（江苏专用）高考数学一轮复习 加练半小时 专题8 立体几何 第61练 立体几何中的易错题 文（含解析）-人教版高三数学试题

第61练立体几何中的易错题1.四个平面最多可将空间分割成________个部分.2.a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出六个命题.①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥c，,b∥c))⇒a∥b；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥γ，,b∥γ))⇒a∥b；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c，,β∥c))⇒α∥β；④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥γ，,β∥γ))⇒α∥β；⑤eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(c∥α，,a∥c))⇒a∥α；⑥eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥γ，,a∥γ))⇒a∥α.其中正确的命题是________.(填序号)3.球O是正方体ABCD－A1B1C1D1的外接球，若正方体ABCD－A1B1C1D1的表面积为S1，球O的表面积为S2，则eq\f(S1,S2)＝________.4.(2019·南通调研)点D为△ABC所在平面外一点，E，F分别为DA和DC上的点，G，H分别为BA和BC上的点，且EF和GH相交于点M，则点M一定在直线________上.5.在体积为9的斜三棱柱ABC－A1B1C1中，S是C1C上的一点，S－ABC的体积为2，则三棱锥S－A1B1C1的体积为________.6.已知直线a，b与平面α，β，γ，有下列四个命题：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥b，a⊥α，则b⊥α；③若α∥β，a⊥α，则a⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中，正确的命题是________.(填序号)7.(2019·江苏镇江期末)如图，在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H，且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________.8.已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为________.9.(2019·溧阳期末)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为a的正方形，若在侧棱AA1上至少存在一点E，使得∠C1EB＝90°，则侧棱AA1的长的最小值为________.10.在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(6),2)，则该三棱锥外接球的表面积为________.11.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝eq\f(a,3)，过B1，D1，P的平面交平面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________.第11题图第12题图12.已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则三棱锥A1－ABM的体积为________.13.在三棱锥P－ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________.14.已知三棱锥A－BCD的四个顶点都在同一个球的球面上，AB＝eq\r(3)，BC＝3，AC＝2eq\r(3)，若三棱锥A－BCD体积的最大值为eq\f(3\r(3),2)，则此球的表面积为________.15.如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，正确的命题是________.(填序号)①MB是定值；②点M在圆上运动；③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE.16.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是________.答案精析1.152.①④3.eq\f(2,π)4.AC5.16.②③解析直线a，b与平面α，β，γ，对于①，若a∥b，a∥α，可得b⊂α或b∥α，故①错；对于②，若a∥b，a⊥α，可得b⊥α，故②对；对于③，若α∥β，a⊥α，可得a⊥β，故③对；对于④，若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α，β相交，故④错.7.eq\f(45,2)解析如图所示，取AC的中点G，连结SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G，SG，BG⊂平面SGB，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，则SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也分别为AS，SC的中点，从而得到HF∥AC且HF＝eq\f(1,2)AC，DE∥AC且DE＝eq\f(1,2)AC，所以HF∥DE且HF＝DE，所以四边形DEFH为平行四边形.又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四边形DEFH为矩形，其面积S＝HF·HD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AC))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)SB))＝eq\f(45,2).8.eq\f(\r(2),6)解析设E为△ABC的重心，连结OA，OB，OE.∵三棱锥S－ABC内接于球O，∴OB＝OC＝OA＝1.又△ABC为等边三角形，∴OE⊥平面ABC，∴三棱锥S－ABC的高h＝2OE.∵AB＝AC＝BC＝1，E为△ABC的重心，连结CE，∴CE＝eq\f(\r(3),3)，∴OE＝eq\r(OC2－CE2)＝eq\f(\r(6),3)，∴h＝eq\f(2\r(6),3)，∴VS－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),2)×eq\f(2\r(6),3)＝eq\f(\r(2),6).9.2a解析设AA1＝h，AE＝x，A1E＝h－x，x∈[0，h]，则BE2＝a2＋x2，C1E2＝(eq\r(2)a)2＋(h－x)2，BCeq\o\al(2,1)＝a2＋h2.又∠C1EB＝90°，所以BE2＋C1E2＝BCeq\o\al(2,1)，即a2＋x2＋(eq\r(2)a)2＋(h－x)2＝a2＋h2，即关于x的方程x2－hx＋a2＝0，x∈[0，h]有解，当x＝0时，a2＝0，不合题意，当x>0时，h＝eq\f(a2,x)＋x≥2a，当且仅当x＝a时取等号.即侧棱AA1的最小值为2a.10.6π11.eq\f(2\r(2)a,3)解析如图，∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥PQ.又∵B1D1∥BD，∴BD∥PQ.设PQ∩AB＝M，∵AB∥CD，∴△APM∽△DPQ，∴eq\f(PQ,PM)＝eq\f(PD,AP)＝2，即PQ＝2PM.又△APM∽△ADB，∴eq\f(PM,BD)＝eq\f(AP,AD)＝eq\f(1,3).∴PM＝eq\f(1,3)BD，PQ＝eq\f(2,3)BD，又BD＝eq\r(2)a，∴PQ＝eq\f(2\r(2)a,3).12.eq\f(1,6)13.814.16π15.①②④解析取DC中点N，连结MN，NB，则MN∥A1D，NB∥DE，MN∩NB＝N，A1D∩DE＝D，∴平面MNB∥平面A1DE，∵MB⊂平面MNB，∴MB∥平面A1DE，④正确；∠A1DE＝∠MNB，MN＝eq\f(1,2)A1D，为定值，NB＝DE，为定值，根据余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos∠MNB，所以MB是定值，①正确；B是定点，所以M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，②正确；当矩形ABCD满足AC⊥DE时存在，其他情况不存在，③不正确.所以①②④正确.16.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2)))解析取B1C1的中点M，BB1的中点N，连结A1M，A1N，MN，可以证明平面A1MN∥平面AEF，所以点P位于线段MN上，把△A1MN置于平面上，则有A1M＝A1N＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)，MN＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),2)，所以当点P位于M，N时，A1P最大，当P位于线段MN的中点O时，A1P最小，此时A1O＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al