《计算物理学》课件 第1、2章 计算物理学简介、常微分方程

计算物理学

—理论物理与实验物理的桥梁计算物理是过去二十年来物理学中发展最迅速的一个领域，在物理学的各个分支学科中发挥了及其重要的作用，已成为实验物理和理论物理同等重要并可持续发展的二级学科。计算物理是物理学研究的重要方向，已成为解决传统理论物理所无法解决的问题、替代或减少实验成本、揭示新的物理效应和规律的必要手段。计算物理的发展也对材料、信息、能源、化学、生物学科及其应用的发展起到推动作用，在国家科技与国防战略发展中至关重要。计算物理以计算机为工具，以计算方法和计算软件为手段，研究和发现物质结构及其运动规律，是物理学的重要组成部分。

——《中国学科发展战略：计算物理学》第一章计算物理学简介1.1、计算物理学的诞生1.2、计算物理学的研究内容和方法1.3、计算物理学的计算机实现1.4、计算物理学的发展1.5、计算物理学在相关学科中的应用1.6、本课程的授课内容、作业和考核方式传统物理学实验科学—19世纪中叶前：原始积累时期，大部分的物理规律是基于实验归纳得出的。实验+理论科学—1886年Maxwell（麦克斯韦）给出了电磁场麦克斯韦方程组，预言了电磁波的存在，后被实验证实。初步展示了物理理论思维和归纳演绎方法的强大之处。从这时起，有别于实验物理，理论物理相对独立，开始形成了物理学的另一个重要分支。实验+理论科学—20世纪初，量子力学和相对论的诞生，使物理学进入了一个全新的时代，理论物理发展成为一门成熟的物理学分支学科。由此物理学正式形成了实验、理论两大分支，并相互促进、相互发展，引发了20世纪科学技术的重大革命。

一切靠实验。

理论也能管点用。

理论能顶半边天。好景不长随着研究体系复杂性的增加，理论与实验遇到了难以克服的困难：过于繁琐的计算：例如，求解H2O电子波函数大量的实验数据：例如，一秒钟产生100x100个数据点，实验持续了一个小时，共计36000000个数据点。系统复杂性体现在各个方面：理论：由单体问题转变到多体问题、线性系统发展到非线性系统、低维体系到高维体系、标量系统扩展到矢量系统、常微分方程转变到偏微分方程、低级微扰转变到高级微扰、理想化模型扩展到实际复杂模型、单一物理学科发展到综合学科的研究。实验：研究对象和范围的拓广、研究精度、极限更高、设备更复杂、以及海量的的实验数据。

花费毕生精力？

记录这些数据需要多少纸张？每页记录500个数据点、1页厚度0.1mm，需要约7米厚的纸记录这些数据计算物理学省时、省力、省钱、灵活自由、可以模拟极端条件等。。。

数学不好不能怨天尤人

成本很高、难度很大原始推动力：据查证：“计算物理（ComputationalPhysics）”一词首次正式出现是在美国1963年出版的“计算物理方法”丛书中。该套丛书从1963年至1977年相继出版了17卷，是美国Manhattan（曼哈顿）计划解密的研究成果。其内容涉及统计物理、量子力学、流体力学、核物理、天体物理、固体物理、等离子体物理、受控热核反应等方面的物理问题，介绍了有关“计算物理”的概貌。因此，可以称“计算物理学”的原始推动力是（核）武器研制。直至今日，世界上速度最快的计算机仍然担负着武器研制和国家安全的任务。研制我国第一颗原子弹所采用的手摇计算机核武器研制？第一章、计算物理学简介1.1、计算物理学的诞生1.2、计算物理学的研究内容和方法1.3、计算物理学的计算机实现1.4、计算物理学的发展1.5、计算物理学在相关学科中的应用1.6、本课程的授课内容、作业和考核方式计算物理学–定义以计算机和计算机科学技术为工具和手段，应用适当的数学方法对物理问题进行数值分析与研究、对物理过程进行数值模拟的一门新兴学科，是物理、数学、计算机应用三者结合的产物。是物理学的第三大分支。关键词：计算机为工具，物理问题与过程、数值分析与模拟其他定义：A.J.Freeman：

复杂物理体系的数值研究秦元勋：利用现代大型快速计算机对物理过程进行数值模拟D.Biskamp：物理学中计算机应用的一切方面Computationalphysicscombinesphysics,computerscienceandappliedmathematicsinordertoprovidescientificsolutionstorealisticandoftencomplexproblems.Areasofapplicationincludeenvironmentalmodeling,nuclearcleanup,thedesignofmaterials,groundwatertransport,thenatureofelementaryparticles,medicalimaging,andenergymanagement.Acomputationalphysicistunderstandsnotonlytheworkingsofcomputersandtherelevantscienceandmathematics,butalsohowcomputeralgorithmsandsimulationsconnectthetwo.计算物理学—一些英文书籍中的定义或描述计算物理学—用计算机做实验互联网计算物理学的研究范围计算理论物理：1、复杂物理体系的数值计算与模拟

2、复杂物理体系的解析计算与分析（符号运算）计算实验物理3、物理实验数据的采集、分析、与处理4、物理实验过程与实验系统的模拟与控制5、物理图像的获得、识别与处理。计算物理学的研究方法--三板斧三板斧：建模(modeling)、模拟(simulation)、计算(computation)Modeling：偏重于物理、数学模型的建立，这是计算物理的基础。Simulation：是指对物理过程的描述、对物理现象的表达和对物理规律的探索。Computation：应用计算机的数值研究，包括数值计算和数值分析。与Simulation一通为计算物理的基本核心内容Modeling主要是人脑完成的Simulation&Computation是电脑完成的

极度重要+非常辛苦

强悍的计算机可以弥补人脑的不足

辛苦程度不详计算物理学的研究方法–四步走第一步：确定物理模型

对物理问题进行分析，抓住主要因素、忽略次要因素，建立相应的物理模拟第二步：选取数值方法：

在第一步的基础上，选择合适的数值方法在计算机上实现。

算法的重要性：计算能力不足以满足直接求解的需求，因此需要一个合适的算法，将复杂问题化简为简单问题、简单问题化简为基本问题，基本问题化简为计算机可以执行的运算。第三步：分析计算结果

对计算得到的结果进行分析，得到有价值的物理信息。同时要考虑到计算产生的误差、收敛性、稳定性等等因素第四步：得出物理结论

整理大量数据的基础上、得出相关物理结论、反应物理规律、解释物理机制、进而给出可能的物理预言。

可以推测算法的选取对人的生理和心理均有很大影响

正确的分析可以避免因为计算误差而给出错误的物理信息、不迷信数值结果计算物理学和理论物理、实验物理的关系实验物理理论物理计算物理提供原理、解释结果

提供模拟结果、数值计算、

提供计算结果、启发新理论

模拟实验、提供理论数据、数据分析、采集、实验自动化产生数据、检验结果

提出实验、解释实验

提供数据、验证理论第一章、计算物理学简介1.1、计算物理学的诞生1.2、计算物理学的研究内容和方法1.3、计算物理学的计算机实现1.4、计算物理学的发展1.5、计算物理学在相关学科中的应用1.6、本课程的授课内容、作业和考核方式计算机实现

中央处理器(CPU)

内存HD系统总线(主板)网络(可选)输入输出设备可视化设备操作系统编译器计算程序数学库并行环境可视化软件硬件软件中央处理器(CPU)

–完成计算内存–存储数据供CPU调用HD–长期存储数据系统总线(主板)–连接各个单元网络(可选)–连接各个计算节点输入输出设备–与人交互可视化设备–分析结果操作系统--让硬件听指挥编译器–告诉计算机如何工作计算程序–指挥计算机工作数学库–避免重复劳动并行环境–人多力量大可视化软件计算能力的发展单个计算机的计算能力，包括大型机、小型机、工作站、个人电脑等。199619972000200320062009CPU(flop/s)10G100G1T10T100T1PRAM10GB100GB1TB10TB100TB1PB（超级）并行计算机19441946~1960~1970~1990~2000~2010CPU(flop/s)3flop/s5000~1M~10M~100M~2G~40GRAM32MB1GB32GB1M=106;1G=109;1T=1012;1P=1015并行计算机并行计算机是由多个处理器组成(在这些处理器之间可以相互通讯和协调)将一个应用任务分解成多个子任务，分配给不同的处理器，各个处理器之间相互协同的，同时执行子任务的过程并能够高速、高效地进行复杂计算的计算机系统。并行计算机得名是相对于串行计算机而言的。串行计算机只有单个处理器，顺序执行计算机程序并行计算的概念是在20世纪70年代中后期提出的，已有30多年的发展历史并行计算的必要性1、可以大大加快运算速度，即在更短的时间内完成相同的计算量，或者解决原来根本不能计算的非常复杂的问题。2、提高传统计算机的计算速度受到诸多限制：物理极限、量子效应、加工工艺、散热、成本，等等3、并行计算较之SMP机器投入较低、灵活性强。SMP=SymmetricMulti-ProcessingSharedMemory：多个处理器公用内存

并行计算机的发展大型机：SMP(如IBMrs6k)PC

Cluster：多节点+SMP+多核心刀片服务器多节点+多处理器+多核心+GPU硬件厂商整机：曙光：魔方@SSC(曙光5000A)联想：深腾7000@SCCASIBM：Roadrunner(BladeCenter)Cray：Jaguar@ORNL(XT5)SGI：Pleiades@NASA(Altix)HP：TSUBAME@JapanSun：RedSky@NREL(SunBlade)DELL…CPU+GPU：Intel：Xeon/ItaniumAMD：OpteronIBM：POWERNVidia：Tesla…网络连接：QsNetMyrinetInfiniband…并行机的软件操作系统：LinuxUnixWindows…数学库：MKL(Intel)：MathKernelLibraryACML(AMD)：AMDCoreMathLibraryBLAS：BasicLinearAlgebraSubprogramsLAPACK：LinearAlgebraPACKage…编译器：Ifort(Fortran)GCC(C/CPP)PGI(Fortran/C/CPP)VTune(调试器)…并行环境：MPI(消息传递)OpenMP(共享存储)…编程语言：FortranC/CPPMatlabPython…科学计算软件：PWSCFVASPANSYSLAMMPS…MPI什么是MPI：MessagePassingInterface：消息传递函库函数的标准规范、支持Fortran、C、Matlab等计算机语言。不是计算机语言，具有上百个函数库可以被直接调用，实现消息传递功能是一种技术标准、规范的代表，不是特定指某个具体实现MPI的优势：高可移植性：可以在所有主流计算机上，例如Unix、Liunx、MacOS、Windows等，实现其并行功能，程序无需修改。第一章、计算物理学简介1.1、计算物理学的诞生1.2、计算物理学的研究内容和方法1.3、计算物理学的计算机实现1.4、计算物理学的发展1.5、计算物理学在相关学科中的应用1.6、本课程的授课内容、作业和考核方式计算方法的发展19世纪：常微分和偏微分方程

50年代：MonteCarlomethod(MC，蒙特卡罗)

60－70年代：DensityFunctionalTheory(DFT，密度泛函理论)、Moleculardynamics(MD，分子动力学)、Wilsonnumericalrenormalizationgroup(NRG，数值化重整化群)…

80－90年代：

QuantumMonteCarlomethods(QMC，量子蒙特卡罗)、Car-Parrinellomethod(CP)、Densitymatrixrenormalizationgroupmethod(DMRG，密度矩阵重整化群)…

21世纪：non-equilibriumGreen‘sfunction(非平衡格林函数)，…O/PDE

常/偏微分方程–19世纪微分方程论是数学的重要分支之一。大致和微积分同时产生，并随实际需要而发展。含自变量、未知函数和它的微商（或偏微商）的方程称为常（或偏）微分方程。微分方程是研究自然科学和社会科学中的事件、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的微分方程。然而，我们知道，只有少数十分简单的微分方程能够用初等方法求得它们的解，多数情形只能利用近似方法求解，如渐进法。还有一类近似方法称为数值方法，它可以给出解在一些离散点上的近似值。微分方程数值解就是在计算机上使用的，研究并解决数学问题的数值近似解的方法。它既有理论上的抽象性和严谨性，又有实用性和实验性的技术特征。因此，微分方程数值解已用到科学技术和社会生活的各个领域中。MonteCarlo(蒙特卡罗)

–上世纪4、50年代计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第二次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。冯·诺伊曼用摩纳哥赌城—MonteCarlo—来命名这种方法。MonteCarlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。科技计算中的问题比这要复杂得多。比如金融衍生产品（期权等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”(CourseDimensionality)，传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。MonteCarlo方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量。为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。Moleculardynamics(分子动力学)–上世纪6、70年代分子动力学是一门结合物理，数学和化学的综合技术。分子动力学是一套分子模拟方法，该方法主要是依靠牛顿力学来模拟分子体系的运动，以在由分子体系的不同状态构成的系综中抽取样本，从而计算体系的构型积分，并以构型积分的结果为基础进一步计算体系的热力学量和其他宏观性质。分子动力学可以用于NPT，NVE，NVT等系综的计算，是一种基于牛顿力学确定论的热力学计算方法，与蒙特卡洛法相比在宏观性质计算上具有更高的准确度和有效性，可以广泛应用于物理，化学，生物，材料，医学等各个领域。在实际应用中，经常把分子动力学方法和蒙特卡罗法联合使用。MD与MC类似，都是“由小见大”的方法：刻画微观过程，统计的描述体系宏观性质。MD由牛顿方程支配，描述微观过程更准确。第一性原理密度泛函(DFT)方法–上世纪6、70年代根据原子核和电子互相作用的原理及其基本运动规律，运用量子力学原理，从具体要求出发，经过一些近似处理后直接求解薛定谔方程的算法，习惯上称为第一原理。第一性原理通常是跟计算联系在一起的，是指在进行计算的时候除了告诉程序你所使用的原子和他们的位置外，没有其他的实验的，经验的或者半经验的参量，且具有很好的移植性。密度泛函理论是一种研究多电子体系电子结构的量子力学方法。核心思想是：体系的基态能量是体系电荷密度的泛函—这将最难处理的多体问题（由于处在一个外部静电势中的电子相互作用而产生的）简化成了一个没有相互作用的电子在有效势场中运动的问题。密度泛函理论在物理和化学上都有广泛的应用，特别是用来研究分子和凝聚态的性质，是凝聚态物理和计算化学领域最常用的方法之一。在多数情况下，与其他解决量子力学多体问题的方法相比，采用局域密度近似的密度泛函理论给出了非常令人满意的结果，同时计算相比实验的费用要少。???计算量如何???难以承受直接求解Nanoscale计算物理的研究尺度：时间和空间尺度DFTMDMCO/PDE、FEQCDQMCMacroscaleMesoscaleAtomicscale具体的界限并不严格，且可能随着计算机技术的发展而改变！计算物理的研究尺度：时间和空间尺度具体的界限并不严格，且可能随着计算机技术的发展而改变！第一性原理方法(从头算方法,

Ab-initio)从第一性原理出发，通过解Schrödinger(orDirac)量子力学方程，求解材料的各种性质。优点：1、可以给出原子几何（力学）和电子结构信息。2、可以处理化学键的断裂、形成或者电子结构的重新分布3、知道计算误差的来源，可以较好的评估计算精度4、原则上可以只输入原子种类和坐标就基本可以得到准确的物质性质不足：1、只能处理小的体系，O(102)个原子2、只能处理较快的过程，O(10)ps.3、计算机比较辛苦半经验方法,

Semi-empiricalmethods包含一些从实验拟合或者严格重头算得到的参数，通过求解简化的Schrödinger(orDirac)量子力学方程，求解材料的各种性质。优点：1、同样可以处理化学键的断裂、形成或者电子结构的重新分布2、可以求解更大的体系，O(103)个原子3、可以求解更长时间尺度的物理问题，O(10)ns不足：1、计算误差的来源复杂，无法较好的评估计算精度2、需要从实验拟合或者严格的第一性原理计算得到经验参数。原子尺度模拟方法,

Atomisticsimulationmethods使用第一性原理方法或者半经验方法得到原子之间的相互作用势，结合半经典的统计力学，采用MC或者MD方法求解体系的热力学或输运性质等。适用从纳米到介观尺度。优点：1、可以求解微观体系的性质甚至更复杂一些的体系，O(104-6)atoms.2、可以求解更、更长时间尺度的物理问题，O(1)µs不足：1、计算精度取决于原子之间相互作用势的好坏2、无电子相关的任何信息3、无法描述一些物理过程，例如时间尺度更短的：固体中的原子扩散、化学反应；时间尺度更长的：蛋白质折叠等。介观尺度方法,Mesoscalemethods在原子尺度方法的基础上进行简化，例如，不考虑时间尺度更短的自由度，将一些原子看成一个原子集合(‘blobsofmatter’)，考虑集合-集合之间的相互作用—有效势。适用范围从介观到宏观尺度。优点：1、可以求解介观尺度复杂体系的结构特性，O(108-9)atoms2、可以描述前面几种方法无法达到的长时间尺度，O(1)s不足：1、通常只能定性的给出趋势，较难给出定量的结果2、因为引入的太多的近似，因此对结果的解释并不是非常确定宏观尺度(Macroscale)方法,Continuummethods假设物质是连续的（不考虑原子细节），且体系物理性质可以用场量来描述。数值求解与该现象（弹性力学、流体力学等等）相关的平衡方程（常、偏微分方程），预测体系的物理性质。优点：1、可以原则上解决任何宏观几何、时间适度的问题不足：1、需要输入大量参数(弹性张量、扩散系数、物态方程等等)，这些参数需要从实验或者更小尺度的模拟中得到。2、无法从电子、原子、分子尺度的细节解释计算结果。不同尺度间的联系,

Connectionbetweenthescales从低到高(Up-scaling)：从更低尺度的计算结果中得到一些经验参数用来进行较大尺度的模拟。相对简单，是一个演绎问题，有确定解。从高到低(down-scaling)：用较大尺度的信息（通常是实验结果）去拟合较小尺度的参数。相对困难，因为解并不确定，是一个归纳问题。例如介观模拟中并没有原子细节（仅有原子集合），如何利用这些信息得到原子细节是较为困难的。第一章、计算物理学简介1.1、计算物理学的诞生1.2、计算物理学的研究内容和方法1.3、计算物理学的计算机实现1.4、计算物理学的发展1.5、计算物理学在相关学科中的应用1.6、本课程的授课内容、作业和考核方式计算物理的应用领域物理学领域凝聚态物理：模拟材料的力学、热学、电学、磁学、光学性质高能物理：模拟核反应、粒子撞击大气物理：模拟天气预报、台风地球物理：模拟地球内部运动、火山、板块活动天体物理：模拟星体的运动、诞生、湮灭理论物理：符号运算，使用计算机“推公式”实验物理：数据采集、处理、拟合材料学领域：多尺度模拟：量子力学

经典力学化学领域：化学反应动力学生命科学领域：生物大分子折叠、药物筛选、生物信息学环境科学领域：环境风险评估、污染检测工程领域：船舶、飞行器、汽车、建筑设计与评估社会科学领域：金融物理学、最优化策略凝聚态物理–DFT/MD方法晶格常数的预测计算物理应用举例(1)结构、电子（导电性、光学性质）、声子（热学性质）、磁性。。。过渡金属氧化物中O2s态的波函数实空间分布金刚石的能带结构Al-Mn-N化合物的自旋极化电子态密度

半金属计算物理应用举例(2)计算物理应用举例(3)计算物理应用举例(4)磁性计算物理应用举例(5)Diffusion-LimitedAggregationRandomaggregateof3600particlesonasquarelattice.PhysicalReviewLetter47,1400(1981).Citedover2000times.计算物理应用举例(6)计算物理应用举例(7)材料模拟–分子动力学方法金属玻璃在形变过程中非仿射形变的分布计算物理应用举例(8)生命科学–DFT/MD/MC

方法致病机理研究帕金森氏病症会杀死控制协调移动的大脑细胞，患者将遭受肌肉震颤和僵硬。科学家最初认为一种叫做阿尔法核素的蛋白质分子能够形成束状，具有破坏性的纤维物质，然而其具体的形成过程尚不清楚。模拟显示阿尔法核素分子可以在大脑细胞膜上穿孔(图像中绿色区域)聚集形成环状结构，从而导致大脑细胞死亡，引发帕金森氏症。这些模拟研究有助于研发新一代预防疾病药物。药物筛选：新药研发过程费用昂贵、时间冗长、淘汰率高。大约有90%的候选药物在临床期间被淘汰，这是新药研发过程费用昂贵的主要因素。所谓的药物虚拟筛选(virtualscreening)，是指对化合物在其合成之前通过计算机模拟预测其药动学相关的特性而进行筛选。右图是对H1N1病毒受体的药物筛选。H蛋白质负责寄主识别，N蛋白质负责病毒传播，因此抑制N蛋白就可以有效防止细胞感染。采用特定化学分子使N蛋白(神经氨酸)失活计算物理应用举例(9)生命科学--蛋白质折叠

largetimescale(~s)moleculardynamicsmodelingDNA解旋mRNA转录

核糖体翻译

多肽链

折叠

具有功能的蛋白质计算物理应用举例(10)高能物理这张图片模拟的是ATLAS里产生的黑洞。这个轨迹是模仿大型强子对撞机(LHC)上的ATLAS探测器得出的模拟数据。如果质子-质子撞击期间产生了微型黑洞，这些轨迹就会形成。这种小型黑洞会通过霍金辐射(Hawkingradiation)方式，立刻消失不见。大气物理全球湿度与降水的演化，白色的云代表湿度，色点代表降水。温度升高对格陵兰岛和南极洲上的巨大冰盖将产生什么样的影响？

未来几十年中，海洋和大气运动方式对区域气候将会产生什么样的影响？气候变化对包括飓风在内的热带气旋的强度和频率将产生何种影响？计算物理应用举例(11)地球物理GeoPhysics：多种地球物理现象的耦合——火山内部电场、磁场、流体流动耦合分析。天体物理位于地球上低纬度和中纬度地带的人们可看到，春季太阳西沉，黄昏过后之时，西方地平线有着微末的三角形光锥；而秋季太阳东升，晨曦未现之时，东方自地平线向上伸展出些许“火舌”，这就是黄道光。科学家们认为黄道光的起因主要是行星际尘埃对太阳光的散射，类似一个庞大的以太阳为中心的“尘埃饼”，但至今仍对这些尘埃的来源摸不着头脑。美国行星动力学家用计算机模型破解了神秘的夜空辉光——黄道光形成之谜。结论认为，黄道光尘埃几乎全部来自短周期彗星，推翻了长久以来的推测。计算物理应用举例(12)实验物理控制系统运行采集实验数据监视仪器状态数据在线分析…理论物理符号运算周期性？使用快速傅立叶变换(FFT)给出周期性计算物理应用举例(13)环境评估办公室内的风环境：风水师必会解复杂体系的流体力学方程据物理学家组织网报道，研究人员根据美国宇航局卫星监测数据、地面空气质量平行监测数据和最近公布的农作物产量统计资料，通过一个模拟全球臭氧污染形成和转运的计算机模型显示，地表臭氧浓度不断提高导致了农作物产量下降，全球农作物损失每年约达260亿美元甚至更多。计算物理应用举例(14)工程领域J20红外信号模拟–红外隐身解热传导方程赛车行驶时气流旋涡的概况：气流流过车轮处开始紊乱并形成旋涡--如图中蓝色湍流所示；气流流过车顶时还保持良好秩序，经过尾翼下方时迅速紊乱并形成巨大的旋涡--这也是赛车前进阻力的最大源泉。

解空气动力学方程船舶水动力特性计算模拟，提高适航性，航速等。解流体力学方程计算物理应用举例(15)金融物理金融物理学的英文为Econophysics,是由波士顿大学的物理学教授H.E.Stanley在1995年首先提出的,从而解决了“为什么物理专业的学生可以从事金融学研究并取得物理学位”这一实际问题。金融物理学是用统计物理、理论物理、复杂系统理论、非线性科学、应用数学等的概念、方法和理论研究金融市场通过自组织而涌现的宏观规律及其复杂性的一门新兴交叉学科。简言之,金融物理学家将金融市场看作一个复杂系统,把其中的各种数据如个股价格、指数、房价等看作是物理实验数据,力图寻找和阐释其中的“物理”规律。计算物理应用举例(16)第一章、计算物理学简介1.1、计算物理学的诞生1.2、计算物理学的研究内容和方法1.3、计算物理学的计算机实现1.4、计算物理学的发展1.5、计算物理学在相关学科中的应用1.6、本课程的授课内容、作业和考核方式授课内容第二章、常微分方程数值解OrdinaryDifferentialEquation(ODE)第三章、偏微分方程的数值解PartialDifferentialEquation(PDE)第四章、分子动力学方法MolecularDynamicsMethod(MD)第五章、蒙特卡洛方法MonteCarloMethod(MC)第六章、有限元方法FiniteElementsMethod(FE)第七章、密度泛函理论Density

Functional

Theory

(DFT)（根据课程进展情况再定）参考书目《计算物理学》李茂枝，季威，郭茵，卢仲毅编著，中国人民大学出版社，2014《计算方法引论》

徐萃薇，孙绳武编著，高等教育出版社，2007《计算物理学》

马文淦编著，科学出版社，2005《计算物理学》

刘金远，段萍，鄂鹏，科学出版社，2012《An

Introduction

to

Computational

Physics》Tao

Pang,

Cambridge

University

press,

2006作业和考核平时：60%出勤、课堂情况、作业(应用能力)期末：40%闭卷考试(概念+建模能力)计算物理

计算物理是指使用现代计算技术（计算机、软件和硬件）来——探索、研究和验证新的物理现象或物理特性；一方面，它作为理论的一部分被用来验证和解释实验发现；另一方面，它本身就是一种实验，被用来检验理论模型的正确性；在许多情况下，它被用来取代实验，降低科研成本。对于计算物理而言，计算方法或算法的发展和应用是其两个重要的内涵。计算物理涉及到物理学的各个分支（高能与粒子物理、原子与分子物理、统计物理和凝聚态物理等），已经成为一个研究领域，而且计算物理方法在工程、流体力学、材料科学、金融与经济和生命科学等交叉学科研究领域的有着广泛应用潜力。

缺点：不能获得物理定律和理论公式，且计算结果缺乏严格的论证，其结果仍需实验验证。小结和展望计算物理学是一门蓬勃发展的“新兴”学科历史悠久、发展迅猛、前景广阔广阔的应用领域：材料、化学、生命科学、清洁能源、生物医药等等任何一个领域均与人们的生活息息相关还面临着很多挑战算准、算大、算快希望更多的有志青年投身到这一领域之中尤其是在座的各位作业1、计算物理的含义是什么？2、计算物理的研究范畴是什么？3、计算物理的研究方法是什么？(1、2、3三选二)4、阐述计算机数值模拟方法与理论、实验方法相比有什么特殊的优点和局限性。5、阐述计算物理学和实验物理及理论物理的关系(4、5二选一)6、阐述在计算机上进行计算物理研究都需要什么样的硬件和软件7、阐述并行计算的必要性、优点和所需软、硬件(6、7二选一)8、举例说明除凝聚态物理、材料科学以外计算物理的应用领域（至少三个，(必做))9、简述多尺度模拟中几个尺度的特点及其所使用方法(必做)第二章常微分方程的数值求解方法1、引言2、数值求解的基本思想3、欧拉方法4、R-K方法5、线性多步法6、预估校正方法7、步长选择8、常微分方程组和高阶微分方程9、边值问题10、有限差分方法内容提纲1、引言微分方程：定义：包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。“常”和“偏”：在微分方程中,自变量的个数只有一个,

称为常微分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分方程叫偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。如果未知函数y及其各阶导数。都是一次的，则称它是线性的，否则称为非线性的。解析求解?在高等数学中，对于常微分方程的求解，给出了一些典型方程求解析解的基本方法，如可分离变量法、常系数齐次线性方程的解法、常系数非齐次线性方程的解法等。

但能求解的常微分方程仍然是有限的（1%?)。

大多数的常微分方程是不可能给出解析解。譬如：这个一阶微分方程就不能用初等函数及其积分来表达它的解。一个具体的例子

解析求解无能为力例：多体运动问题多体运动问题是物理研究中的一个普遍问题。设有n个物体（粒子）在静电场或引力场中运动，因而有6n个未知数xi(坐标)，vi（速度），（i=1,2,…,n）。根据牛顿定律或库伦定律，应该满足6n个一阶常微分方程组：其中mi是第i个物体（或粒子）的质量，ei在静电场中是第i个粒子的电荷，在引力场中事实上，当n≥3时，无法找到解析解。数值求解根据常微分方程的定解条件，常微分方程可分为初值问题和边值问题。如果定解条件是描述函数在初始点的状态，则称为初值问题。一个典型的常微分方程初值问题的形式如下：

具有以下形式的常微分方程及定解条件，如

则为常微分方程的边值问题。常微分方程初值问题的数值求解

由此可见，常微分方程数值求解的基本出发点就是将求解区间离散化。

3、欧拉（Euler）方法这是一种最为基础、简单的方法，它的精确度不高，因此在实际计算中并不常使用。由于其能反映出很多复杂方法的特征，被广泛用于微分方程解法的讲解。根据计算方法不同，分以下三种：欧拉（Euler）方法：根据前一个点的函数值，可以计算后一个点的函数值。

三种简单的数值解法1、化导数为差商；2、数值积分法；3、Taylor展开

数值积分法

Talyor级数展开

欧拉公式及其几何意义

欧拉方法的稳定性分析由欧拉公式可以看出，在常微分方程初值问题的数值求解过程中，每一步计算都包含了前一步的计算结果，因此前面的计算误差将会影响后面的数值计算结果。需要对数值求解方法的误差进行系统分析，考察计算过程的误差积累会不会掩盖真解，这就是常微分方程数值解的稳定性问题。需要对所采用的数值方法进行稳定性分析，确定其稳定性区域，保证该方法得到的数值解是合理的。

总体误差和局部误差的关系

由此可得：

收敛性和稳定性是两个不同的概念。收敛性是指数值方法的截断误差对计算结果的影响稳定性指的是某一步的计算误差对计算结果的影响此外，稳定性与步长密切相关。

数值方法的稳定性

0-1-2ReImg欧拉方法的绝对稳定区域绝对稳定区域越大，这个方法的适应性就越强。若绝对稳定区域包含复平面的整个左半平面，就称这个数值方法是A稳定的。210ReImg后退欧拉方法的绝对稳定区域：向后欧拉方法是A稳定的，但是仍受到迭代的限制，即0<hL<1。

总体截断误差局部截断误差稳定性欧拉方法向后欧拉方法A稳定改进欧拉方法A稳定

以上三种方法的误差和稳定性总结如下：RUNGE-KUTTA方法

该方程组存在无穷多个解。所有满足该方程组的解都为二阶Runge-Kutta公式。

这就是改进欧拉公式。因此，改进欧拉公式也是二阶Runge-Kutta公式。

具体推导参考《计算物理学》李茂枝等编著（2024）

四阶Runge-Kutta公式的经典形式

一步法在计算时只用到了前面一步的近似值，但要提高精度，需要增加中间函数值的计算，这就加大了计算量。R-K方法的优缺点是否可以寻找一种精度较高、计算量适中的方法呢？注意到：计算yn+1时，yn，yn-1，yn-2等等均已知，那么可否利用这些值提高精度而不显著加大计算量呢？优点：一步法，在给定初值后可以逐步计算下去；精度高；在计算过程中便于改变步长缺点：计算量大线性多步法

四阶Adams方法

Adams内插公式

107内插值迭代求解108Adams预估--矫正公式

步长的自动选择109小步长高精度110111一个例子112步数和步长步数步长10.0735892100.0397480200.00475879300.00169146400.0123375500.356060600.0280562700.00326283790.000106687800.000120953900.005208841000.1201341060.0694882113阶数和步长

二分法选取步长115常微分方程组和高阶微分方程116

然后采用合适的数值方法求解

边值问题117在实际问题中也常常碰到所谓的两点边值问题

要得到方程（1）的解的存在唯一性非常困难。打靶法（shootingmethod）是数值求解常微分方程两点边值问题的常用方法。

打靶法（shootingmethod）118

打靶法的基本思想是将微分方程的边值问题转化为一系列初值问题。先考虑一个初值问题，即

打靶法就是将微分方程的边值问题转化为初值问题。通过适当选取和调整初值条件，求解一系列初值问题，使之逼近给定的边界条件。如果将描述的曲线视做弹道，那么求解过程就是不断调整试射条件使之打到预定的靶子。打靶法的主要思想炮击中的例子：试射两发，调整后齐射αβ有限差分方法有限差分法是一种求解微分方程数值解的近似方法，其主要思想是将微分方程中的微分项直接进行差分近似，从而将微分方程转化为代数方程组求解。随着计算机技术和数值算法的快速发展，有限差分法已成为数值求解微分方程的重要方法之一，在众多领域得到了广泛的应用和发展。在有限差分方法中，我们放弃了微分方程中独立变量可以取连续值的特征，而关注独立变量离散取值后对应的函数值。原则上，这种方法仍然可以达到任意满意的计算精度，因为方程的连续数值解可以通过减小独立变量离散取值的间隔，或者通过离散点上的函数值插值来近似得到。126有限差分法包含两部分：1、用差分代替微分方程中的微分，将连续变化的变量离散化，从而得到差分方程组的数学形式。2、求解差分方程组。在第一步中，通过所谓的网络分割法，将函数定义域分成大量相邻而不重合的子区域，通常采用的是规则的分割方式。网络线划分的交点称为节点。

具体方法127

将函数定义域离散化后，需要求得特定问题在所有这些节点上的近似值，因此数值求解的关键就是要找到适当的数值计算方法。设一个函数在x点上的一阶和二阶微商，可以近似地用它的近邻两点的函数值的差分来表示，即差分形式128一、二阶微商129

利用上面几个公式，可以构造出微分方程的差分形式。

小结1、线性多步法(避免大量迭代）

2、预估校正方法（合理选择步长）

3、步长事后估计4、两点边值问题

（打靶法，求解大量实际问题）5、常微分方程组和高阶微分方程

高阶方程总可以化作一阶方程组

一阶方程组的求解与一阶方程的求解类似6、有限差分方法—更实用的方法131132求解一个实际问题133R-K公式的经典形式

134Matlab形式K1=h*feval(@fx,x(i),y(i));K2=h*feval(@fx,x(i)+h/2,y(i)+K1/2);K3=h*feval(@fx,x(i)+h/2,y(i)+K2/2);K4=h*feval(@fx,x(i)+h,y(i)+K3);y(i+1)=y(i)+(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;135初值和相应参数区间[a,b]

[0,1]

a=0;b=1;步长h=0.2(可调)总共的计算次数N

N=(b-a)/h初始值：

x0=0;y0=1;136N次求解fori=1:N;x(i)=a+(i-1)*h;K1=h*feval(@fx,x(i),y(i));K2=h*feval(@fx,x(i)+h/2,y(i)+K1/2);K3=h*feval(@fx,x(i)+h/2,y(i)+K2/2);K4=h*feval(@fx,x(i)+h,y(i)+K3);y(i+1)=y(i)+(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;end137基本大功告成！???Errorusing==>plotVectorsmustbethesamelengths.Errorin==>RKat23plot(x,y);x(N+1)=b;精确解