（江苏专用）高考数学三轮复习 解答题分层综合练（二）中档解答题规范练（2） 文 苏教版-苏教版高三数学试题

解答题分层综合练(二)中档解答题规范练(2)(建议用时：40分钟)1．(2019·连云港调研)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq\r(2)acosB＝ccosB＋bcosC.(1)求角B的大小；(2)设向量m＝(cosA，cos2A),n＝(12，－5)，求当m·n取最大值时，tanC的值．2.(2019·常州期末)如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，AB＝eq\r(2)AD＝2，CD＝3，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M，N分别是PA，PB的中点．(1)求证：MN∥平面PCD；(2)求证：四边形MNCD是直角梯形；(3)求证：DN⊥平面PCB.3．(2019·江苏信息卷)轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1m的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE(抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内)，D为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轮迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x轴在地面上，助跑道一端点A(0，4)，另一端点C(3，1)，点B(2，0)，单位：m.(1)求助跑道所在的抛物线方程；(2)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4m到6m之间(包括4m和6m)，试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围．(注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值)4．(2019·江苏预测卷模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与直线y＝kx相交于A、B两点(从左至右)，过点B作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点D.(1)若椭圆的离心率为eq\f(\r(2),2)，点B的坐标为(eq\r(2)，1)，求椭圆的方程；(2)若以AD为直径的圆恰好经过点B，求椭圆的离心率．解答题分层综合练(二)1．解：(1)由题意，eq\r(2)sinAcosB＝sinCcosB＋cosCsinB，所以eq\r(2)sinAcosB＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA.因为0＜A＜π，所以sinA≠0.所以cosB＝eq\f(\r(2),2).因为0＜B＜π，所以B＝eq\f(π,4).(2)因为m·n＝12cosA－5cos2A，所以m·n＝－10cos2A＋12cosA＋5＝－10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosA－\f(3,5)))eq\s\up12(2)＋eq\f(43,5).所以当cosA＝eq\f(3,5)时，m·n取最大值．此时sinA＝eq\f(4,5)(0＜A＜eq\f(π,2))，于是tanA＝eq\f(4,3).所以tanC＝－tan(A＋B)＝－eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝7.2．证明：(1)因为点M，N分别是PA，PB的中点，所以MN∥AB.因为CD∥AB，所以MN∥CD.又CD⊂平面PCD，MN⊄平面PCD，所以MN∥平面PCD.(2)因为AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥AD.因为PD⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PD.又因为AD∩PD＝D，所以CD⊥平面PAD.因为MD⊂平面PAD，所以CD⊥MD.又MN∥CD，MN≠CD，所以四边形MNCD是直角梯形．(3)因为PD⊥底面ABCD，所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，从而∠PAD＝60°.在Rt△PDA中，AD＝eq\r(2)，PD＝eq\r(6)，PA＝2eq\r(2)，MD＝eq\r(2).在直角梯形MNCD中，MN＝1，ND＝eq\r(3)，CD＝3，CN＝eq\r(MD2＋（CD－MN）2)＝eq\r(6)，从而DN2＋CN2＝CD2，所以DN⊥CN.在Rt△PDB中，PD＝DB＝eq\r(6)，N是PB的中点，则DN⊥PB.又PB∩CN＝N，所以DN⊥平面PCB.3．解：(1)设助跑道所在的抛物线方程为f(x)＝a0x2＋b0x＋c0，依题意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c0＝4，,4a0＋2b0＋c0＝0，,9a0＋3b0＋c0＝1，))解得a0＝1，b0＝－4，c0＝4，所以助跑道所在的抛物线方程为f(x)＝x2－4x＋4，x∈[0，3]．(2)设飞行轨迹所在抛物线为g(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)，依题意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（3）＝g（3）,f′（3）＝g′（3）))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9a＋3b＋c＝1，,6a＋b＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2－6a，,c＝9a－5.))所以g(x)＝ax2＋(2－6a)x＋9a－5＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3a－1,a)))eq\s\up12(2)＋1－eq\f(1,a).令g(x)＝1，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3a－1,a)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,a2).因为a<0，所以x＝eq\f(3a－1,a)－eq\f(1,a)＝3－eq\f(2,a).当x＝eq\f(3a－1,a)时，g(x)有最大值，为1－eq\f(1,a)，则运动员的飞行距离d＝3－eq\f(2,a)－3＝－eq\f(2,a)，飞行过程中距离平台最大高度h＝1－eq\f(1,a)－1＝－eq\f(1,a)，依题意，4≤－eq\f(2,a)≤6，即2≤－eq\f(1,a)≤3，即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2m到3m之间．4．解：(1)由题意，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,\f(2,a2)＋\f(1,b2)＝1，,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝2，))所以椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)法一：设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则A(－x1，－y1)，C(x1，0)．因为A，C，D三点共线，所以eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(AD,\s\up6(→))，由eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2x1，y1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x1＋x2，y1＋y2)，得2x1(y1＋y2)＝(x1＋x2)y1，即eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝eq\f(y1,2x1)＝eq\f(k,2).又B，D均在椭圆上，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),a2)＋\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1，①,\f(xeq\o\al(2,2),a2)＋\f(yeq\o\al(2,2),b2)＝1，②))①－②，得eq\f(（x1－x2）（x1＋x2）,a2)＝－eq\f(（y1－y2）（y1＋y2）,b2)，所以直线BD的斜率k′＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(2,k)·eq\f(b2,a2)，由于以AD为直径的圆恰好经过点B，所以AB⊥BD，即k·k′＝－1，所以a2＝2b2，所以椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).法二：设B(t，kt)，则A(－t，－kt)，C(t，0)，所以直线AD的方程为y＝eq\f(k,2)(x－t)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,y＝\f(k,2)（x－t），))消去y，得b2x2＋eq\f(a2k2,4)(x－t)2＝a2b2，即(4b2＋a2k2)x2－2a2k2tx＋a2k2t2－4a2b2＝0，所以xA＋xD＝eq\f(2a2k2t,4b2＋a2k2)，从而xD＝eq\f(2a2k2t,4b2＋a2k2)＋t，即Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a2k2＋4b2,4b2＋a