高中数学必修2课时素养评价14-4-3用频率直方图估计总体分布

课时素养评价四十一用频率直方图估计总体分布(20分钟35分)1.有一个容量为45的样本数据,数据的分组及各组的频数如下:(12.5,15.5],3;(15.5,18.5],8;(18.5,21.5],9;(21.5,24.5],11;(24.5,27.5],10;(27.5,30.5],4.由此估计,不大于27.5的数据约为总体的 ()A.91% B.92%C.95% D.30%【解析】选A.不大于27.5的样本数为3+8+9+11+10=41,约占总体的百分比为QUOTE×100%≈91%.2.某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率直方图如图,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是 ()A.45 B.50 C.55 【解析】选B.设该班的学生人数为n,则20×(0.005+0.01)n=15,n=50.3.某工厂对一批元件进行抽样检测.经检测,抽出的元件的长度(单位:mm)全部在93至105之间.将抽出的元件的长度以2为组距分成6组:[93,95),[95,97),[97,99),[99,101),[101,103),[103,105],得到如图所示的频率直方图.若长度在[97,103)内的元件为合格品,根据频率直方图,估计这批元件的合格率是 ()A.80% B.90% C.20% D.85.5%【解析】选A.由频率分布直方图可知元件长度在[97,103)内的频率为1(0.0275+0.0275+0.0450)×2=0.8,故这批元件的合格率为80%.4.对某小区100户居民的月均用水量进行统计,得到样本的频率直方图如图所示,则估计此样本的众数、中位数分别为 (),2.5 B.2.25,2.02C.2,2.5 D.2.5,2.25【解析】选B.众数是指样本中出现频率最高的数,在频率直方图中通常取该组区间的中点,所以众数为QUOTE=2.25.中位数是频率为0.5的分界点,由频率直方图,可知前4组的频率和为(0.08+0.16+0.30+0.44)×0.5=0.49,因此中位数出现在第5组,设中位数为x,则(x2)×0.5=0.01,解得x=2.02.5.已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率直方图如图所示.则这100名学生中,该月饮料消费支出超过150元的人数是________.

【解析】根据频率直方图,得消费支出超过150元的频率为(0.004+0.002)×50=0.3,所以消费支出超过150元的人数是100×0.3=30.答案:306.某制造商为运动会生产一批直径为40mm的乒乓球,现随机抽样检查20只,测得每只球的直径(单位:mm,保留两位小数)如下:40.0240.0039.9840.0039.9940.0039.9840.0139.9839.9940.0039.9939.9540.0140.0239.9840.0039.9940.0039.96(1)完成下面的频率分布表,并画出频率直方图;分组频数频率[39.95,39.97)[39.97,39.99)[39.99,40.01)[40.01,40.03]合计(2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02mm为合格品,若这批乒乓球的总数为10000只,试根据抽样检查结果估计这批产品的合格数.【解析】(1)频率分布表:分组频数频率[39.95,39.97)20.105[39.97,39.99)40.2010[39.99,40.01)100.5025[40.01,40.03]40.2010合计201频率直方图:(2)因为抽样的20只产品中在[39.98,40.02]范围内有18只,所以合格率为QUOTE×100%=90%,所以10000×90%=9000(只).即根据抽样检查结果,可以估计这批产品的合格数为9000只.【补偿训练】从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:质量指标值分组[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]频数62638228(1)根据上表作出这些数据的频率直方图;(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?【解析】(1)频率直方图如图.(2)质量指标值的样本平均数为80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.质量指标值的样本方差为s2=(80100)2×0.06+(90100)2×0.26+(100100)2×0.38+(110100)2×0.22+(120100)2×0.08=104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100,方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68.由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定.(30分钟50分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了50名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用的时间的数据,结果用下面的条形统计图表示.根据条形统计图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 ()时 B.0.9时 C.1.0时 D.1.5时【解析】选B.这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为(0×5+0.5×20+1.0×10+1.5×10+2.0×5)÷50=0.9(时).2.为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组,如图是根据试验数据制成的频率直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为 ()A.20 B.18 C.16 D.12【解析】选D.志愿者的总人数为QUOTE=50,所以第三组的人数为50×0.36=18,有疗效的人数为186=12.3.某养猪场定购了一批仔猪,从中随机抽查了100头仔猪的体重(单位:斤),经数据处理得到如图①的频率直方图,其中体重最轻的14头仔猪的体重的茎叶图如图②,为了将这批仔猪分栏喂养,需计算频率直方图中的一些数据,其中a+b的值为 ()A.0.144 C.0.76 【解析】选B.由题意得c+d=QUOTE×QUOTE=0.024且[2(c+d)+a+b]×5=1.所以2×0.024+a+b=0.2.所以a+b=0.152.【补偿训练】如图是某学校抽取的学生体重的频率直方图,已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3,第2小组的频数为10,则抽取的学生人数为 ()A.20 B.30 C.40 D.50【解析】选C.前3组的频率之和等于1(0.0125+0.0375)×5=0.75,第2小组的频率是0.75×QUOTE=0.25,设样本容量为n,则QUOTE=0.25,即n=40.4.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率直方图如图,则这20名工人中一天生产该产品的数量的中位数为 ()A.65 B.64 C.62.5 D.60【解析】选C.设20名工人中一天生产该产品的数量的中位数为x,则0.2+(x55)×0.04=0.5,x=62.5.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.在某次高中学科竞赛中,4000名考生的参赛成绩统计如图所示,60分以下视为不及格,若同一组中数据用该组区间中点值作代表,则下列说法正确有 ()A.成绩在[70,80)分的考生人数最多B.不及格的考生人数为1000C.考生竞赛成绩的平均分为70.5分D.考生竞赛成绩的中位数为75分【解析】选ABC.A选项,由频率直方图可得成绩在[70,80)的频率最高,因此考生人数最多,故A正确;B选项,由频率直方图可得成绩在[40,60)的频率为0.25,因此,不及格的人数为4000×0.25=1000,故B正确;C选项,由频率直方图可得平均分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5(分),故C正确;D选项,因为成绩在[40,70)的频率为0.45,成绩在[70,80)的频率为0.3,所以中位数为70+10×QUOTE≈71.67(分),故D错误.【补偿训练】某次考试中,某班级的数学成绩统计图如下(每组数据包含左端点,不包含右端点).则下列说法错误的是()A.分数在70～80的人数最多B.该班的总人数为40C.分数在90～100的人数最少D.及格(≥60分)的人数是26【解析】选ABC.从表中可以看出,分数在70～80的有14人,人数最多,所以选项A正确;该班共有4+12+14+8+2=40人,所以选项B正确;从表中可以看出,分数在90～100的有2人,人数最少,所以选项C正确;及格(≥60分)的人数为12+14+8+2=36人,所以选项D错误.6.某班进行了一次数学测试,全班学生的成绩都落在区间[50,100]内,其成绩的频率直方图如图所示,则该班学生这次数学测试成绩的中位数和众数的估计值为()A.81.5 B.75 C.81.25 D.85【解析】选CD.因为(0.005+0.015+0.025)×10=0.45<0.5,(0.005+0.015+0.025+0.040)×10=0.85>0.5,所以该班学生这次数学测试成绩的中位数落在[80,90)内.设中位数为x,因为(0.005+0.015+0.025)×10+0.04×(x80)=0.5,所以所求中位数为x=81.25.众数为85.三、填空题(每小题5分,共10分)7.某校为了了解学生的睡眠情况,随机调查了50名学生,得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据,结果用如图所示的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为________h.

【解析】根据条形统计图得平均每人的睡眠时间为5.5×0.1+6×0.3+6.5×0.4+7×0.1+7.5×0.1=6.4(h).答案:6.4【补偿训练】某电子商务公司对10000名网络购物者2018年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率直方图如图所示.(1)直方图中的a=________;

(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________.

【解析】(1)由0.1×1.5+0.1×2.5+0.1a+0.1×2.0+0.1×0.8+0.1×0.2=1,解得a=3.(2)消费金额在区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5+0.1×2.5=0.4,故消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率为10.4=0.6.因此,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10000=6000.答案:(1)3(2)60008.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄进行抽样调查,统计后得到频率直方图(如图),但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失,则依据此图可得:(1)年龄组[25,30)对应小矩形的高度为________;

(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)内的人数为________.

【解析】(1)设年龄组[25,30)对应小矩形的高度为h,则5×(0.01+h+0.07+0.06+0.02)=1,解得h=0.04.(2)由(1)得志愿者年龄在[25,35)内的频率为5×(0.04+0.07)=0.55,故志愿者年龄在[25,35)内的人数约为0.55×800=440.答案:(1)0.04(2)440四、解答题9.(10分)(2019·全国Ⅲ卷)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液,每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比