第13章 轴对称 人教版数学八年级上册导学案合集

第十三章轴对称课题：轴对称1．初步认识轴对称图形；归纳出轴对称图形、轴对称的概念，能用概念判断一个图形是否是轴对称图形．2．通过动手试验掌握线段的垂直平分线的定义，掌握线段垂直平分线与对称轴的关系．重点：判断轴对称图形和轴对称，并能够画出其对称轴．难点：比较观察轴对称图形与两个图形关于某直线对称的区别和联系．一、情景导入，感受新知师：对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．对称给我们带来了很多美的感受！(一边播放图片一边叙述，多媒体展示几组图片)师：画面上出现的物体图形都有什么共同特征？生：这些图形都具有对称特征．师：你能举出几个生活中具有对称特征的物体，并与同伴进行交流吗？学生思考，举例．教师板书课题：轴对称．二、自学互研，生成新知【自主探究】(一)阅读教材P58内容，回答下列问题：观察课本P58中的6幅图片，你能找出它们的共同特征吗？答：这些图形沿某一直线对折以后，直线两旁的部分能够互相重合．归纳：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称．(二)阅读教材P59第3个思考前的内容，回答下列问题：教材P59第1个思考中三幅图的特点是：每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形能与右边的图形重合．归纳：把一个图形沿某一直线对折后它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这一条直线(成轴)对称．这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．【合作探究】范例：下面的图形是轴对称图形吗？如果是，画出它的对称轴．思考：教材P59图13.1－3中这三对成轴对称的两个图形全等吗？为什么？如果把它们看成一个整体，它是一个轴对称图形吗？答：全等，学生简单回答合理即可，是轴对称图形．归纳：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形．把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称．eq\a\vs4\al(师生活动)①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．三、典例剖析，运用新知【合作探究】例：如图，△ABC和△A1B1C1关于y轴对称，点A的对应点是A1，y轴经过线段AA1的中点吗？y轴垂直线段AA1吗？答：经过，垂直．在图中，y轴是线段CC1和BB1的垂直平分线吗？答：是．归纳：1．经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．2．轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．eq\a\vs4\al(师生活动)①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．四、课堂小结，回顾新知本节课你学会了什么？有哪些收获？还有什么疑问？五、检测反馈、落实新知1．下列图案中，不是轴对称图形的是(A)2．轴对称图形的对称轴的条数(D)A．只有一条B．2条C．3条D．至少一条3．下列图形中对称轴最多的是(A)A．圆B．正方形C．等腰三角形D．线段4．李芳同学球衣上的号码是253，当他把镜子放在号码的正左边时，镜子中的号码是(A)A.B.C.D.六、课后作业：巩固新知(见学生用书)课题：线段的垂直平分线的性质和判定1．掌握线段垂直平分线的概念．2．理解线段垂直平分线的性质和判定定理．3．运用线段垂直平分线的性质和判定定理解决几何问题．重点：掌握垂直平分线的性质和判定，并学会运用．难点：运用线段垂直平分线性质解决几何问题．一、情景导入，感受新知问题1：下面图形中哪些是轴对称图形？如果是，请说出它的对称轴．问题2：如果两个图形成轴对称，那么这两个图形有什么关系？二、自学互研，生成新知【自主探究】(一)阅读教材P61最后两段话之前的内容，完成下面的问题：通过教材P61的探究发现P1A＝P1B，P2A＝P2B，P3A＝P3B.归纳：由此我们可以得出线段垂直平分线的以下性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．(二)阅读教材P61最后两段话，解决下列问题：用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的弓，箭通过木棒中央的孔射出去．(1)如图1，若AC＝BC，要使CO垂直于AB，需要添加什么条件？为什么？解：添加的条件是：点O是AB的中点．在△ACO和△BCO中，∵AC＝BC，AO＝BO，CO＝CO，∴△ACO≌△BCO(SSS)．∴∠AOC＝∠BOC＝90°.∴CO垂直平分AB.(2)如图2，拉动C，到达D的位置，若AD＝DB，那么点D在AB的垂直平分线上．(3)由(1)，(2)，你得到什么猜想？答：CO或DO垂直平分AB.归纳：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．eq\a\vs4\al(师生活动)①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．三、典例剖析，运用新知【合作探究】例1：如图所示，有一块三角形田地。AB＝AC＝10m，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周长为17m，请你替测量人员计算BC的长．解：∵ED是AB的垂直平分线，∴DA＝DB.又∵△BDC的周长为17m，AB＝AC＝10m，∴BD＋DC＋BC＝17(m)．∴DA＋DC＋BC＝17，即AC＋BC＝17(m)．∴10＋BC＝17(m)，BC＝7(m)．例2：尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．已知：直线AB和AB外一点C.求作：AB的垂线，使它经过点C.作法：(1)任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．(2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E.(3)分别以点D和点E为圆心，大于eq\f(1,2)DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.(4)作直线CF.直线CF就是所求作的垂线．eq\a\vs4\al(师生活动)①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．四、课堂小结，回顾新知本节课你学会了什么？有哪些收获？和同学们交流一下．1．线段垂直平分线的性质．2．线段垂直平分线的判定．3．作线段的垂直平分线．五、检测反馈、落实新知1．如图，直线EF垂直平分BC，且BD＝5，BF＝4，则△BCD的周长为(C)A．9B．14C．18D．202．到三角形三个顶点距离相等的点是(C)A．三角形三条角平分线的交点B．三角形三条中线的交点C．三角形三边垂直平分线的交点D．三角形三条高线的交点3．如图所示，△ABC与△A′B′C′关于某条直线对称，请你作出这条直线．解：(1)如图所示，连接BB′，分别以点B，B′为圆心。以大于eq\f(1,2)BB′的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点；(2)作直线DE，DE即为所求的直线．六、课后作业：巩固新知(见学生用书)

课题：作轴对称图形的对称轴1．知道“连接对称点的线段被对称轴垂直平分”．2．熟练画出轴对称图形的对称轴．3．培养良好的动手实践能力．画出轴对称图形的对称轴．一、情景导入，感受新知利用多媒体向学生展示剪纸图片，供学生欣赏，并请学生交流：如此漂亮的图片是如何剪出的呢？二、自学互研，生成新知【自主探究】(一)阅读教材P62“思考”至本页结束．问题1：请学生拿出画有一个简单风筝(如图形状)的半透明纸，把这张纸对折后描图，学生画好后打开对折的纸，观察并回答下列问题：(1)画出的图形与原来的图形有什么关系？(2)两个图形成轴对称有什么特征？问题2：如果改变对称轴的方向和位置，结果又如何呢？让学生在刚才的纸上任意折叠，描图，打开纸．你发现了什么？问题3：如图所示，△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，则在以下结论中不正确的是(D)A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4C．l垂直平分AB，且l垂直平分CDD．AC与BD互相平分归纳：作轴对称图形的对称轴就是作出一对对应点所连线段的垂直平分线．(二)阅读教材P63内容，完成下列问题：教材P63例2是如何作出点A与点B的对称轴的呢？答：作点A和点B连线的垂直平分线．归纳：对于轴对称图形，只要找出任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．eq\a\vs4\al(师生活动)①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．三、典例剖析，运用新知【合作探究】问题：队上面所用的描图法；还可用什么方法画出轴对称变换后的图形？请学生间交流探讨．例1：(1)如图1已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形．(2)将△ABC的位置移至图2，图3，图4时，再作出关于直线l对称的图形，并验证画法．【归纳总结】一个平面图形都是由一些点组成，点动成线，故要画一个图形经轴对称后的图形，只要找到一些特殊点，作出这些特殊点的对称点即可．eq\a\vs4\al(师生活动)①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．四、课堂小结，回顾新知教师请学生回忆本节内容，学生发言谈收获，最后引导总结．1．由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与在图形的形状、大小完全一样．2．经轴对称变换后的图形与原图形上的对应点连线被对称轴垂直平分．3．画一个图形经轴对称变换后的图形，关键是找到图形上的一些点，作出这些点的对称．五、检测反馈、落实新知1．如图，分别以直线l为对称轴，所作轴对称图形错误的是(C),A),B),C),D)2．点A与点A′关于直线l对称，下列说法错误的是(B)A．直线l与线段AA′垂直B．线段AA′平分直线lC．直线l平分线段AA′D．直线l垂直平分线段AA′3．下列说法正确的是(D)A．若点A和点A′到直线l的距离相等，则点A和点A′关于直线l对称B．若直线l垂直平分线段AA′，且AB＝A′B′，则线段AB和A′B′关于直线l对称C．若两个三角形关于某条直线对称，则任意对应点连线垂直平分对称轴D．若线段AB和A′B′关于某直线对称，则AB＝A′B′六、课后作业：巩固新知(见学生用书)课题：画轴对称图形1．指导学生能熟练画出一个图形关于某一条直线对称的轴对称图形．2．培养学生的良好动手实践能力．理解两个图形关于某一条直线对称的特征，并能画轴对称图形．一、情景导入，感受新知如图，给出了一个图案的一半，其中的虚线是这个图案的对称轴．(1)你能猜出整个图案的形状吗？(2)你能画出这个图案的另一半吗？几何图形都可以看作是由点组成的，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点便可以得到原图形的轴对称图形，如何作出点A、B、C、D关于直线l的对称点呢？二、自学互研，生成新知【自主探究】(一)阅读教材P67思考之前的内容，完成下列问题：如图，观察下面图形剪纸形成过程并填空：1．剪纸得到的另一半图形与原图形的形状、大小一样吗？答：两个图形形状、大小完全一样．2．新图形上的每一点，都与原图形上的某一点关于直线l对称．3．连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．(二)阅读教材P67思考之后～P68练习之前的内容，完成以下问题：从教材P67例1，我们可以知道：1．找点A关于直线l的对称点A′的方法是：过点A画直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA′＝OA.A′就是点A关于直线l的对称点．2．作△ABC关于直线l对称的图形的方法是：分别找出三角形ABC的三个顶点关于直线l的对称点，连接这些对称点，就能得到要画的图形．eq\a\vs4\al(师生活动)①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．三、典例剖析，运用新知【合作探究】例：1如图，将一张长方形纸对折，用圆规针尖扎出一个“∑”符号，然后将纸打开后铺平．(1)图中两个“∑”关于折痕l__对称__；(2)在扎出“∑”的过程中，点A与__A＇__重合，点B与__B＇__重合，点C与__C＇__重合；线段AB与__A＇B＇__重合，线段BC与__B＇C＇__重合，∠OAB与__∠O＇A＇B＇__重合，∠ABC与__∠A＇B＇C＇__重合；所以线段∠ABC__＝__∠A′B′C′(以上四空填“＝”或“≠”)；(3)点O到l的距离__＝__点O′到l的距离(以上四空填“＝”或“≠”)；所以线段OO′被l__垂直平分__，线段BB′被l__垂直平分__．例：2(1)如图，A，B，C，D的对称点分别是__E，F，G，H__，线段AC，AB的对应线段分别是__EG，EF__，CD＝__GH__，∠CBA＝__∠GFE__，∠ADC＝__∠EHG__；(2) 连接AF，BE，则线段AF，BE有什么关系？并用测量的方法验证．例：3在图中，画出△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于l成轴对称图形．eq\a\vs4\al(师生活动)①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．四、课堂小结，回顾新知1．两个图形关于某一条直线对称的特征．2．画轴对称图形．五、检测反馈、落实新知1．作已知点关于某直线的对称点的第一步是(B)A．过已知点作一条直线与已知直线相交B．过已知点作一条直线与已知直线垂直C．过已知点作一条直线与已知直线平行D．不确定2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为(C)A．50°B．30°C．100°D．90°第2题图第3题图3．如图，△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，△A1B1C1和△A2B2C2关于直线EF对称．(1)画直线EF；(2)若直线MN与直线EF交于点O，所夹的角为45°，求∠BOB2的度数．解：(1)连C1C2作C1C2的垂直平分线EF；(2)连OB、OB1、OB2，则∠BOB2＝2∠MOE＝90°.六、课后作业：巩固新知(见学生用书)课题：用坐标表示轴对称1．在平面直角坐标系中，探索并掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标规律．2．利用关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，作出关于x轴、y轴对称图形．利用坐标的变化规律在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴和y轴的对称图形．一、情景导入，感受新知用多媒体展示北京城风光图片，及北京城形象地图．问题：老北京的地图(教材图13.2－3)中，西直门和东直门是关于中轴线对称的，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y建建立平面直角坐标系，对应于如教材图13.2－3所示的东直门的坐标，你能找到西直门的位置和坐标吗？二、自学互研，生成新知【自主探究】阅读教材P69～P70例2之前的内容，完成下面的问题：(1)在直角坐标系中画出下列已知点A(2，－3)，B(－1，2)，C(－6，－5)，D(3，5)，E(4，0)，F(0，3)；(2)画出这些点分别关于x轴、y轴对称的点，并填写表格；图略．(3)请你仔细观察点的坐标，你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗？(4)请你想办法检验你所发现的规律的正确性，说明你是如何检验的．已知点A(2，－3)B(－1，2)C(－6，－5)D(3，5)E(4，0)F(0，3)关于x轴的对称点A′(2，3)B′(－1，－2)C′(－6，5)D′(3，－5)E′(4，0)F′(0，－3)关于y轴的对称点A″(－2，－3)B″(1，2)C″(6，－5)D″(－3，5)E″(－4，0)F″(0，3)归纳：1关于x轴对称的点的坐标规律是：横坐标相同，纵坐标为相反数．2．在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标变为其相反数．点(x，y)关于x轴的对称点的坐标为(x，－y)．3．在平面直角坐标系中，关于y轴对称的点横坐标变为其相反数，纵坐标不变．点(x，y)关于y轴的对称点的坐标为(－x，y)．eq\a\vs4\al(师生活动)①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．三、典例剖析，运用新知【合作探究】例1：已知点P1(a－1，5)和P2(2，b－1)关于x轴对称，则(a＋b)2012的值为()A．0B．－1C．1D．(－3)2012【分析】由题意可知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1＝2，,b－1＝－5.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－4.))∴(a＋b)2012＝(3－1)2012＝1，选C.出示新问题：1．如图，分别作出△PQR关于直线x＝1和直线y＝1对称的图形．2．找出它们对应点的坐标．3．猜想：如果作关于直线x＝3和直线y＝－4对称的图形，试找出它们对应点的坐标，并总结出一般性规律．点(x，y)关于直线x＝m对称点的坐标是(2m－x，y)，即若两点(x1，y1)，(x2，y2)关于直线x＝m对称，则m＝eq\f(x1＋x2,2)，y1＝y2.点(x，y)关于直线y＝n对称点的坐标是(x，2n－y)，即若两点(x1，y1)，(x2，y2)关于直线y＝n对称，则x1＝x2n＝eq\f(y1＋y2,2).例2：如图，梯形ABCD关于y轴对称，点A的坐标为(－3，3)，点B的坐标为(－2，0)，试写出点C和点D的坐标，并求出梯形ABCD的面积．【分析】已知点D与点A关于y轴对称，点B和点C关于y轴对称，由此可推知点D，点C的坐标．解：∵点D与点A(－3，3)关于y轴对称，∴点D的坐标为(3，3)．同理点C的坐标为(2，0)．故AD＝|3－(－3)|＝6，BC＝|2－(－2)|＝4，∴S梯形＝eq\f(1,2)(AD＋BC)·OE＝eq\f(1,2)×(6＋4)×3＝15.eq\a\vs4\al(师生活动)①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．四、课堂小结，回顾新知教师引导学生总结本节课用坐标表示轴对称的主要解题方法和解题思路．1．已知点关于某条直线对称的点的坐标可以通过寻找线段间关系来求．2．学生表述关于x轴，y轴对称的点的坐标规律．五、检测反馈、落实新知1．点(3，2)关于x轴的对称点为(A)A．(3，－2)B．(－3，2)C．(－3，－2)D．(2，－3)2．在平面直角坐标系中，点A关于y轴对称的点A′的坐标为(－2，7)，则点A的坐标为(2，7)．3．已知点A(m＋2，3)、B(－5，n＋6)关于y轴对称，则m＝3，n＝－3．4．(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′(其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法)；(2)直接写出A′，B′，C′三点的坐标：A′(________)，B′(________)，C′(________)；(3)求△ABC的面积是多少？解：(1)如图所示；(2)(3，2)、(4，－3)、(1，－1)；(3)△ABC的面积是：3×5－eq\f(1,2)×1×5－eq\f(1,2)×2×3－eq\f(1,2)×2×3＝6.5.六、课后作业：巩固新知(见学生用书)课题：等腰三角形的性质1．探索并证明等腰三角形的性质．2．运用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等．3．体会轴对称在研究几何问题中的作用.重点：理解和掌握等腰三角形的性质．难点：等腰三角形性质证明中辅助线的添加和对性质2的理解．一、情景导入，感受新知问题：让学生根据自己的理解，做一个等腰三角形．要求学生独立思考，动手做图后，再互相交流评价．可按下列方法做出：作一条直线l，在l上取点A，在l外取点B，作出点B关于直线l的对称点C，连接AB，AC，CB，则可得到一个等腰三角形．学生动手、观察，教师在学生观察的同时提出问题．学生讨论，教师在学生充分发表自己的想法基础上给出画图的方法，并画出图形．二、自学互研，生成新知【自主探究】(一)阅读教材P75～P76例1之前，回答下列内容：1．用剪刀按照P75“探究”介绍的方法，剪出一个等腰三角形，想一想，它是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？解：它是轴对称图形，底边上的垂直平分线．2．将1中的等腰三角形沿对称轴对折，找出重合的线段和角，由此你发现了等腰三角形的哪些性质？解：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．(简写成“解：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一”)归纳：我们可以得出等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)．(二)除了教材P76的证明方法证明性质1，你还有其他的方法吗？解：方法二：作BC的垂线AD，垂足为D，则△ADB与△ADC是直角三角形．因为AB＝AC，AD＝AD，所以△ADB≌△ADC(HL)．所以∠B＝∠C.方法三：作∠A的平分线AD，因为AB＝AC，AD＝AD，∠BAD＝∠CAD，所以△ABD≌△ACD(SAS)．所以∠B＝∠C.填空：(1)已知等腰三角形的一个底角是70°，则其余两角为70°、40°．(2)已知等腰三角形的一个角是100°，则它的另外两个角是40°和40°；等腰三角形的两边长分别为8cm和6cm，则它的周长是20cm或22cm．eq\a\vs4\al(师生活动)①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．三、典例剖析，运用新知【合作探究】例1：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD(等边对等角)，设∠A＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，从而∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x.于是在△ABC中，有∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，于是在△ABC中，有∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°.例2：已知△ABC中AB＝AC，AD⊥BC于D，若△ABC、△ABD的周长分别是20cm和16cm，求AD的长．解：∵AB＝AC，AD⊥BC于D，∴BD＝DC(三线合一)．∴△ABC的周长＝2AB＋BC＝20cm.∴△ABD的周长＝AB＋eq\f(1,2)BC＋AD＝16cm.∴2AD＝12cm.∴AD＝6cm.eq\a\vs4\al(师生活动)①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．四、课堂小结，回顾新知这节课主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．请学生表述性质，提醒学生灵活运用．五、检测反馈、落实新知1．等腰三角形的一个内角为40°，则其余的两个内角的度数分别为(D)A．40°、100°B．70°、70°C．60°、80°D．40°、100°或70°、70°2．如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°，则∠B等于(D)A．50°B．40°C．25°D．20°第2题图第3题图3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则图中全等三角形共有(B)A．2对B．3对C．4对D．5对4．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，BF＝CE，BD＝CF，求∠DFE的度数．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.又∵BD＝CF，BF＝CE，∴△BDF≌△CFE(SAS)．∴∠BDF＝∠EFC.∴∠DFE＝180°－∠DFB－∠EFC＝180°－∠DFB－∠BDF＝∠B.∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠B＝∠C＝75°.∴∠DFE＝75°.六、课后作业：巩固新知(见学生用书)课题：等腰三角形的判定1．理解和掌握等腰三角形的判定方法．2．利用等腰三角形的判定方法证明相关问题，辅助以尺规作图为手段作等腰三角形．重点：等腰三角形判定的运用，利用尺规作图作等腰三角形．难点：等腰三角形判定的应用．一、情景导入，感受新知先请学生回忆等腰三角形的性质，再向学生提出下列问题．例1：如图，位于海上A，B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A＝∠B.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)．引导学生作如下思考：(1)应该能同时赶到出事地点，因为两艘救生船的速度相同，同时出发，在相同的时间内走过的路程应该相同，也就是OA＝OB，所以两船能同时赶到出事地点．(2)能同时赶到O点位置的一个很重要的因素是∠A＝∠B，也就是说如果∠A不等于∠B，那么同时以同样的速度出发就不能同时赶到出事地点．二、自学互研，生成新知【自主探究】1．用直尺和量角器画△ABC，使∠B＝∠C，再用刻度尺量一量线段AB、AC的长，你有什么发现？答：AB＝AC.2．猜想(教材P77思考)：我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角亦相等；如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边有什么关系？你能验证吗？答：相等，能．验证过程如下：已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C.求证：AB＝AC.证明：作△ABC边上的高AD.∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∵∠B＝∠C.∴△ABD≌△ACD(AAS)．∴AB＝AC.归纳：等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成：“等角对等边”)．练习：1．在△ABC中，若∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝70°，则有(C)A．AB＝ACB．AC＝BCC．AB＝BCD．AB＝AC＝BC2．如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于3cm．eq\a\vs4\al(师生活动)①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．三、典例剖析，运用新知【合作探究】例1：如图，标杆AB高5m，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D，E两点拉两条绳子，使得D，B，E在一条直线上，量得DE＝4m，绳子CD和CE要多长？【教学说明】这是一个与实际生活相关的问题，要解决这类问题，需要将实际问题抽象为数学模型，本题的实质是已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题．解：如图(2)，选取比例尺为1∶100.①作线段DE＝4cm.②作线段DE的垂直平分线MN，与DE交于点B.③在MN上截取BC＝2.5m.④连接CD，CE，△CDE就是所求的等腰三角形，量出CD的长，就可以计算出要求的绳长．例2：如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是两腰上的中线，求证：BD＝CE.证明：∵AB＝AC.∴∠ABC＝∠ACB(等边对等角)．又∵CD＝eq\f(1,2)AC，BE＝eq\f(1,2)AB，∴CD＝BE.在△BEC和△CDB中，∵BE＝CD，∠ABC＝∠ACB.BC＝CB.∴△BEC≌△CDB(SAS)．∴BD＝CEeq\a\vs4\al(师生活动)①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．四、课堂小结，回顾新知1．等腰三角形的判定方法．2．尺规作图手段作等腰三角形．五、检测反馈、落实新知1．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°.并说明图中有哪些等腰三角形．∠1＝72°，∠2＝36°，图中的等腰三角形有：△ABD、△ABC、△BCD．第1题图第2题图2．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O.给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.上述三个条件中，条件①③或②③可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)．3．如图，△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别为AB、BC、AC上的点，且BD＝CE，∠DEF＝∠B.求证：△DEF为等腰三角形．证明：∵∠DEC＝∠B＋∠BDE＝∠CEF＋∠DEF，∠DEF＝∠B，∴∠CEF＝∠BDE.∵AB＝AC，∴∠C＝∠B.在△BDE和△CEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠C，,BD＝CE，,∠BDE＝∠CEF，))∴△BDE≌△CEF(ASA)．∴DE＝FE，即△DEF是等腰三角形．六、课后作业：巩固新知(见学生用书)课题：等边三角形1．知道等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形是轴对称图形．2．能叙述、推证等边三角形的性质和判定方法．重点：等边三角形的性质与判定．难点：等边三角形的判定和性质的区别，等边三角形的判定的应用．一、情景导入，感受新知提问：同学们知道等边三角形是特殊的等腰三角形，那么一个等腰三角形满足什么条件时，使它成为等边三角形？把你的想法与同学们交流一下．二、自学互研，生成新知【自主探究】阅读教材P79标题13.3.2下的内容，完成下面的内容：由等腰三角形的性质和判定方法，可以得到：归纳：1.等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴．等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．2．三个角都相等的三角形是等边三角形．3．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．练习：如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，求证：△DEF是等边三角形．证明：∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE＝CF.∴AF＝BD＝CE.又∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS)．∴DF＝ED＝EF，∴△DEF是等边三角形．eq\a\vs4\al(师生活动)①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．三、典例剖析，运用新知【合作探究】例1：如图，已知P，Q是△ABC的边BC上两点，且PB＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的大小．【分析】由已知显然可知△APQ是等边三角形，每个角都是60°，又知△APB与△AQC都是等腰三角形，两底角相等，由三角形外角性质即可推得∠PAB＝30°.解：∵AP＝AQ＝PQ，∴△APQ是等边三角形．∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，又∵AP＝PB，∴∠PAB＝∠PBA.又∵∠APQ＝∠PBA＋∠PAB，∴∠PAB＝30°.同理∠QAC＝30°.∴∠BAC＝∠PAB＝∠PAQ＋∠QAC＝120°.例2：如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1，求AD的长．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，易证△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠DAC，AD＝BE，又∵∠BPQ＝∠ABE＋∠BAP，∴∠BPQ＝∠DAC＋∠BAP＝∠BAC＝60°，∴BQ⊥AD，∴BP＝2PQ＝6，BE＝BP＋PE＝7，∴AD＝BE＝7.eq\a\vs4\al(师生活动)①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．四、课堂小结，回顾新知这节课，我们自主探索、思考了等腰三角形成为等边三角形的条件，并对这个结论的证明有意识地渗透分类讨论的思想方法．这节课我们学的定理非常重要，在我们今后的学习中起着非常重要的作用．五、检测反馈、落实新知1．等边△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于(C)A．60°B．90°C．120°D．150°2．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AD＝2cm，则AB的长度是(C)A．2cmB．4cmC．8cmD．16cm3．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE＝CD.连接DE.(1)∠E等于多少度？(2)△DBE是什么三角形？为什么？解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°.∵CD＝CE，∴∠E＝∠CDE，∵∠ACB＝∠E＋∠CDE，∴∠E＝eq\f(1,2)∠ACB＝eq\f(1,2)×60°＝30°.(2)∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°.∵∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E.∴△DBE是等腰三角形．六、课后作业：巩固新知(见学生用书)课题：含30°角的直角三角形的性质1．理解掌握有一个角为30°的直角三角形的性质．2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．重点：含30°角的直角三角形的性质的发现与应用．难点：1.含30°角的直角三角形性质的探索与证明．2．引导学生全面、周到地思考问题．一、情景导入，感受新知我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质，大家可能已猜到，我让大家准备好的含30°角的直角三角形，它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？二、自学互研，生成新知【自主探究】请同学们准备好两个全等的含30°角的直角三角形，把相等的边拼在一起组成平面图形，有6种拼法．【合作探究】1．在这些图形中，轴对称图形有4个，其中三角形有2个，各是一个怎样的三角形？说说你的理由．解：一个是等腰三角形，一个是等边三角形．如图：2．你能借助图(2)，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？怎样证明．解：BC＝eq\f(1,2)AB.△ADC是△ABC的轴对称图形，因此AB＝AD，∠BAD＝2×30°＝60°，从而△ABD是一个等边三角形．再由AC⊥BD，可得BC＝CD＝eq\f(1,2)AB.于是我们得到：定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．eq\a\vs4\al(师生活动)①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．三、典例剖析，运用新知【合作探究】1：如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，立杆BC，DE要多长？【分析】观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于∠A＝30°，所以DE＝eq\f(1,2)AD，BC＝eq\f(1,2)AB，又由D是AB的中点，所以AD＝eq\f(1,4)AB.解：因为DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，由定理知BC＝eq\f(1,2)AB，DE＝eq\f(1,2)AD，所以BD＝eq\f(1,2)×7.4＝3.7(m)．又AD＝eq\f(1,2)AB，所以DE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)×3.7＝1.85(m)．答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.2：等腰三角形的底为15°，腰长为2a，求腰上的高．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝2a，∠ABC＝∠ACB＝15°，CD是腰AB上的高，求CD的长．【分析】观察图形可以发现，在Rt△ADC中，AC＝2a，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC＝15°×2＝30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，可求出CD.解：∵∠ABC＝∠ACB＝15°∴∠DAC＝∠ABC＋∠BCA＝30°.∴CD＝eq\f(1,2)AC＝a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角等于斜边的一半)．eq\a\vs4\al(师生活动)①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．四、课堂小结，回顾新知这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用．五、检测反馈、落实新知1．(张家界中考)如图所示，△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，则CD＝3．第1题图第2题图2．如图，已知在△ABC中，AB＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线交AC于点D，若AC＝6cm，则AD＝2cm.3．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°.求证：BD＝eq\f(1,4)AB.证明：在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴BC＝eq\f(1,2)AB.在Rt△BCD中，∠B＝60°，∴∠BCD＝30°，∴BD＝eq\f(1,2)BC，∴BD＝eq\f(1,4)AB.六、课后作业：巩固新知(见学生用书)课题：最短路径问题能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．如何选择最短路径．一、情景导入，感受新知前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马”问题．二、自学互研，生成新知【自主探究】阅读教材P85问题1.这是一个实际问题，你打算首先做什么？你能将这个问题抽象为数学问题吗？1.如图，点A、B在直线l的两侧，点C是直线l上的一个点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？解：连接AB，线段AB与l的交点C就是所求．2.如图，点A、B在直线l的同侧，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？你能利用轴对称的有关知识找到符合条件的点B′吗？解：如图所示：过点B做关于l的对称点B′，连接AB′，线段AB′与l的交点C即为所求．归纳：解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．eq\a\vs4\al(师生活动)①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．三、典例剖析，运用新知【合作探究】例1：要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管道最短？【分析】本问题就是要在l上的一点C，使AC与CB的和最小，设B′是B关于直线l的对称点，本问题也就是要使AC与CB′的和最小．在连接AB′的线中，线段AB′最短．因此，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求．例2：如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往同脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．【分析】由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR的和最小”．eq\a\vs4\al(师生活动)①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．四、课堂小结，回顾新知1．本节课研究问题的基本过程是什么？2．轴对称在所研究问题中起什么作用？解决问题时，我们应用了哪些数学思想方法？你还有哪些快收获？五、检测反馈、落实新知1．要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1km和3km，张村与李庄的水平距离为3km，则所用水管最短长度为5km．2．小英、小兰两家分别在公路的两侧(A、B两处)新建了住房，现在他们两家之间要修建一条公路，请你帮助他们设计一个公路修建方案，要达到既省工又省钱的目的．(要使修建的路最短，请