（江苏专用）高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示习题 理 新人教A版-新人教A版高三数学试题

基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量eq\o(AB,\s\up6(→))同方向的单位向量为________.解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，∴与eq\o(AB,\s\up6(→))同方向的单位向量为eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)))2.在△ABC中，点P在BC上，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，点Q是AC的中点，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝(4，3)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(1，5)，则eq\o(BC,\s\up6(→))等于________.解析eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－3，2)，∵Q是AC的中点，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(－6，4)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，7)，∵eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(PC,\s\up6(→))＝(－6，21).答案(－6，21)3.已知向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________.解析因为a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u＝(1，2)＋2(x，1)＝(2x＋1，4)，v＝2(1，2)－(x，1)＝(2－x，3).又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)4.(2016·青岛质量检测)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”).解析由题意得a＋b＝(2，2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件.答案充要5.(2016·南京、盐城调研)已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且eq\o(EC,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))，则向量eq\o(EM,\s\up6(→))＝________(用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))表示).解析如图，∵eq\o(EC,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))，∴eq\o(EM,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→)).答案eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))6.若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值为________.解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝(a－2，－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)7.已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)∥c，则实数k＝________.解析因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)∥c，所以⇒2×(－6)－1×(2k－3)＝0，即2k＝－9，∴k＝－eq\f(9,2).答案－eq\f(9,2)8.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.解析eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，即λ1＋λ2＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)二、解答题9.已知O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))，试问：(1)t为何值时，P在x轴上？在y轴上？在第三象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形，若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.解(1)∵eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，3)，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))＝(1＋3t，2＋3t).若点P在x轴上，则2＋3t＝0，解得t＝－eq\f(2,3)；若点P在y轴上，则1＋3t＝0，解得t＝－eq\f(1,3)；若点P在第三象限，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋3t<0，,2＋3t<0.))解得t<－eq\f(2,3).(2)若四边形OABP为平行四边形，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋3t＝3，,2＋3t＝3.))∵该方程组无解，∴四边形OABP不能成为平行四边形.10.如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知eq\o(AM,\s\up6(→))＝c，eq\o(AN,\s\up6(→))＝d，试用c，d表示eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→)).解法一设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则a＝eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(NB,\s\up6(→))＝d＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)b))，①b＝eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MD,\s\up6(→))＝c＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a)).②将②代入①，得a＝d＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a))))，∴a＝eq\f(4,3)d－eq\f(2,3)c＝eq\f(2,3)(2d－c)，③法二设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b.因M，N分别为CD，BC的中点，所以eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，因而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝b＋\f(1,2)a，,d＝a＋\f(1,2)b))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3)（2d－c），,b＝\f(2,3)（2c－d），))即eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(2d－c)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(2c－d).能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2016·南通调研)如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，则x＝________，y＝________.解析由题意知eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))，又eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3).答案eq\f(2,3)eq\f(1,3)12.在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内一点，且∠AOC＝eq\f(π,4)，且|OC|＝2，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，则λ＋μ＝________.解析因为|OC|＝2，∠AOC＝eq\f(π,4)，所以C(eq\r(2)，eq\r(2))，又eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，所以(eq\r(2)，eq\r(2))＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝eq\r(2)，λ＋μ＝2eq\r(2).答案2eq\r(2)13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则eq\f(λ,μ)＝________.解析∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－eq\f(1,2)，∴eq\f(λ,μ)＝4.答案414.如图，已知点A(1，0)，B(0，2)，C(－1，－2)，求以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.解如图所示，以A，B，C为顶点的平行四边形可以有三种情况：▱ABCD；②▱ADBC；③▱ABDC.设D的坐标为(x，y)，①若是▱ABCD，则由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，得(0，2)－(1，0)＝(－1，－2)－(x，y)，即(－1，2)＝(－1－x，－2－y)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1－x＝－1，,－2－y＝2，))∴x＝0，y＝－4.∴D点的坐标为(0，－4)(如图中所示的D1).②若是▱ADBC，由eq\o(CB,\s\up6