高中数学北师大版练习第一章预备知识单元素养测评

单元素养测评第一章一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一个正确选项)1．设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝()A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}【解析】选B.集合A与集合B的公共元素有3，5，所以A∩B＝{3，5}．2．x＝2是x2＋x－6＝0的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件【解析】选A.首先x＝2x2＋x－6＝0，其次x2＋x－6＝0⇔x＝2或x＝－3，则x2＋x－6＝0D/x＝2，所以x＝2是x2＋x－6＝0的充分不必要条件．3．设命题p：∀x∈R，x2＋1>0，则p为()A．∀x∈R，x2＋1>0 B．∃x0∈R，xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋1≤0C．∃x0∈R，xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋1<0 D．∀x∈R，x2＋1≤0【解析】选B.全称命题的否定是特称命题，所以命题p的否定为∃x0∈R，xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋1≤0.4．已知集合A＝{x||x|<1}，B＝{x|x2－x≤0}，则A∩B＝()A．{x|－1≤x≤1} B．{x|0≤x≤1}C．{x|0<x≤1} D．{x|0≤x<1}【解析】选D.由集合A中不等式解得：－1<x<1，即A＝{x|－1<x<1}，由集合B中不等式变形得：x(x－1)≤0，解得0≤x≤1，即B＝{x|0≤x≤1}，则A∩B＝{x|0≤x<1}．5．若a，b，c为实数，则下列命题正确的是()A．若a>b，则ac2>bc2B．若a<b<0，则a2>ab>b2C．若a<b<0，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)D．若a<b<0，则eq\f(b,a)>eq\f(a,b)【解析】选B.对于A选项，若c＝0，则ac2＝bc2，故A不成立；对于B选项，因为a<b<0，在不等式a<b两边同时乘以a(a<0)，得a2>ab，另一方面在不等式a<b两边同时乘以b，得ab>b2，所以a2>ab>b2，故B成立；对于选项C，在a<b两边同时除以ab(ab>0)，可得eq\f(1,b)<eq\f(1,a)，所以C不成立；对于选项D，令a＝－2，b＝－1，则有eq\f(a,b)＝eq\f(－2,－1)＝2，eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(b,a)<eq\f(a,b)，所以D不成立．6．若不等式x2－2ax＋a>0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围为()A．{a|1<a<2} B．{a|－2<a<1}C．{a|0<a<2} D．{a|0<a<1}【解析】选D.由不等式对应的二次函数图象可知，需满足Δ<0，所以4a2－4a<0，所以0<a<1.7．若x，y是正数，且eq\f(9,x)＋eq\f(1,y)＝1，则xy有()A．最大值36 B．最小值eq\f(1,36)C．最小值36 D．最大值eq\f(1,36)【解析】选C.因为eq\f(9,x)＋eq\f(1,y)＝1≥2eq\r(\f(9,xy))，所以xy≥36，当eq\f(9,x)＝eq\f(1,y)，即x＝18，y＝2时等号成立．所以xy有最小值36.8．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是()A．6.5mB．6.8mC．7mD．7.2m【解析】选C.设两直角边分别为a，b，直角三角形框架的周长为l，则eq\f(1,2)ab＝2，所以ab＝4，l＝a＋b＋eq\r(a2＋b2)≥2eq\r(ab)＋eq\r(2ab)＝4＋2eq\r(2)≈6.828(m).因为要求够用且浪费最少，故应选择7m长的铁丝．二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．小王同学想用一段长为l的细铁丝围成一个面积为s的矩形边框，则下列四组数对中，可作为数对(s，l)的有()A．(1，4)B．(6，8)C．(7，12)D．(3，1)【解析】选AC.设矩形的边长分别为x，y，则x＋y＝eq\f(1,2)l，s＝xy，根据基本不等式eq\r(xy)≤eq\f(x＋y,2)，即eq\r(s)≤eq\f(l,4)，即s≤eq\f(1,16)l2，对于选项A：s＝1，l＝4，符合s≤eq\f(1,16)l2，故选项A正确；对于选项B：s＝6，l＝8，不符合s≤eq\f(1,16)l2，故选项B不正确；对于选项C：s＝7，l＝12，符合s≤eq\f(1,16)l2，故选项C正确；对于选项D：s＝3，l＝1，不符合s≤eq\f(1,16)l2，故选项D不正确．10．若命题“∀x∈R，x2＋2>m”是真命题，则实数m的值可能为()A．－1B．2C．0D．3【解析】选AC.由题意知m<x2＋2对于x∈R恒成立，即m<(x2＋2)min，因为x2＋2≥2，所以(x2＋2)min＝2，所以m<2.所以m可能的值为－1，0.11．下列不等式不正确的是()A．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))≥2B．eq\f(x2＋y2,xy)≥2C．eq\f(x2＋y2,2)＞xyD．eq\f(|x＋y|,2)≥eq\r(|xy|)【解析】选BCD.因为x与eq\f(1,x)同号，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝|x|＋eq\f(1,|x|)≥2，当且仅当x＝±1时，等号成立，A正确；当x，y异号时，B不正确；当x＝y时，eq\f(x2＋y2,2)＝xy，C不正确；当x＝1，y＝－1时，D不正确．12．给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是()A．集合M＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合B．正整数集是闭集合C．集合M＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合D．若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合【解题提示】明确闭集合的定义，然后严格按照题目当中对“闭集合”的定义逐一验证即可．【解析】选ABD.A.当集合M＝{－4，－2，0，2，4}时，2，4∈M，而2＋4M，所以集合M不为闭集合．B．设a，b是任意的两个正整数，当a<b时，a－b<0不是正整数，所以正整数集不为闭集合．C.当M＝{n|n＝3k，k∈Z}时，设a＝3k1，b＝3k2，k1，k2∈Z，则a＋b＝3(k1＋k2)∈M，a－b＝3(k1－k2)∈M，所以集合M是闭集合．D.设A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}由C可知，集合A1，A2为闭集合，2，3∈A1∪A2，而2＋3A1∪A2，此时A1∪A2不为闭集合．所以说法中不正确的是ABD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知数集{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且有下列说法：①a＝1；②c>2；③d≠4，则满足(a，b，c，d)的数值有______组．【解析】因为a＝1，c>2，d≠4，则c的取值可以是3或4.①c＝3时，b＝4，d＝2，即数组为(1，4，3，2)；②c＝4时，则b＝2，d＝3或b＝3，d＝2，即数组为(1，2，4，3)或(1，3，4，2).因此符合题中条件的数组(a，b，c，d)有3组．答案：314．设集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|m≤x≤m＋\f(3,4)))，N＝{x|n－eq\f(2,3)≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的长度，那么集合M∩N的长度的最小值是________．【解题提示】根据题意，得出M，N的长度，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，当M∩N的长度取最小值时，m与n应分别在区间[0，1]的左右两端，得出m＝0，n＝1，求出集合M，N，从而得出M∩N的长度的最小值．【解析】由题可知，M的长度为eq\f(3,4)，N的长度为eq\f(2,3)，因为M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，当M∩N的长度取最小值时，m与n应分别在区间[0，1]的左右两端，即m＝0，n＝1，则M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|0≤x≤\f(3,4)))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,3)≤x≤1))，故此时M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,3)≤x≤\f(3,4)))的长度的最小值是eq\f(3,4)－eq\f(1,3)＝eq\f(5,12).答案：eq\f(5,12)15．已知关于x的不等式－eq\f(3x2,2)＋(5－m)x>0的解集为{x|0<x<2}，若对于∀x∈R，不等式ax2＋2ax－(a＋m)<0恒成立，则实数a的取值范围为________．【解析】不等式－eq\f(3x2,2)＋(5－m)x>0可化为3x2－2(5－m)x<0，因为不等式的解集为{x|0<x<2}，所以0，2为方程3x2－2(5－m)x＝0的根，将x＝2代入方程得12－4(5－m)＝0，解得m＝2，即对于∀x∈R，不等式ax2＋2ax－(a＋2)<0恒成立，当a＝0时，显然成立，当a≠0时，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,4a2＋4a（a＋2）<0，))解得－1<a<0，综上可得：实数a的取值范围为(－1，0].答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，0))16．∀x∈[0，3]，a≥x2－2x＋5，则a的范围是________；∃x∈[0，3]，a≥x2－2x＋5，则a的范围是________．【解析】因为二次函数y＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4在区间[0，1]上y随x的增大而减小，在区间[1，3]上y随x的增大而增大，所以当x＝1时，y有最小值为4，当x＝3时，y有最大值为8.因为∀x∈[0，3]，a≥x2－2x＋5，所以a≥8.因为∃x∈[0，3]，a≥x2－2x＋5，所以a≥4.答案：[8，＋∞)[4，＋∞)四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1，7}且A∩B＝C.(1)求x，y的值；(2)A∪B.【解析】(1)因为集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1，7}，A∩B＝C，所以x2－x＋1＝7，解得：x＝－2或x＝3.当x＝－2时，x＋4＝2，此时2∈A∩B，不满足要求；当x＝3时，x＋4＝7，此时2y＝－1，满足要求．故x＝3，y＝－eq\f(1,2).(2)集合A＝{2，－1，7}，B＝{－1，－4，7}，所以A∪B＝{2，－1，－4，7}．18．(12分)已知命题p：“∀－1≤x≤1，不等式x2－x－m<0成立”是真命题．(1)求实数m的取值范围；(2)若q：－4<m－a<4是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解题提示】(1)根据命题p是真命题，得不等式恒成立，将不等式恒成立转化为最大值成立，即可得到m的取值范围；(2)先化简命题q：a－4<m<a＋4，再根据q是p的充分不必要条件列式可解得．【解析】(1)由题意m>x2－x在－1≤x≤1恒成立，所以m>(x2－x)max(－1≤x≤1).因为x2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4)，所以－eq\f(1,4)≤x2－x≤2，即(x2－x)max＝2，m>2，所以实数m的取值范围是(2，＋∞).(2)由q得a－4<m<a＋4，因为qp，所以a－4≥2，即a≥6，所以实数a的取值范围是[6，＋∞).19．(12分)设a1>0，且a1≈eq\r(2)，令a2＝1＋eq\f(1,1＋a1).(1)证明：eq\r(2)介于a1，a2之间；(2)求a1，a2中哪个更接近于eq\r(2)；(3)你能设计一个比a2更接近于eq\r(2)的a3吗？并说明理由.【解析】(1)(a1－eq\r(2))(a2－eq\r(2))＝(a1－eq\r(2))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1＋a1)－\r(2)))＝eq\f(（a1－\r(2)）2（1－\r(2)）,1＋a1)<0，故eq\r(2)介于a1，a2之间．(2)|eq\r(2)－a2|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(2)－1－\f(1,1＋a1)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(（1－\r(2)）（\r(2)－a1）,1＋a1)))＝eq\f(\r(2)－1,1＋a1)|eq\r(2)－a1|<|eq\r(2)－a1|，故a2比a1更接近于eq\r(2).(3)a3＝1＋eq\f(1,1＋a2)更接近于eq\r(2)，根据题意知：1<a2<2.|eq\r(2)－a3|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(2)－1－\f(1,1＋a2)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(（1－\r(2)）（\r(2)－a2）,1＋a2)))＝eq\f(\r(2)－1,1＋a2)|eq\r(2)－a2|<|eq\r(2)－a2|，故a3比a2更接近于eq\r(2).20．(12分)如图，已知矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，过点C的直线l与AB，AD的延长线分别交于点M，N.(1)若△AMN的面积不小于50，求线段DN的长度的取值范围；(2)在直线l绕点C旋转的过程中，△AMN的面积S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及相应的AM，AN的长度；若不存在，请说明理由．【解析】(1)设DN＝x(x>0)，△AMN的面积为S，因为△NDC∽△NAM，所以eq\f(x,4＋x)＝eq\f(6,AM)，所以AM＝eq\f(6（x＋4）,x)，所以S＝eq\f(1,2)AM·AN＝eq\f(1,2)·eq\f(6（x＋4）,x)·(x＋4)＝3·eq\f(（x＋4）2,x).由S＝3·eq\f(（x＋4）2,x)≥50，得0<x≤eq\f(8,3)或x≥6.所以，线段DN的长度的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(8,3)))∪[6，＋∞).(2)S＝3·eq\f(（x＋4）2,x)＝3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(16,x)＋8))，因为x>0，所以S＝3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(16,x)＋8))≥3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x·\f(16,x))＋8))＝48，当且仅当x＝eq\f(16,x)，即x＝4时，等号成立，此时AM＝12，故当AM＝12，AN＝8时，△AMN的面积S有最小值48.21．(12分)经市场调查：生产某产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝eq\f(1,3)x2＋x(万元)，在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋eq\f(100,x)－38(万元).通过市场分析，每件产品售价为5元时，生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(2)当产量为多少时利润最大？并求出最大值．【解题提示】(1)根据利润、销售额、成本关系，分0<x<8和x≥8两种情况，得到L与x的分段函数关系；(2)利用二次函数的性质、基本不等式分别求出分段函数的最大值，最后综合，即可求出最大值．【解析】(1)L(x)＝5x－W－3＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋4x－3，0<x<8，,35－x－\f(100,x)，x≥8.))(2)当0<x<8时，L(x)＝－eq\f(1,3)x2＋4x－3＝－eq\f(1,3)(x－6)2＋9，所以当x＝6时，Lmax1＝9.当x≥8时，L(x)＝35－x－eq\f(100,x)＝35－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))≤35－2eq\r(100)＝15，当且仅当x＝eq\f(100,x)，即x＝10时，等号成立，所以Lmax2＝15.综上，当总产量达到10万件时利润最大，且最大利润为15万元．22．(12分)已知不等式2x2＋bx＋c<0的解集是{x|0<x<5}．(1)求b，c的值；(2)不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x2＋bx＋c>0，,2（x＋k）2＋b（x＋k）＋c<0))的正整数解只有一个，求实数k的取值范围；(3)若对于任意实数x∈{x|－1≤x≤1}，不等