《第一章 常用逻辑用语》章节复习及单元检测试卷

《第一章常用逻辑用语》章节复习及单元测试卷第一章集合与常用逻辑用语（知识梳理）1.知识系统整合2.规律方法收藏1.在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕之时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.4.充分、必要条件与集合的关系，p，q成立的对象构成的集合分别为A和B.(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.(3)若A＝B，则p是q的充要条件.5.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.6.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题的区别；否定的规律是“改量词，否结论”.3学科思想培优一、数学抽象数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法和思想，认识数学结构与体系．在本章中，主要表现在集合概念的理解及应用中.【典例1】(1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1 B．3C．5 D．9(2)若－3∈{x－2，2x2＋5x，12}，则x＝________．【答案】(1)C(2)－【解析】(1)①当x＝0时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为0，－1，－2；②当x＝1时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为1，0，－1；③当x＝2时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为2，1，0.综上可知，x－y的可能取值为－2，－1，0，1，2，共5个，故选C.(2)由题意知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.①当x－2＝－3时，x＝－1.把x＝－1代入，得集合的三个元素为－3，－3，12，不满足集合中元素的互异性；②当2x2＋5x＝－3时，x＝－或x＝－1(舍去)，当x＝－时，集合的三个元素为－，－3，12，满足集合中元素的互异性，由①②知x＝－.二、数学运算数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果．在本章中，主要表现在集合的交、并、补运算中.【典例2】(1)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3} B．{1，0}C．{1，3} D．{1，5}(2)若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝()A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}【答案】(1)C(2)A【解析】(1)由A∩B＝{1}得1∈B，所以m＝3，B＝{1，3}．(2)A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．(3)已知集合A＝{x|2≤x＜7}，B＝{x|3＜x＜10}，C＝{x|x＜a}．①求A∪B，(∁RA)∩B；②若A∩C≠∅，求a的取值范围．【解析】①因为A＝{x|2≤x＜7}，B＝{x|3＜x＜10}，所以A∪B＝{x|2≤x＜10}．因为A＝{x|2≤x＜7}，所以∁RA＝{x|x＜2或x≥7}，则(∁RA)∩B＝{x|7≤x＜10}．②因为A＝{x|2≤x＜7}，C＝{x|x＜a}，且A∩C≠∅，所以a＞2，所以a的取值范围是{a|a＞2}．三、逻辑推理逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养，主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出问题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流．本章主要表现在集合的基本关系、充要条件及全称量词命题和存在量词命题中.【典例3】(1)集合A＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b＋3，b∈R}，则下列关系正确的是()A．A＝B B．BAC．A⊆B D．BA(2)已知集合A＝{x|0＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是()A．{a|0＜a＜4} B．{a|－8＜a＜4}C．{a|a≥4} D．{a|a＞4}【答案】(1)B(2)C【解析】(1)A＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}，即A中的元素x≥1；而B＝{y|y＝(2b＋1)2＋2，b∈R}，即B中的元素y≥2，∴BA.(2)在数轴上标出A，B两集合如图所示，结合数轴知，若A⊆B，则a≥4.【典例4】设x∈R，则“2－x≥0”是“－1≤x－1≤1”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由－1≤x－1≤1，得0≤x≤2，因为0≤x≤2⇒x≤2，x≤20≤x≤2，故“2－x≥0”是“－1≤x－1≤1”的必要不充分条件，故选B.【典例5】若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab＞0中选出满足下列条件的式子，用序号填空：(1)使a，b都为0的必要条件是________；(2)使a，b都不为0的充分条件是________；(3)使a，b至少有一个为0的充要条件是________．【答案】(1)①②③(2)④(3)①8【解析】①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正数一负数；③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0，b为任意实数；④ab＞0⇔或即a，b同为正数或同为负数．综上可知：(1)使a，b都为0的必要条件是①②③；(2)使a，b都不为0的充分条件是④；(3)使a，b至少有一个为0的充要条件是①.【典例6】已知集合A＝{x∈R|2x＋m＜0}，B＝{x∈R|x＜－1或x＞3}．(1)是否存在实数m，使得x∈A是x∈B成立的充分条件？(2)是否存在实数m，使得x∈A是x∈B成立的必要条件？【解析】(1)欲使x∈A是x∈B成立的充分条件，则只要⊆{x|x＜－1或x＞3}，则只要－≤－1即m≥2，故存在实数m≥2时使x∈A是x∈B成立的充分条件．(2)欲使x∈A是x∈B成立的必要条件，则只要⊇{x|x＜－1或x＞3}，则这是不可能的，故不存在实数m，使x∈A是x∈B成立的必要条件.【典例7】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，判断真假，并写出它们的否定：(1)空集是任何一个非空集合的真子集．(2)∀x∈R，4x2＞2x－1＋3x2.(3)∃x∈{－2，－1，0，1，2}，|x－2|＜2.(4)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．【解析】(1)该命题是全称量词命题，是真命题．该命题的否定：存在一个非空集合，空集不是该集合的真子集．(2)该命题是全称量词命题，是假命题．因为4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2.该命题的否定：∃x∈R，4x2≤2x－1＋3x2.(3)该命题是存在量词命题，是真命题．因为当x＝1时，|x－2|＝1＜2.该命题的否定：∀x∈{－2，－1，0，1，2}，|x－2|≥2.(4)该命题是全称量词命题，是假命题．当a≠0时，方程ax＋b＝0才恰有一解．该命题的否定：∃a，b∈R，方程ax＋b＝0无解或至少有两解．四、数学建模数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养，主要表现在：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题，在本章主要表现在集合的实际应用问题中.【典例8】某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．【答案】8【解析】设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．《第一章集合与常用逻辑用语》单元测试卷（一）基础测评卷(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x>3}，则M∪N＝()A．{x|x>－3} B．{x|－3<x≤5}C．{x|3<x≤5} D．{x|x≤5}【答案】A【解析】在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x>－3}．2．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝()A．{1} B．{4}C．{1，3} D．{1，4}【答案】D【解析】由题意得，B＝{1，4，7，10}，所以A∩B＝{1，4}．3．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，集合B＝{2，4}，则(∁UA)∪B＝()A．{2，4，5} B．{1，3，4}C．{1，2，4} D．{2，3，4，5}【答案】A【解析】由题意知∁UA＝{2，5}，所以(∁UA)∪B＝{2，4，5}．故选A.4．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数【答案】B【解析】量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”．故选B.5．满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是()A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】集合M必须含有元素a1，a2，并且不能含有元素a3，故M＝{a1，a2}或M＝{a1，a2，a4}．6．已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为()A．－2 B．2C．4 D．2或4【答案】A【解析】若a＝2，则|a|＝2，不符合集合元素的互异性，则a≠2；若|a|＝2，则a＝2或－2，可知a＝2舍去，而当a＝－2时，a－2＝－4，符合题意；若a－2＝2，则a＝4，|a|＝4，不符合集合元素的互异性，则a－2≠2.综上，可知a＝－2.故选A.7．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B中的所有元素之和为()A．0 B．2C．3 D．6【答案】D【解析】依题意，A*B＝{0，2，4}，其所有元素之和为6，故选D.8．已知非空集合M，P，则MP的充要条件是()A．∀x∈M，x∉PB．∀x∈P，x∈MC．∃x1∈M，x1∈P且x2∈M，x2∉PD．∃x∈M，x∉P【答案】D【解析】由MP，可得集合M中存在元素不在集合P中，结合各选项可得，M⃘P的充要条件是∃x∈M，x∉P.故选D.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．下列存在量词命题中，是真命题的是()A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除C．∃x∈R，|x|<0D．有些自然数是偶数【答案】ABD【解析】A中，x＝－1时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；C中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题．故选A、B、D.10．定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，设A＝{，}，B＝{1，}，则()A．当x＝，y＝eq\r(2)时，z＝1B．x可取两个值，y可取两个值，z＝(x＋y)×(x－y)有4个式子C．A⊗B中有3个元素D．A⊗B中所有元素之和为3【答案】BCD【解析】当x＝，y＝时，z＝(＋)×(－)＝0，A错误；由于A＝{，}，B＝{1，}，则z有(＋1)×(－1)＝1，(＋)×(－)＝0，(＋1)×(－1)＝2，(＋)×(－)＝1四个式子，B正确；由集合中元素的互异性，得集合A⊗B有3个元素，元素之和为3，C、D正确．11．在下列命题中，真命题有()A．∃x∈R，x2＋x＋3＝0B．∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数C．∃x，y∈Z，使3x－2y＝10D．∀x∈R，x2>|x|【答案】BC【解析】A中，x2＋x＋3＝>0，故A是假命题；B中，x∈Q，x2＋x＋1一定是有理数，故B是真命题；C中，x＝4，y＝1时，3x－2y＝10成立，故C是真命题；对于D，当x＝0时，左边＝右边＝0，故D为假命题．12．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，且a≠0，则满足上述条件的实数a的值为()A．－1 B．－C． D．1【答案】BC【解析】∵p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3，q：ax＋1＝0，即x＝－，由题意可知，pq，q⇒p，∴有－＝2或－＝－3，解得a＝－或.故选B、C.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知A＝{x|x≤1或x>3}，B＝{x|x>2}，则(∁RA)∪B＝________．【答案】{x|x>1}【解析】∵∁RA＝{x|1<x≤3}，B＝{x|x>2}，∴(∁RA)∪B＝{x|x>1}．14．若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分条件，则a的取值范围是________．【答案】{a|a<－1}【解析】若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分条件，则{x|x≤a}{x|x<－1}，∴a<－1.15．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是_______________．【答案】所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0【解析】把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．16．(一题两空)已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}．(1)当m＝2时，求M∩N＝________；(2)当M∩N＝M时，则实数m的值为________．【答案】(1){2}(2)2【解析】(1)由题意得M＝{2}，当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，则M∩N＝{2}．(2)因为M∩N＝M，所以M⊆N，因为M＝{2}，所以2∈N.所以2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，即4－6＋m＝0，解得m＝2.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设全集U＝R，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}，求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B.【解析】∵U＝R，A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}，∴∁UA＝{x|x≥3或x≤－2}，A∩B＝{x|－2<x<3}，∁U(A∩B)＝{x|x≥3或x≤－2}，(∁UA)∩B＝{x|x≥3或x≤－2}∩{x|－3<x≤3}＝{x|－3<x≤－2或x＝3}．18．(本小题满分12分)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m2＝0.(1)求出该方程有实数根的充要条件；(2)写出该方程有实数根的一个充分不必要条件；(3)写出该方程有实数根的一个必要不充分条件．【解析】(1)方程有实数根的充要条件是Δ≥0，即4－4m2≥0，解得－1≤m≤1；(2)有实数根的一个充分不必要条件是m＝0；(3)有实数根的一个必要不充分条件是－2<m≤2.19．(本小题满分12分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定，并判断真假．(1)有一个奇数不能被3整除；(2)∀x∈Z，x2与3的和不等于0；(3)三角形的三个内角都为60°；(4)存在三角形至少有两个锐角．【解析】(1)是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被3整除，假命题．(2)是全称量词命题，否定为：∃x∈Z，x2与3的和等于0，假命题．(3)是全称量词命题，否定为：存在一个三角形的三个内角不都为60°，真命题．(4)是存在量词命题，否定为：每个三角形至多有一个锐角，假命题．20．(本小题满分12分)已知A＝{x|x2－ax＋a2－12＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，且满足下列三个条件：①A≠B；②A∪B＝B；③∅(A∩B)，求实数a的值．【解析】B＝{2，3}，∵A∪B＝B，∴A⊆B，∵A≠B，∴AB.又∵∅(A∩B)，∴A≠∅，∴A＝{2}或A＝{3}，∴方程x2－ax＋a2－12＝0只有一解，由Δ＝(－a)2－4(a2－12)＝0得a2＝16，∴a＝4或a＝－4.当a＝4时，集合A＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}符合；当a＝－4时，集合A＝{x|x2＋4x＋4＝0}＝{－2}(舍去)．综上，a＝4.21．(本小题满分12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1成立的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.【解析】必要性：∵a＋b＝1，∴b＝1－a.∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0，又ab≠0，即a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2＝≠0，只有a＋b＝1.综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.22．(本小题满分12分)已知全集U＝R，集合A＝{x|a－1<x<2a＋1}，B＝{x|0<x<1}．(1)若a＝，求A∩B；(2)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．【解析】(1)若a＝，则A＝，又B＝{x|0<x<1}，∴A∩B＝{x|0<x<1}．(2)当A＝∅时，a－1≥2a＋1，∴a≤－2，此时满足A∩B＝∅；当A≠∅时，由A∩B＝∅，B＝{x|0<x<1}，易得或∴a≥2或－2<a≤－.综上可知，实数a的取值范围是《第一章集合与常用逻辑用语》单元测试卷（二）能力测评卷(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A＝{1，2，3}，B＝{x|－1<x<2，x∈Z}，则A∪B＝()A．{1} B．{1，2}C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}【答案】C【解析】因为A＝{1，2，3}，B＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0，1}，所以A∪B＝{0，1，2，3}，故选C.2．已知全集U＝R，设集合A＝{x|x≥1}，集合B＝{x|x≥2}，则A∩(∁UB)＝()A．{x|1≤x≤2} B．{x|1<x<2}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x<2}【答案】D【解析】∵B＝{x|x≥2}，∴∁UB＝{x|x<2}．又A＝{x|x≥1}，∴A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2}．3．“”是“”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】∵“”⇒“”，“”⇒“或”，∴“”是“”的充分不必要条件．故选A.4．命题“关于x的方程ax2－x－2＝0在(0，＋∞)上有解”的否定是()A．∃x∈(0，＋∞)，ax2－x－2≠0B．∀x∈(0，＋∞)，ax2－x－2≠0C．∃x∈(－∞，0)，ax2－x－2＝0D．∀x∈(－∞，0)，ax2－x－2＝0【答案】B【解析】原命题即“∃x∈(0，＋∞)，ax2－x－2＝0”，其否定为“∀x∈(0，＋∞)，ax2－x－2≠0”．5．若集合A＝{－3，－2，－1，0，1，2}，集合B＝{y|y＝|x＋1|，x∈A}，则B＝()A．{1，2，3} B．{0，1，2}C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}【答案】C【解析】由y＝|x＋1|，x∈A，知当x＝－3，1时，y＝2；当x＝－2，0时，y＝1；当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3.故得集合B＝{0，1，2，3}，故选C.6．2021年文汇高中学生运动会，某班62名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，则田赛和径赛都参加的学生人数为()A．7 B．8C．10D．12【答案】B【解析】由题可得参加比赛的学生共有31人，因为card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，所以田赛和径赛都参加的学生人数为16＋23－31＝8.故选B.7．设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3} B．{1，0}C．{1，3} D．{1，5}【答案】C【解析】因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}．故选C.8．设全集U＝{x||x|<4，且x∈Z}，S＝{－2，1，3}，若P⊆U，(∁UP)⊆S，则这样的集合P共有()A．5个 B．6个C．7个 D．8个【答案】D【解析】U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，∵∁U(∁UP)＝P，∴存在一个∁UP，即有一个相应的P(如当∁UP＝{－2，1，3}时，P＝{－3，－1，0，2}；当∁UP＝{－2，1}时，P＝{－3，－1，0，2，3}等)．由于S的子集共有8个，∴P也有8个，选D.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．下列命题正确的是()A．存在x<0，x2－2x－3＝0B．对于一切实数x<0，都有|x|>xC．∀x∈R，＝xD．已知an＝2n，bm＝3m，对于任意n，m∈N*，an≠bm【答案】AB【解析】因为x2－2x－3＝0的根为x＝－1或3，所以存在x0＝－1<0，使－2x0－3＝0，故A为真命题；B显然为真命题；因为＝|x|，故C为假命题；当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故D为假命题．10．命题“∀1≤x≤3，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥9 B．a≥11C．a≥10 D．a≤10【答案】BC【解析】当该命题是真命题时，只需当1≤x≤3时，a≥(x2)max.因为1≤x≤3时，y＝x2的最大值是9，所以a≥9.因为a≥9a≥10，a≥10⇒a≥9，又a≥9a≥11，a≥11⇒a≥9，选B、C.11．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是()A．1 B．－1C．0 D．2【答案】ABC【解析】因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根．①当a＝0时，方程化为2x＝0，此时A＝{0}，符合题意．②当a≠0时，由Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，所以a＝±1.此时A＝{－1}或A＝{1}，符合题意．综上，a＝0或a＝±1.12．设P是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是一个数域，有下列说法，其中正确的是()A．数域必含有0，1两个数B．整数集是数域C．若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域D．数域必为无限集【答案】AD【解析】数集P有两个元素m，n，则一定有m－m＝0，＝1(设m≠0)，A正确；因为1∈Z，2∈Z，∉Z，所以整数集不是数域，B不正确；令数集M＝Q∪{}，则1∈M，∈M，但1＋∉M，所以C不正确；数域中有1，一定有1＋1＝2，1＋2＝3，递推下去，可知数域必为无限集，D正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是________．【答案】∃x∈R，x2－2x＋1<0【解析】该命题为全称量词命题，其否定命题为存在量词命题：∃x∈R，x2－2x＋1<0.14．集合M＝{1，2，a，a2－3a－1}，N＝{－1，3}，若3∈M且N⃘M，则a的取值为________．【答案】4【解析】①若a＝3，则a2－3a－1＝－1，即M＝{1，2，3，－1}，显然N⊆M，不合题意．②若a2－3a－1＝3，即a＝4或a＝－1.当a＝－1时，N⊆M，舍去．当a＝4时，M＝{1，2，4，3}，满足要求．15．已知p：－1<x<3，q：－1<x<m＋1，若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．【答案】{m|m>2}【解析】由p：－1<x<3，q：－1<x<m＋1，q是p的必要不充分条件，即3<m＋1，即m>2.16．(一题两空)已知集合A＝{x|－3<x≤6}，B＝{x|b－3<x<b＋7}，M＝{x|－4≤x<5}，全集U＝R.(1)A∩M＝________；(2)若B∪(∁UM)＝R，则实数b的取值范围为________．【答案】(1){x|－3<x<5}(2){b|－2≤b<－1}【解析】(1)因为A＝{x|－3<x≤6}，M＝{x|－4≤x<5}，所以A∩M＝{x|－3<x<5}．(2)因为M＝{x|－4≤x<5}，所以∁UM＝{x|x<－4或x≥5}，又B＝{x|b－3<x<b＋7}，B∪(∁UM)＝R.所以，解得－2≤b<－1.所以实数b的取值范围是{b|－2≤b<－1}．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)下列命题中，判断p是q的什么条件，并说明理由．(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．【解析】(1)∵|x|＝|y|x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，∴p是q的必要条件，但不是充分条件．(2)∵△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．(3)∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形，四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，∴p是q的必要条件，但不是充分条件．18．(本小题满分12分)若一个数集中任何一个元素的倒数仍是该数集中的元素，则称该数集为“可倒数集”．(1)判断集合A＝{－1，1，2}是否为可倒数集；(2)试写出一个含3个元素的可倒数集．【解析】(1)由于2的倒数为，不在集合A中，故集合A不是可倒数集．(2)若a∈B，则必有∈B，现已知集合B中含有3个元素，故必有1个元素a＝，即a＝±1.故可以取集合B＝或或等．19．(本小题满分12分)已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，分别求满足下列条件的a的值．(1)9∈(A∩B)；(2){9}＝A∩B.【解析】(1)∵9∈(A∩B)，∴9∈B且9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3.检验知a＝5或a＝－3.(2)∵{9}＝A∩B，∴9∈(A∩B)，∴a＝5或a＝－3.当a＝5时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}，此时A∩B＝{－4，9}，与A∩B＝{9}矛盾，故舍去；当a＝－3时，A＝{－4，－7，9}，B＝{－8，4，9}，A∩B＝{9}，满足题意．综上可知a＝－3.20．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－6或x>1}．(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；(2)若A∪B＝B，求a的取值范围．【解析】(1)因为A∩B＝∅，所以，解得－6≤a≤－2，所以a的取值范围是{a|－6≤a≤－2}．(2)因为A∪B＝B，所以A⊆B，所以a＋3<－6或a>1，解得a<－9或a>1，所以a的取值范围是{a|a<－9或a>1}．21．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，C＝{x|x<a}，全集为实数集R.(1)求A∪B，(∁RA)∩B；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．【解析】(1)∵A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，∴A∪B＝{x|2<x<10}．∵A＝{x|3≤x<7}，∴∁RA＝{x|x<3或x≥7}，∴(∁RA)∩B＝{x|x<3或x≥7}∩{x|2<x<10}＝{x|2<x<3或7≤x<10}．(2)如图所示，当a>3时，A∩C≠∅.故a的取值范围为{a|a>3}．22．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．【解析】A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}＝{0，－4}，因为B⊆A，所以B＝A或BA.当B＝A时，B＝{－4，0}，即－4，0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，代入得a＝1，此时满足条件，即a＝1符合题意．当BA时，分两种情况：若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.若B≠∅，则方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}，符合题意．综上所述，所求实数a的取值范围是{a|a≤－1或a＝1}．《第一章集合与常用逻辑用语》单元测试卷（三）提高测评卷1．设集合A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，3，5，8}，则A∩B＝（）A．{1，3，5，7} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{1，2，3，5，7，8}【答案】C【解析】因为集合A，B的公共元素为：2，3，5，故A∩B＝{2，3，5}．故选：C．2．设全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{﹣3，0，2，3}，则A∩（∁UB）＝（）A．{﹣3，3} B．{0，2} C．{﹣1，1} D．{﹣3，﹣2，﹣1，1，3}【答案】C【解析】全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{﹣3，0，2，3}，则∁UB＝{﹣2，﹣1，1}，∴A∩（∁UB）＝{﹣1，1}，故选：C．3．设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由a2＞a，解得a＜0或a＞1，故a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，故选：A．4．已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ+（﹣1）kβ”是“sinα＝sinβ”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当k＝2n，为偶数时，α＝2nπ+β，此时sinα＝sin（2nπ+β）＝sinβ，当k＝2n+1，为奇数时，α＝2nπ+π﹣β，此时sinα＝sin（π﹣β）＝sinβ，即充分性成立，当sinα＝sinβ，则α＝2nπ+β，n∈Z或α＝2nπ+π﹣β，n∈Z，即α＝kπ+（﹣1）kβ，即必要性成立，则“存在k∈Z使得α＝kπ+（﹣1）kβ”是“sinα＝sinβ”的充要条件，故选：C．5．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1，2} D．{1，2}【答案】D【解析】集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝{1，2}，故选：D．6．已知集合A＝{（x