《3.2函数的基本性质》专题复习与训练

《3.2函数的基本性质》专题复习与训练3.2.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性学习目标核心素养1.理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点)2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点)3．会求一些具体函数的单调区间．(重点)1.借助单调性的证明，培养逻辑推理素养．2．利用求单调区间及应用单调性解题，培养直观想象和数学运算素养．【新课导入】1．增函数与减函数的定义条件一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)都有f(x1)＞f(x2)结论那么就说函数f(x)在区间D上是增函数那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图示思考1：增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？提示：定义中的x1，x2有以下3个特征：(1)任意性，即“任意取x1，x2”(2)有大小，通常规定x1<x2；(3)属于同一个单调区间．2．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．思考2：函数y＝eq\f(1,x)在定义域上是减函数吗？提示：不是．y＝eq\f(1,x)在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y＝eq\f(1,x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．1．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是()A．[－4,4]B．[－4，－3]∪[1,4]C．[－3,1]D．[－3,4]C[由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]，选C.]2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是()A．y＝－eq\f(1,x) B．y＝xC．y＝x2 D．y＝1－xD[函数y＝1－x在区间(0，＋∞)上是减函数，其余函数在(0，＋∞)上均为增函数，故选D.]3．函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________．(－∞，1][因为f(x)＝x2－2x＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1]．]【合作探究】求函数的单调区间【例1】求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．(1)f(x)＝－eq\f(1,x)；(2)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≥1，,5－x，x<1；))(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.[解](1)函数f(x)＝－eq\f(1,x)的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋3，x≥0，,－x2－2x＋3，x<0.))根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)．f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象，如本例(3)．提醒：若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．1．(1)根据如图所示，写出函数在每一单调区间上函数是增函数还是减函数；(2)写出y＝|x2－2x－3|的单调区间．[解](1)函数在[－1,0]，[2,4]上是减函数，在[0,2]，[4,5]上是增函数．(2)先画出f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－3，x<－1或x>3，,－x2－2x－3，－1≤x≤3))的图象，如图．所以y＝|x2－2x－3|的单调减区间为(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间为[－1,1]，[3，＋∞)．函数单调性的判定与证明【例2】证明函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)在(0,1)上是减函数．[思路点拨]eq\x(设元0<x1<x2<1)→eq\x(作差：fx1－fx2)eq\o(→,\s\up15(变形))eq\x(判号：fx1>fx2)eq\o(→,\s\up15(结论))eq\x(减函数)[证明]设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(1,x1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝(x1－x2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)－\f(1,x2)))＝(x1－x2)＋eq\f(x2－x1,x1x2)＝(x1－x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x1x2)))＝eq\f(x1－x2－1＋x1x2,x1x2)∵0<x1<x2<1，∴x1－x2<0,0<x1x2<1，则－1＋x1x2<0，∴eq\f(x1－x2－1＋x1x2,x1x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)＝x＋eq\f(1,x)在(0,1)上是减函数．利用定义证明函数单调性的步骤1取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2.2作差变形：作差fx1－fx2，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.3定号：确定fx1－fx2的符号.4结论：根据fx1－fx2的符号及定义判断单调性.提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.2．试用函数单调性的定义证明：f(x)＝eq\f(2x,x－1)在(1，＋∞)上是减函数．[证明]f(x)＝2＋eq\f(2,x－1)，设x1>x2>1，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(2,x1－1)－eq\f(2,x2－1)＝eq\f(2x2－x1,x1－1x2－1)，因为x1>x2>1，所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数．函数单调性的应用[探究问题]1．若函数f(x)是其定义域上的增函数，且f(a)>f(b)，则a，b满足什么关系．如果函数f(x)是减函数呢？提示：若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当f(a)>f(b)时，a>b；若函数f(x)是其定义域上的减函数，那么当f(a)>f(b)时，a<b.2．决定二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c单调性的因素有哪些？提示：开口方向和对称轴的位置，即字母a的符号及－eq\f(b,2a)的大小．【例3】(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________．(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．[思路点拨](1)eq\x(分析fx的对称轴与区间的关系)eq\o(→,\s\up15(数形结合))eq\x(建立关于a的不等式)eq\o(→,\s\up15())eq\x(求a的范围)(2)eq\x(f2x－3>f5x－6)eq\o(→,\s\up15(f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数))eq\x(建立关于x的不等式)eq\o(→,\s\up15())eq\x(求x的范围)(1)(－∞，－4](2)(－∞，1)[(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，∴2x－3>5x－6，即x<1.∴实数x的取值范围为(－∞，1)．]1．(变条件)若本例(1)的函数f(x)在(1,2)上是单调函数，求a的取值范围．[解]由题意可知－(a＋1)≤1或－(a＋1)≥2，即a≤－3或a≥－2.所以a的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．2．(变条件)若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的范围．[解]由题意可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3>0，,5x－6>0，,2x－3<5x－6，))解得x>eq\f(3,2).∴x的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)).函数单调性的应用1函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.2若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.1．定义单调性时应强调x1，x2在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较．2．证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、定号、结论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可．3.已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识，如f(x)在D上递增，则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2.二是数形结合意识，如处理一(二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题.【课堂达标】1．思考辨析(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．()(2)若函数y＝f(x)在区间[1,3]上是减函数，则函数y＝f(x)的单调递减区间是[1,3]．()(3)函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)．()(4)若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)<f(2)，则函数y＝f(x)是增函数．()(5)若函数f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是()A．函数在区间[－5，－3]上单调递增B．函数在区间[1,4]上单调递增C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D．函数在区间[－5,5]上没有单调性C[由图可知，f(x)在区间[－3,1]，[4,5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故选C.]3．如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为()A．b＝3 B．b≥3C．b≤3 D．b≠3C[函数f(x)＝x2－2bx＋2的图象是开口向上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线，若函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b≤3，故选C.]4．证明：函数y＝eq\f(x,x＋1)在(－1，＋∞)上是增函数．[证明]设x1>x2>－1，则y1－y2＝eq\f(x1,x1＋1)－eq\f(x2,x2＋1)＝eq\f(x1－x2,x1＋1x2＋1).∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，∴eq\f(x1－x2,x1＋1x2＋1)>0，即y1－y2>0，y1>y2，∴y＝eq\f(x,x＋1)在(－1，＋∞)上是增函数．《函数的单调性》专题训练[合格基础练]一、选择题1．函数y＝eq\f(1,x)的单调递减区间是()A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)C[函数y＝eq\f(1,x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．由函数的图象可知y＝eq\f(1,x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是减函数．]2．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在RA．a≥eq\f(1,2) B．a≤eq\f(1,2)C．a>eq\f(1,2) D．a<eq\f(1,2)D[函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则2a－1<0，即a<eq\f(1,2).故选D.]3．下列函数中，在(0,2)上是增函数的是()A．y＝eq\f(1,x) B．y＝2x－1C．y＝1－2x D．y＝(2x－1)2B[对于A，y＝eq\f(1,x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减；对于B，y＝2x－1在R上单调递增；对于C，y＝1－2x在R上单调递减；对于D，y＝(2x－1)2在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递增．故选B.]4．函数f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的递增区间依次是()A．(－∞，0]，(－∞，1] B．(－∞，0]，(1，＋∞)C．[0，＋∞)，(－∞，1] D．[0，＋∞)，[1，＋∞)C[分别作出f(x)与g(x)的图象得：f(x)在[0，＋∞)上递增，g(x)在(－∞，1]上递增，选C.]5．f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数，a∈R，则()A．f(a)＜f(2a) B．f(a2)＜f(aC．f(a2＋1)＜f(a) D．f(a2＋a)＜f(a)C[因为a∈R，所以a－2a＝－a与0的大小关系不定，无法比较f(a)与f(2a)的大小，故A错；而a2－a＝a(a－1)与0的大小关系也不定，也无法比较f(a2)与f(a)的大小，故B错；又因为a2＋1－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)＞0，所以a2＋1＞a.又f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数，故有f(a2＋1)＜f(a)，故C对；易知D错．故选C.]二、填空题6．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上是增函数，则实数a的取值范围为________．(－∞，2][∵函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的对称轴为x＝eq\f(a－1,2)且在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上是增函数，∴eq\f(a－1,2)≤eq\f(1,2)，即a≤2.]7．若函数f(x)＝eq\f(1,x＋1)在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．[－1，＋∞)[函数f(x)＝eq\f(1,x＋1)的单调递减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)，又f(x)在(a，＋∞)上单调递减，所以a≥－1.]8．已知f(x)在定义域内是减函数，且f(x)>0，在其定义域内下列函数为单调增函数的是________．①y＝a＋f(x)(a为常数)；②y＝a－f(x)(a为常数)；③y＝eq\f(1,fx)；④y＝[f(x)]2.②③[f(x)在定义域内是减函数，且f(x)>0时，－f(x)，eq\f(1,fx)均为递增函数，故选②③.]三、解答题9．f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，解不等式f(x)＞f(8(x－2))．[解]由f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,8x－2>0，,x>8x－2，))解得2＜x＜eq\f(16,7).10．证明：函数f(x)＝x2－eq\f(1,x)在区间(0，＋∞)上是增函数．[证明]任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝xeq\o\al(2,1)－eq\f(1,x1)－xeq\o\al(2,2)＋eq\f(1,x2)＝(x1－x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＋\f(1,x1x2))).∵0<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋x2＋eq\f(1,x1x2)>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)＝x2－eq\f(1,x)在区间(0，＋∞)上是增函数．[等级过关练]1．若函数y＝ax与y＝－eq\f(b,x)在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上()A．单调递增 B．单调递减C．先增后减 D．先减后增B[由于函数y＝ax与y＝－eq\f(b,x)在(0，＋∞)上均为减函数，故a<0，b<0，故二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象开口向下，且对称轴为直线x＝－eq\f(b,2a)<0，故函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上单调递减．]2．定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有eq\f(fx2－fx1,x2－x1)<0，则()A．f(3)<f(2)<f(1)B．f(1)<f(2)<f(3)C．f(2)<f(1)<f(3)D．f(3)<f(1)<f(2)A[对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有eq\f(fx2－fx1,x2－x1)<0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，则f(x)在R上是减函数．又3>2>1，则f(3)<f(2)<f(1)．故选A.]3．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3x＋5，x≤1，,\f(2a,x)，x>1))是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．(0,2][依题意得实数a满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3<0，,2a>0，,a－3＋5≥2a，))解得0<a≤2.]4．函数f(x)＝2x2－3|x|的单调递减区间是________．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))[函数f(x)＝2x2－3|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2－3x，x≥0，,2x2＋3x，x<0，))图象如图所示，f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))).]5．已知一次函数f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)(x＋m)，且f(f(x))＝16x＋5.(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数m的取值范围．[解](1)由题意设f(x)＝ax＋b(a>0)．从而f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝16，,ab＋b＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝－\f(5,3)))(不合题意，舍去)．所以f(x)的解析式为f(x)＝4x＋1.(2)g(x)＝f(x)(x＋m)＝(4x＋1)(x＋m)＝4x2＋(4m＋1)x＋m，g(x)图象的对称轴为直线x＝－eq\f(4m＋1,8).若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，则－eq\f(4m＋1,8)≤1，解得m≥－eq\f(9,4)，所以实数m的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，＋∞)).第2课时函数的最大(小)值学习目标核心素养1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．(重点)2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(重点、难点)3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．(重点)4．通过本节内容的学习，使学生体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值中的作用，提高学生逻辑推理、数学运算的能力．(重点、难点)1.借助函数最值的求法，培养直观想象和数学运算素养．2．利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养．【新课导入】函数最大值与最小值最大值最小值条件设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有f(x)≤Mf(x)≥M∃x0∈I，使得f(x0)＝M结论M是函数y＝f(x)的最大值M是函数y＝f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标思考：若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．1．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．－1,0 B．0,2C．－1,2 D.eq\f(1,2)，2C[由图可知，f(x)的最大值为f(1)＝2，f(x)的最小值为f(－2)＝－1.]2．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)()A．有最大值 B．有最小值C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值D[∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)<f(0)＝－1，故选D.]3．函数f(x)＝eq\f(1,x)，x∈[1,2]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．1eq\f(1,2)[∵f(x)＝eq\f(1,x)在区间[1,2]上为减函数，∴f(2)≤f(x)≤f(1)，即eq\f(1,2)≤f(x)≤1.]【合作探究】利用函数的图象求函数的最值(值域)【例1】已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x2，x∈[－1，2]，,x－3，x∈2，5].))(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象；(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．[解](1)图象如图所示：(2)由图可知f(x)的单调递增区间为(－1,0)，(2,5)，单调递减区间为(0,2)，值域为[－1,3]．利用图象求函数最值的方法1画出函数y＝fx的图象；2观察图象，找出图象的最高点和最低点；3写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.1．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1，,\f(1,x)，x>1，))求f(x)的最大值、最小值．[解]作出函数f(x)的图象(如图)．由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.利用函数的单调性求最值(值域)【例2】已知函数f(x)＝eq\f(2x＋1,x＋1).(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．[解](1)f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(2x1＋1,x1＋1)－eq\f(2x2＋1,x2＋1)＝eq\f(x1－x2,x1＋1x2＋1)，因为－1<x1<x2⇒x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0⇒f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(2)＝eq\f(2×2＋1,2＋1)＝eq\f(5,3)，最大值f(4)＝eq\f(2×4＋1,4＋1)＝eq\f(9,5).1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．提醒：(1)求最值勿忘求定义域．(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．2．求函数f(x)＝x＋eq\f(4,x)在[1,4]上的最值．[解]设1≤x1<x2<2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋eq\f(4,x1)－x2－eq\f(4,x2)＝x1－x2＋eq\f(4x2－x1,x1x2)＝(x1－x2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,x1x2)))＝(x1－x2)eq\f(x1x2－4,x1x2)＝eq\f(x1－x2x1x2－4,x1x2).∵1≤x1<x2<2，∴x1－x2<0，x1x2－4<0，x1x2>0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1,2)上是减函数．同理f(x)在[2,4]上是增函数．∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5.函数最值的实际应用【例3】一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？[解](1)当0<x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x>20时，y＝260－100－x＝160－x.故y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋32x－100，0<x≤20，,160－x，x>20))(x∈N*)．(2)当0<x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，ymax＝156.而当x>20时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．解实际应用题的四个步骤1审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系.2建模：建立数学模型，列出函数关系式.3求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法一定注意自变量的取值范围.4回归：数学问题回归实际问题，写出答案.3．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？[解]设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为500－10(x－50)＝(1000－10x)个，则y＝(x－40)(1000－10x)＝－10(x－70)2＋9000≤9000.故当x＝70时，ymax＝9000.即售价为70元时，利润最大值为9000元．二次函数的最值问题[探究问题]1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴与区间[m，n]可能存在几种位置关系，试画草图给予说明？提示：2．求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c在[m，n]上的最值，应考虑哪些因素？提示：若求二次函数f(x)在[m，n]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x＝－eq\f(b,2a)与区间[m，n]的关系．【例4】已知函数f(x)＝x2－ax＋1，求f(x)在[0,1]上的最大值．[思路点拨]eq\x(fx＝x2－ax＋1)eq\o(\A\AL(→,\s\up15(分类讨论)))eq\x(\A\AL(分析x＝\f(a,2)与,[0，1]的关系))eq\o(\A\AL(→,\s\up15(数形结合)))eq\x(\A\AL(求fx的最大值))[解]因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图象开口向上，其对称轴为x＝eq\f(a,2)，当eq\f(a,2)≤eq\f(1,2)，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a；当eq\f(a,2)>eq\f(1,2)，即a>1时，f(x)的最大值为f(0)＝1.1．在题设条件不变的情况下，求f(x)在[0,1]上的最小值．[解](1)当eq\f(a,2)≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]上单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝1.(2)当eq\f(a,2)≥1，即a≥2时，f(x)在[0,1]上单调递减，∴f(x)min＝f(1)＝2－a.(3)当0<eq\f(a,2)<1，即0<a<2时，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))上单调递减，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1))上单调递增，故f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝1－eq\f(a2,4).2．在本例条件不变的情况下，若a＝1，求f(x)在[t，t＋1](t∈R)上的最小值．[解]当a＝1时，f(x)＝x2－x＋1，其图象的对称轴为x＝eq\f(1,2)，①当t≥eq\f(1,2)时，f(x)在其上是增函数，∴f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1；②当t＋1≤eq\f(1,2)，即t≤－eq\f(1,2)时，f(x)在其上是减函数，∴f(x)min＝f(t＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)＝t2＋t＋1；③当t<eq\f(1,2)<t＋1，即－eq\f(1,2)<t<eq\f(1,2)时，函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(t，\f(1,2)))上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，t＋1))上单调递增，所以f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(3,4).二次函数在闭区间上的最值设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，则二次函数f(x)在闭区间[m，n]上的最大值、最小值有如下的分布情况：对称轴与区间的关系－eq\f(b,2a)＜m＜n，即－eq\f(b,2a)∈(－∞，m)m＜－eq\f(b,2a)＜n，即－eq\f(b,2a)∈(m，n)m＜n＜－eq\f(b,2a)，即－eq\f(b,2a)∈(n，＋∞)图象最值f(x)max＝f(n)，f(x)min＝f(m)f(x)max＝max{f(n)，f(m)}，f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))f(x)max＝f(m)，f(x)min＝f(n)1．函数的最大(小)值，包含两层意义：一是存在，二是在给定区间上所有函数值中最大(小)的，反映在函数图象上，函数的图象有最高点或最低点．2．求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是：(1)图象法，即画出函数的图象，根据图象的最高点或最低点写出最值；(2)单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值；(3)对于二次函数还可以用配方法研究，同时灵活利用数形结合思想和分类讨论思想解题．3．通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解题意识．【课堂达标】1．思考辨析(1)任何函数都有最大(小)值．()(2)函数f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b))．()(3)函数的最大值一定比最小值大．()[答案](1)×(2)×(3)√2．函数y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为()A．[0,3] B．[－1,0]C．[－1，＋∞) D．[－1,3]D[∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴当x＝1时，函数y取得最小值为－1，当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1,3]，故选D.]3．函数y＝ax＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a＝______.1[若a<0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即a＋1＝4，解得a＝3，不满足a<0，舍去；若a>0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是增函数，并且在区间的右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，解得a＝1.综上，a4．已知函数f(x)＝eq\f(2,x－1)(x∈[2,6])．(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数的最大值和最小值．[解](1)函数f(x)在x∈[2,6]上是减函数．证明：设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(2,x1－1)－eq\f(2,x2－1)＝eq\f(2[x2－1－x1－1],x1－1x2－1)＝eq\f(2x2－x1,x1－1x2－1).由2≤x1<x2≤6，得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝eq\f(2,x－1)是区间[2,6]上的减函数．(2)由(1)可知，函数f(x)＝eq\f(2,x－1)在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x＝2时取得最大值，最大值是2，在x＝6时取得最小值，最小值是eq\f(2,5).《函数的最大(小)值》专题训练[合格基础练]一、选择题1．函数y＝eq\f(1,x－1)在[2,3]上的最小值为()A．2 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,2)B[∵函数y＝eq\f(1,x－1)在[2,3]上单调递减，∴当x＝3时，ymin＝eq\f(1,3－1)＝eq\f(1,2).]2．函数f(x)＝－x2＋4x－6，x∈[0,5]的值域为()A．[－6，－2] B．[－11，－2]C．[－11，－6] D．[－11，－1]B[函数f(x)＝－x2＋4x－6＝－(x－2)2－2，x∈[0,5]，所以当x＝2时，f(x)取得最大值为－(2－2)2－2＝－2；当x＝5时，f(x)取得最小值为－(5－2)2－2＝－11，所以函数f(x)的值域是[－11，－2]．故选B.]3．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋6，x∈[1，2]，,x＋7，x∈[－1，1，))则f(x)的最大值、最小值分别为()A．10,6 B．10,8C．8,6 D．以上都不对A[当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x<1时，6≤x＋7<8，∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.故选A.]4．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1] B．(－∞，0]C．(－∞，0) D．(0，＋∞)C[令f(x)＝－x2＋2x，则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0，∴a<0.]5．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为()A．90万元 B．60万元C．120万元 D．120.25万元C[设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(19,2)))2＋30＋eq\f(192,4)，∴当x＝9或10时，L最大为120万元．]二、填空题6．函数f(x)＝eq\f(1,x)在[1，b](b>1)上的最小值是eq\f(1,4)，则b＝________.4[因为f(x)＝eq\f(1,x)在[1，b]上是减函数，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝eq\f(1,b)＝eq\f(1,4)，所以b＝4.]7．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．1[函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0,1]，且函数有最小值－2.故当x＝0时，函数有最小值，当x＝1时，函数有最大值．∵当x＝0时，f(0)＝a＝－2，∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.]8．函数f(x)＝eq\r(6－x)－3x在区间[2,4]上的最大值为________．－4[∵y＝eq\r(6－x)在区间上是减函数，y＝－3x在区间上是减函数，∴函数f(x)＝eq\r(6－x)－3x在区间上是减函数，∴f(x)max＝f(2)＝eq\r(6－2)－3×2＝－4.]三、解答题9．画出函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)，x∈－∞，0，,x2＋2x－1，x∈[0，＋∞))的图象，并写出函数的单调区间，函数的最小值．[解]函数的图象如图所示．由图象可知f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和[0，＋∞)，无递减区间．由函数图象可知，函数的最小值为f(0)＝－1.10．已知函数f(x)＝－x2＋2x－3.(1)求f(x)在区间[2a－1,2]上的最小值g(a(2)求g(a)的最大值．[解](1)f(x)＝－(x－1)2－2，f(2)＝－3，f(0)＝－3，∴当2a－1≤0，即a≤eq\f(1,2)时，f(x)min＝f(2a－1)＝－4a2＋8a当0＜2a－1＜2，即eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2)时，f(x)min＝f(2)＝－3.所以g(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4a2＋8a－6，a≤\f(1,2)，,－3，\f(1,2)<a<\f(3,2).))(2)当a≤eq\f(1,2)时，g(a)＝－4a2＋8a－6单调递增，∴g(a)≤geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－3；又当eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2)时，g(a)＝－3，∴g(a)的最大值为－3.[等级过关练]1．函数f(x)＝－x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,3)))上的最大值是()A.eq\f(3,2) B．－eq\f(8,3)C．－2 D．2A[∵f(x)＝－x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,3)))上单调递减，∴f(x)max＝f(－2)＝2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).]2．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是()A．[1，＋∞) B．[0,2]C．(－∞，2] D．[1,2]D[f(x)＝(x－1)2＋2，∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，∴1≤m≤2，故选D.]3．函数g(x)＝2x－eq\r(x＋1)的值域为________．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,8)，＋∞))[设eq\r(x＋1)＝t(t≥0)，则x＋1＝t2，即x＝t2－1，∴y＝2t2－t－2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,4)))2－eq\f(17,8)，t≥0，∴当t＝eq\f(1,4)时，ymin＝－eq\f(17,8)，∴函数g(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,8)，＋∞)).]4．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．6[在同一个平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象．根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图象应为图中的实线部分．解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为(4,6)．所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，0≤x≤4，,10－x，x>4，))其最大值为交点的纵坐标，所以f(x)的最大值为6.]5．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：x4550y2712(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)．(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？[解](1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b，由表格得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(45a＋b＝27，,50a＋b＝12，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝162，))所以y＝f(x)＝－3x＋162.又y≥0，所以30≤x≤54，故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30,54]．(2)由题意得，P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)＝－3x2＋252x－4860＝－3(x－42)2＋432，x∈[30,54]．当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．3.2.2奇偶性第1课时奇偶性的概念学习目标核心素养1.理解奇函数、偶函数的定义．2．了解奇函数、偶函数图象的特征．3．掌握判断函数奇偶性的方法.1.借助奇(偶)函数的特征，培养直观想象素养．2．借助函数奇、偶的判断方法，培养逻辑推理素养．【新课导入】函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数条件设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I结论f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)图象特点关于y轴对称关于原点对称思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？提示：定义域关于原点对称．1．下列函数是偶函数的是()A．y＝xB．y＝2x2－3C．y＝eq\f(1,\r(x))D．y＝x2，x∈[0,1]B[选项C、D中函数的定义域不关于原点对称，选项A中的函数是奇函数，故选B.]2．下列图象表示的函数具有奇偶性的是()ABCDB[B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性．]3．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于()A．－1 B．0C．1 D．无法确定C[∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1.]4．若f(x)为R上的偶函数，且f(2)＝3，则f(－2)＝________.3[∵f(x)为R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝3.]【合作探究】函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝eq\r(1－x2)＋eq\r(x2－1)；(3)f(x)＝eq\f(2x2＋2x,x＋1)；(4)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x<0，,0，x＝0，,x＋1，x>0.))[解](1)函数的定义域为R，关于原点对称．又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，因此函数f(x)是奇函数．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2≥0，,x2－1≥0))得x2＝1，即x＝±1.因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(4)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．f(－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－1，－x<0，,0，－x＝0，,－x＋1，－x>0，))即f(－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x>0，,0，x＝0，,－x－1，x<0.))于是有f(－x)＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法：(2)图象法：1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号)①f(x)＝x3；②f(x)＝|x|＋1；③f(x)＝eq\f(1,x2)；④f(x)＝x＋eq\f(1,x)；⑤f(x)＝x2，x∈[－1,2]．②③[对于①，f(－x)＝－x3＝－f(x)，则为奇函数；对于②，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1，则为偶函数；对于③，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝eq\f(1,－x2)＝eq\f(1,x2)＝f(x)，则为偶函数；对于④，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－x－eq\f(1,x)＝－f(x)，则为奇函数；对于⑤，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数．]奇偶函数的图象问题【例2】已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．[解](1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．(2)由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题．[解](1)如图所示(2)由(1)可知，使函数值y<0的x的取值集合为(－5，－2)∪(2,5)．巧用奇、偶函数的图象求解问题1依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称.2求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.2．如图是函数f(x)＝eq\f(1,x2＋1)在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据．[解]因为f(x)＝eq\f(1,x2＋1)所以f(x)的定义域为R.又对任意x∈R，都有f(－x)＝eq\f(1,－x2＋1)＝eq\f(1,x2＋1)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．所以f(x)的图象关于y轴对称，其图象如图所示．,利用函数的奇偶性求值[探究问题]1．对于定义域内的任意x，若f(－x)＋f(x)＝0，则函数f(x)是否具有奇偶性？若f(－x)－f(x)＝0呢？提示：由f(－x)＋f(x)＝0得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．由f(－x)－f(x)＝0得f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)的值可求吗？若f(x)为偶函数呢？提示：若f(x)为奇函数，则f(0)＝0；若f(x)为偶函数，无法求出f(0)的值．【例3】(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，(2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.[思路点拨](1)eq\x(fx是偶函数)eq\o(→,\s\up15(定义域关于),\s\do15(原点对称))eq\x(求a的值)eq\o(→,\s\up15(图象关于),\s\do15(y轴对称))eq\x(求b的值)(2)eq\x(令gx＝x7－ax5＋bx3＋cx)→eq\x(\a\al(判断gx,的奇偶性))→eq\x(\a\al(计算g－3))→eq\x(\a\al(代入求得f3))(1)eq\f(1,3)0(2)7[(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝eq\f(1,3).又函数f(x)＝eq\f(1,3)x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.]利用奇偶性求参数的常见类型及策略1定义域含参数：奇、偶函数fx的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数.2解析式含参数：根据f－x＝－fx或f－x＝fx列式，比较系数即可求解.3．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.4[法一：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f(－x)＝(－x＋a)(－x－4)＝x2－(a－4)x－4a，两式恒相等，则a－4＝0，即法二：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a－4＝0，则a法三：根据二次函数的奇偶性可知，形如f(x)＝ax2＋c的都是偶函数，因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则a＝4.]1．奇偶性是函数“整体”性质，只有对函数f(x)定义域内的每一个值x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇函数(或偶函数)．2．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．【课堂达标】1．思考辨析(1)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．()(2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．()(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．()(4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．函数f(x)＝|x|＋1是()A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数B[∵f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，∴f(x)为偶函数．]3．已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝______.0[∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0，∴2ax2＝0对任意x∈R恒成立，所以a＝0.]4．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象；(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间；(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．[解](1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(0,2)．《奇偶性的概念》专题训练[合格基础练]一、选择题1．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2－eq\f(1,2)x，则f(1)＝()A．－eq\f(3,2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(3,2) D.eq\f(1,2)A[因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1)＝－f(－1)＝－eq\f(3,2).]2．若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，则必有()A．f(x)f(－x)>0 B．f(x)f(－x)<0C．f(x)<f(－x) D．f(x)>f(－x)B[∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，又f(x)≠0，∴f(x)f(－x)＝－[f(x)]2<0.]3．函数f(x)＝2x－eq\f(1,x)的图象关于()A．y轴对称 B．直线y＝－x对称C．直线y＝x对称 D．坐标原点对称D[函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f(－x)＝－2x＋eq\f(1,x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，则函数f(x)＝2x－eq\f(1,x)的图象关于坐标原点对称．故选D.]4．下列函数为奇函数的是()A．y＝－|x| B．y＝2－xC．y＝eq\f(1,x3) D．y＝－x2＋8C[A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶，而C项中函数为奇函数．]5．下列说法中错误的个数为()①图象关于坐标原点对称的函数是奇函数；②图象关于y轴对称的函数是偶函数；③奇函数的图象一定过坐标原点；④偶函数的图象一定与y轴相交．A．4 B．3C．2 D．1C[由奇函数、偶函数的性质，知①②说法正确；对于③，如f(x)＝eq\f(1,x)，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是奇函数，但它的图象不过原点，所以③说法错误；对于④，如f(x)＝eq\f(1,x2)，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是偶函数，但它的图象不与y轴相交，所以④说法错误．故选C.]二、填空题6．已知f(x)＝x3＋2x，则f(a)＋f(－a)的值为________．0[∵f(－x)＝－x3－2x＝－f(x)，∴f(－x)＋f(x)＝0，∴f(a)＋f(－a)＝0.]7．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m2[∵f(x)为偶函数，故m－2＝0，∴m＝2.]8．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.－5[由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.]三、解答题9．定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；(2)比较f(1)与f(3)的大小．[解](1)由于f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示．(2)观察图象，知f(3)<f(1)．10．已知函数f(x)＝x＋eq\f(m,x)，且f(1)＝3.(1)求m的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性．[解](1)由题意知，f(1)＝1＋m＝3，∴m＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x＋eq\f(2,x)，x≠0.∵f(－x)＝(－x)＋eq\f(2,－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)))＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．[等级过关练]1．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数C[∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)|g(x)|为奇函数，故选C.]2．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝()A．21 B．－21C．26 D．－26B[设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数，由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，求得g(－3)＝13.又g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21.]3．设函数f(x)＝eq\f(x＋1x＋a,x)为奇函数，则a＝________.－1[∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即eq\f(－x＋1－x＋a,－x)＝－eq\f(x＋1x＋a,x).显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.]4．设奇函数f(x)的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时f(x)的图象如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为________．[－6，－3)∪(0,3)[由f(x)在[0,6]上的图象知，满足f(x)<0的不等式的解集为(0,3)．又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．]5．已知函数f(x)＝eq\f(ax2＋1,bx＋c)是奇函数，且f(1)＝3，f(2)＝5，求a，b，c的值．[解]因为函数f(x)＝eq\f(ax2＋1,bx＋c)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，故eq\f(a－x2＋1,b－x＋c)＝－eq\f(ax2＋1,bx＋c)，即eq\f(ax2＋1,－bx＋c)＝－eq\f(ax2＋1,bx＋c)，所以－bx＋c＝－(bx＋c)，即c＝－c，解得c＝0.所以f(x)＝eq\f(ax2＋1,bx).而f(1)＝eq\f(a×12＋1,b×1)＝eq\f(a＋1,b)＝3，所以a＋1＝3b.①由f(2)＝5，即eq\f(a×22＋1,b×2)＝eq\f(4a＋1,2b)＝5.②解①②组成的方程组，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(7,2)，,b＝\f(3,2).))故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(7,2)，,b＝\f(3,2)，,c＝0.))第2课时奇偶性的应用学习目标核心素养1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式．2．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题.1.利用奇偶性求函数的解析式，培养逻辑推理素养．2．借助奇偶性与单调性的应用提升逻辑推理、数学运算素养.【合作探究】用奇偶性求解析式【例1】(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求f(x)的解析式；(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，求函数f(x)，g(x)的解析式．[思路点拨](1)eq\x(设x<0，则－x>0)eq\o(→,\s\up15(当x>0),\s\do15(fx＝－x＋1))eq\x(求f－x)eq\o(→,\s\up15(奇函数))eq\x(得x<0时fx的解析式)eq\o(→,\s\up15(奇函数),\s\do15(的性质))eq\x(f0＝0)eq\o(→,\s\up15(分段函数))eq\x(fx的解析式)(2)eq\x(fx＋gx＝\f(1,x－1))eq\o(→,\s\up15(用－x代式中x))eq\x(得f－x＋g－x＝\f(1,－x－1))eq\o(→,\s\up15(奇偶性))eq\x(得fx－gx＝－\f(1,x＋1))eq\o(→,\s\up15(解方程组))eq\x(\a\al(得fx，gx,的解析式))[解](1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴当x<0时，f(x)＝－x－1.又x＝0时，f(0)＝0，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－1，x<0，,0，x＝0，,－x＋1，x>0.))(2)∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．由f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，①用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝eq\f(1,－x－1)，∴f(x)－g(x)＝eq\f(1,－x－1)，②(①＋②)÷2，得f(x)＝eq\f(1,x2－1)；(①－②)÷2，得g(x)＝eq\f(x,x2－1).把本例(2)的条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求f(x)，g(x)的解析式．[解]∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，又f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，①用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝eq\f(1,－x－1)，即f(x)－g(x)＝eq\f(1,x＋1).②联立①②得f(x)＝eq\f(x,x2－1)，g(x)＝eq\f(1,x2－1).利用函数奇偶性求解析式的方法1“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.2要利用已知区间的解析式进行代入.3利用fx的奇偶性写出－fx或f－x，从而解出fx.提醒：若函数fx的定义域内含0且为奇函数，则必有f0＝0，但若为偶函数，未必有f0＝0.函数单调性和奇偶性的综合问题[探究问题]1．如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？提示：如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增；如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增．2．你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来？提示：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，那么f(3)和f(－2)的大小关系如何？若f(a)>f(b)，你能得到什么结论？提示：f(－2)>f(3)，若f(a)>f(b)，则|a|<|b|.角度一比较大小问题【例2】函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是()A．f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2))) B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))<f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))<f(1) D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))<f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))[思路点拨]eq\x(y＝fx＋2是偶函数)→eq\x(fx的图象关于x＝2对称)eq\o(→,\s\up15([0，2]上),\s\do15(递增))eq\x(比较大小)B[∵函数f(x＋2)是偶函数，∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，又f(x)在[0,2]上单调递增，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))<f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)