2021新高考数学一轮复习学案7-1空间几何体的结构特征和直观图

第七章立体几何第一节空间几何体的结构特征和直观图课标要求考情分析1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．会用斜二测法画出它们的直观图．1.本节内容是高考中的重点考查内容，涉及空间几何体的结构特征、空间几何体的直观图等内容．2．命题形式主要以选择题、填空题为主，主要考查空间几何体的直观图的确认与应用，同时这类题目也重点考查了空间几何体的结构特征，解题要求有较强的空间想象能力.知识点一空间几何体1．多面体的结构特征2．旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线知识点二eq\o(\s\up17(水平放置的平面图形的直观图的斜二),\s\do15(测画法的规则))1．原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．2．原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．斜二测画法中的“三变”与“三不变”：“三变”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(坐标轴的夹角改变，,与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，,图形改变.))“三不变”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行性不改变，,与x，z轴平行的线段的长度不改变，,相对位置不改变.))1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)有两个平面平行，其余各面都是四边形的多面体是棱柱．(×)(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(×)(3)有两个面是平行的相似多边形，其余各面都是梯形的几何体是棱台．(×)(4)用一个平面去截棱锥，棱锥的底面和截面之间的部分是棱台．(×)(5)棱台的侧面都是梯形．(√)(6)棱台的侧棱长都相等．(×)解析：(1)也可以是棱台．(2)棱锥其余各面都是有同一个公共顶点的三角形．(3)侧棱延长后必须交于一点．(4)必须用平行于底面的平面去截棱锥．(6)正棱台的侧棱长相等，非正棱台不一定相等．2．小题热身(1)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是(A)A．圆柱 B．圆锥C．四面体 D．三棱柱(2)下列说法正确的是(D)A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行(3)如图，直观图所表示的平面图形是(D)A．正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形(4)如图，一个立在水平地面上的圆锥的母线长为4m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为4eq\r(3)m，则圆锥底面圆的半径等于eq\f(4,3)m.解析：(1)由三视图知识知，圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形．(2)由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变．(3)由直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后AC∥y轴，BC∥x轴，所以△ABC是直角三角形．故选D．(4)把圆锥侧面沿过点P的母线展开如图所示的扇形．由题意知OP＝OP′＝4m，PP′＝4eq\r(3)m，则cos∠POP′＝eq\f(42＋42－4\r(3)2,2×4×4)＝－eq\f(1,2)，所以∠POP′＝eq\f(2π,3).设底面圆的半径为r，则2πr＝eq\f(2π,3)×4，所以r＝eq\f(4,3)m.考点一空间几何体的结构特征【例1】(1)以下命题：①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3(2)给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．其中不正确的命题为________．(填序号)【解析】(1)由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误，③正确．对于命题④，只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，④不正确．(2)对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④由线面垂直的判定，可知侧棱垂直于底面，故④正确．综上，命题①②③不正确．【答案】(1)B(2)①②③方法技巧空间几何体概念辨析题的常用方法1定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定.2反例法：通过反例对结构特征进行辨析.给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体；⑤棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是②③④⑤.解析：①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体AC1中的三棱锥C1­ABC，四个面都是直角三角形；⑤正确，由棱台的概念可知．考点二空间几何中的简单计算问题【例2】(1)有一根长为3πcm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________cm(2)一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm，若两底面圆心的连线长为12cm【解析】(1)把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图)，由题意知BC＝3πcm，AB＝4πcm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度，又AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝5π(cm)，故铁丝的最短长度为5πcm.(2)如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C．在Rt△ABC中，AC＝12(cm)，BC＝8－3＝5(cm)．∴AB＝eq\r(122＋52)＝13(cm)．【答案】(1)5π(2)13方法技巧这类计算问题关键是找出几何体的截面图，把空间几何体的问题转化为平面几何知识解决.已知正四棱锥P­ABCD的顶点均在球O上，且该正四棱锥的各个棱长均为2，则球O的表面积为(C)A．4π B．6πC．8π D．16π解析：设点P在底面ABCD上的投影为O′，则AO′＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2)，PA＝2，PO′⊥平面ABCD，故PO′＝eq\r(PA2－AO′2)＝eq\r(2)，而底面ABCD所在截面圆的半径AO′＝eq\r(2)，故该截面圆即为过球心O的圆，则球O的半径R＝eq\r(2)，故球O的表面积S＝4πR2＝8π，故选C．考点三空间几何体的直观图命题方法1由斜二测画法画直观图【例3】已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．【解析】如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图．因为OE＝eq\r(\r(2)2－1)＝1，所以O′E′＝eq\f(1,2)，E′F＝eq\f(\r(2),4)，则直观图A′B′C′D′的面积S′＝eq\f(1＋3,2)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).【答案】eq\f(\r(2),2)命题方向2由直观图还原平面图形【例4】(1)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形是()A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四边形(2)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．【解析】(1)如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)，CD＝C′D′＝2，OA＝O′A′＝6.∴OC＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(4\r(2)2＋22)＝6，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．(2)如图①，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，∵在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝eq\f(\r(2),2).∵四边形AECD为矩形，AD＝1，∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝eq\f(\r(2),2)＋1.由此可还原原图形如图②.在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝eq\f(\r(2),2)＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，∴这块菜地的面积S＝eq\f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).【答案】(1)C(2)2＋eq\f(\r(2),2)方法技巧1用斜二测画法画直观图的技巧,在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，在直观图中作出相应的点后，用平滑的曲线连接而画出。2平面图形直观图与原图形面积间的关系,对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S与直观图面积S′之间的关系，能更快捷地进行相关问题的计算.1．(方向2)如图是水平放置的某个三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点且A′D′∥y′轴，A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么(C)A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AD，最短的是AC解析：由题中的直观图可知，A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，根据斜二测画法的规则可知，在原图形中AD∥y轴，BC∥x轴，又因为D′为B′C′的中点，所以△ABC为等腰三角形，且AD为底边BC上的高，则有AB＝AC>AD成立．2．(方向1)已知正△ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(D)A．eq\f(\r(3),4)a2 B．eq\f(\r(3),8)a2C．eq\f(\r(6),8)a2 D．eq\f(\r(6),16)a2解析：解法1：△ABC的实际图形和直观图如图①②所示，由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\