《直线与平面垂直的性质》教学设计、导学案、同步练习

《8.6.2直线与平面垂直》教学设计第2课时直线与平面垂直的性质【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要直线与平面垂直的性质及其应用，直线到平面的距离、两平行平面间的距离。课本从长方体的侧棱垂直与底面，考虑侧棱之间的关系入手，通过用反证法证明垂直与一个平面的两直线平行，引入直线与平面垂直的性质定理，通过例题引入直线到平面的距离的定义以及两平行平面之间的距离定义。直线与平面垂直的性质定理是判断两直线平行的一种方法。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.掌握直线与平面平行的性质定理；B.能用直线与平面平行的性质定理解决相关问题；C.理解直线到平面的距离，两平行平面的距离定义。1.逻辑推理：直线与平面平行的性质定理解决相关问题；2.数学运算：求直线到平面的距离，两平行平面的距离；3.直观想象：直线到平面的距离，两平行平面的距离定义。【教学重点】：直线与平面平行的性质定理，直线到平面的距离，两平行平面的距离；【教学难点】：用直线与平面平行的性质定理解决相关问题。【教学过程】教学过程教学设计意图复习回顾，温故知新1.直线和平面垂直的定义【答案】如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂直.其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足.2.直线与平面垂直的判定定理【答案】一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。二、探索新知观察：如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？【答案】平行思考：如图，已知直线a,b和平面α，如果a⊥α,b⊥α，则那么直线a,b一定平行吗？已知：a⊥α，

b⊥α求证：a∥b．证明：假设b不平行于a,是经过点O与直线a平行的直线。因为。即经过同一个点O的两条直线b,c都垂直于平面，这是不可能的。因此，a//b.1.直线和平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：图形语言：作用：证线线平行。例1.如图，直线平行于平面，求证：直线上各点到平面的距离相等。2.一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。由例题可得，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。例2.推导棱台的体积公式其中分别是棱台的上、下底面面积，是高。通过复习上节所学，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。通过观察与思考，得到直线与平面平行性质定理，的提高学生的解决问题、分析问题的能力。通过符号语言与图形语言，让学生进一步理解直线与平面垂直的性质定理，提高学生的概括能力。通过例题讲解，让学生进一步理解直线与平面垂直的性质定理，提高学生解决问题的能力。通过例题进一步立即两平行平面间的距离，提高学生解决问题的能力。三、达标检测1.已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是()A．b∥α B．b⊂αC．b⊥α D．b与α相交【答案】C【解析】由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b.故选C。2.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.【证明】因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。四、小结1、直线和平面垂直的性质定理；2、一种证明直线和直线平行的方法:欲证线线平行，考虑证这两线与某一平面垂直。五、作业课本155页2,3题通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。【教学反思】应从实际例子中让学生观察，得到直线与平面平行的性质定理。《8.6.2直线与平面垂直》导学案第2课时直线与平面垂直的性质【学习目标】1.掌握直线与平面平行的性质定理；2.能用直线与平面平行的性质定理解决相关问题；3.理解直线到平面的距离，两平行平面的距离定义。【教学重点】：直线与平面平行的性质定理，直线到平面的距离，两平行平面的距离；【教学难点】：用直线与平面平行的性质定理解决相关问题。【知识梳理】直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线符号语言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒图形语言作用①线面垂直⇒平行②作平行线【学习过程】一、探索新知观察：如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？思考：如图，已知直线a,b和平面α，如果a⊥α,b⊥α，则那么直线a,b一定平行吗？1.直线和平面垂直的性质定理：.符号语言：图形语言：作用：证平行。例1.如图，直线平行于平面，求证：直线上各点到平面的距离相等。2.一条直线与一个平面平行时，这条直线上一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。由例题可得，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。例2.推导棱台的体积公式其中分别是棱台的上、下底面面积，是高。【达标检测】1.已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是()A．b∥α B．b⊂αC．b⊥α D．b与α相交2.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.参考答案：观察：平行思考：已知：a⊥α，

b⊥α求证：a∥b．证明：假设b不平行于a,是经过点O与直线a平行的直线。因为。即经过同一个点O的两条直线b,c都垂直于平面，这是不可能的。因此，a//b.例1.例2.达标检测1.【答案】C【解析】由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b.故选C。2.【证明】因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.《8.6.2直线与平面垂直》同步练习第2课时直线与平面垂直的性质一、选择题1.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A．相交 B．平行C．异面 D．相交或平行2．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定3．如图所示，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直 D．不确定4．三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的()A．内心B．重心C．外心 D．垂心5.（多选题）空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A．垂直B．相交C．不相交 D．不垂直6.（多选题）已知a，b，c为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题,其中不正确的有()A.a⊥α，b∥β，且α∥β⇒a⊥b；B.a⊥b，a⊥α⇒b∥α；C.a⊥α，b⊥α，a∥c⇒b∥c；D.a⊥α，β⊥α⇒a∥β.二、填空题7．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝.8．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC，此图形中有个直角三角形．9.若直线AB∥平面α，且点A到平面α的距离为2，则点B到平面α的距离为________.10.已知四棱锥的底面ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，E为PD中点，过EB作平面分别与线段PA、PC交于点M，N，且，则________；四边形EMBN的面积为________.三、解答题11.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.12.如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD．《8.6.2直线与平面垂直》同步练习答案解析第2课时直线与平面垂直的性质一、选择题1.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A．相交 B．平行C．异面 D．相交或平行【答案】B【解析】由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行．故选B。2．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定【答案】D【解析】如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D.3．如图所示，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直 D．不确定【答案】C【解析】∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.故选C。4．三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的()A．内心B．重心C．外心 D．垂心【答案】C【解析】如图，设点P在平面ABC内的射影为O，连接OA，OB，OC.∵三棱锥的三条侧棱两两相等，∴PA＝PB＝PC.∵PO⊥底面ABC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝OC，故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心．5.（多选题）空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A．垂直B．相交C．不相交 D．不垂直【答案】AC【解析】取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC，又BD、AC异面，∴选AC.6.（多选题）已知a，b，c为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题,其中不正确的有()A.a⊥α，b∥β，且α∥β⇒a⊥b；B.a⊥b，a⊥α⇒b∥α；C.a⊥α，b⊥α，a∥c⇒b∥c；D.a⊥α，β⊥α⇒a∥β.【答案】BD【解析】A正确；B中b⊂α有可能成立，故B不正确；C正确；D中a⊂β有可能成立，故D不正确.故选BD.二、填空题7．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝.【答案】6【解析】因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以AFED是平行四边形，所以EF＝AD＝6.8．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC，此图形中有个直角三角形．【答案】4【解析】∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∵AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.综上知：△ABC，△PAC，△PAB，△PBC都是直角三角形，共有4个．9.若直线AB∥平面α，且点A到平面α的距离为2，则点B到平面α的距离为________.【答案】210.已知四棱锥的底面ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，E为PD中点，过EB作平面分别与线段PA、PC交于点M，N，且，则________；四边形EMBN的面积为________.【答案】【解析】延伸平面，交所在的平面于，即平面平面，又平面平面，，即三点共线，又，由线面平行的性质定理可得，则，即，点为的中点，又E为PD中点，则，，，又，，则，过作交于点，，则，；连接，由同理可得，，又平面ABCD，平面ABCD，，又，面，又面，，，，，又，所以四边形EMBN的面积为.故答案为：；.三、解答题11.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.【证明】∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF.又∵BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.12.如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA＝4