数理统计课件

第三章假设检验一、基本思想与基本概念二、正态总体的参数检验三、非参数假设检验

在本章中，我们将讨论不同于参数估计的另一类重要的统计推断问题.

无论总体的分布形式是已知还是未知，先假定总体的分布形式或总体的某些参数具有某种特征，然后通过样本的信息检验原假设是否合理。若合理，则承认原假设是正确的，否则否定原假设，从而对所需研究的对象做出合理的分析与判断.此做出肯定或否定回答的过程称为假设检验，此类问题称为假设检验问题。例如1)要确定某批钢珠的直径是否服从正态分布；

先假定某批钢珠的直径是服从正态分布，然后进行随机试验测得一组样本观察值，据此做出假设是否合理的回答。2)某种新药对某疾病有疗效？3)两台机床生产同一型号的零件的质量是否一样？4)两种汽车的安全性是否一样？5)经过改进生产工艺，某电器零件的平均电阻是否有显著变化6)某长生产的产品能否正常出厂？7)某种设备的寿命是否服从

=20000的指数分布等等------先假设，后做出回答。假设检验参数假设检验非参数假设检验总体分布已知，检验关于未知参数的某个假设总体分布未知时的假设检验问题问题2)、3)、4)、5)、6)等问题1)、7)等§3.1基本思想与基本概念让我们先看一个例子.这一节我们讨论对参数的假设检验.一、基本思想与方法

生产流水线上罐装可乐不断地封装，然后装箱外运.怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢？

把每一罐都打开倒入量杯,看看容量是否合于标准.这样做显然不行！罐装可乐的容量按标准应在350毫升和360毫升之间.

每隔一定时间，抽查若干罐.

如每隔1小时，抽查5罐，得5个容量的值X1，…，X5，根据这些值来判断生产是否正常.

如发现不正常，就应停产，找出原因，排除故障，然后再生产；如没有问题，就继续按规定时间再抽样，以此监督生产，保证质量.通常的办法是进行抽样检查.

很明显，不能由5罐容量的数据，在把握不大的情况下就判断生产

不正常，因为停产的损失是很大的.

当然也不能总认为正常，有了问题不能及时发现，这也要造成损失.

如何处理这两者的关系，假设检验面对的就是这种矛盾.

在正常生产条件下，由于种种随机因素的影响，可以认为每罐可乐的容量应在355毫升上下波动.如果这些因素中没有一个随机因素占有特别重要的地位.因此，根据中心极限定理，假定每罐容量服从正态分布是合理的.现在我们就来讨论这个问题.罐装可乐的容量按标准应在350毫升和360毫升之间.问题：制定一个合理的法则，然后利用样本信息给出生产是否正常的一个判断。它的对立假设是：称H0为原假设（或零假设，解消假设）；称H1为备选假设（或对立假设）.在实际工作中，往往把不轻易否定的命题作为原假设.当生产比较稳定时，现在要检验的假设是：那么，如何判断原假设H0

是否成立呢？较大、较小是一个相对的概念，合理的界限在何处？应由什么原则来确定？由于

是正态分布的期望值，它的估计量是样本均值，因此可以根据与

0

的差距来判断H0

是否成立.-

||较小时，可以认为H0是成立的；当-

||生产已不正常.当较大时，应认为H0不成立，即-

||问题归结为对差异作定量的分析，以确定其性质.(1)差异可能是由抽样的随机性引起的，称为“抽样误差”或随机误差这种误差反映偶然、非本质的因素所引起的随机波动。然而，这种随机性的波动是有一定限度的，引起误差的原因：(2)如果差异超过了这个限度，则我们就不能用抽样的随机性来解释了.

必须认为这个差异反映了事物的本质差别，即反映了生产已不正常.这种差异称作“系统误差”

问题是，根据所观察到的差异，如何判断它究竟是由于偶然性在起作用，还是生产确实不正常？即差异是“抽样误差”还是“系统误差”所引起的？这里需要给出一个量的界限.问题是：如何给出这个量的界限？这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：小概率事件在一次试验中基本上不会发生.…………小概率事件原理下面我们用一例说明这个原则.小概率事件在一次试验中基本上不会发生.这里有两个盒子，各装有100个球.一盒中的白球和红球数99个红球一个白球…99个另一盒中的白球和红球数99个白球一个红球…99个小概率事件在一次试验中基本上不会发生.现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子里是白球99个还是红球99个？我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.现在我们从中随机摸出一个球，发现是此时你如何判断这个假设是否成立呢？小概率事件在一次试验中基本上不会发生.假设其中真有99个白球，摸出红球的概率只有1/100，这是小概率事件.这个例子中所使用的推理方法，可以称为小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不使人怀疑所作的假设.带概率性质的反证法不妨称为概率反证法.小概率事件在一次试验中基本上不会发生.它不同于一般的反证法

概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否定原假设.

一般的反证法要求在原假设成立的条件下导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，则完全绝对地否定原假设.

在假设检验中，我们称这个小概率为显著性水平，用

表示.带概率性质的反证法常取

的选择要根据实际情况而定。

在提出原假设H0后，如何作出接受和拒绝H0的结论呢？

现在回到我们前面罐装可乐的例中：

罐装可乐的容量按标准应在350毫升和360毫升之间.一批可乐出厂前应进行抽样检查，现抽查了n罐，测得容量为X1,X2,…,Xn，问这一批可乐的容量是否合格？提出假设H0：

=355

H1：≠355可以认为在H0成立的条件下，这样就有了一个做出回答的规则~N(0,1)提出假设选检验统计量~N(0,1)H0：

=355

H1：≠355它能衡量差异大小且分布已知.对给定的显著性水平

，可以在N(0,1)表中查到分位点的值u/2

，使故我们可以取拒绝域为：也就是说,“”是一个小概率事件.W：如果由样本值算得该统计量的实测值落入区域W，则拒绝H0

；否则，不能拒绝H0.不否定H0并不是肯定H0一定对，而只是说差异还不够显著，还没有达到足以否定H0的程度.所以假设检验又叫“显著性检验”

如果H0

是对的，那么衡量差异大小的某个统计量落入区域W(拒绝域)是个小概率事件.如果该统计量的实测值落入W，也就是说，H0成立下的小概率事件发生了，那么就认为H0不可信而否定它.否则我们就不能否定H0

（只好接受它）.这里所依据的逻辑是：基于这个理由，人们常把

=0.05

时拒绝H0称为是显著的，而把在

=0.01

时拒绝H0称为是高度显著的.如果显著性水平

取得很小，则拒绝域也会比较小.其产生的后果是：

H0难于被拒绝.如果在

很小的情况下H0仍被拒绝了，则说明实际情况很可能与之有显著差异,可能数据有问题

在上面的例子的叙述中，我们已经初步介绍了假设检验的基本思想和方法.基于概率反证法的逻辑的检验：如果小概率事件在一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否定原假设.二、基本概念1、统计假设关于总体的论断、推测、假定、设想统称为统计假设。一般指关于总体分布的假设，分为分布中参数(个数有限)与分布形式的假设。

两个假设的地位是“对称”的，但实际作用还有所区别。2．原假设、备选(备择、对立)假设(只有两种可能)

两者必居其一的统计假设，其中一个为原假设(一般含等号的假设)，另一个为备择假设。零假设—希望被接受的假设，或假设中含等式。一般记为：3．简单假设、复合假设4．假设检验，显著性检验

按一定规则由样本对所作出的统计假设是否成立推断，称为假设检验。基于小概率原理的假设检验，称为显著性检验。对假设

制定一个规则，根据样本观察值做出接受H0或拒绝H0的回答。即认为：6．拒绝域

假设H0的拒绝域是指样本空间中的一个区域V，当样本值落入其中时就拒绝假设H0，拒绝域的边界点称为临界点。5.检验：制定一种对任一组样本观察值确定取舍假设H0的规则称为一个检验。一般用在H0下，决定拒绝H0的样本观察值范围形式给出。

下面，我们再结合另一个例子，进一步说明假设检验的一般步骤.

例2

某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是32.5毫米.实际生产的产品，其长度X假定服从正态分布N(

,

2)，

2未知，现从该厂生产的一批产品中抽取6件,得尺寸数据如下:32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03问这批产品是否合格?…分析：这批产品(螺钉长度)的全体组成问题的总体X.现在要检验E(X)是否为32.5.提出原假设和备择假设第一步：已知X~N(

,

2)，

2

未知第二步：能衡量差异大小且分布已知取一检验统计量，在H0成立下求出它的分布问这批产品是否合格?第三步：

对给定的显著性水平

=0.01，查表确定临界值故不能拒绝H0.第四步：将样本值代入算出统计量t的实测值,|t|=2.997<4.0322没有落入拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差异还不够显著,不足以否定H0.即“

”是一个小概率事件.小概率事件在一次试验中基本上不会发生.得拒绝域W:|t|>4.0322拒绝域(临界域)7.小概率原理：根据具体问题的要求，规定可以忍的“充分小”的数

，使得可以把概率不大于

的事件认为实际的“不可能”事件。8.检验统计量T：

对于所考虑假设，构造一个统计量T(x1,…,xn)

，当H0为真时，T有偏小的趋势，当H0不为真时，T有偏大的趋势。适当选取

，若T

,拒绝H0，否则接受H0.9.检验函数写出例2检验的检验函数：假设检验会不会犯错误呢？由于作出结论的依据是下述小概率原理小概率事件在一次试验中基本上不会发生.

如果H0成立，但统计量的实测值落入否定域，从而作出否定H0的结论，那就犯了“以真为假”的错误.“弃真错误”不是一定不发生三、两类错误1.两类错误

如果H0不成立，但统计量的实测值未落入否定域，从而没有作出否定H0的结论，即接受了错误的H0，那就犯了“以假为真”的错误.“取伪错误”这两类错误出现的可能性是不可能排除的。原因在于：由样本推导总体

人们总希望犯这两类错误的概率越小越好，但对样本容量一定时，不可能使得犯这两类错误的概率都很小。实际情况决定H0为真H0不真拒绝H0第一类错误正确接受H0正确第二类错误

往往是先控制犯第一类错误的概率在一定限度内，再考虑尽量减小犯第二类错误的概率。假设检验的两类错误

要同时降低两类错误的概率、

，或者要在

不变的条件下降低

，需要增加样本容量.

两类错误是互相关联的，当样本容量固定时，一类错误概率的减少导致另一类错误概率的增加.显著性水平

为犯第一类错误的概率的上界.P{拒绝H0|H0为真}=

,P{接受H0|H0不真}=

.

犯两类错误的概率:即：使得P{拒绝H0|H0为真}≤

,然后减小P{接受H0|H0不真}

为何先控制犯第一类错误的概率在一定限度内，再考虑尽量减小犯第二类错误的概率。

由于两类错误的结果造成的影响的不同。例如：检验某人是否患某疾病，即H0:此人患有，

H1:此人没患第一类错误：有病被视为无病后果：轻者贻误治病良机，重者导致死亡。第二类错误：无病被视为有病后果：轻者经济损失，重者引起身体不良反映。零假设是经过周密考虑后作出的，应体现保护性。

一个好的检验是在限制了犯第一类错误的概率下，尽可能缩小第二类错误的概率。即在条件下，使得达到最小。一般地四、显著性检验的一般程序1.根据问题提出待检假设（原假设H0、备择假设H1

）2.根据实际要求规定显著性水平3.建立原假设H0的拒绝域V,P{拒绝H0|H0为真}=α4.判定样本值是否落在拒绝域V中，作出推断。五、建立拒绝域的方法选择适当的统计量：

在H0为真这一条件下统计量G的分布必须已知，利用分布表找出统计量G在水平α下的临界值。在大样本的条件下，若能求得检验统计量的极限分布，依据它去决定临界值C.F检验用F分布一般说来，按照检验所用的统计量的分布,分为U检验用正态分布t检验用t分布检验用分布

例2的检验，拒绝域取在两侧，称为双侧检验.

下面看一个单侧检验的例子.有可能它的拒绝域取在一侧，称为单侧检验例3

某织物强力指标X的均值=21公斤.改进工艺后生产一批织物，今从中取30件，测得=21.55公斤.假设强力指标服从正态分布且已知=1.2公斤，问在显著性水平=0.01下，新生产织物比过去的织物强力是否有提高?解:提出假设:取统计量否定域为W:=2.33

是一小概率事件代入=1.2,n=30，并由样本值计算得统计量U的实测值U=2.51>2.33故拒绝原假设H0.落入否定域解:提出假设:取统计量否定域为W:=2.33

此时可能犯第一类错误，犯错误的概率不超过0.01.

例4

为比较两台自动机床的精度，分别取容量为10和8的两个样本，测量某个指标的尺寸(假定服从正态分布)，得到下列结果：在=0.1时，问这两台机床是否有同样的精度?车床甲：1.08,1.10,1.12,1.14,1.15,1.25,1.36,1.38,1.40,1.42车床乙：1.11,1.12,1.18,1.22,1.33,1.35,1.36,1.38解:设两台自动机床的方差分别为在=0.1下检验假设:其中为两样本的样本方差取统计量否定域为W:或由样本值可计算得F的实测值为:查表得由于0.304<1.51<3.68，故接受H0

.否定域为W:或F=1.51这时可能犯第二类错误.

注意：我们讨论的是正态总体均值和方差的假设检验，或样本容量较大，可用正态近似的情形.

下面我们对本节内容作简单小结.

提出假设

根据统计调查的目的,提出原假设H0

和备选假设H1作出决策抽取样本检验假设

对差异进行定量的分析，确定其性质(是随机误差还是系统误差.为给出两者界限，找一检验统计量T，在H0成立下其分布已知.）拒绝还是不能拒绝H0显著性水平P(TW)=-----犯第一类错误的概率，W为拒绝域总结在大样本的条件下，若能求得检验统计量的极限分布，依据它去决定临界值C.F检验用F分布一般说来，按照检验所用的统计量的分布,分为U检验用正态分布t检验用t分布检验用分布

按照对立假设的提法，分为单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧.双侧检验，它的拒绝域取在两侧;§3.2正态总体参数的假设检验一、均值的检验二、方差的检验设总体关于参数检验有检验方法见:

P204页一、一个正态总体(一)、均值检验选取检验统计量：拒绝域选取检验统计量：拒绝域选取检验统计量：拒绝域选取检验统计量：拒绝域选取检验统计量：拒绝域选取检验统计量：拒绝域(二)、方差检验选取检验统计量：拒绝域选取检验统计量：拒绝域选取检验统计量：拒绝域选取检验统计量：拒绝域选取检验统计量：拒绝域选取检验统计量：拒绝域三、两个正态总体参数的假设检验(一)、均值差的检验(二)、方差比的检验例设某包装食盐的机器正常工作时每袋食盐的标准重量为500克，标准差不得超过10克，某天开工后从包装好的食盐中随机抽取9袋，测得其净重如下（单位：克）497,507,510,475,484,488,524,491,515.问此时包装机工作是否正常?解选取检验统计量：拒绝域接受H10,认为包装的平均重量合乎要求.例设某包装食盐的机器正常工作时每袋食盐的标准重量为500克，标准差不得超过10克，某天开工后从包装好的食盐中随机抽取9袋，测得其净重如下（单位：克）497,507,510,475,484,488,524,491,515.问此时包装机工作是否正常?解选取检验统计量：拒绝域拒绝H20,认为包装的重量方差超出要求.综合之：平均重量没有系统误差，但方差太大，此时包装机工作不太正常。例设某包装食盐的机器正常工作时每袋食盐的标准重量为500克，标准差不得超过10克，某天开工后从包装好的食盐中随机抽取9袋，测得其净重如下（单位：克）497,507,510,475,484,488,524,491,515.问此时包装机工作是否正常?解选取检验统计量：拒绝域§3.3非参数假设检验方法一、

2拟合优度检验二、柯尔莫哥洛夫三、斯米尔诺夫检验四、独立性检验

在前面的课程中，我们已经了解了假设检验的基本思想，并讨论了当总体分布为正态时，关于其中未知参数的假设检验问题.

然而可能遇到这样的情形，总体服从何种理论分布并不知道，要求我们直接对总体分布形式提出种种假设，然后利用样本信息对假设进行检验。在统计学中把不依赖于分布形式的统计方法称为非参数统计。对总体的分布形式的检验就是非参数检验。

例如，从1500到1931年的432年间，每年爆发战争的次数可以看作一个随机变量，椐统计，这432年间共爆发了299次战争，具体数据如下:战争次数X01234

22314248154发生X次战争的年数

在概率论中，大家对泊松分布产生的一般条件已有所了解，容易想到，每年爆发战争的次数，可以用一个泊松随机变量来近似描述.也就是说，我们可以假设每年爆发战争次数分布X近似泊松分布.现在的问题是：上面的数据能否证实X

具有泊松分布的假设是正确的？

又如，某钟表厂对生产的钟进行精确性检查，抽取100个钟作试验，拨准后隔24小时以后进行检查，将每个钟的误差（快或慢）按秒记录下来.问该厂生产的钟的误差是否服从正态分布？

再如，某工厂制造一批骰子，声称它是均匀的.

为检验骰子是否均匀，要把骰子实地投掷若干次，统计各点出现的频率与1/6的差距.也就是说，在投掷中，出现1点，2点，…，6点的概率都应是1/6.问题是：得到的数据能否说明“骰子均匀”的假设是可信的？

本章只介绍

2拟合优度检验、柯尔莫哥洛夫以及斯米尔诺夫检验、独立性检验方法。除此还有：符号检验、游程检验、秩和检验等等。K.皮尔逊

这是一项很重要的工作，不少人把它视为近代统计学的开端.

解决这类问题的工具是英国统计学家K.皮尔逊在1900年发表的一篇文章中引进的所谓

2检验法.

2检验法是在总体X的分布未知时，根据来自总体的样本，检验关于总体分布的假设的一种检验方法一、

2拟合优度检验适用范围广：一个离散、连续、正态总体都适用。1、多项分布的

2检法离散总体对一次抽样来说，现在对总体X进行假设，即对X的分布律进行假设由于频率是概率的近似表现，那么当容量n较大时，类似于以前的检验方法，取一个标准化的度量。为此在1900年，英国统计学家KarlPearson首先提出从该统计量直观上判断有，

另外，用该统计量对总体分布律进行检验，还必须知道其分布。Pearson给出了其渐近分布。定理1由此可以建立H0的拒绝域

只要给定一组样本观察值，代入检验统计量计算后，就能得出结论。例1

某商场为了研究顾客对一类商品的某三种品牌商品的喜好比例，以便为下次进货提供较科学的依据。现随机观察购买此商品的150名顾客，并记录下其所买的品牌，统计人数如下：品牌甲乙丙所购买的人数615336

依据这些数据，是否可以断定顾客对此三种品牌的商品喜好确实存在着显著的差异？(

=0.05)解若对此三种品牌的商品喜好确实不存在着显著的差异就意味着，对三种品牌的商品喜好比例p1,p2,p3相等。此是m=3，n1

=61，n2=53，n3

=36，n=150由于6.52>5.991故有理由拒绝H0认为顾客对此三种品牌的商品喜好确实存在着显著的差异.例264只某种杂交的几内亚猪的后代，其中34只红色，10只黑色，20只白色，根据遗传模型，它们之间的比例应为9:3:4，问以上数据在0.05的水平下体现的与遗传模型是否吻合。解若基本吻合，则p1=9/16，p2=3/16，p3=4/16此是m=3，n1

=34，n2=10，n3

=20，n=64认为基本吻合若X的分布函数F(x)的具有明确表达式F0(x)，不含未知参数。根据样本信息推断X的分布函数是否为F0(x).第一步：第二步：采用分组离散化方法计算例3

验证一枚骰子是否均匀。电话号码的数字出现的概率等等问题。第三步：记数第四步：检验其中m为分组数H0的拒绝域为一般有n>50，npi>5最好npi>10，否则应重新分组。使得npi>5最好npi>10.例4

在一个暗盒中存放有白色与黑色两色乒乓球，问该盒中的白、黑球的个数是否相等？为此作以下试验，用不返回抽取发式从此盒中取球，直到取出的球是白色球为止，并记录下抽取的次数。共重复独立试验了100次，结果如下：抽取次数X12345试验累计数43311565解若两色球个数相等，则每次取到白球的概率为1/2以抽取次数X为考查对象，则X服从几何分布，即计算得此是m=5,n1

=43,n2=31,n3

=15,n4

=6,n5=5，n=100计算有结论：接受H0(3)若X的分布函数F(x)的具有明确表达式F0(x;

)，但含r个未知参数。根据样本信息推断X的分布函数是否为F0(x).第一步：由样本进行参数的点估计后，将参数估计值代入分布函数中，使得分布函数成为已知函数F0(x;

)。第二步：仿造情形(2)分组离散。令第三步：其中m为分组数，r为分布函数中待估参数数.一般有n>50，npi>5最好npi>10，否则应重新分组。使得npi>5最好npi>10.

让我们回到检验每年爆发战争次数分布是否服从泊松分布.按参数为

=0.69的泊松分布，计算事件X=i的概率pi

，将有关计算结果列表如下:pi的估计是根据观察结果，得参数

的极大似然估计为假设H0:X～P(

)=0.69，i=0,1,2,3,4定理2（R.A.Fisher）第四步：检验H0的拒绝域为因H0所假设的理论分布中有一个未知参数，0.1830.3760.2511.623战争次数实测频数x01234fi

22314248154pi0.580.310.180.010.02npi216.7149.551.612.02.16

14.162.43<5的要合并，即将发生3次及4次战争的组归并为一组.按

=0.05，自由度为4-1-1=2查

2分布表得故认为每年发生战争的次数X服从参数为0.69的泊松分布.

2=2.43<5.991，由于统计量的实测值未落入否定域.

奥地利生物学家孟德尔进行了长达八年之久的豌豆杂交试验，并根据试验结果，运用他的数理知识，发现了遗传的基本规律.

在此，我们以遗传学上的一项伟大发现为例，说明统计方法在研究自然界和人类社会的规律性时，是起着积极的、主动的作用.孟德尔子二代子一代…黄色纯系…绿色纯系

由于随机性，观察结果与3:1总有些差距，因此有必要去考察某一大小的差异是否已构成否定3:1理论的充分根据，这就是如下的检验问题.这里，n=70+27=97,k=2,检验孟德尔的3:1理论:假设H0:p1=3/4,p2=1/4

H1:p1=3/4,p2=1/4至少一不成立理论频数为：

np1=72.75,np2=24.25实测频数为70，27.他的一组观察结果为：黄70，绿27近似为2.59:1，与理论值相近.

根据他的理论，子二代中,黄、绿之比近似为3:1，由于统计量

2的实测值统计量自由度为m-1=1

2=0.4158<3.841，按

=0.05，自由度为1，查

2分布表得

20.05(1)=3.841未落入否定域.故认为试验结果符合孟德尔的3:1理论.

这些试验及其它一些试验，都显示孟德尔的3:1理论与实际是符合的.这本身就是统计方法在科学中的一项重要应用.用于客观地评价理论上的某个结论是否与观察结果相符，以作为该理论是否站得住脚的印证.例5

某种动物的后代按体格的属性分为三类，据观察某一群此类动物其中各类的数目分别为10,53,46.按照遗传模型其各类的频率应为p2:2p(1-p):(1-p)2，问这些数据是否与此模型相吻合。在

=0.05的显著性水平。解(1)用最大似然估计法估计参数p.例5

某种动物的后代按体格的属性分为三类，据观察某一群此类动物其中各类的数目分别为10,53,46.按照遗传模型其各类的频率应为p2:2p(1-p):(1-p)2，问这些数据是否与此模型相吻合。在

=0.05的显著性水平。解(1)用最大似然估计法估计参数p(2)计算(3)假设(4)计算

20.40614.440548.5595二0.1024-2.221648.2216三0.40292.218912.2189一类别例5

某种动物的后代按体格的属性分为三类，据观察某一群此类动物其中各类的数目分别为10,53,46.按照遗传模型其各类的频率应为p2:2p(1-p):(1-p)2，问这些数据是否与此模型相吻合。在

=0.05的显著性水平。解(1)用最大似然估计法估计参数p.(2)计算(3)假设(4)计算

2(5)H0的拒绝域(6)结论接受H0，认为此数据基本符合模型的。(4)

2拟合优度检验法的特点1)适用面广，离散和连续总体均可以使用，是考察实测频率与理论频率的差异。2)此法从本质上看，只是检验了理论分布函数的而未真正检验然而虽然样本与分组情况都具有随机性，但是当分布函数较为光滑时，即使F(x)与F0(x)有差异，也不应该太大。故此法虽有误差，但是常用的方法之一。3)

2拟合优度检验法依赖于区间的划分，即依赖与分组情况。即使，但若恰好在分组点处的两函数值相差不大，即便H0是不真，但

2的检验统计值不改变。从而

2拟合优度检验法的精度不高，容易范取伪错误。二、柯尔莫哥洛夫检验

为了进一步提高精度，柯尔莫哥洛夫针对一个总体的分布函数，在采用分组离散化后利用经验分布函数的性质的方法，较完整的考察了经验分布函数Fn(x)与理论分布函数F(x)的差异。提高了检验的精度。但假定分布函数是连续的。设总体X的分布函数F(x)连续，故可以选用定理3设分布函数F(x)连续，则定理4设分布函数F(x)连续，则1、选用Dn为检验统计量，假设H0的拒绝域为:2、当n>40或100时，可得一近似求Dn,

值方法假设H0的拒绝域仍为:即此种方法虽较精确，但计算量较大。例6

某林区中，随机抽取340株树木组成的样本，测其胸径，经整理后数据统计如下：胸径分组(cm)10~1414~1818~2222~2626~3030~3434~3838~4242~46组间值121620242832364944株数41134761126622105试用柯尔莫哥洛夫检验法检验该林区的树木胸径是否服从正态分布(=0.05)解(1)解组号分组值频率组上限标准化经验函数理论函数110~140.011814-2.23880.01180.01260.0008214~180.03218-1.67980.04380.04650.0027318~220.10022-0.98070.14380.16350.0197422~260.223526-0.28170.36730.38970.0224526~300.3294300.41730.69670.66280.0339630~340.1941341.11640.89060.86860.022734~380.0647381.81540.95550.96560.0101838~420.0294422.51440.98450.99400.0095942~460.0151463.21341.00000.99930.0007(4)求(5)检验接受H0

柯尔莫哥洛夫检验法，除了分布检验外，还可以用来未知分布函数F(x)进行区域估计。实际有xyo

§3基本概念与抽样分布一、基本概念二、统计量三、抽样分布四、抽样分布定理五、分位点一、基本概念1.总体总体中每个成员称为个体.一个统计问题总有它明确的研究对象.研究对象的全体称为总体(母体)，…研究某批灯泡的质量总体

然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况.这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体.某批灯泡的寿命该批灯泡寿命的全体就是总体国产轿车每公里的耗油量国产轿车每公里耗油量的全体就是总体

由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出现也带有随机性.从而可以把这种数量指标看作一个随机变量，因此随机变量的分布就是该数量指标在总体中的分布.这样总体就可以用一个随机变量及其分布来描述.统计中，总体这个概念的要旨是：

总体就是一个随机变(向)量或其概率分布.数理统计研究的内容：总体相应随机变(向)量的概率分布及数字特征.

为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为“抽样”，所抽取的部分个体称为样本.样本中所包含的个体数目称为样本容量.2.样本从国产轿车中抽5辆进行耗油量试验样本容量为5(1).抽样、样本、样本值

但是，一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数

(X1,X2,…,Xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值.

样本是随机变量.抽到哪5辆是随机的容量为n的样本可以看作n维随机向量.样本具有两重性：10.随机性样本(X1,X2,…,Xn)本身是随机向量。20.相对确定性经过一次抽样否，样本(X1,X2,…,Xn)又是一组确定的样本值(x1,x2,…,xn)。

由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法.

最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”，它要求抽取的样本满足下面三点:10.随机性：X1,X2,…,Xn每个结果等可能被抽取。20.代表性：X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体有相同的分布；30.独立性：X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量,每个样本值互不干扰。(2).简单随机样本

由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本，它可以用与总体独立同分布的n个随机变量X1,X2,…,Xn表示.

简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样本”时，若不特别说明，就指简单随机样本.

数学定义：

n个随机变量X1,X2,…,Xn独立同分布(X与同分布)，则称(X1,X2,…,Xn)来自总体X的容量为n的简单随机样本，简称为样本.

事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值.如我们从某班大学生中抽取10人测量身高，得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本.我们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量.3.总体、样本、样本值的关系总体（理论分布）？样本

样本值

统计是从手中已有的资料--样本值，去推断总体的情况---总体分布F(x)的性质.

总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体.样本是联系二者的桥梁实际上，样本的分布与总体分布的关系如下

定理1.若总体的分布函数为F(x)，则其简单随机样本的联合分布函数为

由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来.二、统计量1.定义

设(X1,X2,…,Xn)为总体X的一个样本,f(X1,X2,…,Xn)是一个不含任何有关总体分布未知参数的函数，称为此总体的一个统计量，它是完全由样本决定的量.

统计量实际上也是一个随机变量，它是一个随机向量的函数。是统计量.不是统计量.统计量的两重性(1).统计量f(X1,X2,…,Xn)本身是随机向量,他有确定的概率分布－抽样分布。(2).经过一次抽样否，f(X1,X2,…,Xn)又是由样本值(x1,x2,…,xn)确定的一个统计值。样本k－阶原点矩样本k－阶中心矩

k=1,2,…它反映了总体k阶矩的信息它反映了总体k阶中心矩的信息2.常用的统计量（样本矩）(1).定义它们均是随机变量样本均值样本方差它反映了总体均值的信息它反映了总体方差的信息k=1时，A1称为样本均值k=2时，B2称为样本方差更加常用简称为样本方差(2).矩的性质性质1.由大数定律可知

大样本条件下，一次抽样后样本均值、方差可作为总体的均值、方差的近似。

一般地，抽样分为大样本和小样本问题。性质2.证推论证3.次序统计量(1).定义

即：X(k)的取值x(k)为(x(1),…,x(n))按从小到大的次序重新排列后第k个位置的数，(2).最小、最大的分布另外，(X(1),X(2),…,X(n))联合密度(3).中位数、样本极差中位数样本极差次序统计量、中位数、样本极差都是统计量。极差可以反映样本值变化的程度或离散程度。

例1.用Excel计算下列样本中位数、均值、方差、标准差、极差.解4.经验分布函数(1).定义当给定次序统计量的一组值定义对

称Fn(x)为总体X的经验分布函数。为样本值不超过x的频率。经验分布函数Fn(x)从样本直观得到描述性分布.样本直方图可以描述.(2).经验分布函数的性质10.具有通常分布函数的三个性质,图形呈跳跃上升；20.Fn(x)是一个随机变量；30.经验分布函数Fn(x)与总体分布函数F(x)的关系格列汶科(Glivenko)定理：三、抽样分布

统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做统计量的“抽样分布”

.

抽样分布精确抽样分布渐近分布(小样本问题中使用)(大样本问题中使用)

抽样分布是由一个统计量(随机变量函数)的分布.研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质.

由实际问题与中心极限定理可知，讨论正态总体的样本统计量的分布非常必要。1.正态总体X与样本线性函数的分布(1)总体X～(2)(X1,…,Xn)来自总体X～设X1,…,Xn～N(0,1)且相互独立,则称随机变量：是由正态分布派生出来的一种分布.(1).定义所服从的分布为自由度为

n

的n为独立随机正态变量的个数,也称为其中Γ(x)为伽玛(Gamma)函数具有如下性质：可由数归法得到10.

设X1,…,Xn～则E(X)=n,D(X)=2n由定义知E(Xi)=0,D(Xi)=1=n30.

2变量的可加性要用到独立随机变量和的卷积公式和Γ(x)

的性质。=2n更一般地有柯赫伦(Cochran)分解定理：设X1,…,Xn～N(0,1)且相互独立,其在方差分析中有很重要的作用。应用Lindeberg中心极限定理可得：40.极限分布记为T～t(n).

设X～N(0,1),Y～

2(n),且相互独立，则称随机变量所服从的分布为自由度为n的t分布，也称为t变量.3.t－分布(1).定义:(2).T变量的密度函数为：10.T～t(n)为具有自由度为n的t分布的随机变量，则T的数字特征具有如下性质：当

n=1时，

T～t(n)实际上是柯西分布，任何阶矩均不存在；(3).T变量的性质：当n>2，

E(T)=0;D(T)=n/(n-2)

.

且有事实上

当n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形.t分布的密度函数关于x=0对称，是偶函数，且应用Γ函数的性质及司特林(Stirling)公式得：30.极限分布

当n充分大时，t分布近似N

(0,1)分布.但对于较小的n，t分布与N(0,1)分布相差很大.由定义可见，服从自由度为n1及n2

的F－分布，n1称为第一自由度，n2称为第二自由度，记作F～F(n1,n2).～F(n2,n1)4.F－分布(1).定义也称为F变量EX不依赖于第一自由度n1.10.若X~F(n1,n2)，X的数学特征:若n2>2(2).若X~F(n1,n2)，X的概率密度为(3).F变量的性质20.若n1=1时，F～F(1,n2)=t2(n2).30.极限分布若X~F(n1,n2)，n2>4，则40.分解定理：设X1,…,Xn～N(0,σ2)且相互独立,

是柯赫伦(Cochran)分解定理的具体应用，它也在方差分析中有重要作用。四、抽样分布定理

当总体为正态分布时，我们简单地叙述几个抽样分布定理.1.一个正态总体X～设X1,X2,…,Xn是来自总体X～(1).定理1.(样本均值的分布)n取不同值时样本均值的分布n取不同值时的分布(2).定理2(样本方差的分布)则有X1,X2,…,Xn是来自总体X～又相互独立30.的说明2.两个正态总体

情形定理3.或也有或或

统计四大分布的定义、基本性质以及上述抽样分布定理在后面的学习中经常用到，要理解，牢记！！

下面给出概率分布的上侧分位数(分位点)的定义，它在计算统计查表时经常使用.五、分位点1.定义设X是随机变量，对

(0,1)，若存在x

使则称x

是X(概率分布)的

－上侧分位点.特别地；(1).正态分布查表P355页表1.查表P362页表4.(3).T～t(n)学生氏分布查表P360页表3.(4).F~F(m,n)查表P366页表5.例1解例2解第二章参数估计一、点估计量的求法二、估计量的评判标准三、区间估计

引言

上一讲，我们介绍了总体、样本、简单随机样本、统计量和抽样分布的概念，介绍了统计中常用的三大分布，给出了几个重要的抽样分布定理.它们是进一步学习统计推断的基础.总体样本统计量描述作出推断研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质.随机抽样现在我们来介绍一类重要的统计推断问题

参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数.

参数估计估计废品率估计新生儿的体重估计湖中鱼数……估计降雨量

在参数估计问题中，假定总体分布形式已知，未知的仅仅是一个或几个参数.这类问题称为参数估计.参数估计问题的一般提法现从该总体抽样，得样本X1,X2,…,Xn,设有一个统计总体，总体的分布函数为其中

为未知参数(

也可以是向量).的某个已知函数.参数估计点估计区间估计要依据该样本对参数

作出估计，或

估计

。假如我们要估计某队男生的平均身高.设这5个数是:1.651.671.681.781.69这是点估计.这是区间估计.

现从该总体选取容量为5的样本，我们的任务是要根据选出的样本（5个数）求出总体均值的估计.而全部信息就由这5个数组成.(假定身高服从正态分布)估计为1.68，估计在区间[1.57,1.84]内，§2.1点估计量的求法一、基本问题二、矩估计法三、最大似然估计法四、用次序统计量估计参数的方法一、点估计的基本问题例如

已知某地区新生婴儿的体重随机抽查100个婴儿…得100个体重数据10,7,6,6.5,5,5.2,

…据此,我们应如何估计而全部信息就由这100个数组成.1.定义设总体X

(1).X的分布形式已知；如其分布函数(2).X的分布形式未知，这类问题称为参数的点估计问题.它属于非参数统计方法的范畴.见P21例1、2、32.点估计法的基本方法(1).目的：设法构造出适当的样本的函数，即统计量使其能在某种意义下对参数(2).估计量、估计值构造出的统计量把具体样本值代入得注意:

参数未知，而估计量(X1,X2,…Xn)是样本的函数,是一个随机变量，当样本取定后，可得到的一个估计值.3.方法(1).矩估计法；(2).最大似然估计法；(3).次序统计量法；(4).最小二乘法;(5).贝叶斯方法.基本粗糙注意:

由于具体的样本值(x1,x2,…xn)的不同，

估计值也不尽相同，故参数

的点估计问题主要是寻找未知参数

的估计量

(X1,X2,…Xn)的方法，而不是具体的求

的一个估计值.二、矩估计法

它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法.

是英国统计学家K.皮尔逊于1894年最早提出的.

其基本思想是用样本矩估计总体矩

.理论依据:大数定律或格列汶科定理(见教材第8页).

用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法,就称为矩估计法.具体方法：设从中解得：设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，若其中

>0,求

的矩估计.

例1解:样本矩总体矩令解得矩估计量设总体X～U[a，b]，求a，b的矩估计量。例2解X的概率密度为解:令样本矩从中解得即得参数

的矩估计量.例3

设总体X的概率密度为求参数

的矩估计.总体矩解:由随机变量的期望公式知设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本

>1,求

的矩估计.

例4设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本

>1,求

的矩估计.

例4解:设某批灯泡的寿命从中抽取4只进行寿命试验，测得

例5解:样本矩总体矩令解得矩估计量1502，1453，1367，1650.(1)求估计量(2).求估计值=1493;

(102.7)2.小结参数有两种情形第一类：总体的均值和方差，总体的具体分布不一定要已知。但要存在矩。一般地设第二类：总体具体分布中的参数估计，总体的具体分布一定要已知，也要存在矩.

矩法的优点是简单易行,并不需要事先知道总体是什么分布.

缺点是，当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息.一般场合下,矩估计量不具有唯一性.

其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性.三、最大似然法

是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法.

它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的,

然而，这个方法常归功于英国统计学家费歇

.GaussFisher费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质.先看一个简单例子：某位同学与一位猎人一起外出打猎，是谁打中的呢？如果要你推测，你会如何想呢?1.最大似然法的基本思想一只野兔从前方窜过.只听一声枪响，野兔应声倒下.

下面我们再看一个例子,进一步体会最大似然法的基本思想.

你就会想，只发一枪便打中,猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率.看来这一枪是猎人射中的.

这个例子所作的推断已经体现了最大似然法的基本思想，最大概率事件最有可能出现.设X~B(1,p),p未知.设想我们事先知道p只有两种可能:问:应如何估计p?p=0.7或p=0.3如今重复试验3次,得结果:0,0,0由概率论的知识,3次试验中出现“1”的次数k=0,1,2,3例6应如何估计p?将计算结果列表如下：p值 P(Y=0)P(Y=1)P(Y=2)P(Y=3)0.7 0.0270.189 0.441 0.3430.3 0.3430.441 0.189 0.027 出现估计出现出现出现估计估计估计0.3430.4410.4410.343结论：k=0,1时，p=0.3，k=2,3时，p=0.7.p=0.7或p=0.3如果有p1,p2,…,pm可供选择,又如何合理地选p呢?从中选取使Qi最大的pi作为p的估计.i=1,2,…,m则估计参数p为

若重复进行试验n次,结果“1”出现k次(0≤k≤n),

我们计算一切可能的

P(Y=k;pi

)=Qi

，

i=1,2,…,m时Qi

最大,比方说,当若只知道0<p<1,并且实测记录是Y=k(0≤k≤n),又应如何估计p呢?注意到是p的函数,可用求导的方法找到使f(p)达到极大值的p.但因f(p)与lnf(p)达到极大值的自变量相同,故问题可转化为求lnf(p)的极大值点.=f(p)将lnf(p)对p求导并令其为0,这时,对一切0<p<1,均有从中解得=0便得

p(n-k)=k(1-p)则估计参数p为

以上这种选择一个参数使得实验结果具有最大概率的思想就是极大似然法的基本思想.2.最大似然估计原理：3.最大似然估计（MLE）一般步骤：(2).构造似然函数(1).导出样本的联合密度(连续型）或联合概率函数(离散型)为f(X1,X2,…Xn;

).L(

)=f(X1,X2,…Xn;

)(3).求似然函数的最大值利用y=lnx的单调性，L(

)

与lnL(

)

同时达到最大，问题常常转化为求lnL(

)

的最值.

设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，建立并解似然方程组：得到注意：用上述求导方法求参数的MLE有时行不通，这时要用最大似然原则来求.(4).在最大值点的表达式中,用样本值代入就得参数的极大似然估计值.lnL(

)=lnf(X1,X2,…Xn;

)下面举例说明如何求最大似然估计（MLE

）例7设X1,X2,…Xn是取自总体X~B(1,p)的一个样本，求参数p的MLE.解：L(p)=f(X1,X2,…Xn;p)似然函数为:解似然方程即为p

的MLE为设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，若其中

>0,求

的MLE.

例8解L(p)=f(X1,X2,…Xn;p)似然函数为:解似然方程令得即的MLE设X1,X2,…Xn是取自正态总体X的一个样本，

例9解：似然函数为解似然方程得设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本

>1,求

的极大似然估计量.

例10解：似然函数为设(x1,x2,…xn)是样本(X1,X2,…Xn)的一组观察值似然函数求对数建立似然方程组解得设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，例11其中

>0,求的MLE.解：似然函数为i=1,2,…,n似然函数求对数建立似然方程组只能解得用求导方法无法最终确定的MLE，用最大似然原则来求.于是由于故使L达到最大的,即的MLE是设总体X～U[a，b]，求a，b的MLE。例11解X的概率密度为似然函数为若用求导方法无法最终确定a，b的MLE.用最大似然原则来求设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，例12求的MLE.解：似然函数为令此方程很难解出解析解可用迭代法(牛顿法)求一个数值解.4.未知参数的函数的MLE.定理例13设X1,X2,…Xn是取自正态总体X的一个样本，解由于故例14一罐中装有白球和黑球，有放回地抽取一个容量为n的样本，其中有

k

个白球，求罐中黑球与白球之比R

的MLE.解:设X1,X2,…,Xn为所取样本，则X1,X2,…,Xn是取自B(1,p)的样本，p是每次抽取时取到白球的概率，p未知.在前面例6中,我们已求得先求p的MLE:由前述定理不难求得的MLE：我们用最大似然法估计湖中的鱼数例15为了估计湖中的鱼数N，第一次捕上r条鱼，做上记号后放回.隔一段时间后,再捕出S条鱼,结果发现这S条鱼中有k条标有记号.根据这个信息，如何估计湖中的鱼数呢？根据概率论的知识有，第二次捕出的有记号的鱼数X是r.v,而且X具有超几何分布：把上式右端看作N的函数，记作L(N;k).应取使L(N;k)达到最大的N，作为N的MLE.但用对N求导的方法相当困难,我们考虑比值：经过简单的计算知，这个比值大于或小于1，是这就是说，当N增大时，序列P(X=k;N)先是上升而后下降;当时,达到最大值.故N的MLE为：四、次序统计量法是一种精度不高，计算简单的估计方法.1.基本原理适当的作一些修正.2.正态总体的中位数与极差的性质设X1,X2,…Xn是取自总体

的一个样本，定理尽管这样修正后,结果会理想些,但从表2.1中看出：进一步可以分组进行，n取每组数据的个数。例16某维尼纶厂20天内生产正常，随机抽样得20个纤维度数值如下：1.36，1.49，1.43，1.41，1.37，1.40，1.32，1.42，1.47，1.39，1.41，1.36，1.40，1.34，1.42，1.42，1.45，1.35，1.42，1.39假设纤维度服从正态分布，试估计解用样本中位数由于n>10,可分4为组，则n取5.§2.2统计量的评判标准一、无偏估计二、最小方差无偏估计与有效估计三、一致估计四、充分性与完备性

前面已经介绍了几种得到参数估计量的方法，若采用不同方法得到的估计量也不尽相同，所得出的估计值也可能不同。这就需要讨论以下几个问题:(1)我们希望一个“好的”估计量具有什么特性？(2)怎样决定一个估计量是否比另一个估计量“好”？(3)如何求得合理的估计量？那么要问:究竟采用哪个估计是好的。我们必须指出：

评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试验的结果，而必须由多次试验结果来衡量.这是因为估计量是样本的函数，是个随机