《平面几何中的向量方法》教案、导学案、课后作业

《6.4.1平面几何中的向量方法》教案【教材分析】向量概念有明确的几何背景：有向线段，可以说向量概念是从几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些几何问题，例如利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。【教学目标与核心素养】课程目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法；2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神.数学学科素养1.逻辑推理：从直观入手，从具体开始，逐步抽象，得出结论；2.数学运算：坐标运算证明几何问题；3.数据分析：根据已知信息选取合适方法证明或求解；4.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决，体现了事物之间是可以相互转化的.【教学重点和难点】重点：体会向量在解决平面几何问题中的作用；难点：如何将几何问题化归为向量问题.【教学过程】一、情景导入提问：（1）若O为重心,则++=.（2）水渠横断面是四边形,=,且|=|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本38-39页，思考并完成以下问题1、利用向量可以解决哪些常见的几何问题？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1.向量在几何中的应用(1)平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来．(2)用向量解决平面几何问题的“三部曲”①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化成向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系．四、典例分析、举一反三题型向量在几何中的应用例1证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD．求证：．【答案】见解析．【解析】证明：不妨设a，b，则a+b，a-b，|a|2，|b|2．得(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2．①同理|a|2-2a·b+|b|2．②①+②得2(|a|2+|b|2)=2()．所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．例2如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.【答案】见解析．【解析】证明法一：设eq\o(AD,\s\up17(→))＝a，eq\o(AB,\s\up17(→))＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又eq\o(DE,\s\up17(→))＝eq\o(DA,\s\up17(→))＋eq\o(AE,\s\up17(→))＝－a＋eq\f(1,2)b，eq\o(AF,\s\up17(→))＝eq\o(AB,\s\up17(→))＋eq\o(BF,\s\up17(→))＝b＋eq\f(1,2)a，所以eq\o(AF,\s\up17(→))·eq\o(DE,\s\up17(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)a))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(1,2)b))＝－eq\f(1,2)a2－eq\f(3,4)a·b＋eq\f(1,2)b2＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,2)|b|2＝0.故eq\o(AF,\s\up17(→))⊥eq\o(DE,\s\up17(→))，即AF⊥DE.法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，eq\o(AF,\s\up17(→))＝(2,1)，eq\o(DE,\s\up17(→))＝(1，－2)．因为eq\o(AF,\s\up17(→))·eq\o(DE,\s\up17(→))＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以eq\o(AF,\s\up17(→))⊥eq\o(DE,\s\up17(→))，即AF⊥DE.解题技巧（用向量解决平面解析几何的步骤）(1)向量的线性运算法的四个步骤①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化．(2)向量的坐标运算法的四个步骤①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化．跟踪训练1．如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且eq\f(CE,ED)＝eq\f(AF,FB)＝eq\f(1,2).求证：点E，O，F在同一直线上．【答案】见解析．【解析】证明：设eq\o(AB,\s\up17(→))＝m，eq\o(AD,\s\up17(→))＝n，由eq\f(CE,ED)＝eq\f(AF,FB)＝eq\f(1,2)，知E，F分别是CD，AB的三等分点，∴eq\o(FO,\s\up17(→))＝eq\o(FA,\s\up17(→))＋eq\o(AO,\s\up17(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up17(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up17(→))＝－eq\f(1,3)m＋eq\f(1,2)(m＋n)＝eq\f(1,6)m＋eq\f(1,2)n，eq\o(OE,\s\up17(→))＝eq\o(OC,\s\up17(→))＋eq\o(CE,\s\up17(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up17(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up17(→))＝eq\f(1,2)(m＋n)－eq\f(1,3)m＝eq\f(1,6)m＋eq\f(1,2)n.∴eq\o(FO,\s\up17(→))＝eq\o(OE,\s\up17(→)).又O为eq\o(FO,\s\up17(→))和eq\o(OE,\s\up17(→))的公共点，故点E，O，F在同一直线上．2、在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝eq\f(1,2)AB，求证：AC⊥BC.【答案】见解析．【解析】证法一：∵∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD，CD＝DA＝eq\f(1,2)AB，故可设eq\o(AD,\s\up16(→))＝e1，eq\o(DC,\s\up16(→))＝e2，|e1|＝|e2|，则eq\o(AB,\s\up16(→))＝2e2.∴eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2.而eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝(e1＋e2)·(e1－e2)＝eeq\o\al(2,1)－eeq\o\al(2,2)＝|e1|2－|e2|2＝0，∴eq\o(AC,\s\up16(→))⊥eq\o(BC,\s\up16(→))，即AC⊥BC.证法二：如图，建立直角坐标系，设CD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．∴eq\o(BC,\s\up16(→))＝(－1,1)，eq\o(AC,\s\up16(→))＝(1,1)．∴eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝(－1,1)·(1,1)＝－1＋1＝0.∴AC⊥BC.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计6.4.16.4.1平面几何中的向量方法1、向量在几何中的应用例1例2七、作业课本39页练习，52页习题6.4的1-3题.【教学反思】本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。教学中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力.《6.4.1平面几何中的向量方法》导学案【学习目标】知识目标.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法；2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神.核心素养1.逻辑推理：从直观入手，从具体开始，逐步抽象，得出结论；2.数学运算：坐标运算证明几何问题；3.数据分析：根据已知信息选取合适方法证明或求解；4.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决，体现了事物之间是可以相互转化的.【学习重点】：体会向量在解决平面几何问题中的作用；【学习难点】：如何将几何问题化归为向量问题.【学习过程】一、习导入阅读课本38-39页，填写。1.向量在几何中的应用(1)平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由____________________________表示出来．(2)用向量解决平面几何问题的“三部曲”①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面____________________________；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系．小试牛刀1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若△ABC是直角三角形，则有eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝0.()(2)若eq\o(AB,\s\up16(→))∥eq\o(CD,\s\up16(→))，则直线AB与CD平行．()(3)向量eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))的夹角就是直线AB，CD的夹角．()2、在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝0，eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))，则四边形ABCD是()A．直角梯形 B．菱形C．矩形 D．正方形3．已知|a|＝2eq\r(3)，|b|＝2，向量a，b的夹角为30°，则以向量a，b为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为()A．10 B．eq\r(10)C．2 D．224．平面上有三个点A(－2，y)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(y,2)))，C(x，y)(x≠0)，若eq\o(AB,\s\up16(→))⊥eq\o(BC,\s\up16(→))，则满足条件的x，y的关系式是____________．【自主探究】题型向量在几何中的应用例1证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD．求证：．例2如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.跟踪训练1．如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且eq\f(CE,ED)＝eq\f(AF,FB)＝eq\f(1,2).求证：点E，O，F在同一直线上．2、在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝eq\f(1,2)AB，求证：AC⊥BC.【达标检测】1．已知△ABC，＝a，＝b，且a·b<0，则△ABC的形状为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形2．在四边形ABCD中，那么四边形ABCD为()A．平行四边形B．菱形C．长方形D．正方形3．设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于()A．以a，b为邻边的平行四边形的面积B．以b，c为两边的三角形的面积C．以a，b为两边的三角形的面积D．以b，c为邻边的平行四边形的面积4．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.5.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点．求证：AF⊥DE(利用向量证明)．答案小试牛刀1.(1)×(2)×2．C.3．C.4.y2＝8x(x≠0).自主探究例1【答案】见解析．【解析】证明：不妨设a，b，则a+b，a-b，|a|2，|b|2．得(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2．①同理|a|2-2a·b+|b|2．②①+②得2(|a|2+|b|2)=2()．所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．例2【答案】见解析．【解析】证明法一：设eq\o(AD,\s\up17(→))＝a，eq\o(AB,\s\up17(→))＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又eq\o(DE,\s\up17(→))＝eq\o(DA,\s\up17(→))＋eq\o(AE,\s\up17(→))＝－a＋eq\f(1,2)b，eq\o(AF,\s\up17(→))＝eq\o(AB,\s\up17(→))＋eq\o(BF,\s\up17(→))＝b＋eq\f(1,2)a，所以eq\o(AF,\s\up17(→))·eq\o(DE,\s\up17(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)a))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(1,2)b))＝－eq\f(1,2)a2－eq\f(3,4)a·b＋eq\f(1,2)b2＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,2)|b|2＝0.故eq\o(AF,\s\up17(→))⊥eq\o(DE,\s\up17(→))，即AF⊥DE.法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，eq\o(AF,\s\up17(→))＝(2,1)，eq\o(DE,\s\up17(→))＝(1，－2)．因为eq\o(AF,\s\up17(→))·eq\o(DE,\s\up17(→))＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以eq\o(AF,\s\up17(→))⊥eq\o(DE,\s\up17(→))，即AF⊥DE.跟踪训练1．【答案】见解析．【解析】证明：设eq\o(AB,\s\up17(→))＝m，eq\o(AD,\s\up17(→))＝n，由eq\f(CE,ED)＝eq\f(AF,FB)＝eq\f(1,2)，知E，F分别是CD，AB的三等分点，∴eq\o(FO,\s\up17(→))＝eq\o(FA,\s\up17(→))＋eq\o(AO,\s\up17(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up17(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up17(→))＝－eq\f(1,3)m＋eq\f(1,2)(m＋n)＝eq\f(1,6)m＋eq\f(1,2)n，eq\o(OE,\s\up17(→))＝eq\o(OC,\s\up17(→))＋eq\o(CE,\s\up17(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up17(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up17(→))＝eq\f(1,2)(m＋n)－eq\f(1,3)m＝eq\f(1,6)m＋eq\f(1,2)n.∴eq\o(FO,\s\up17(→))＝eq\o(OE,\s\up17(→)).又O为eq\o(FO,\s\up17(→))和eq\o(OE,\s\up17(→))的公共点，故点E，O，F在同一直线上．2、【答案】见解析．【解析】证法一：∵∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD，CD＝DA＝eq\f(1,2)AB，故可设eq\o(AD,\s\up16(→))＝e1，eq\o(DC,\s\up16(→))＝e2，|e1|＝|e2|，则eq\o(AB,\s\up16(→))＝2e2.∴eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2.而eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝(e1＋e2)·(e1－e2)＝eeq\o\al(2,1)－eeq\o\al(2,2)＝|e1|2－|e2|2＝0，∴eq\o(AC,\s\up16(→))⊥eq\o(BC,\s\up16(→))，即AC⊥BC.证法二：如图，建立直角坐标系，设CD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．∴eq\o(BC,\s\up16(→))＝(－1,1)，eq\o(AC,\s\up16(→))＝(1,1)．∴eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝(－1,1)·(1,1)＝－1＋1＝0.∴AC⊥BC.当堂检测 1-3.ABA4.eq\f(\r(21),2).5.【答案】见解析．【解析】《6.4.1平面几何中的向量方法》课后作业基础巩固1．已知是坐标平面上的三点，其坐标分别为，则△ABC的形状为（）A．直角（非等腰）三角形 B．等腰（非等边）三角形C．等腰直角三角形 D．以上均不正确2．在△ABC中，若，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不确定3．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，则（）A．8 B．4 C．2 D．14．若,且,则四边形是()A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形5．在平行四边形中，，，为的中点，若，则的长为（）A．1 B． C． D．6．设点O是三角形ABC所在平面上一点，若，则点O是三角形ABC的________心．7．设是△ABC内部一点，且，则△AOB与的面积之比为________________.8．求证：以为顶点的四边形是一个矩形.能力提升9．平行四边形中，,点P在边CD上，则的取值范围是（）A．[-1,8] B． C．[0,8] D．[-1,0]10．已知为△的外心，若+−=0，则=_____．11．如图，在梯形ABCD中，，，，，E是边BC上一动点，求的最小值.素养达成12．已知三个顶点的坐标分别为.(1)若是边上的高,求向量AD的坐标;(2)若点E在x轴上,使为钝角三角形,且为钝角,求点E的横坐标的取值范围.《6.4.1平面几何中的向量方法》课后作业答案解析基础巩固1．已知是坐标平面上的三点，其坐标分别为，则的形状为（）A．直角（非等腰）三角形 B．等腰（非等边）三角形C．等腰直角三角形 D．以上均不正确【答案】C【解析】∵，且，∴为等腰直角三角形.答案选C2．在△ABC中，若，则的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不确定【答案】B【解析】由题意可得，即，整理可得，则向量与的夹角为钝角，即，据此可知△ABC的形状为钝角三角形.3．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，则（）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】C【解析】因为，所以，又因为，所以,又因为是的中点，所以,故选C.4．若,且,则四边形是()A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形【答案】C【解析】∵，