2023年中考数学探究性试题复习15 四边形【含答案】

2023年中考数学探究性试题复习15四边形一、综合题1．定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边(不重复)相等的四边形叫做“准菱形”．如图①，在四边形ABCD中，若∠A=∠C=90°，则四边形ABCD是“准矩形”；如图②，在四边形ABCD中，若AB=AD，BC=DC，则四边形ABCD是“准菱形”．（1）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C在格点(小正方形的顶点)上，请分别在图③、图④中画出“准矩形”ABCD和“准菱形”ABCD'.(要求：D、D'在格点上)；（2）下列说法正确的有；(填写所有正确结论的序号)①一组对边平行的“准矩形”是矩形；②一组对边相等的“准矩形”是矩形；③一组对边相等的“准菱形”是菱形；④一组对边平行的“准菱形”是菱形．（3）如图⑤，在△ABC中，∠ABC=90°，以AC为一边向外作“准菱形”ACEF，且AC=EC，AF=EF，AE、CF交于点D．①若∠ACE=∠AFE，求证：“准菱形”ACEF是菱形；②在①的条件下，连接BD，若BD=2，∠ACB=15°，∠ACD=30°，求四边形ACEF2．如图：（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF=45°，求证：EF=DF+BE．小明发现，当把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且∠EAF=45°，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF，BE，DF之间的数量关系（不要求证明）②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且∠EAF=45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是（不要求证明）（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE=35，求AF3．综合与实践问题情境：如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE（1）猜想证明：试判断四边形BE（2）如图②，若DA=DE，请猜想线段CF与FE（3）解决问题：如图①，若AB=15，CF=3，请直接写出4．（1）【实验】如图①，点O为线段MN的中点，线段PQ与MN相交于点O，当OP=OQ时，四边形PMQN的形状为；A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形其理论依据是．（2）【探究】如图②，在平行四边形ABCD中，点E是BC中点，过点E作AE的垂线交边CD于点F，连接AF，试猜想AB，AF，CF三条线段之间的数量关系，并给予证明．（3）【应用】如图③，在△ABC中，点D为BC的中点，若∠BAD=90°，AD=2，AC=19，求△ABC5．如图（1）【感知】如图①，将▱ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD边上的点F处，得到折痕DE，连结EF．若AD=4，则四边形AEFD的周长为．（2）【探究】如图②，将四边形AEGD沿GE折叠，点A、D的对应点分别为A′、D′，点A′求证：四边形AEA（3）若AB=6，CB=3，∠B=120°，CA′=1，则△6．综合与探究在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处．（1）如图①，若BC=2BA，求∠CBE的度数；（2）如图②，当AB=5，且AF⋅FD=10时，求EF的长；（3）如图③，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，请直接写出ABBC7．通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形ABCD中，CE⊥DF，则CE=DF”．某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：（1）【问题探究】如图2，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH，试猜想EGFH=（2）【知识迁移】如图3，在矩形ABCD中，AB=m，BC=n，点E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH，试猜想EGFH（3）【拓展应用】如图4，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ABC=60°，AB=BC，点E，F分别在线段AB，AD上，且CE⊥BF，求CEBF8．某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：（1）发现问题：如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，点M是边BC上任意一点，连接AM，以AM为腰作等腰△AMN，使AM=AN，∠MAN=∠BAC，连接CN．求证：∠ACN=∠ABM．（2）类比探究：如图2，在等腰△ABC中，∠B=30°，AB=BC，AC=8，点M是边BC上任意一点，以AM为腰作等腰△AMN，使AM=MN，∠AMN=∠B．在点M运动过程中，AN是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，以DE为边作正方形DEFG，H是正方形DEFG的中心，连接CH．若正方形DEFG的边长为8，CH=32，求△CDH9．如图（1）【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是；（2）如图2，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，连接DG、BE.判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）【拓展提升】如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG+BE的最小值为.10．【背景】如图1，矩形ABCD中，AB=43，AB<AD，M、N分别是AB、CD的中点，折叠矩形ABCD使点A落在MN上的点K处，折痕为BP（1）【操作】用直尺和圆规在图1中的AD边上作出点P（不写作法，保留作图痕迹）；（2）【应用】求∠BKM的度数和MK的长；（3）如图2，若点E是直线MN上的一个动点.连接EB，在EB左侧作等边三角形BEF，连接MF，则MF的最小值是；（4）【拓展】如图3，若点E是射线KM上的一个动点.将△BEK沿BE翻折，得△BET，延长CB至Q，使BQ=KE，连接TQ.当△BTQ是直角三角形时，KE的长为多少？请直接写出答案：.11．如图，平行四边形ABCD中，AB=7，BC=10.点P是BC边上的一点，连接AP，以AP为对称轴作△ABP的轴对称图形△AQP（1）动手操作当点Q正好落在AD边上时，在图①中画出△ABP的轴对称图形△AQP，并判断四边形ABPQ的形状是▲；（2）问题解决如图②，当点P是线段BC中点，且CQ=2时，求AP的长；（3）拓展探究如图③，当点P、Q、D在同一直线上，且∠PQC=∠PQA时，求PQ的长.12．（1）【问题探究】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、BC上，且AE⊥DF，求证：AE=DF.（2）【知识迁移】如图2，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E在边AD上，点M、N分别在边AB、CD上，且BE⊥MN，求BEMN（3）【拓展应用】如图3，在平行四边形ABCD中，AB=m，BC=n，点E、F分别在边AD、BC上，点M、N分别在边AB、CD上，当∠EFC与∠MNC的度数之间满足什么数量关系时，有EFMN13．在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究.如图（1），在菱形ABCD中，∠B为锐角，E为BC中点，连接DE，将菱形ABCD沿DE折叠，得到四边形A′B′ED，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′.（1）【观察发现】A′D与B′E的位置关系是；（2）【思考表达】连接B′C，判断∠DEC与（3）如图（2），延长DC交A′B′于点G，连接EG（4）【综合运用】如图（3），当∠B=60°时，连接B′C，延长DC交A′B′于点G，连接EG，请写出B′C14．矩形ABCD中，ABBC＝k（1）【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH．∵k＝2，∴AB＝BC．∵∠B＝90°，BH＝BE，∴∠1＝∠2＝45°，∴∠AHE＝180°-∠1＝135°．∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，∴∠3＝12∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．∴……（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）（2）【类比探究】如图（2），当k≠2时，求AEEF（3）【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，PF=515．【经典回顾】梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法图1是其中一种方法的示意图及部分辅助线．在△ABC中，∠ACB=90°，四边形ADEB、ACHI和BFGC分别是以Rt△ABC的三边为一边的正方形．延长IH和FG，交于点L，连接LC并延长交DE于点J，交AB于点K，延长DA交IL于点M．（1）证明：AD=LC；（2）证明：正方形ACHI的面积等于四边形ACLM的面积；（3）请利用（2）中的结论证明勾股定理．（4）【迁移拓展】如图2，四边形ACHI和BFGC分别是以△ABC的两边为一边的平行四边形，探索在AB下方是否存在平行四边形ADEB，使得该平行四边形的面积等于平行四边形ACHI、BFGC的面积之和．若存在，作出满足条件的平行四边形ADEB（保留适当的作图痕迹）；若不存在，请说明理由．16．综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角△DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；（1）【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．（2）【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．（3）【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB=4时，请你求出△ADP周长的最小值．

答案解析部分1．【答案】（1）解：如图3③所示，四边形ABCD即为所求；如图3④所示，四边形ABCD'即为所求；（2）①②③④（3）解：①证明：在△ACF和△ECF中，AC=ECAF=EFCF=CF，∴∠ACF=∠ECF，∠AFC=∠EFC，∵∠ACE=∠AFE，∴∠ACF=∠EFC，∠ECF=∠AFC，∴AC//EF，AF//CE，∴准菱形ACEF是平行四边形，∵AC=EC，∴准菱形ACEF是菱形；②如图⑤，取AC的中点G，连接BG、DG、BD，∵四边形ACEF是菱形，∴AE⊥CF，∴∠ADC=90°，∠ABC=90°，AG=CG，∴DG=GA=GC=GB，∵∠ACD=30°，∠ACB=15°，∴∠GCD=∠GDC=30°，∠GCB=∠GBC=15°，∴∠AGB=15°×2=30°，∠AGD=30°×2=60°，∴∠BGD=30°+60°=90°，∴△BGD是等腰直角三角形，∴BG=DG=2∴AC=2DG=2，∴AD=1∴CD=3∴菱形ACEF的面积为：122．【答案】（1）解：证明：把ΔABE绕点A顺时针旋转90°至ΔADG，如图1，∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∠B=∠ADG=90°，∴∠ADF+∠ADG=180°，∴F，D，G三点共线，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠FAD=45°，∴∠DAG+∠FAD=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵AF=AF，∴ΔEAF≅ΔGAF(∴EF=FG=DF+DG，∴EF=DF+BE（2）不成立，结论：EF=DF-BE；BE=EF+DF（3）解：由（1）可知AE=AG=35∵正方形ABCD的边长为6，∴DC=BC=AD=6，∴DG=A∴BE=DG=3，∴CE=BC−BE=6−3=3，设DF=x，则EF=FG=x+3，CF=6−x，在Rt△EFC中，∵CF∴(解得：x=2．∴DF=2，∴AF=A3．【答案】（1）解：四边形BE∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴∠AEB=∠CE′B=90°，BE=B又∵∠BEF=90°，∴四边形BEFE又∵BE=BE∴四边形BEFE（2）解：CF=FE如图②所示，过点D作DH⊥AE，垂足为H，则∠DHA=90°，∴∠DAH+∠ADH=90°，∵DA=DE，DH⊥AE，∴AH=1∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠DAB=90°，∴∠DAH+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠ADH，在△AEB和△DHA中，∠AEB=∠DHA∠BAE=∠ADH∴△AEB≌△DHA(AAS)，∴AH=BE，由（1）知四边形BEFE∴BE=E∴AH=E由旋转的性质可得：CE∴FE∴CF=FE∴CF=FE；（3）解：DE=3174．【答案】（1）D；对角线相互平分的四边形是平行四边形（2）解：AF=AB+CF．证明：如下图，延长FE交AB的延长线于H，连接AF，∵四边形ABCD为平行四边形，点E是BC中点，∴AB∥CD，BE=CE，∴∠HBE=∠FCE又∵∠BEH=∠CEF，∴△BEH≌△CEF(∴CF=BH，HE=FE，又∵AE⊥HF，∴AF=AH，∵AH=AB+BH=AB+CF，∴AF=AB+CF；（3）解：如图，作DE∥AB，∴CEAE∵点D为BC的中点，即CD=BD，∴AE=CE，∴DE为△ABC的中位线，∴AE=1∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD=90°，∴在Rt△ADE中，DE=A∴AB=2DE=3∴S△ABD∵△ABD与△ACD等底等高，∴S△ABD∴S△ABC5．【答案】（1）16（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠AEG=∠A∵将四边形AEGD沿GE折叠，点A、D的对应点分别为A′、D′，点A′∴∠AGE=∠A′GE∴∠AGE=∠AEG，∴AE=AG，∴AG=A∴四边形AEA（3）126．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∴BC=BF，∠FBE=∠CBE，∠C=∠BFE=90°，∵BC=2AB，∴BF=2AB，∴∠AFB=30°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CBF=∠AFB=30°，∴∠CBE=1∴∠CBE的度数为15°；（2）解：∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∴∠BFE=∠C=90°，FE=CE，又∵矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠AFB+∠DFE=90°，∠DEF+∠DFE=90°，∴∠AFB=∠DEF，∴△FAB∽△EDF，∴AFDE∴AF⋅DF=AB⋅DE，∵AF⋅DF=10，AB=5，∴DE=2，∴CE=DC−DE=5−2=3，∴EF=EC=3，∴EF的长为3；（3）解：ABBC的值为37．【答案】（1）1（2）解：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，∴AM=HF，AN=EG，在长方形ABCD中，BC=AD，∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°，∵EG⊥FH，∴∠NAM=90°，∴∠BAM=∠DAN，∴△ABM∼△ADN，∴AMAN∵AB=m，BC=AD=n，∴AMAN∴EGFH（3）解：如图所示：过C点作CM⊥AB于点M，设CE交BF于点O，∵CM⊥AB，∴∠CME=90°，∴∠1+∠2=90°，∵CE⊥BF，∴∠BOE=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∴△CME∼△BAF，∴CEBF∵AB=BC，∠ABC=60°，∴CE8．【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠MAN，∴∠BAC−∠MAC=∠MAN−∠MAC，即∠BAM=∠CAN，∵AB=AC，∴△ABM≌△ACN(∴∠ACN=∠ABM．（2）解：AN存在最小值，理由如下：∵AM=MN，AB=BC，∴∠BAC=∠C=12(180°−∠B)∴∠BAC=∠C=∠MAN=∠N，∴△ABC∽△AMN，如图所示，连接CN，过点A作AN′⊥CN延长线于点N′，根据点到直线的垂线段最短可知，当点N与N′重合时，即A∵△ABC∽△AMN，∴AMAB=AN∴∠BAC−∠MAC=∠MAN−∠MAC，即∠BAM=∠CAN，∴△ABM∽△CAN，∴∠ACN=∠B=30°，在Rt△ACH中，∠ACN=30°，AH=1∴AN存在最小值，最小值为4．（3）解：如图所示，连接BD，EH，过H作HQ⊥CD于∵H为正方形DEFG的中心，∴DH=EH，∠DHE=90°，即∵四边形ABCD为正方形，∴BC=CD，∴∠BDE+∠CDE=∠CDH+∠CDE=45°，∴∠BDE=∠CDH，∵BDCD∴△BDE∽△CDH，∴∠DCH=∠DBC=45°，设CE=x，则CD=x+6，∵DE=8，∴由勾股定理得：x2+(x+6)∴CD=23−3+6=23+3，在∴△CDH的面积为129．【答案】（1）DG=BE（2）解：DG=1理由如下：延长BE、GD相交于点H.∵矩形ECGF、矩形ABCD，∴∠ECG=∠BCD=90°，∴∠DCG=∠BCE，∵CD：CB=2：4=1：2，CG：CE=1：2，∴CD：CB=CG：CE，∵∠DCG=∠BCE，∴△DCG∽△BCE，∴DGBE∴DG=∵矩形ECGF∴∠FEC=∠FGC=∠F=90°∴∠HEF+∠BEC=180°-∠FEC=90°，∠FGH+∠DGC=90°，∴∠H=∠F=90°∴DG⊥BE（3）410．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；（2）解：由折叠可知AB=BK=43∵点M，N分别是AB，CD的中点，∴AM=BM，MN⊥AB，∴MK垂直平分AB，∴AK=BK=AB，∴△ABK为等边三角形，∴∠BKA=60°，∴∠BKM=1在Rt△BMK中，MK=BK⋅cos（3）3（4）4或6或8或1211．【答案】（1）解：如图①，△AQP即为所求，；菱形；（2）解：如图②，连接BQ交AP于点E，∵△AQP与△ABP是以AP为对称轴的轴对称图形，由轴对称的性质得，AQ=AB，BP=PQ，∴AP是线段BQ的垂直平分线.∴点E是BQ的中点，∠AEB=∠BEP=90°.又∵点P是BC的中点，∴EP为△BQC的中位线，BP=1∴EP=1在Rt△BEP中，BE=B在Rt△ABE中，AE=A∴AP=AE+EP=1+5=6；（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∵△AQP与△ABP是以AP为对称轴的轴对称图形，∴∠APB=∠APQ，∴∠APQ=∠DAP，∴AD=DP=10，∵∠B=∠AQP=∠PQC=∠ADC，又∵∠ADC=∠ADP+∠PDC，∠PQC=∠PDC+∠DCQ，∴∠ADP=∠DCQ.∵AD∥BC，∴∠ADP=∠DPC，∴∠DCQ=∠DPC.∵∠PDC=∠QDC，∴△PDC∽△CDQ，∴PD即107∴DQ=49∴PQ=PD−DQ=10−4912．【答案】（1）证明：设AE、DF相交于点G，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD，∠ADE=∠C=90°，

∴∠ADG+∠CDG=90°，

∵AE⊥DF，

∴∠AGD=90°

∴∠DAG+∠ADG=90°，

∴∠DAG=∠CDG，

在△ADE和△DCF中，

∠DAG=∠CDGAD=CD∠ADE=∠C

∴△ADE≌△DCF(ASA)，

∴（2）解：过点N作NP⊥AB于点P，BE、MN相交于点H，∴∠BPN=∠MPN=90°，∴∠PMN+∠PNM=90°，∵BE⊥MN，∴∠BHM=90°，∴∠MBH+∠PMN=90°，∴∠MBH=∠PNM，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=∠C=90°，∴∠A=∠MPN，∴∠ABE∽△PNM，∴BE∵∠ABC=∠C=∠BPN=90°，∴四边形BCNP是矩形，∴NP=BC=4，∵AB=3，∴BE（3）解：∠EFC=∠MNC，理由如下：过点E作EK∥AB交BC于点K，过点N作NL∥BC交AB于点L，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABKE、BCNL是平行四边形，∴EK=AB=m，NL=BC=n，∴EK若EFMN则△EFK∽△NML，∴∠FEK=∠MNL，∵EK∥CD，∴∠AEK=∠D，∵AD∥NL，∴∠D=∠CNL，∴∠AEK=∠CNL，∵AD∥BC∴∠EFC=∠AEF=∠AEK+∠FEK=∠CNL+∠MNL=∠MNC.13．【答案】（1）A（2）解：∠DEC=∠B理由：如图，连接B′C，∵E为BC中点，∴EB=EC=EB∴点B、B′、C在以BC∴∠BB∴BB由翻折变换的性质可知BB∴DE∥CB∴∠DEC=∠B（3）解：结论：∠DEG=90°；理由：如图，连接B′C，DB，DB由翻折的性质可知∠BDE=∠B设∠BDE=∠B′DE=x∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADB=∠CDB=∠B′D∴∠A′∴∠DGA∴∠BEB∵EC=EB′，点B、B′∴∠EB∵A′∴∠A∴∠GB∴∠CGA∵∠CGA∴∠GB∴GC=GB′，∵EB′=EC，∴EG⊥CB′，∵DE∥CB′，∴DE⊥EG，∴∠DEG=90°；（4）解：结论：DG理由：如图，延长DG交EB′的延长线于点T，过点D作DR⊥GA′交设GC=GB′=x∵∠B=60°，∴∠A=∠DA∴∠DA∴A′R=A在Rt△DGR中，则有(2a+x)2∴x=4∴GB′=∵TB∴△B∴TB∴T∴TB∵CB∴CB∴DE=7∵∠DEG=90°，∴DG∴DG14．【答案】（1）证明：如图，在BA上截取BH=BE，连接EH．∵k=2，∴AB=BC．∵∠B=90°，BH=BE，∴∠1=∠2=45°，∴∠AHE=180°-∠1=135°，∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，∴∠3=12∴∠ECF=∠3+∠4=135°，∵AE⊥EF，∴∠6+∠AEB=90°，∵∠5+∠AEB=90°，∴∠5=∠6，∵AB=BC，BH=BE，∴AH=EC，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE=EF；（2）解：在BA上截取BH=BE，连接EH．∵∠B=90°，BH=BE，∴∠BHE=∠BEH=45°，∴∠AHE=135°，∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，∴∠DCF=12∴∠ECF=135°，∵AE⊥EF，∴∠FEC+∠AEB=90°，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠FEC，∴△AHE∽△ECF，∴AEEF∵ABBC∴EC=HB=12∴AH=AB-12BC=1∴AEEF（3）解：以A为旋转中心，△ADP绕A点旋转90°到△AP'H，∵k=3，∴ABBC设AB=3a，则BC=2a，∵∠PAE=45°，∴∠P'AP=90°，连接P'E，HE，延长P'H交CD于点G，连接EG，∵AH=AD=2a，∴BH=a，∵E是BC的中点，∴BE=a，∴HE=2a，∠BHE=45°，∴∠P'HE=135°，∵CG=EC=a，∴∠GEC=45°，∴∠PGE=135°，∵AP'=AP，∠PAE=∠P'AE，AE=AE，∴△AEP'≌△AEP（SAS），∴PE=P'E，∴△PEG≌△P'EH（AAS），∴∠PEG=∠P'EH，∵∠HEG=∠EGH=45°，∴∠HEG=90°，∴∠PEP'=90°，∴∠AEP=∠AEP'=45°，∴∠APE=∠AP'E=90°，∴四边形APEP'是正方形，∴AP=PE，∵∠DAP+∠APD=90°，∠APD+∠EPC=90°，∴∠DAP=∠EPC，∵AP=PE，∴△APD≌△PEC（AAS），∴AD=PC=2a，PD=ED=a，∴PE=5a，由（2）得△AHE∽△ECF，∴AHEC∵AE=∴EF=10∵∠HEG=∠AEF=9