《平面向量的正交分解及坐标表示》教案、导学案、课后作业

《6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示》教案【教材分析】本节内容是平面向量一种新的表示方：向量的坐标表示，是本章的重点内容之一，也是培养学生自主学习能力的良好题材.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.【教学目标与核心素养】课程目标1、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2．通过学习平面向量的正交分解及其坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.数学学科素养1.数学抽象：平面向量的坐标表示；2.逻辑推理：根据正交分解和平面向量共线定理推导出平面向量的坐标表示；3.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决.【教学重点和难点】重点：向量的坐标表示；难点：向量的坐标表示的理解.【教学过程】一、情景导入问题：由平面向量基本定理，我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察，研探.二、预习课本，引入新课阅读课本27-29页，思考并完成以下问题1、怎样分解一个向量才为正交分解？2、平面向量怎样用坐标表示？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得…………○1eq\o\ac(○,1)我们把叫做向量的（直角）坐标，记作…………○2eq\o\ac(○,2)其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，○2eq\o\ac(○,2)式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为.特别地，，，.如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.四、典例分析、举一反三题型一向量的减法运算例1如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，__________.【答案】a＝(－4,0)；b＝(0,6)；c＝(－2，－5)．【解析】将各向量分别向基底i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0·j，∴a＝(－4,0)；b＝0·i＋6j，∴b＝(0,6)；c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．例2如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和eq\o(AB,\s\up16(→))与eq\o(AD,\s\up16(→))的坐标．【答案】Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))).Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).【解析】由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义，得x1＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，y1＝sin30°＝eq\f(1,2)，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))).x2＝cos120°＝－eq\f(1,2)，y2＝sin120°＝eq\f(\r(3),2)，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).∴eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).解题技巧（求点和向量坐标的方法）(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．跟踪训练一1．已知e1＝(1,2)，e2＝(－2,3)，a＝(－1,2)，试以e1，e2为基底，将a分解成λ1e1＋λ2e2的形式为____________．【答案】a＝eq\f(1,7)e1＋eq\f(4,7)e2.【解析】设a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)，则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2,2λ1＋3λ2)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝λ1－2λ2，,2＝2λ1＋3λ2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝\f(1,7)，,λ2＝\f(4,7).))∴a＝eq\f(1,7)e1＋eq\f(4,7)e2.2.已知O是坐标原点，点A在第一象限，|eq\o(OA,\s\up16(→))|＝4eq\r(3)，∠xOA＝60°，(1)求向量eq\o(OA,\s\up16(→))的坐标；(2)若B(eq\r(3)，－1)，求eq\o(BA,\s\up16(→))的坐标．【答案】（1）eq\o(OA,\s\up16(→))＝(2eq\r(3)，6)．(2)eq\o(BA,\s\up16(→))＝(eq\r(3)，7)．【解析】(1)设点A(x，y)，则x＝4eq\r(3)cos60°＝2eq\r(3)，y＝4eq\r(3)sin60°＝6，即A(2eq\r(3)，6)，eq\o(OA,\s\up16(→))＝(2eq\r(3)，6)．(2)eq\o(BA,\s\up16(→))＝(2eq\r(3)，6)－(eq\r(3)，－1)＝(eq\r(3)，7)．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计6.3.26.3.2平面向量的正交分解及坐标表示1.正交分解例1例22.坐标表示七、作业课本37页习题6.3的15题.【教学反思】本节内容是平面向量定理的一种延伸，比较简单，学生掌握起来较容易.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.《6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示》导学案【学习目标】知识目标1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2．通过学习平面向量的正交分解及其坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.核心素养1.数学抽象：平面向量的坐标表示；2.逻辑推理：根据正交分解和平面向量共线定理推导出平面向量的坐标表示；3.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决.【学习重点】：向量的坐标表示；【学习难点】：向量的坐标表示的理解.【学习过程】一、预习导入阅读课本27-29页，填写。1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，___________一对实数、，使得…………eq\o\ac(○,1)我们把叫做向量的（直角）坐标，记作…………eq\o\ac(○,2)其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，eq\o\ac(○,2)式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为___________.特别地，，，.如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.小试牛刀1．判断下列命题是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与x轴平行的向量的纵坐标为0；与y轴平行的向量的横坐标为0.()(2)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．()(3)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．()(4)向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化．()2．已知eq\o(AB,\s\up16(→))＝(－2,4)，则下列说法正确的是()A．A点的坐标是(－2,4)B．B点的坐标是(－2,4)C．当B是原点时，A点的坐标是(－2,4)D．当A是原点时，B点的坐标是(－2,4)3．设i＝(1,0)，j＝(0,1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，则a与b的坐标分别为________．【自主探究】题型一向量的减法运算例1如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，____________.例2如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和eq\o(AB,\s\up16(→))与eq\o(AD,\s\up16(→))的坐标．跟踪训练一1．已知e1＝(1,2)，e2＝(－2,3)，a＝(－1,2)，试以e1，e2为基底，将a分解成λ1e1＋λ2e2的形式为____________．2.已知O是坐标原点，点A在第一象限，|eq\o(OA,\s\up16(→))|＝4eq\r(3)，∠xOA＝60°，(1)求向量eq\o(OA,\s\up16(→))的坐标；(2)若B(eq\r(3)，－1)，求eq\o(BA,\s\up16(→))的坐标．【达标检测】1．如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则AB可以表示为()A．2i＋3j B．4i＋2jC．2i－j D．－2i＋j2．若向量a＝(x－2，3)与向量b＝(1，y＋2)相等，则()A．x＝1，y＝3B．x＝3，y＝1C．x＝1，y＝－5D．x＝5，y＝－13．若A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，则AB4．已知a的方向与x轴的正向所成的角为120°，且|a|=6，则a的坐标为____.5．如图所示，已知点，将向量绕原点O逆时针旋转得到，求点B的坐标．答案小试牛刀1.(1)√(2)×(3)√(4)×2．D.3．(3,4)，(-1,1).自主探究例1【答案】a＝(－4,0)；b＝(0,6)；c＝(－2，－5)．【解析】将各向量分别向基底i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0·j，∴a＝(－4,0)；b＝0·i＋6j，∴b＝(0,6)；c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．例2【答案】Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))).Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).【解析】由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义，得x1＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，y1＝sin30°＝eq\f(1,2)，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))).x2＝cos120°＝－eq\f(1,2)，y2＝sin120°＝eq\f(\r(3),2)，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).∴eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).跟踪训练一1．【答案】a＝eq\f(1,7)e1＋eq\f(4,7)e2.【解析】设a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)，则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2,2λ1＋3λ2)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝λ1－2λ2，,2＝2λ1＋3λ2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝\f(1,7)，,λ2＝\f(4,7).))∴a＝eq\f(1,7)e1＋eq\f(4,7)e2.2.【答案】（1）eq\o(OA,\s\up16(→))＝(2eq\r(3)，6)．(2)eq\o(BA,\s\up16(→))＝(eq\r(3)，7)．【解析】(1)设点A(x，y)，则x＝4eq\r(3)cos60°＝2eq\r(3)，y＝4eq\r(3)sin60°＝6，即A(2eq\r(3)，6)，eq\o(OA,\s\up16(→))＝(2eq\r(3)，6)．(2)eq\o(BA,\s\up16(→))＝(2eq\r(3)，6)－(eq\r(3)，－1)＝(eq\r(3)，7)．当堂检测 1-2.CB3.(-1,6)4.(-3，3)5.【答案】．【解析】，设由题意得：，即，解得：或由图可知《6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示》课后作业基础巩固1．给出下面几种说法：①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为起点，该点为终点的向量一一对应.其中正确说法的个数是()A．1 B．2 C．3 D．42．下列可作为正交分解的基底的是（）A．等边三角形中的和B．锐角三角形中的和C．以角A为直角的直角三角形中的和D．钝角三角形中的和3．已知向量，将绕原点按逆时针方向旋转得到，则（）A． B． C． D．4．以原点O及点A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使A=90°，则的坐标为（）A． B．或 C． D．或5．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量（即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为各单位）。设开始时点P的坐标为（-10，10），求5秒后点P的坐标为（）A． B． C． D．6．已知向量的方向与x轴的正方向的夹角是30°，且||=4，则的坐标为____.7．若向量与相等，其中，则=_________.8．已知是平面内两个相互垂直的单位向量，且，，，求的坐标.能力提升9．如上图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量用基底，表示为()A．＋ B．2－ C．－2＋ D．2＋10．在平面直角坐标系中，已知，，点在第一象限内，，且，若，则+的值是．11．在直角坐标系中，向量，的方向如图所示，且，，分别求出它们的坐标．素养达成12．已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，是x轴上的单位向量,是y轴上的单位向量，试求和的坐标．《6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示》课后作业答案解析基础巩固1．给出下面几种说法：①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为起点，该点为终点的向量一一对应.其中正确说法的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因为向量平移坐标不变，所以一个坐标可以对应无数个向量，但一个向量对应唯一的坐标，故③错，①②④均对．故选C．2．下列可作为正交分解的基底的是（）A．等边三角形中的和B．锐角三角形中的和C．以角A为直角的直角三角形中的和D．钝角三角形中的和【答案】C【解析】选项A中，与的夹角为60°；选项B中，与的夹角为锐角；选项D中，与的夹角为锐角或钝角.故选项都不符合题意.选项C中，与的夹角为90°，故选项C符合题意.故选：C3．已知向量，将绕原点按逆时针方向旋转得到，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】向量（5，12），将绕原点按逆时针方向旋转90°得到，点B的坐标（﹣12，5），如图：所以．故选D．4．以原点O及点A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使A=90°，则的坐标为（）A． B．或 C． D．或【答案】B【解析】设，，因为三角形OAB是等腰直角三角形，且,所以,即,解方程组得或所以或,故本题选B.5．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量（即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为各单位