2023版高考数学一轮复习讲义：选修4－4坐标系与参数方程选

第一节坐标系

,最新考纲,

1.了解坐标系的作用.

2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

3.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和

直角坐标的互化.

4.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.

・考向预测•

考情分析：极坐标与直角坐标、极坐标方程与直角坐标方程的互化，极坐标方程的应

用.将是高考考查的热点，题型仍将是解答题.

学科素养：通过极坐标方程的求解及应用考查数学运算、逻辑推理的核心素养.

积累必备知识——基础落实赢得良好开端

一、必记2个知识点

1.极坐标的概念

(1)极坐标系：

如图所示,在平面内取一个定点O,叫做,从O点引一条射线Ox,叫做

选定一个单位长度和角及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个平面极坐标系，

简称为.

12

(2)极坐标：

对于平面内任意一点M,用P表示线段OM的长，。表示以OX为始边、。例为终边的

角度，P叫做点M的,6叫做点M的,有序实数对S，叫做点M的极

坐标，记作M(p,θ).

当点M在极点时，它的极径,极角。可以取.

(3)点与极坐标的关系：

平面内一点的极坐标可以有无数对，当⅛∈Z时，S，θ),S，θ+2kπ),(-p,θ+(2k

+1)2表示,而用平面直角坐标表示点时，每一个点的坐标是唯一的.

如果规定p>0,O≤0<2π,或者一π<OWπ,那么，除极点外，平面内的点和极坐标就

——对应了.

2.极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景：把平面直角坐标系的原点作为极点，X轴的正半轴作为极轴，建立极坐标

系，并在两种坐标系中取相同的单位长度，如图所示.

(2)互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x,y),极坐标是S，6)S

>0,J∈[0,2π)),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：

点、M直角坐标(x,y)极坐标S，θ)

互化件=-----------P2=_______

公式Ly=-----------tanθ-_______

在一般情况下，由tan6确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角.

二、必明2个常用结论

1.极坐标的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，四

者缺一不可.

2.常见曲线的极坐标方程

_____________________________________m______极坐标方程

圆心在极点，

_______(——-

_________半径为r的圆_________X

圆心为(r,0),

C

_________半径为r的圆_________ZX

圆心为[，1),

(1•卜用

_________半径为r的圆_________OX

(l)0=[S∈R)或

过极点，倾斜角9=ττ+αSeR)

O4——V

为«的直线/(2)。=必20)和

0=π÷α(p≥O)

过点(4,0).与

极轴垂直的直线Og.o)X

(“1列

过点(a,θ,与

极轴平行的直线OX

过点伍，0),

倾斜角为α—

的直线

O(«.0)X

提升关键能力——考点突破掌握类题通法

考点一直角坐标系中的伸缩变换［基础性］

1.求双曲线Cf一匕=1经过x'13x,变换后所得曲线C的焦点坐标.

64,2y=y

2.若函数y=∕(x)的图象在伸缩变换"卜'12x，的作用下得到曲线的方程为y=3sin

Iy=3y

卜'+］,求函数y=∕(x)的最小正周期.

反思感悟伸缩变换公式应用时的两个注意点

(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时

一定要区分变换前的点P的坐标(x,y)与变换后的点P'的坐标(x',y'),再利用伸缩变

x'=λx(入>0),建立联系.

换公式

y'=μy(μ>0),

(2)已知变换后的曲线方程f(x,y)=0,一般都要改写为方程f(x',y')=0,再利用换

元法确定伸缩变换公式.

考点二极坐标与直角坐标的互化［综合性］

［例1］在极坐标系下，已知圆O：A=COS9+sin。和直线/：ρsin电/)=苧/>20,

O≤6><2π).

(1)求圆。和直线/的直角坐标方程；

(2)当6∈(0,π)时，求直线/与圆O的公共点的极坐标.

听课笔记:

反思感悟极坐标方程与直角坐标方程的互化

(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式X=PeOS。及y=psin，直接代入直角坐标方

程并化简即可.

(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如"cos。，psinθ,/的形式，

再应用公式进行代换，其中方程的两边同乘以(或同除以加及方程两边平方是常用的变形技

巧.

【对点训练】

以直角坐标系中的原点0为极点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线C的极

坐标方程为P=匚a?

(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)过极点。作直线/交曲线C于点P,Q,若IoPl=3∣0Q,求直线/的极坐标方程.

考点三曲线的极坐标方程及应用［综合性］

角度1曲线的极坐标方程

［例2］［2021•全国乙卷］在直角坐标系Xoy中，C)C的圆心为C(2,1),半径为1.

(1)写出。C的一个参数方程；

(2)过点R4,1)作。C的两条切线.以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标

系，求这两条切线的极坐标方程.

听课笔记:

反思感悟求曲线的极坐标方程的步骤

(1)建立适当的极坐标系，设PS,阴是曲线上任意一点：

(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径P和极角8之间的关系式；

(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.

角度2极坐标方程的应用

[例31[2022•陕西省部分学校检测]在直角坐标系xθy中，曲线C的参数方程为

为参数)，以坐标原点。为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标

Iy—cos(pIzsin(PX

系，曲线C2的极坐标方程为0cos6+2=0.

(1)求曲线G的极坐标方程并判断C1,C2的位置关系；

(2)设直线9=a(—]<α<?p∈R)分别与曲线Cl交于A,B两点,与曲线C?交于P

点.若IABl=3∣O4∣,求IoPl的值.

听课笔记：

反思感悟极坐标方程及其应用的解题策略

(1)求点到直线的距离.先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下

点的坐标、直线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解.

(2)求线段的长度.先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的

点的坐标、曲线方程，然后再求线段的长度.

【对点训练】

1.在极坐标系中，O为极点，点MSO,%)So>O)在曲线C:p=4sin。上，直线/过点

A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.

(1)当时，求PO及/的极坐标方程；

(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求尸点轨迹的极坐标方程.

2.[2022.昆明市质量检测]在平面直角坐标系XO)，中，曲线CI的参数方程为俨:彳1%

Iy—1-ri

为参数).以坐标原点。为极点，X轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方

程为0=4COSθ.

(1)求C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；

(2)若G，C2交于4B两点,求IoAHOB

选修4—4坐标系与参数方程

第一节坐标系

积累必备知识

、

L⑴极点极轴极坐标系⑵极径极角P=O任意值(3)同一个点

2.(I)PCos，psinΘx2+y2,x≠0)

2.p=r(0≤tf<2π)P=Ircos〃(一1/〃〈卷)p=2rsinO(OWOVTf)pcosO=

—<θ<psin夕=〃(0VeVTr)夕Sin(a-3)=asina

提升关键能力

考点一

1.解析：设曲线C上任意一点P(AΛ了)，

-1,

由上述可知，将X=三χ'

(y=2y,.

代入Tf<-⅛=∙>

化简得?_《=1,

即】一〈=1为曲线C的方程，可见仍是双曲线，

916

则焦点焦(一5,O),F2(5,0)为所求.

2.解析：由题意，把变换公式代入曲线

∕=3sin(Xy)

得3y=3sin(2x+]),

整理得y=sin(2x+§,

故/(x)=Sin卜x+9).

所以y=∕U)的最小正周期为g=兀

考点二

例1解析：⑴圆O：P=Cos0+sinθ9

即PI=PCoS夕+〃SinΘ.

故圆。的直角坐标方程为7+y2—X—y=0,

直线/：psin,—：)=¥，即PSine—pcos9=1.

则直线/的直角坐标方程为x-y+1=0.

(2)由⑴知圆。与直线/的直角坐标方程，

将两方程联立得产+/T7=°,解得[X=°,

Ix-y+1=0,Iy=1,

即圆。与直线/在直角坐标系下的公共点为(0,1),转化为极坐标为(1,T),故直线/

与圆O的公共点的极坐标为(1,=).

对点训练

解析：(1)因为P=JX2+y2,psinθ-y,0=]_：7可化为0—316=2,所以曲线的直

角坐标方程为x2=4y+4.

(2)设直线/的极坐标方程为9=%SeR),根据题意焉前=3∙.sinjθo+π),解得a=三或

%=整，所以直线/的极坐标方程为6=&∈R)或6=gs∈R)∙

考点三

例2解析：(1)由题意知OC的标准方程为。-2)2+。-1)2=1,

则OC的参数方程为C二;为参数).

(2)由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y—l=©x—4),

即kχ-y+l-4k=09

所以处焉21=1,解得仁士今

则这两条切线方程分别为尸条一竺+1,y=-¾+≠+1,

,33J33

故这两条切线的极坐标方程分别为PSin9=等CoS。一手+1,PSin8=-FPCOS。+手+

x—3=sinφ—2cosφ①.ʌ.

为参数ik）

{y=cosφ÷2sinφ（2）

①2+②2得a—3p+y2=5,

即Jt2+y2-6%+4=0,

将x2+y2=p2,冗=PCOS夕代入上式，得曲线G的极坐标方程为p2—6∕xx>s9+4=0.

由了一6P盟θ+4=°得/+go,此方程无解，

（pcosθ+2=0,

所以Cl,C2相离.

解析：⑵由/_6「；0：：+4=0

得"2—6PCOScc÷4=0,

因为直线e=α与曲线G有两个交点A,B9

所以J=36cos2a-16>0,得cosa>∣.

设方程P2—6PCOSa+4=0的两根分别为0,能，

则（pl+p2=6cosα>0（3）

IP1P2=4④

因为IABI=3∣OA∣,所以IoBl=4∣OA∣,即夕2=%⑤,

由③④⑤解得"∣=1,p2=4,cosa=3满足ZI>°，

由‘3；」；=。得。=^=一差所以QP尸/尸与

对点训练

1.解析：(1)因为MS0,。0)在C上，当夕0=g时，p0=4sin~2√3.

由已知得IOPl=IOAICoS5=2.

设。S，。)为/上除P的任意一点.连接。Q,

在RtZ∖0PQ中，PCoS(θ-^)=∣0P∣=2.

经检验，点尸(2,在曲线PeOS(O—1)=2上.

所以，/的极坐标方程为PCoS(e-§=2.

(2)设尸S，θ),在RtaOAP中,IoPI=IQ4∣cos6=4cos仇即2=4cos6.

因为P在线段OM上，且APLOM,

故6的取值范围是K,≡].

所以，P点轨迹的极坐标方程为p=4cos仇0∈K,ɪ].

2.解析：⑴消去参数人得G的普通方程为4—y=l,又x="cos仇y=psina

所以G的极坐标方程为PCoS。一PSin9=1.

因为〃=4cos0,所以p2=4pcos0,又x2+y2=",X=PCOSθ,所以C2的直角坐标方程

为(X—2p+γ2=4.

(2)C∣的极坐标方程为PCoS。一PSin8=1,

。2的极坐标方程为ρ=4cos仇

联立得[pcos"psinO=l,解得°。SM,sin""

Ip=4cosθ,44P

由sir?夕+cos%=1得p4—12/)2+8=0,所以pjp^=8,p1p2=2√∑,

所以QAHO8∣=p1p2=2√Σ

第二节参数方程

•最新考纲•

1.了解参数方程，了解参数的意义.

2.能选择恰当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.

・考向预测•

考情分析：参数方程与普通方程互化，参数方程的应用，参数方程与极坐标方程的综合

应用将是高考考查的热点，题型仍将是解答题.

学科素养：通过参数方程的应用考查数学建模、教学运算的核心素养.

积累必备知识——基础落实赢得良好开端

一、必记4个知识点

1.参数方程的概念

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上_______的坐标X,y都是某个变数，的函

数：[χ=f(t)'并且对于，的每一个允许值，由方程组所确定的点M(X,)，)都在_______,

Iy=g(0∙

那么方程叫做这条曲线的参数方程，，叫做参变数，简称.相对于参数方程而言，

直接给出点的坐标间关系的方程叫做.

2.直线的参数方程

过定点PO(X0,把)且倾斜角为α的直线的参数方程为。为参数)，则

参数t的几何意义是.

3.圆的参数方程

圆心为①，b),半径为r,以圆心为顶点且与X轴同向的射线，按逆时针方向旋转到圆

上一点所在半径成的角a为参数的圆的参数方程为α∈[0,2π).

4.椭圆的参数方程

以椭圆的离心角9为参数，椭圆2+^=l(α＞方＞0)的参数方程为0∈[O,

2π).

二、必明1个常用结论

直线参数方程中参数的几何意义

经过点P(W,加),倾斜角为α的直线/的参数方程为卜=X。+tcosα,«为参数).若人

(y=y0+tsιna

B为直线/上两点，其对应的参数分别为八，/2,线段AB的中点为例，点M所对应的参数

为如则以下结论在解题中经常用到：

(Dfo=詈;

(2)∣PM=IrOl=I宥I；

(3)∣ABl=If2一川；

(4)∣M∣∙∣PB∣=∣n√2∣.

提升关键能力——考点突破掌握类题通法

考点一参数方程与普通方程的互化［基础性I

1.把下列参数方程化为普通方程.

(X=Id—3

(1H叵«为参数).

［y=5+*

(2)卜=sι*(。为参数，g∈［0,2π)).

Iy=cosθ

2.如图，以过原点的直线的倾斜角，为参数.求圆x2+y2—x=0的参数方程.

反思感悟消去参数的三种方法：

(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代人消去参数；

(2)利用三角恒等式消去参数；

(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.

将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量X和y取值范围的扩大或缩小，必须根据

参数的取值范围，确定函数人?)和g(r)的值域，即X和y的取值范围.

考点二参数方程的应用［综合性］

角度1直线参数方程的应用

［例1］［2022•深圳市统一测试］在平面直角坐标系xθy中，直线C1的参数方程为

卜=一2百+tc°sα,。为参数，。为倾斜角)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建

(y=tsιnα

立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p=4sinθ.

(1)求曲线C2的直角坐标方程；

(2)直线Cl与曲线C2相交于E,尸两个不同的点，点P的极坐标为(2遍，兀)，若2|Eg

=IPEl+∣PQ,求直线G的普通方程.

听课笔记:

反思感悟(1)直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有几何意义，

即参数/的绝对值表示对应的点到定点的距离.

(2)根据直线的参数方程的标准形式中f的几何意义，有如下常用结论：

①若直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为小及，则弦长∕=∣A-M;

②若定点M)(标准形式中的定点)是线段MM2(点M∣,M2对应的参数分别为〃，攵，下

同)的中点，则“+v=0;

③设线段MlM2的中点为M,则点M对应的参数为tM=~.

角度2圆与椭圆参数方程的应用

I例21[2022•福建省质量检测]在直角坐标系xθy中，曲线G的参数方程为

卜=CoSa,&为参数)，以原点O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的

(y=Sina

极坐标方程为∕=d⅛∙

(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)若直线/与曲线Cl相切于第二象限的点尸，与曲线C2交于A,B两点，且IaM∙∣P8∣

=g求直线/的倾斜角.

反思感悟椭圆的参数方程实质是三角代换，有关椭圆上的动点距离的最大值、最小值

以及取值范围的问题，通常利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解.

【对点训练】

1.［2022・四省八校双教研联考］在平面直角坐标系xθy中，曲线Cl的参数方程为

卜=-2+t,为参数以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2

Iy=-2+t

的极坐标方程为〃=4COSΘ.

(1)求Cl的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)若C∣,C2交于A,B两点，点P的极坐标为(2√Σ一?)，求击τ+τ⅛7的值.

4IyAlIyBl

2.［2022∙石家庄市重点高中高三摸底考试］已知曲线C的参数方程为C:S为参数)，

4(2,0),尸为曲线C上的一个动点.

(1)求动点P对应的参数从三变动到当时，线段AP所扫过的图形的面积；

(2)若直线AP与曲线C的另一个交点为Q,是否存在点P,使得P为线段AQ的中点？

若存在，求出点P的直角坐标；若不存在，请说明理由.

考点三极坐标与参数方程的综合问题［综合性］

［例3］［2020•全国卷I］在直角坐标系My中，曲线CI的参数方程为｛;二M；

«为参数).以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方

程为4∕)cosθ-16psin9+3=0.

(1)当人=1时，G是什么曲线？

(2)当k=4时，求Cl与。2的公共点的直角坐标.

听课笔记:

反思感悟极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略

(1)求交点坐标、距离、线段长.可先求出直角坐标方程，然后求解.

(2)判断位置关系.先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断.

(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题.一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直

角坐标方程来研究问题.

【对点训练】

[2022•惠州市高三调研考试]在直角坐标系XO)，中，曲线G的参数方程为｛丫*为

参数).在以坐标原点O为极点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为

p=4cosθ.

(1)写出Cl的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)若Cl与C2相交于A,B两点，求AOAB的面积.

第二节参数方程

积累必备知识

、

1.任意一点这条曲线上参数普通方程

2.卜=XO+tcosα,有向线段尸OP的数量

(y=Yo+tsɪna

3Cx=α+rcosa9

(y=ft+rsina

4∖x=acosθ,

Iy=bsinθ

提升关键能力

考点一

ɪ.解析：⑴由已知得f=2χ-2,代入y=5+∕r中得尸5+苧(2L2).

即它的普通方程为√Ir-y+5—8=0.

⑵因为Sin2。+COS2。=1,所以x2+y=1,

即y=l—X2.又因为ISinqW1,

所以其普通方程为J=I-Λ2(M≤1)∙

2.解析：圆的半径为a

记圆心为C&0),连接CP,

则NPCr=2仇

故xp=∣+∣cos28=CoS2仇yp=∣sin20=sinOcos

所以圆的参数方程为｛j飞濡Ks为参数)∙

考点二

例1解析：(1)由题意得，曲线C2的极坐标方程为P=4s山0,所以ρ2=4ρsi"0,又x?

+y2=p2,y=psiwθ,

代入上式化简可得，x2+y2-4y=0,

所以曲线C2的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4.

(2)易得点P的直角坐标为(一26，0),

将卜=-28+竞。5。’“为参数)，代入曲线C2的直角坐标方程，可得t2-(4HCOSa

(y=tsɪnɑ

+4s山a)t+12=0,

Δ=(4V3C<75a+4sina)?-48=∣8sin(a+以］—48>0,解得sin(oc+；)>/，或Sm

(a+5<-y,不难知道a必为锐角，故Si”(a+gq,所以>+∕⅞,即0<吗，设这

个方程的两个实数根分别为tɪ,t2,则tι+t2=4√5CoSa+4s而a,trt2=12,所以tɪ与t2同号，

由参数t的几何意义可得，∣PE∣+∣PF∣=∣t∣∣+∣t2∣=∣tɪ+12∣=81sin(a+∣,∣EF∣=∣t,-t2∣=

22

√(tɪ+t2)-4t1t2=4sin(a+^)-3,

所以2X4sin2+—3

=8卜in(a+g∣,两边平方化简可解得si"(a+g)=l,所以a=£+2k7r,k∈Z,因为

X=—2Λ∕3+—2t

0<a<=所以所以直线G的参数方程为《1'(，为参数)消去参数/,可

Iy=/，

得直线Cl的普通方程为χ-√3y+2√3=0.

例2解析：(1)因为曲线Cl的参数方程为卜=c°sa’3为参数)，所以曲线G的普通

(y=Sina

方程为Λ2+y2=ι.

因为曲线C2的极坐标方程02=三焉Pp2=x1+y1,PSinO=y,

所以曲线C2的直角坐标方程为9+?=L

(2)如图，设直线/的倾斜角为£,依题意E∈(θ,习,

则P在曲线G中的参数a=夕+》故尸(一SinACoS夕)，所以可设直线/的参数方程为

X=—sinβ÷tcosβ,«为参数).

y=cosβ÷tsinβ

把直线/的参数方程代入t+t=l∙

43

得(sir?夕÷3)∕2÷2(sin∕7cosβ)t+cos2/?—9=0,

设4B对应的参数分别为人，七贝h∣f2=u⅛=.

sιnzβ+3

则附•附=I优∣=∣*∣=*，又I叫阀R,所以箫/所以Sin0=9

故片会即直线/的倾斜角为去

对点训练

1.解析：(1)G的普通方程为X—y=0,C2的直角坐标方程为(x—2)2+y2=