据定义可得正确.【详解】有穷数列{an}共有4项，前n项和为Sn（n∈N*），对于选项A，由于数列为等差数列，所以根据等差数列的性质，a1+a4＝a2+a3，故A正确；对于选项B，当时，满足a1+a4＝a2+a3，但这个数列不是等差数列，所以B错误；对于选项C，因为这个数列是等差数列，则∀n∈{1，2，3，4}，Sn＝．故C正确；对于选项D，由于数列只有四项，所以，当n＝4时，，整理得a2+a3＝a1+a4，即，当n＝3时，，整理得2a2＝a1+a3，即，所以，根据等差数列的定义可知，这个数列是等差数列.故正确.故选：B．【点睛】本题考查了等差数列的定义，考查了定差数列的性质，考查了等差数列的前项和的公式，属于基础题.8.已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）A. B.5 C.3 D.【答案】D【解析】【分析】根据两个曲线的焦点重合即可求得的值，从而求得双曲线的渐近线方程，然后利用焦点到渐近线的距离公式求得结果.【详解】∵，∴，，因此该双曲线的一条渐近线的方程为，即.又焦点为或，可得双曲线的焦点到其渐近线的距离等于．故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线的方程和性质，点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.8 B. C. D.16【答案】B【解析】【分析】由三视图画出其直观图，再根据锥体的体积公式计算可得；【详解】解：由三视图可知，该几何体是一个竖放的四棱锥（有一条侧棱垂直于底面），其直观图如图所示：四棱锥的底面是直角梯形（上底为，下底为，高为），四棱锥的高是，所以直角梯形的面积为，所以该四棱锥的体积为．故选:B．【点睛】本题考查由三视图求直观图的体积，属于基础题.10.已知圆的标准方程是，直线，若直线被圆所截得的弦长为，则直线与直线的关系为（）A.平行 B.垂直 C.平行或相交 D.相交【答案】C【解析】【分析】根据弦心距、半弦长和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理建立等量关系式，求得或，从而得到直线的方程，进而判断出两直线的位置关系，得到结果.【详解】由题知直线被圆所截得的弦长为，解得或，所以直线的方程为或，所以直线与要么平行，要么相交，故选：C．【点睛】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有直线被圆截得的弦长，两直线的位置关系，属于简单题目.11.在中，角，，所对的边分别为，，．若，，时，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合同角三角函数的基本关系可求出，，，由两角和的正弦公式可求出，结合正弦定理即可求出，进而可求出三角形的面积.【详解】因为，且，解得，，又，所以，故．因为，，故，故．故选:B．【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦定理，考查了三角形的面积公式，属于中档题.12.已知函数的部分图象（如图所示），则下列有关函数的结论错误的是（）A.图象关于点对称 B.最小正周期是C.在上单调递减 D.在上最大值是【答案】C【解析】【分析】首先根据题中所给的函数图象，从最值、周期和特殊点着手将解析式确定，之后结合函数的性质对选项逐一分析，得到结果.【详解】根据图象得到：，，所以，所以，解得，所以．将点代入，得到，则，得，又，所以，所以．对于A，，则函数关于对称，故A正确；对于B，函数的周期，故B正确；对于C，当时，，此时函数为增函数，故C错误；对于D，当时，，则，，故在上的最大值是，故D正确．故选：C．【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有根据图象确定函数解析式，正弦型函数的相关性质，属于简单题目.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若满足，则的最小值为____________.【答案】【解析】【分析】数形结合，作出可行域，利用目标函数的等值线在可行域中平移，根据或含式子的含义，找到目标函数取最小值的最优解，简单计算，可得结果.【详解】如图令，可得目标函数的一条等值线则将移至点处，目标函数取最小值所以最优解点则故答案为：【点睛】本题考查线性规划，基本思路：（1）作出可行域；（2）理解或含式子的意义，然后使用目标函数的一条等值线在可行域中平移找到最优解，最后计算，可得结果.14.函数的图象在点处的切线方程为______．【答案】【解析】【分析】求得的导数，可得切线的斜率，求得切点，由点斜式方程可得所求切线的方程．【详解】因为，所以切线的斜率为，又，切点，故切线方程为，即．故答案为：.【点睛】本题考查导数的几何意义，导数的求法，以及直线方程的应用，属于基础题．15.若圆锥的母线与高的夹角为，且底面半径为2，则该圆锥的侧面积为__．【答案】8π【解析】【分析】根据圆锥的母线，高，底面半径组成直角三角形，求出母线长，再计算圆锥的侧面积.【详解】圆锥的轴截面如图所示，设圆锥的母线为l，高为h，底面半径为r＝2，所以母线长为l＝＝4，所以该圆锥的侧面积为S侧面积．故答案为：8π．【点睛】本题考查圆锥的结构特征和侧面积公式，考查运算求解能力，属于基础题.16.已知抛物线y2＝2px的焦点为F，以F为圆心的圆与抛物线交于M，N两点，与抛物线的准线交于P，Q两点，若四边形MNPQ为矩形，矩形MNPQ的面积是4，则p的值为__．【答案】1【解析】【分析】画出图形，利用抛物线的性质，结合四边形是矩形，转化求解四边形的面积，推出结果.【详解】如图：抛物线y2＝2px的焦点为F（，0），四边形MNPQ为矩形，所以MN＝PQ，所以F到MN，PQ的距离相等，所以xM＝，yM＝，∴SMNPQ＝2p×p＝4.所以P＝1．故答案为：1【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查数形结合以及计算能力，属于中档题.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知等差数列{an}满足：a1＝1，（n≥2且n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足bn＝﹣2nan，求数列{bn}的前n项和Sn．【答案】（1）an＝n；（2）Sn＝（1﹣n）•2n+1﹣2【解析】【分析】（1）由a1＝1，求出，从而可求出公差，进而可求得等差数列的通项公式；（2）先求出bn＝﹣2nan＝﹣n•2n，然后利用错位相减法可求得数列{bn}的前n项和Sn．【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a1＝1，（n≥2且n∈N*），取n＝2，可得：＝0，解得a2＝2．∴d＝2﹣1＝1．∴an＝1+（n﹣1）＝n．（2）bn＝﹣2nan＝﹣n•2n．∴数列{bn}的前n项和Sn＝﹣（2+2•22+3•23+……+n•2n），2Sn＝﹣[22+2•23+……+（n﹣1）•2n+n•2n+1]，∴Sn＝2+22+……+2n﹣n•2n+1＝﹣n•2n+1＝（1﹣n）•2n+1﹣2.【点睛】此题考查等差数列的有关计算，考查错位相减法求和，考查计算能力，属于基础题18.为了解中学生课余观看热门综艺节目“爸爸去哪儿”是否与性别有关，某中学一研究性学习小组从该校学生中随机抽取了人进行问卷调查．调查结果表明：女生中喜欢观看该节目的占女生总人数的，男生喜欢看该节目的占男生总人数的．随后，该小组采用分层抽样的方法从这份问卷中继续抽取了份进行重点分析，知道其中喜欢看该节目的有人．(1)现从重点分析的人中随机抽取了人进行现场调查，求这两人都喜欢看该节目的概率；(2)若有的把握认为“爱看该节目与性别有关”，则参与调查的总人数至少为多少？参考数据：0．0500．0250．0100．0050．0013．8415．0246．6357．87910．828，其中．【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）记重点分析的5人中喜爱看该节目的为，不爱看的为，通过穷举法得到所有基本事件，利用古典概型公式求解即可；（2）由题意可得列联表，进而计算，由题意得，从而得解.详解：(1)记重点分析的5人中喜爱看该节目的为，不爱看的为，从5人中随机抽取2人，所有可能的结果有，共10种，则这两人都喜欢看该节目的有3种，∴，即这两人都喜欢看该节目的概率为；(2)∵进行重点分析的5份中，喜欢看该节目的有人，故喜爱看该节目的总人数为，不喜爱看该节目的总人数为；设这次调查问卷中女生总人数为，男生总人数为，，则由题意可得列联表如下：喜欢看该节目的人数不喜欢看该节目的人数合计女生男生合计解得：，∴正整数是25的倍数，设，，则，，则；由题意得，∵，∴，故.点睛：独立性检验的一般步骤：（I）根据样本数据制成列联表；（II）根据公式计算的值；（III）查表比较与临界值的大小关系，作统计判断．（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误．）19.如图，在三棱锥中，已知是正三角形，平面BCD，，E为BC的中点，F在棱AC上，且.（1）求证：平面DEF；（2）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.【解析】【分析】（1）取AC的中点H，推导出，，则，再求出，，从而平面ABC，进而，由此能证明平面DEF.（2）连结CM，设，连结OF，推导出存在这样的点N，当时，平面DEF.【详解】（1）证明：取AC的中点H，，，，为CH中点，为BC的中点，，则，平面BCD，，因为是正三角形，E为BC的中点，所以，因为，所以平面，所以，，平面DEF.（2）连结CM，设，连结OF，因为，当时，，因为平面，所以平面，所以.所以AC上是否存在一点N，使平面DEF，此时.【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定定理和性质，考查了直线与平面平行的判定，属于中档题.20.已知椭圆：（）的一个焦点为，设椭圆的焦点恰为椭圆短轴上的顶点，且椭圆过点．（1）求的方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据椭圆的方程求出，得到椭圆的焦点，再由椭圆过点，根据椭圆定义求出椭圆的长轴长，得出短轴长，从而可求出椭圆的方程；（2）设，，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，结合弦长公式，即可得出结果.【详解】（1）由椭圆：（）的一个焦点为，得，且，∴椭圆的焦点为，．又椭圆过点，∴椭圆的长轴长为．∴椭圆的半长轴长为，半焦距为，则短半轴长为．∴的方程为；（2）设，，联立消去，整理得，则，，∴.【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，考查求椭圆的弦长，属于常考题型.21.已知函数.（1）若在处取得极值，求的值；（2）求函数在上的最大值.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）求导.由已知得，解得.再验证，可得答案.（2）由已知得，求导得单调性.分，，三种情况分别求函数在上的最大值.【详解】（1）因为，所以函数的定义域为.所以.因为在处取得极值，即，解得.当时，在上，在上，此时是函数的极小值点，所以.（2）因为，所以，.因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减.①当时，在上单调递增，所以；②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以；③当，即时，在上单调递减，所以.综上所述，当时，函数在上的最大值是；当时，函数在上的最大值是；当时，函数在上的最大值是.【点睛】本题考查运用导函数研究函数的极值，函数的单调性，以及函数的最值，关键在于分析导函数取得正负的区间，属于较难题.22.以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度．已知直线的参数方程为（是参数），曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设点在曲线上，曲线在处的切线与直线垂直，求点的直角坐标．【答案】（1），；（2）或．【解析】【分析