山东省潍坊市青云学府高三上学期第一次月考模拟理科数学试题

青云学府2018级高三第一次月考模拟考试数学试题一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={1，0，1，2}，，则（）A．{1，1} B．{1，0，1} C．{0，1} D．{0，1，2}2．是成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知随机变量服从正态分布，若，则A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.84．已知，，，则A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．b<c<a5．北京冬奥会将于2022年2月4日到20日在北京和张家口举行．为纪念申奥成功，中国邮政发行《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”．现从一套5枚邮票中任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为（）A． B． C． D．6．函数的图象大致是（）A． B．C． D．7．原子有稳定和不稳定两种．不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出a、b、等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”．这种不稳定的元素就称为放射性同位素．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中为t=0时钍234的含量．已知t=24时，钍234含量的瞬时变化率为81n2，则（）A．12贝克 B．12ln2贝克 C．6贝克 D．6ln2贝克8．已知直三棱柱的底面ABC为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（）A．25∶1 B．1∶25 C．1∶5 D．5∶1二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．设非零实数a>b>c，那么下列不等式中一定成立的是（）A． B．C． D．10．记函数的零点为，则关于的结论正确的为（）B． B．C． D．11．2020年初，突如其来的疫情改变了人们的消费方式，在目前疫情防控常态化背景下，某大型超市为了解人们以后消费方式的变化情况，更好的提高服务质量，收集并整理了本超市2020年1月份到8月份的人们线上收入和线下收入的数据，并绘制如下的折线图．根据折线图，下列结论正确的是（）A．该超市这8个月中，线上收入的平均值高于线下收入的平均值B．该超市这8个月中，线上收入与线下收入相差最小的月份是7月C．该超市这8个月中，每月总收入与时间呈现负相关D．从这8个月的线上收入与线下收入对比来看，在疫情逐步得到有效控制后，人们比较愿意线下消费12．如图，在正方体中，点P为线段上一动点，则（）A．直线平面A1C1DB．异面直线与所成角为45°C．三棱锥的体积为定值D．平面与底面ABCD的交线平行于三、填空题：13．若6把椅子摆成一排，3人随机就座，则有且仅有两人相邻的坐法有________种（用数字填空）14．在的展开式中，的系数为________．15．已知函数，则的零点个数为________．16．已知正方体的棱长为4，P是中点，过点作平面，满足⊥平面，则平面与正方体的截面周长为________．四、解答题：解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．中共中央、国务院印发《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》，这是中共中央、国务院印发的第一个聚焦义务教育阶段教育教学改革的重要文件，是新时代我国深化教育教学改革、全面提高义务教育质量的纲领性文件．《见意》强调，坚持“五育”并举，全面发展素质教育其中特别指出强化体育锻炼，坚持健康第一．某校为贯彻落实《意见》精神，打造本校体育大课堂，开设了体育运动兴趣班．为了解学生对开设课程的满意程度，设置了满分为10分的满意度调查表，统计了1000名学生的调查结果，得到如下频率分布直方图：（1）求这1000名学生满意度打分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）如果认为打分6分及以上为满意，6分以下为不满意，为了解满意度与学生性别是否有关，现从上述1000名学生的满意度打分中按照“打分组别”用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，得到如下2×2列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99%的把握认为满意度与学生性别有关．打分性别不满意满意总计男生100女生60总计200附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82818．在直四棱柱中，四边形ABCD为平行四边形Ｍ为的中点，，.（1）求证：MD⊥平面BDC1；（2）求二面角的余弦值．19．已知函数．（1）当a=2时，求函数的极值；（2）若对，恒成立，求a的取值范围．20．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，AB//CD，AB⊥AD，AB=AD=2CD=2，为等边三角形．（1）当PB长为多少时，平面PAD⊥平面ABCD?并说明理由；（2）若二面角PADB大小为150°，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．21．在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，某校高三年级为响应“停课不停学”，鼓励学生进行线上学习，学生线上学习时间每天不超过4小时．为了解学生线上学习情况，年级负责人统计了全体学生某天的数据，随机抽取10个学生的线上学习时间进行分析，绘制成下表．学生编号12345678910线上学习时间（分钟）1209018021010014020024080160（1）若从这10个学生中任意选取3人，设选到的3人中线上学习时间不少于3小时的人数为X，求X的分布列和数学期望；（2）以表中选取的10人当天线上学习时间作为样本，估计该校高三年级全体学生当天线上学习时间的情况．从全部高三年级学生中随机抽取6人，若抽到k人的当天线上学习时间小于3小时的可能性最大，求k的值．22．已知函数，其中e为自然对数的底数．（1）若a=2，求函数在处的切线方程；（2）若函数恒成立，求实数a的取值范围；参考答案：青云学府2018级高三第一次月考模拟考试数学参考答案一、单选题1．B2．A3．D4．B5．C6．D7．A8．D二、多选题9．BD10．BC11．ABD12．ACD三、填空题13．7214．8015．216．四、解答题17．解：（1）根据统计数据，计算平均数为：（2）根据题意，补充完整的列联表如下：不满意满意总计男生2080100女生4060100总计60140200则经查表，得，所以有99%的把握认为满意度与性别有关．18．证明：（1）因为BC=BD=1，．可得，∴BD⊥BC，又∵AD//BC，∴BD⊥AD．又∵是直四棱柱，∴平面ABCD，∴．，∴BD平面，∴BDMD．取中点N，连接NC，MN，∵MN//DC且MN=DC，∴MNCD为平行四边形，∴MD//NC，∵，∴，∴，∴，又∵MD//NC，∴又，∴MD平面．（2）解法一：以DA为x轴，DB为y轴，DD1为z轴，建立如图所示的坐标系，则B（0，1，0），，，，由（1）可知为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为可取设二面角为所以即二面角的余弦值为.解法二：∵直四棱柱∴平面ABCD，BD平面ABCD，∴，又∵BDBC，，∴BD平面，∴又∵MD平面，∴，，∴平面MBD，MB平面MBD，∴∴∠MBD为二面角的平面角在中，即二面角的余弦值为.19．（1）函数的定义域为，当a=2时，．由，得．当x变化时，，的变化情况如下表x0+单调递减极小值单调递增所以在上单调递减，上单调递增，所以函数的极小值为，无极大值．（2）对，恒成立，即对，恒成立．令，则．由得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，因此．所以a的取值范围是．20．解：（1）当时，平面PAD平面ABCD，证明如下：在中，因为AB=PA=2，，所以ABPA，又ABAD，，所以AB平面PAD，又AB平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD；（2）分别取线段AD，BC的中点O，E，连接PO，OE，因为为等边三角形，O为AD的中点，所以POAD，O，E为AD，BC的中点，所以OE//AB，又ABAD，所以OEAD，故∠POE为二面角PADB的平面角，所以∠POE=150°，如图，分别以，的方向以及垂直于平面ABCD向上的方向作为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，因为，∠POE=150°，所以，A（1，0，0），B（1，2，0），C（1，1，0）．可得，，，设为平面PBC的一个法向量，则有，，即，令x=1，可得，设AB与平面PBC所成角为，则有所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．21．（1）由题意10个学生中，线上学习时间不少于3小时的有4人，则X=0，1，2，3，，，，，∴X的分布列：X0123P∴．（2）以样本估计总体的线上学习时间少于3小时的概率．记Y为从6人中抽取的线上学习时间少于3小时的人数，则.，k=0，1，2，…，6．要使最大，则解之得，又，∴k=4．22．（1）解：由已知得，，，由，则函数在