《复数的三角表示式》教案、导学案、课后作业

《7.3.1复数的三角表示式》教案【教材分析】《复数的三角形式》是复数这一章中的一个重要内容，引进复数三角式的依据是复数的几何意义和三角函数的定义，它是数形结合的产物，有了它就可借助三角知识帮助处理复数的一些问题.【教学目标与核心素养】课程目标：1.掌握复数的三角形式，熟练进行两种形式的转化; 2.培养学生的转化，推理及运算能力;3.通过学习本节知识，使学生体会数学的严谨美与图形美.数学学科素养1.数学抽象：复数三角表示的理解;2.直观想象：复数的辐角及辐角的主值的含义;3.数学运算：复数的代数表示与三角表示之间的转化.【教学重点和难点】重点：复数三角表达式的理解及其与代数表达式之间的互化．难点：复数三角表达式的理解.【教学过程】一、情景导入提问：1、如图，角θ的终边上一点P(x，y)，设P到原点O的距离|OP|＝r，那么怎样用角θ和r表示x，y?2、我们知道，复数可以用a＋bi(a，b∈R)的形式来表示，复数a＋bi与复平面内的点Z(a，b)一一对应，与平面向量eq\o(OZ,\s\up15(→))＝(a，b)也是一一对应的，如图，你能用向量eq\o(OZ,\s\up15(→))的模r和以x轴的非负半轴为始边，以向量eq\o(OZ,\s\up15(→))所在射线(射线OZ)为终边的角θ来表示复数z吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本83-85页，思考并完成以下问题1、什么是辐角，辐角的主值用什么表示？取值范围是多少？2、复数的三角形式是怎样定义的?又有什么特点？3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件是什么?要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1.复数的辐角以x轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角。适合于0≤θ<2π的辐角θ的值，叫辐角的主值。记作：argz,即0≤argz<2π.2.复数的三角表达式一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式．其中，r是复数的模；θ是复数z＝a＋bi的辐角．r(cosθ+isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．注意：复数三角形式的特点模非负，角相同，余弦前，加号连3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．四、典例分析、举一反三题型一复数的三角形式例1下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．(1)z1＝cos60°＋isin30°；(2)z2＝2(coseq\f(π,5)－isineq\f(π,5))；(3)z3＝－sinθ＋icosθ.【答案】(1)z1＝eq\f(\r(2),2)(coseq\f(π,4)＋isineq\f(π,4))．(2)z2＝2(coseq\f(9π,5)＋isineq\f(9π,5)).(3)z3＝cos(eq\f(π,2)＋θ)＋isin(eq\f(π,2)＋θ).【解析】(1)由“角相同”知，不是三角形式．z1＝cos60°＋isin30°＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，模r＝eq\r(\f(1,2)2＋\f(1,2)2)＝eq\f(\r(2),2)，cosθ＝eq\f(\r(2),2)，与z1对应的点在第一象限，所以取θ＝eq\f(π,4).即z1＝cos60°＋isin30°＝eq\f(\r(2),2)(coseq\f(π,4)＋isineq\f(π,4))．(2)由“加号连”知，不是三角形式．复平面上的点Z2(2coseq\f(π,5)，－2sineq\f(π,5))在第四象限，不需要改变三角函数名称，可用诱导公式“2π－eq\f(π,5)”变换到第四象限．所以z2＝2(coseq\f(π,5)－isineq\f(π,5))＝2[(cos(2π－eq\f(π,5))＋isin(2π－eq\f(π,5))]＝2(coseq\f(9π,5)＋isineq\f(9π,5))．(3)由“余弦前”知，不是三角形式．复平面上的点Z3(－sinθ，cosθ)在第二象限(假定θ为锐角)，需要改变三角函数名称，可用诱导公式“eq\f(π,2)＋θ”将θ变换到第二象限．所以z3＝－sinθ＋icosθ＝cos(eq\f(π,2)＋θ)＋isin(eq\f(π,2)＋θ).解题技巧（复数三角形式的判断依据和变形步骤）(1)判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．(2)变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限(此处可假定θ为锐角)，其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”.跟踪训练一1．下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．(1)z1＝2(coseq\f(11,12)π＋isineq\f(11,12)π)；(2)z2＝eq\f(1,2)(coseq\f(2,3)π－isineq\f(2,3)π)；(3)z3＝－2(cosθ＋isinθ)．【答案】(1)是三角形式．(2)z2＝eq\f(1,2)(coseq\f(4,3)π＋isineq\f(4,3)π)．(3)z3＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．【解析】(1)z1＝2(coseq\f(11,12)π＋isineq\f(11,12)π)符合三角形式的结构特征，是三角形式．(2)由“加号连”知，不是三角形式．z2＝eq\f(1,2)(coseq\f(2,3)π－isineq\f(2,3)π)＝－eq\f(1,4)－eq\f(\r(3),4)i，模r＝eq\f(1,2)，cosθ＝－eq\f(1,2).复数对应的点在第三象限，所以取θ＝eq\f(4,3)π，即z2＝eq\f(1,2)(coseq\f(2,3)π－isineq\f(2,3)π)＝eq\f(1,2)(coseq\f(4,3)π＋isineq\f(4,3)π)．(3)由“模非负”知，不是三角形式．复平面上的点Z1(－2cosθ，－2sinθ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cosθ”已在前，不需要变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限．所以z3＝－2(cosθ＋isinθ)＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．题型二复数的代数形式表示成三角形式例2画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：（1）；（2）.【答案】（1）作图见解析;（2）作图见解析;【解析】（1）复数对应的向量如图所示，则.因为与对应的点在第一象限，所以.于是.（2）复数对应的向量如图所示，则.因为与对应的点在第四象限，所以.于是.当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角不一定取主值.例如也是的三角形式.解题技巧：(复数的代数形式化三角形式的步骤)(1)先求复数的模；(2)决定辐角所在的象限；(3)根据象限求出辐角(常取它的主值)；(4)写出复数的三角形式．跟踪训练二1．把下列复数表示成三角形式：(1)1；(2)－2i；(3)eq\r(3)－i;(4)－2(sineq\f(3π,4)＋icoseq\f(3π,4))．【答案】(1)1＝cos0＋isin0.(2)－2i＝2(coseq\f(3π,2)＋isineq\f(3π,2))．(3)eq\r(3)－i＝2[cos(－eq\f(π,6))＋isin(－eq\f(π,6))]．(4)－2(sineq\f(3π,4)＋icoseq\f(3π,4))＝2(coseq\f(3π,4)＋isineq\f(3π,4))．【解析】(1)r＝1，对应的点在x轴的正半轴上，所以arg(1)＝0.所以1＝cos0＋isin0.(2)r＝2，对应的点在y轴的负半轴上，所以arg(－2i)＝eq\f(3π,2).所以－2i＝2(coseq\f(3π,2)＋isineq\f(3π,2))．(3)r＝2，对应的点在第四象限，且cosθ＝eq\f(\r(3),2)，所以取θ＝－eq\f(π,6).所以eq\r(3)－i＝2[cos(－eq\f(π,6))＋isin(－eq\f(π,6))]．(4)－2(sineq\f(3π,4)＋icoseq\f(3π,4))＝－eq\r(2)＋eq\r(2)i，r＝2，对应的点在第二象限，且cosθ＝－eq\f(\r(2),2)，所以取θ＝eq\f(3π,4).所以－2(sineq\f(3π,4)＋icoseq\f(3π,4))＝2(coseq\f(3π,4)＋isineq\f(3π,4))．题型三把复数表示成代数形式例3分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：（1）；（2）.【答案】（1）复数的模，一个辐角，作图见解析,（2）复数的模，一个辐角，作图见解析,【解析】（1）复数的模，一个辐角，对应的向量如图所示.所以.（2）复数的模，一个辐角，对应的向量如图所示.所以.解题技巧（把复数表示成代数形式的注意事项）（1）类似三角形式的复数求模和辐角时，注意三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．（2）由三角形式表示成代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可．跟踪训练三1．把下列复数表示成代数形式：(1)z1＝3(coseq\f(π,6)＋isineq\f(π,6))；(2)z2＝2[cos(－eq\f(π,2))＋isin(－eq\f(π,2))]；(3)z3＝5(cos135°＋isin135°)．【答案】(1)z1＝eq\f(3\r(3),2)＋eq\f(3,2)i.(2)z2＝－2i.(3)z3＝－eq\f(5\r(2),2)＋eq\f(5\r(2),2)i.【解析】(1)z1＝3(coseq\f(π,6)＋isineq\f(π,6))＝3×eq\f(\r(3),2)＋3×eq\f(1,2)i＝eq\f(3\r(3),2)＋eq\f(3,2)i.(2)z2＝2[cos(－eq\f(π,2))＋isin(－eq\f(π,2))]＝2×0＋2×(－1)i＝－2i.(3)z3＝5(cos135°＋isin135°)＝5×(－eq\f(\r(2),2))＋5×eq\f(\r(2),2)i＝－eq\f(5\r(2),2)＋eq\f(5\r(2),2)i.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计7.37.3.1复数的三角表示式1.复数的辐角例1例2例32.复数的三角表示式特点：3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：七、作业课本86页练习，89页习题7.3的1、2题.【教学反思】本节课主要是在学生了解复数的代数形式及向量知识的基础上，探索复数的另一种表示方法，对于本节题型，注重让学生总结解题技巧，便于学生对知识有更系统的认知.《7.3.1复数的三角表示式》导学案【学习目标】知识目标1.掌握复数的三角形式，熟练进行两种形式的转化; 2.培养学生的转化，推理及运算能力;3.通过学习本节知识，使学生体会数学的严谨美与图形美.核心素养1.数学抽象：复数三角表示的理解;2.直观想象：复数的辐角及辐角的主值的含义;3.数学运算：复数的代数表示与三角表示之间的转化.【教学重点】：复数三角表达式的理解及其与代数表达式之间的互化．【教学难点】：复数三角表达式的理解.【学习过程】一、预习导入阅读课本83-85页，填写。1.复数的辐角以x轴的正半轴为始边、_____________________为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角。适合于____________的辐角θ的值，叫辐角的主值。记作：argz,即____________.2.复数的三角表达式一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成____________的形式．其中，r是复数的_______；θ是复数z＝a＋bi的辐角．____________叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来____________叫做复数的代数表示式，简称代数形式．注意：复数三角形式的特点____________________________________.3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们____________与____________分别相等．小试牛刀1．复数1＋eq\r(3)i化成三角形式，正确的是()A．2(coseq\f(2π,3)＋isineq\f(2π,3))B．2(coseq\f(π,3)＋isineq\f(π,3))C．2(coseq\f(5π,3)＋isineq\f(5π,3))D．2(coseq\f(11π,6)＋isineq\f(11π,6))2．两个复数z1、z2的模与辐角分别相等，是z1＝z2成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．复数－2(sin10°＋icos10°)的三角形式为___________．【自主探究】题型一复数的三角形式例1下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．(1)z1＝cos60°＋isin30°；(2)z2＝2(coseq\f(π,5)－isineq\f(π,5))；(3)z3＝－sinθ＋icosθ.跟踪训练一1．下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．(1)z1＝2(coseq\f(11,12)π＋isineq\f(11,12)π)；(2)z2＝eq\f(1,2)(coseq\f(2,3)π－isineq\f(2,3)π)；(3)z3＝－2(cosθ＋isinθ)．题型二复数的代数形式表示成三角形式例2画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：（1）；（2）.跟踪训练二1．把下列复数表示成三角形式：(1)1；(2)－2i；(3)eq\r(3)－i;(4)－2(sineq\f(3π,4)＋icoseq\f(3π,4))．题型三把复数表示成代数形式例3分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：（1）；（2）.跟踪训练三1．把下列复数表示成代数形式：(1)z1＝3(coseq\f(π,6)＋isineq\f(π,6))；(2)z2＝2[cos(－eq\f(π,2))＋isin(－eq\f(π,2))]；(3)z3＝5(cos135°＋isin135°)．【达标检测】1．复数的辐角主值是（）A． B． C． D．2．将复数化成代数形式，正确的是（）A．4 B．-4 C． D．3．复数的代数形式是_____________.4．复数的模是_____________.5．复数的代数形式与三角形式互化：（1）；（2）.答案小试牛刀1.B.2．A.3.2(cos260°＋isin260°).自主探究例1【答案】(1)z1＝eq\f(\r(2),2)(coseq\f(π,4)＋isineq\f(π,4))．(2)z2＝2(coseq\f(9π,5)＋isineq\f(9π,5)).(3)z3＝cos(eq\f(π,2)＋θ)＋isin(eq\f(π,2)＋θ).【解析】(1)由“角相同”知，不是三角形式．z1＝cos60°＋isin30°＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，模r＝eq\r(\f(1,2)2＋\f(1,2)2)＝eq\f(\r(2),2)，cosθ＝eq\f(\r(2),2)，与z1对应的点在第一象限，所以取θ＝eq\f(π,4).即z1＝cos60°＋isin30°＝eq\f(\r(2),2)(coseq\f(π,4)＋isineq\f(π,4))．(2)由“加号连”知，不是三角形式．复平面上的点Z2(2coseq\f(π,5)，－2sineq\f(π,5))在第四象限，不需要改变三角函数名称，可用诱导公式“2π－eq\f(π,5)”变换到第四象限．所以z2＝2(coseq\f(π,5)－isineq\f(π,5))＝2[(cos(2π－eq\f(π,5))＋isin(2π－eq\f(π,5))]＝2(coseq\f(9π,5)＋isineq\f(9π,5))．(3)由“余弦前”知，不是三角形式．复平面上的点Z3(－sinθ，cosθ)在第二象限(假定θ为锐角)，需要改变三角函数名称，可用诱导公式“eq\f(π,2)＋θ”将θ变换到第二象限．所以z3＝－sinθ＋icosθ＝cos(eq\f(π,2)＋θ)＋isin(eq\f(π,2)＋θ).跟踪训练一1．【答案】(1)是三角形式．(2)z2＝eq\f(1,2)(coseq\f(4,3)π＋isineq\f(4,3)π)．(3)z3＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．【解析】(1)z1＝2(coseq\f(11,12)π＋isineq\f(11,12)π)符合三角形式的结构特征，是三角形式．(2)由“加号连”知，不是三角形式．z2＝eq\f(1,2)(coseq\f(2,3)π－isineq\f(2,3)π)＝－eq\f(1,4)－eq\f(\r(3),4)i，模r＝eq\f(1,2)，cosθ＝－eq\f(1,2).复数对应的点在第三象限，所以取θ＝eq\f(4,3)π，即z2＝eq\f(1,2)(coseq\f(2,3)π－isineq\f(2,3)π)＝eq\f(1,2)(coseq\f(4,3)π＋isineq\f(4,3)π)．(3)由“模非负”知，不是三角形式．复平面上的点Z1(－2cosθ，－2sinθ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cosθ”已在前，不需要变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限．所以z3＝－2(cosθ＋isinθ)＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．例2【答案】（1）作图见解析;（2）作图见解析;【解析】（1）复数对应的向量如图所示，则.因为与对应的点在第一象限，所以.于是.（2）复数对应的向量如图所示，则.因为与对应的点在第四象限，所以.于是.当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角不一定取主值.例如也是的三角形式.跟踪训练二1．【答案】(1)1＝cos0＋isin0.(2)－2i＝2(coseq\f(3π,2)＋isineq\f(3π,2))．(3)eq\r(3)－i＝2[cos(－eq\f(π,6))＋isin(－eq\f(π,6))]．(4)－2(sineq\f(3π,4)＋icoseq\f(3π,4))＝2(coseq\f(3π,4)＋isineq\f(3π,4))．【解析】(1)r＝1，对应的点在x轴的正半轴上，所以arg(1)＝0.所以1＝cos0＋isin0.(2)r＝2，对应的点在y轴的负半轴上，所以arg(－2i)＝eq\f(3π,2).所以－2i＝2(coseq\f(3π,2)＋isineq\f(3π,2))．(3)r＝2，对应的点在第四象限，且cosθ＝eq\f(\r(3),2)，所以取θ＝－eq\f(π,6).所以eq\r(3)－i＝2[cos(－eq\f(π,6))＋isin(－eq\f(π,6))]．(4)－2(sineq\f(3π,4)＋icoseq\f(3π,4))＝－eq\r(2)＋eq\r(2)i，r＝2，对应的点在第二象限，且cosθ＝－eq\f(\r(2),2)，所以取θ＝eq\f(3π,4).所以－2(sineq\f(3π,4)＋icoseq\f(3π,4))＝2(coseq\f(3π,4)＋isineq\f(3π,4))．例3【答案】（1）复数的模，一个辐角，作图见解析,（2）复数的模，一个辐角，作图见解析,【解析】（1）复数的模，一个辐角，对应的向量如图所示.所以.（2）复数的模，一个辐角，对应的向量如图所示.所以.跟踪训练三1．【答案】(1)z1＝eq\f(3\r(3),2)＋eq\f(3,2)i.(2)z2＝－2i.(3)z3＝－eq\f(5\r(2),2)＋eq\f(5\r(2),2)i.【解析】(1)z1＝3(coseq\f(π,6)＋isineq\f(π,6))＝3×eq\f(\r(3),2)＋3×eq\f(1,2)i＝eq\f(3\r(3),2)＋eq\f(3,2)i.(2)z2＝2[cos(－eq\f(π,2))＋isin(－eq\f(π,2))]＝2×0＋2×(－1)i＝－2i.(3)z3＝5(cos135°＋isin135°)＝5×(－eq\f(\r(2),2))＋5×eq\f(\r(2),2)i＝－eq\f(5\r(2),2)＋eq\f(5\r(2),2)i.当堂检测 1-2.BD3．4．35．【答案】（1）.（2）【解析】（1），所以.（2）所以=.《7.3.1复数的三角表示式》课后作业基础巩固1．下列复数是三角形式的是（）A． B．C． D．2．下列各角不是复数的辐角的是（）A． B． C． D．3．复数表示成三角形式正确的是（）A． B．C． D．4．下列表示复数的三角形式中①；②；③；④；正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．复数的辐角主值是（）A． B． C． D．6．把复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）为________.7．把复数表示成三角形式的结果是________.8．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.能力提升9．若复数，则把这种形式叫做复数的三角形式，其中为复数的模，为复数的辐角.若一个复数的模为2，辐角为，则（）A． B． C． D．10．复数化成三角式为______．11．复数的代数形式与三角形式互换.（1）；（2）；（3）；（4）.素养达成12．求复数z＝1＋cosθ＋isinθ(π<θ<2π)的模与辐角的主值．《7.3.1复数的三角表示式》课后作业答案解析基础巩固1．下列复数是三角形式的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】复数的三角形式是，其中，A，B，C均不是这种形式，其中A选项，中不满足；B选项，中不满足；C选项，中，不满足；故选：D．2．下列各角不是复数的辐角的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，，∴辐角主值，故可以作为复数的辐角的是，.∴当时，；当时，；当时，；故选：C．3．复数表示成三角形式正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵，，，又，∴，∴，故选：C．4．下列表示复数的三角形式中①；②；③；④；正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】∵，，，∴辐角主值为，∴，故①