6.2.2向量的数量积-高一数学下学期《一隅三反》（人教A版2019）

6.2.2向量的数量积考法一平面向量的数量积【例11】（2023·江苏南京）已知等边三角形边长为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由向量的数量积的运算，可得.故选：A.【例12】（2024·云南）已知向量与的夹角为，且，，则.【答案】13【答案】∵向量与的夹角为，且，，∴.故答案为：13.【一隅三反】1．（2023·江西）中，，，，为斜边的中点，则（）A．1 B．1 C．2 D．2【答案】B【解析】由题意是等边三角形，，所以．故选：B．2.（2024江西）已知向量、满足，与的夹角为，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，与的夹角为，所以，故选：C3．（2023·四川成都）已知中，，则．【答案】/0.6【答案】由图可得，因，则，则，因，则，，代入上式有：，.则.故答案为：考法二平面向量的模长【例21】（2024·浙江宁波）已知，，且，的夹角为，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【答案】由题意得，所以，故，故选：D【例22】（2023·四川甘孜）已知平面向量，且与的夹角为，则（

）A． B．4 C．2 D．0【答案】C【答案】因为，所以，故选：C.【一隅三反】1.（2024·全国·模拟预测）已知向量，满足，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【答案】因为，所以①．又因为，所以②．由①－②×4，得，所以．故选：A．2．（2023上·山西大同）设向量，满足，，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【答案】因为，，以上两式相减，可得，即，所以.故选：B3（2024·河北保定）已知向量满足，，，则（

）A． B． C．5 D．20【答案】B【答案】因为，所以，所以，所以.故选：B.考法三平面向量的夹角【例31】（2023·江苏南通）已知非零向量满足，且，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】D【答案】因为，所以，设与的夹角为，所以，所以.故选：D【例32】（2023·全国·校联考模拟预测）已知非零向量与满足，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【答案】因为，所以，所以，而，所以，所以.故选：B【例33】（2023·青海西宁）已知向量，，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【答案】由可得，所以，同理由和可得所以，故，故选：D【一隅三反】1．（2024上·广东深圳）已知为单位向量，且，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【答案】由题意可得，将两边平方可得；可得，可得；设与的夹角为，则，所以.故选：C2．（2024上·云南）已知非零向量满足，且，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【答案】由得，设又，所以，由于，所以与的夹角为.故选：C.3．（2024·全国·模拟预测）若都为非零向量，且，，则向量的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】D【答案】因为，，所以，即，化简得，所以．所以．因为，所以．故选：D．考法四平面向量的投影（向量）【例41】．（2023·上海嘉定）已知平面上两单位向量，，，则在上的数量投影为.【答案】/【答案】根据题意：，为两单位向量，且，所以在上的数量投影为.故答案为：.【例42】（2023下·湖北省直辖县级单位·高一湖北省仙桃中学校考阶段练习）已知为单位向量，，向量，的夹角为，则在上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】D【答案】由已知，向量，的夹角为，得，又已知为单位向量，则在上的投影向量是.故选：D.【一隅三反】1．（2023上·内蒙古赤峰）已知向量、满足，则在方向上的投影数量为（

）A． B． C． D．【答案】D【答案】因为，则，，则，可得，所以，在方向上的投影.故选：D.2．（2024上·天津）已知，，m为实数，若，则向量在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【答案】根据题意可知，由可得，解得，所以；所以向量在上的投影向量为.故选：D3．（2023·上海杨浦）已知平面向量，满足，且向量，的夹角为，则在方向上的数量投影为.【答案】【答案】因为，且向量，的夹角为，所以，所以在方向上的数量投影为.故答案为：.4．（2023下·广东惠州·高一校考阶段练习）已知，，，则在方向上的投影向量是.【答案】【解析】设与方向相同的单位向量为，则，则在方向上的投影向量为.故答案为：.考法五平面向量的综合运用【例51】（2023下·山东青岛·高一统考期中）已知点是边长为2的正的内部（不包括边界）的一个点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示：因为点是边长为2的正的内部（不包括边界）的一个点，由图象知：，所以，故选；C【例52】（2023上·湖北荆门）如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点）则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，由投影的定义知，结合图形得，当过P的直线与半圆弧相切于P点且平行于BC时，最大为，此时；当P在C或B点重合时，最小为，此时∴故选：C【例53】（2023下·广东揭阳·高一校联考期中）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】与的夹角为钝角，，又与的夹角为，所以，即，解得，又与不共线，所以，所以取值范围为.故选：D【一隅三反】1．（2023下·湖北宜昌·高一校联考期中）已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，因为，所以，又，所以．故选：B．2．（2024上·重庆·高三统考期末）若向量，满足，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是．【答案】【解析】由与的夹角为锐角，得，而，，因此，所以的取值范围是.故答案为：3．（2023·江苏扬州）已知在中，，，，为线段上任意一点，则的取值范围是．【答案】【解析】设，，则，故，因为，所以，故，.故答案为：4．（2023上·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考阶段练习）已知向量满足，则的最大值是，最大值是．【答案】3【解析】设向量的夹角为，，因为，所以，故的最大值是3；同理，所以，则，因为，所以，故.因为，所以，故最大值是.故答案为：3；.单选题1．（2024·黑龙江大庆）已知向量，的夹角为，，且向量与垂直，则实数（

）A．2 B． C． D．2【答案】D【解析】由，则，即，解得.故选：D.2（2024·云南楚雄）已知向量，满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】结合题意：，，，，．故选：A.3．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）已知，且满足，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以在上的投影向量为.故选：D4．（2023下·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）在等腰梯形ABCD中，AB=CD=2，，则在上的投影的数量为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】过点作，且，所以四边形是平行四边形，则，且，，所以是等边三角形，所以与所成角为，所以在上的投影的数量为.故选：B5．（2024上·内蒙古呼和浩特）我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则（

）A．9 B．12 C．15 D．16【答案】B【解析】因为大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，所以,设，则，在中，，即，解得或（舍去），所以，易知在正方形中，，，，所以.故选：B.6（2023下·广东茂名）已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为120°，则（

）A． B． C． D．1【答案】D【解析】根据题意可知，且,可得，，又与的夹角为120°，所以，解得.故选：D7（2023·江考）已知向量，的夹角为60°，且，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由可得：，可得：，，对于A，，故A不正确；对于B，，故B不正确；对于C，，，,故，故C正确；对于D，，,，故D不正确.故选：C.8．（2024·全国·模拟预测）已知非零且不垂直的平面向量满足，若在方向上的投影与在方向上的投影之和等于，则夹角的余弦值的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，当且仅当时，取等号，设的夹角为，由题意得，因为向量非零且不垂直，所以且，所以，所以夹角的余弦值的最小值为.故选：A.多选题9．（2024上·广东深圳）已知是夹角为的单位向量，，，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量为【答案】ACD【解析】对于选项A，是夹角为的单位向量，则，故，故选项A正确；对于选项B，，故选项B错误；对于选项C，，所以，又，所以，故选项C正确；对于选项D，在上的投影向量为，故选项D正确.故选：ACD10．（2023·全国·模拟预测）已知是两个不共线的向量，且，则下列结论正确的是（

）A．的取值范围是 B．C．在方向上的投影向量不可能为 D．与的夹角的最大值为【答案】BD【解析】选项A：由以及不共线可知，，故A错误；选项B：由于不共线，所以，又，因此，故B正确；选项C：当时，在方向上的投影向量为，故C错误；选项D：设与的夹角为，则，由于，所以，，因为，所以，即与的夹角的最大值为，故D正确．故选：BD.11．（2023·广东）下列说法错误的是（

）A．在等腰直角三角形ABC中，若A为直角，则的夹角为45°.B．由可得或.C．向量在向量上的投影向量是一个向量，而向量在向量上的投影是一个数量.D．对于非零向量，，“”是“与的夹角为锐角”的充分不必要条件．【答案】ABD【解析】A选项，角B为45°，的夹角为B的补角，为135°，故A错误；B选项，当时，，故B错误；C选项，“投影向量”是向量，“投影”是数量，故C正确；D选项，当向量同向时，，与的夹角为锐角不成立；当与的夹角为锐角时，.所以“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件，故D错误；故选：ABD.12．（2023上·福建莆田）已知是单位向量，则下列命题正确的是（

）A．若，则B．若不共线，则C．若，则夹角的最小值是D．若的夹角是，则【答案】BCD【解析】A：因为，所以，故错误；B：因为不共线且，所以，故正确；C：因为，所以，所以，又因为，所以，所以的最小值为，故正确；D：，故正确；故选：BCD.填空题13（2024上·河北张家口）已知向量，的夹角为，，，则．【答案】【解析】由题意，向量，的夹角为，，，，故答案为：.14．（2024·广西）若向量，，且，则．【答案】【解析】因为，则，两边平方得，即，整理得，可得，所以.故答案为：.15．（2023上·四川广安）已知向量，，且在方向上的投影数量为，则向量与的夹角为．【答案】【解析】∵在方向上的投影数量为，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴向量与的夹角为，故答案为：.16．（2023上·天津北辰）在平行四边形ABCD中，，，向量在向量上的投影向量为，则【答案】/【解析】如图，作于点，由题意是中点，即，在直角中，，，故答案为：．解答题17．（2024·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）单位向量，满足.(1)求与夹角的余弦值：(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，，所以，即，则，则，即与夹角的余弦值.（2）因为与的夹角为锐角，所以且与不共线，当与共线时，有，即，由（1）知与不共线，所以，解得，所以当与不共线时，，由，得，即，解得，所以且，即实数的取值范围为.18．（2023上·天津河西）如图，中，是的中点，与交于点.(1)用表示；(2)设，求的值；(3)若，求的最大值.【答案】(1)(2)(3).【解析】（1）.（2）因为三点共线，所以，解得.（3），由（1）可知，所以，得，则，所以所以的最大值为.19．（2023下·江苏镇江·高一校联考阶段练习）已知在中，N是边AB的中点，且，设AM与CN交于点P.记，.(1)用，表示向量，；(2)若，，求的余弦值.【答案】(1)，；(2)【解析】（1），；（2）因为，所以，因为，，所以，把代入式，得，.20（2023下·全国·高一期末）如图，在中，已知P为线段上的一点，，，且与的夹角为60°．(1)若，求；(2)若，且，求实数k的值；(3)若，且，求的值．【答案】(1)(2)k不存在(3)【解析】（1）由已知，，且与的夹角为60°，可得因为，故；又，所以可得；（2）因为，且，所以化简