2023届老高考数学练习题：第十四单元 计数原理

第十四单元计数原理、概率、随机变量及其分布

14.1计数原理

1.（2021•辽宁模拟）已知集合M={l,-2,3}，TV={-4,5,6,一7},从M,N这两个集合中各

选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二

象限内不同的点的个数是（）

A.12B.8

C.6D.4

【答案】C

【解析】分两步：第一步先确定横坐标，有3种情况，第二步再确定纵坐标，有2种情况,

因此第一、二象限内不同点的个数是3x2=6,故选C.

2.（2021.安徽合肥模拟）从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的

三位数，其中奇数的个数为.

【答案】18

【解析】分两类情况讨论：第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2

种选择，共有3x2x2=12（个）奇数；第2类，偶奇奇，个位有3种选择，十位有2种选择，

百位有1种选择，共有3x2x1=6（个）奇数.根据分类加法计数原理知，共有12+6=18（个）

奇数.

?2

3.（2021•河南郑州模拟）若椭圆'+I=I的焦点在y轴上，且∕π∈{1,2,3,4,5）,

n∈{1,2,3,4,5,6,7},则这样的椭圆的个数为.

【答案】20

【解析】当〃?=1时，“=2,345,6,7,共6个;

当机=2时，"=3,4,5,6,7,共5个；

当％=3时，N=4,5,6,7,共4个；

当m=4时,"=5,6,7,共3个;

当胆=5时，”=6,7,共2个.故共有6+5+4+3+2=20（个）满足条件的椭圆.

4.（2021•浙江宁波质检）已知α∈{l,2,3},b∈{4,5,6,7},则方程（X—。α+。，一切2=4可表示

不同的圆的个数为（）

A.7B.9

C.12D.16

【答案】C

【解析】得到圆的方程分两步：第一步：确定。有3种选法；第二步：确定b有4种选法,

由分步乘法计数原理知，共有3x4=12（个）.故选C.

4.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两

块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有.

答案:48

解析：不同的着色方法共有4x3x2x（l+l）=48种.

5.（2021.江苏南通模拟）为了强化劳动观念，弘扬劳动精神，某班级决定利用班会课时间进

行劳动教育.现要购买铁锹、锄头、镰刀三种劳动工具共10把，每种工具至少购买1把，则不

同的选购方法共有种.

【答案】36

【解析】设购买铁锹X把，锄头y把，镰刀目把，则χ+y+z=ι°,

当χ=ι时，y+z=9,有8种选购方法；

当x=2时，y+z=8,有7种选购方法；

以此类推，共有8+7+6+5+4+3+2+1=36种不同的选购方法.

6.如果一个三位正整数如“0。2的“满足0<他，且G>"3,则称这样的三位数为凸数（如120,

343,275等），那么所有凸数的个数为.

解析：若z=2,则百位数字只能选1,个位数字可选1或0,“凸数”为120与⑵，共2个.

若S=3,则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2x3=6（个）.若“2=4,

满足条件的“凸数”有3x4=12（个），…，若6=9,满足条件的“凸数”有8x9=72（个）.所以所

有凸数共有2+6+12+20+30+42+56+72=240（个）.

答案:240

7.（2021.浙江温州高三适应性测试）已知关于单方程打一。|+打一母=卜一μ+卜—4有且

仅有一个实数根，其中互不相同的实数。、b、c、d∈{l,2,3,4,5,6},且Iaw=IC

则。、b、c、d的可能取值共有种.（请用数字作答）

【答案】56

【解析】方程∣x-α∣+∣x-b|=|x—c|+|x—M有且只有一个实根，

由绝对值三角不等式可得|%—4+|%一4≥∣（x-a）-（X—人）|=|。一可，

|x—c∣+∣x-<7∣≥∣（x-c）-（x—J）∣=∖c-d∖,

因为,一。I=Ic-4，考虑α<h,c<d,

a+b-2x,x≤ac+d-2x,x≤c

因为IX_4+卜_.=<b-a,a<x<b∖x-c∖+∖x-d∖=<d-c,c<x<d

2x-^a+b^,x≥b2x-(^c+d^,x≥d

作出函数y=∣x-α∣+∣x-b∣与函数y=∣x—d+∣x-d∣如下图所示:

则有b<c或d<α∙

若3力)=(1,2),则(c,m(c,d)的可能情况有：(3,4),(4,5),(5,6);

若(“力)=(2,3),则(C⑷可能的情况有：(4,5),(5,6);

若(4力)=(3,4),则(c,J)=(5,6);

若(α,b)=(l,3),则(c,J)=(4,6).

考虑α力的大小，有2种情况；考虑c、d的大小，有号中情况；考虑他力)、(c,少的位置,

有2种情况.综上所述，。、b、c、d的可能取值共有7X2x2x2=56种.

8.(2021•山东泰安肥城高三适应性训练)某新闻采访组由击记者组成，其中甲、乙、丙、丁

为成员，戊为组长.甲、乙、丙、丁分别来自4B、a。四个地区.现在该新闻采访组要到

A、B、C、。四个地区去采访，在安排采访时要求：一地至少安排一名记者采访且组长不

单独去采访；若某记者要到自己所在地区采访时必须至少有一名记者陪同.则所有采访的不

同安排方法有种.

【答案】44

【解析】分两类:①甲，乙，丙,丁都不到自己的地区，组长可任选一地有(3χ3χlχl)χ4=36;

②甲，乙，丙，丁中只一人到自己的地区，并有组长陪同有(2*lχl)*4=8.

所以总数36+8=44.

9.（2021•辽宁高三压轴试卷）用数字3,6,9组成四位数，各数位上的数字允许重复，且数

字3至多出现一次，则可以组成的四位数的个数为（）

A.81B.48C.36D.24

【答案】B

【解析】根据题意，数字3至多出现一次，分2种情况讨论：

①数字3不出现，此时四位数的每个数位都可以为6或9,都有2种情况，

则此时四位数有2x2x2x2=16个；

②数字3出现1次，则数字3出现的情况有4种，剩下的三个数位，可以为6或9,都有2

种情况，此时四位数有4x2x2x2=32个，

故有16+32=48个四位数.故选B.

10.将边长为3的正方形ABC。的每条边三等分,使之成为3×3表格.将其中6个格染成黑色，

使得每行每列都有两个黑格的染色方法的种数为（）

A.12B.6C.36D.18

【答案】B

【解析】根据题意可按照列选择染色的元素，第一列可有3种选择方式，第一列方格标号为

1,2,3.当第一列选定时比如选定1,2,第二列有两种选择，染第一行和第三行，或者染第

二行和第三行，当第二列确定时.，第三列也就确定了.故共3x2=6种染色方法.故选B.

11.（2021・四川眉山模拟）如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，

图中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成），

ΔABE,∖BCF,NCDG,ΔDAH这4个角形和“赵爽弦图"ABCo涂色，且相邻区域（即

图中有公共点的区域）不同色，已知有4种不同的颜色可供选择.则不同的涂色方法种数是

（）

【答案】C

【解析】设“赵爽弦图"ABCz）为①区，ΔABE,ΔBCF,∆CDG,Δ∩4∕/这4个三角形

分别为②、③、④、⑤区.

第一步给①区涂色，有4种涂色方法.

第二步给②区涂色，有3种涂色方法.

第三步给③区涂色，有2种涂色方法.

第四步给④区涂色，若④区与②区同色时，⑤区有2种涂色方法.

若④区与②区不同色时，则④区有1种涂色方法，⑤区有1种涂色方法.

由分类、分步计数原理可得共有4x3*2χ(2+1X1)=72.故选C.

12.在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数比如“102”，

“546”为“驼峰数”，由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有个.

答案：8

解析：十位上的数为1时，有213,214,312,314,412,413,共6个；十位上的数为2

时，有324,423,共2个，所以共有6+2=8(个).

13.(2021•山东泰安肥城高三适应性训练)某新闻采访组由5名记者组成，其中甲、乙、丙、

丁为成员，戊为组长.甲、乙、丙、丁分别来自AB、a。四个地区.现在该新闻采访组要到

A、B、C、。四个地区去采访，在安排采访时要求：一地至少安排一名记者采访且组长不

单独去采访；若某记者要到自己所在地区采访时必须至少有一名记者陪同.则所有采访的不

同安排方法有种.

【答案】目

【解析】分两类:①甲，乙，丙，丁都不到自己的地区，组长可任选一地有(3*3χlχl)χ4=36;

②甲，乙，丙，丁中只一人到自己的地区，并有组长陪同有(2χlχl)χ4=8.

所以总数36+8=44.

14.如图是一个由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，现

在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，

相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方法有（）

A.24种B.72种C.84种D.120种

【答案】C

【解析】如图，设四个直角三角形顺次为力，B,C,D,按A—->B-->C-->D

顺序涂色，下面分两种情况：

（I）A,C不同色（注意：B,Z）可同色、也可不同色，£）只要不与A,C同色，

所以。可以从剩余的2种颜色中任意取一色）：有4×3×2×2≈48种不同的涂法.

（2）A,C同色（注意：B,。可同色、也可不同色，。只要不与A,C同色，所以。可以从剩

余的3种颜色中任意取一色）：有4x3x1x3=36种不同的涂法，故共有48+36=84种不同的

涂色方法.故选C.

15.某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B,C,。中选

择，其他四个号码可以从O〜9这十个数字中选择（数字可以重复），若车主第一个号码（从左

到右）只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他可选的

车牌号码的所有可能情况有（）

A.180种B.360种C.720种D.960种

【答案】D

【解析】由题意知，按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3

种选法，其余三个号码各有4种选法.因此可选的车牌号码的所有可能情况有5×3×4×4×4=

960（种）.故选D.

16.若"1,"均为非负整数，在做加+”的加法时各位均不进位（例如：134+3802=3936）,

则称（〃?，〃）为“简单的”有序对，而加+〃称为有序对（m,N）的值,那么值为1942的“简单的”

有序对的个数是.

答案：300

解析：第I步，1=1+0,1=0+1,共2种组合方式；

第2步，9=0+9,9=1+8,9=2+7,9=3+6,…，9=9+0,共K）种组合方式；

第3步，4=0+4,4=1+3,4=2+2,4=3+1,4=4+0,共5种组合方式；

第4步，2=0+2,2=1+1,2=2+0,共3种组合方式.

根据分步乘法计数原理，值为1942的“简单的”有序对的个数是2×10×5×3=300.

17.在平面直角坐标系内，点尸（“，刀的坐标满足α≠b,且α,匕都是集合｛1,2,3,4,5,

6｝中的元素.又点P到原点的距离IoPIN5,则这样的点P的个数为.

答案：20

解析：依题意可知，

当a=l时，b=5,6,两种情况；

当α=2时，b=5,6,两种情况；

当α=3时，6=4,5,6,三种情况；

当α=4时，b=3,5,6,三种情况：

当α=5或6时，〃各有五种情况.

所以共有2+2+3+3+5+5=20（种）情况.

18.（2022.江苏南京市建邺中学高三月考）某地为了庆祝建党Ioo周年，将在7月1日举行大

型庆典活动.为了宣传报道这次活动，当地电视台准备派出甲、乙等4名记者进行采访报道，

工作过程中的任务划分为“摄像”、“采访"、"剪辑''三项工作，每项工作至少有一人参加.已知

甲、乙不会“剪辑”但能从事其他两项工作，其余两人三项工作都能胜任，则不同安排方案的

种数是.

【答案】目

【解析】若参与“剪辑”工作的有1人，则不同的分配方法数为2x（23—2）=12；

若参与“剪辑，，工作的有2人，则不同的分配方法数为2种.

综上所述，不同安排方案的种数是12+2=14种.

19.（2022•浙江温州开学摸底考试）把编号为i（i=L2,3,4,5）的五个小球随机放入编号为

/（/=1,2,3,4,5）的五个盒子，每盒一个小球，若满足∣i1∕∣≤2,则不同的放法共有

________种.

【答案】31

【解析】∣i-∕l>2的所有可能包括:z=l,J=4,5；Z=2,y=5;∕=4,y=l;z=5,y=l,2.

（1）盒1放球1时，剩下的盒子依次记为盒2、盒3、盒4、盒5,剩下四球的所有排列：

2345,3245,4235,2354,3254,4253,2435,3425,4325,2453,2534,3524,4523,2543

（其中球5不能放在盒2,不用列举.而3452,4352,3542,4532满足∣i-/1>2,应舍去）

共14种；

（2）盒1放球2时，剩下的盒子依次记为盒2、盒3、盒4、盒5,剩下四球的所有排列：

1345,3145,4135,1354,3154,4153,1435,1453,1534,1543（其中球5不能放在盒2,

不用列举.而3415,4315,3451,4351,3514,4513,3541,4531满足Ii-JI>2,应舍去）

共10种；

（3）盒1放球3时，剩下的盒子依次记为盒2、盒3、盒4、盒5,剩下四球的所有排列：

1245,2145,4125,1254,2154,1425,1524,（其中球5不能放在盒2,不用列举.而4152,

2415,4215,1452,2454,4251,2514,4512,1542,5241,4521满足∣i-√|>2,应舍去）

共7种;所以共有14+10+7=31种.

20.（2021•广东清远模拟）从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选

法种数为（）

A.6B.5

C.3D.2

【答案】B

【解析】5个人中每一个都可主持，所以共有5种选法.故选B.

21.（2021∙天津模拟）从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和

为偶数的不同取法的种数为（）

A.30B.20

C.10D.6

【答案】D

【解析】从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个不同的数字的和为偶数可分为两类：

第一类，取出的两个数都是偶数，有。和2,O和4,2和4,共3种不同的取法；

第二类，取出的两个数都是奇数，有1和3,1和5,3和5,共3种不同的取法.

由分类加法计数原理得，共有3+3=6种不同的取法.故选D.

22.（2021•湖北襄阳模拟）满足α,b∈{T,0,l,2},且关于X的方程OΛ2+2Λ+6=0有实数

解的有序数对（α,份的个数为（）

A.14B.13

C.12D.10

【答案】B

【解析】方程αr2+2x+⅛=0有实数解的情况应分类讨论.①当”=0时，方程为一元一次

方程2x+%=0,不论匕取何值，方程一定有解.此时匕的取值有4个，故此时有4个有序

数对.

②当今0时，需要/=4-4α杞0,即显然有3个有序数对不满足题意，分别为（1,2）,

（2,1）,（2,2）.时,（a,6）共有3x4=12（个）实数对，故存0时满足条件的实数对有12—3

=9（个），所以答案应为4+9=13.

故选B.

23.（2021•湖北模拟）从集合｛0,1,2,3,4,5,6｝中任取两个互不相等的数α,b组成复

数”十历，其中虚数的个数是.

【答案】36

【解析】因为“+左为虚数，所以厚0,即b有6种取法，。有6种取法，由分步乘法计数

原理知可以组成6x6=36个虚数.

24.（2021・烟台模拟）从T,0,l,2这四个数中选三个不同的数作为函数於）=0x2+⅛r+c的系

数，则可组成个不同的二次函数，其中偶函数有个（用数字作答）.

【答案】186

【解析】一个二次函数对应着α,b,c（α邦）的一组取值，。的取法有3种，匕的取法有3种，

c∙的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3x3x2=18（个）二次函数.若二次函数为偶函

数，则〃=0,同上可知共有3x2=6（个）偶函数.

25.（2021.麻城市高三联考）有A,B,C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的

技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型

电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有

种（用数字作答）.

【答案】8

【解析】由于丙、丁两位操作人员的技术问题，要完成“从4个操作人员中选3人去操作这

三种型号的电脑''这件事，则甲、乙两人至少要选派一人，可分四类：

第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作的电脑的

型号，有2x2=4种方法；

第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人分别去操作这三种

型号的电脑，有2种方法；

第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，只有1种方法;

第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法.

根据分类加法计数原理，共有4+2+1+1=8种选派方法.

26.（2021•山东滕州模拟）工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置

的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓，则不同的固定

螺栓方式的种数是.

∕∙32∙∖

<∙41∙>

∖∙56∙∕

【答案】60

【解析】根据题意，第一个可以从6个螺栓里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会

相等的，若第一个选1号螺栓，第二个可以选3,4,5号螺栓，依次选下去，共可以得到

10种方法，所以总共有10x6=60（种）方法.

14.2排列、组合

L计算e+c}+α+cs的值为（用数字作答）.

【答案】210

【解析】原式=d+α+c8=c3+c8=c%=cio=2io.

2.（2021•山东模拟）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那

么全班共写了条毕业留言.（用数字作答）

【答案】1560

【解析】由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所

以全班共写了A⅛=40×39=l560（条）毕业留言.

3.（2021•太原联考）高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演

出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）

A.1800B.3600

C.4320D.5040

【答案】B

【解析】先排除舞蹈节目以外的5个节目，共A?种，再把2个舞蹈节目插在6个空位中，

有A薪中,所以共有AgAV=3600（种）.故选B.

4.（2021・湖北襄阳模拟）用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20OOo大，并且百位

数不是数字3的没有重复数字的五位数共有（）

A.96个B.78个C.72个D.64个

【答案】B

【解析】根据题意知，要求这个五位数比20000大，则万位数必须是2,3,4,5这4个数

字中的一个，

当万位数是3时，百位数不是数字3,符合要求的五位数有Aj=24（个）；

当万位数是2,4,5时，由于百位数不能是数字3,则符合要求的五位数有3'仆才一用）=54（个）,

因此共有54+24=78（个）这样的五位数符合要求.故选B.

5.（2021.南宁、柳州联考）从｛1,2,3,…,10｝中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻,

则不同的选法种数是（）

A.72B.70

C.66D.64

【答案】D

【解析】从｛1,2,3,…，10｝中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有α∙C｝+C｝∙C2=

56种选法，三个数相邻共有©=8种选法，故至少有两个数相邻共有56+8=64种选法.故

选D.

6.（2021.辽宁五校协作体联考）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位

女生入选，则不同的选法共有种.（用数字填写答案）

【答案】16

【解析】从2位女生，4位男生中选3人，共有C薪中情况，没有女生参加的情况有C?种，

故共有C2—&=20—4=16（种）.

7.（2021•成都诊断）从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一

人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们

参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为.（用数字作答）

【答案】5040

【解析】根据题意，分2种情况讨论，若甲、乙之中只有一人参加，有C%C2∙Ag=36OO（种）；

若甲、乙两人都参加，有C9∙A2∙AT1440（种）.则不同的安排种数为3600+1440=5040.

8.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数

为（）

A.300B.2I6

C.180D.162

答案C

【解析】（1）分两类：第一类，不取0,即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有

重复数字的四位数,根据分步乘法计数原理可知，共有CksA?=72（个）符合要求的四位数；

第二类，取0,此时2和4只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，根据

分步乘法计数原理可知，共有CbC$（Ai—Ag）=108（个）符合要求的四位数.

根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有72+108=180（个）.故选C.

9.（2022∙陕西榆林高三月考）3个女生和5个男生排成一排.

（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？

（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？

（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？

（4）如果甲必须排在乙的右面（可以不相邻），有多少种不同的排法？

【解析】（1）3个女生全部排在一起，可以把她们看作一个整体，再和5个男生排列，共有

6个元素，排成一排有种不同的排法，故共有4国=4320种不同的排法；

（2）先把5个男生排列，共有种不同的排法；5个男生排列共有6个空位置，将3个女

生插到6个空位置，共有屋，故共有144。0种不同的排法；

（3）因为两端不能排女生，所以两端只能选2个男生，有&种不同的排法，而对于6个位

置排列共有4种不同的排法，故共有8人=14400种不同的排法；

（4）因为8人排列，其中2人顺序固定，故共有履•一？=20160种不同的排法.

10.国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕

业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校

去任教，有种不同的分派方法.

答案90

解析先把6个毕业生平均分成3组,有笔F=15（种）方法.再将3组毕业生分到3所学校，

有Aj=6（种）方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有强F∙Aj=90（种）分派方法.

11.（2021.湖北武汉期中）数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领

先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思

想“世界数字通史”，"几何原本”，"什么是数学“四门选修课程，要求数学系每位同学每

学年至多选用1,大一到大三三学年必须将四门］选修课程选完，则每位同学的不同选修方式

有（）

A.60种B.78种C.84种D.144种

【答案】B

【解析】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为1』,2或0,1,3或

0,2,2若是1,1,2,则先将4门学科分成三组共种不同方式.再分配到三个学年共有

国种不同分配方式由乘法原理可得共有-ɪ•用=36种，若是0,1,3,则先将4门学

科分成三组共C：C；种不同方式，再分配到三个学年共有国种不同分配方式，由乘法原理可

C2C2

得共有C：C[A；=24种，若是0,2,2,则先将门学科分成三组共UyZ种不同方式，再分

A）

C2C2

配到三个学年共有可种不同分配方式，由乘法原理可得共有一≠∙闻=18种

所以每位同学的不同选修方式有36+24+18=78种，故选B.

12.若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有种不

同的分法.

【答案】360

【解析】将6名教师分组，分三步完成：

第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有&种取法；

第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有Cg种取法；

第3步，余下的3名教师作为一组，有Cy种取法.

根据分步乘法计数原理，共有CACgej=60种取法.再将这3组教师分配到3所中学，有AW=

6种分法，故共有60x6=360种不同的分法.

13.（2021•浙江镇海模拟）3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1

个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有（）

A.4种B.5种C.6种D.8种

【答案】C

【解析】先将3名大学生分成2组有CkG种分法，再分配到2个村有A芥中分法，则不同的

分配方案共有Ci∙C?AH6种.故选C.

14.（2021•昆明诊断）某班星期三上午要上五节课，若把语文、数学、物理、化学、外语这五

门课安排在星期三上午，数学必须比化学先上，则不同的排法有（）

A.60种B.30种C.120种D.24种

【答案】A

【解析】把语文、数学、物理、化学、外语这五门课程任意排列，有Ag=120种情况，其

中数学排在化学之前和数学排在化学之后的情况数目是相同的，则数学比化学先上的排法有

号120=60种.故选A.

15.（2021.安徽合肥模拟）从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女

生入选，则不同的选法共有种（用数字作答）.

【答案】16

【解析】法一可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有CIa=I2

种；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有C支1=4种.根据分类加法计数原理知，

至少有1位女生入选的不同的选法有12+4=16种.

法二从6人中任选3人，不同的选法有&=20种，从6人中任选3人都是男生，不同的

选法有日=4种，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20—4=16种.

16.（2021.福州调研）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）

A.144B.120

C.72D.24

【答案】D

【解析】“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的

坐法种数为Aj=4x3x2=24.故选D.

17.（2021.辽宁本溪模拟）将标号为1,2,3,4,5,6的6个小球放入3个不同的盒子中.

若每个盒子放2个，其中标号为1,2的小球放入同一盒子中，则不同的方法共有（）

A.12种B.16种

C.18种D.36种

【答案】C

【解析】先将标号为1,2的小球放入盒子，有3种情况；再将剩下的4个球平均放入剩下

的2个盒子中，共有笔∙A2=6（种）情况，所以不同的方法共有3x6=18（种）.故选C.

18∙（2021∙洛阳高三第一次统考）某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每

人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有种.（用数字作答）

【答案】36

【解析】第一步，选2名同学报名某个社团，有CwCJ=I2种报法；第二步，从剩余的3个

社团里选一个社团安排另一名同学，有CgC∣=3种报法.由分步乘法计数原理得共有12x3=

36种报法.

19∙（2021∙临川一中模拟）十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，

会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含A,B两市代表团）安排至“，〃，c三家宾馆

入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A,8

两市代表团必须安排在“宾馆入住，则不同的安排种数为（）

A.6B.12

C.16D.18

【答案】B

【解析】如果仅有4,B入住。宾馆，则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时共

有C3A3=6（种）安排数，如果有A,B及其余一个代表团入住α宾馆，则余下两个代表团入

住6,c,此时共有C!AW=6（种）安排数，综上，共有不同的安排种数为12.故选B.

20.（2021•江苏高三一轮联考）从3名女同学和2名男同学中任选2名同学参加活动，若选

出的2名同学中至少有1名男同学，则不同的选法共有（）

A.3种B.7种C.10种D.12种

【答案】B

【解析】从3名女同学和2名男同学中任选2名同学参加活动共有C；=10种，

全是女生共有=3种，所以至少有1名男同学共有10-3=7种.故选B.

21.（2021•广东高三模拟）某校A、B、C、D、E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，

且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有（）种.

A.18B.36C.60D.72

【答案】B

【解析】因为A在B的前面出场，且A,8都不在3号位置，则情况如下：

①A在1号位置，8又2、4、5三种位置选择，有3A；=18种次序；

②A在2号位置，5有4,5号两种选择，有2用=12种次序;

③A在4号位置，5有5号一种选择，有A；=6种;

故共有18+12+6=36种.故选B.

22.（2021•河南洛阳高三四模）某市从弹优秀教师中选派单同时去日个灾区支教（每地口太）,

其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案的种数为（）

A.1680B.960C.600D.480

【答案】C

【解析】若甲去，则乙不去，丙去，此时不同的选派方法数为240种，

若甲不去，则乙可能去也可能不去，丙不去，此时不同的选派方法数为用=360种.

综上所述，不同的选派方法数为360+240=600种.故选C.

23.（2021∙广西柳州高三三模）尊老一直都是中华民族的优良传统.高三二班全体同学走进县

敬老院开展公益活动，全班分成五个小组分别完成扫地、擦窗户等五项不同任务,根据需要，

一小组不擦窗户，则不同的任务安排方案种数是（用数字作答）.

【答案】96

【解析】由题意，一小组不擦窗户，则一小组的安排方案有4种，将剩下的四个组安排到其

他四项任务，有A：=24种安排方案，则共有4x24=96种不同的安排方案.

24.（2021.江西高三联考）新冠疫情防控期间，某中学安排甲、乙，丙等7人负责某个周一至

周日的师生体温情况统计工作，每天安排一人，且每人负责一天.若甲、乙、丙三人中任意两

人都不能安排在相邻的两天，且甲安排在乙，丙之间，则不同的安排方法有种（用数

字作答）.

【答案】480

【解析】选将甲、乙、丙之外的四人进行排列，共有A：种方法，再用甲、乙、丙插空，甲在中

间,有C；A；种方法，故共有A：C；A；=480.

25.某商场安排甲乙两名员工，在门口为没随身携带口罩的顾客发放口罩.昨天，两人共领到

编号1~10的10个口罩，每人5个，放在盒子里，自上而下依次发放，且甲乙二人发放是随

机的.若10个口罩恰好发完，则不同的发放顺序有种.

【答案】252

【解析】由题意可知，10个口罩被随机分成五个和五个，然后再分给甲乙两名员工,

年••&=党=252种.

所以共有

26.（2021•陕西渭南二模）以“全民全运同心同行”为主题口号的第十四届全国运动会将2021

年9月15日至27日在陕西举行.组委会安排ARCRE五名工作人员到我市三个比赛

场馆做准备工作，每个场馆至少口木，则不同的安排方法有（）

A.150种B.210种C.240种D.300种

【答案】A

【解析】根据题意，分两步进行分析：第一步：分成3组，每组至少一人.

（1）按照一组3人，其他两组各1人,共有Cj=IO种情况；

（2）按照一组1人，其他两组各2人，共有=15种情况.

6

故共有10+15=25种分组方案;

第二步：排序.

将分好的三组进行全排列，分到三个不同的比赛场馆，共A；=6种排法.

故五名工作人员到三个比赛场馆，每个场馆至少1人，不同的安排方法共有25x6=150种.

故选A.

27.在大课间风采展示中，某班级准备了2个舞蹈，2个独唱，1个小品，共5个节目.要求相

同类型的节目不能相邻，那么节目的不同演出顺序共有种.

【答案】48

【解析】5个节目的出场顺序共有g=120种，其中舞蹈节目相邻出场的有用用=48种，

独唱节目相邻出场的有=48种，舞蹈节目相邻出场且独唱节目也相邻出场的有

月用用=24种，所以相同类型的节目不能相邻的出场顺序有120-48—48+24=48种，

28.（2021∙河北辛集中学期中）已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号

1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11,则不同的放球方法种

数为（）

A.150B.240C.390D.1440

【答案】C

【解析】因为2+4+5=11或1+2+3+5=11

所以5个球放到编号2、4、5的三个盒子中或者放到编号1、2、3、5的四个盒子中

（1）5个球放到编号2、4、5的三个盒子中，因为每个盒子中至少放一个小球，所以在三

个盒子中有两种方法：

各放1个，2个，2个的方法有G⅞Q∙H=学=x3x2xl=90种.

A；2x1

各放3个，1个，1个的方法有Qqc∙阀J°x2xl-3x2x1=60种.

£2×1

（2）5个球放到编号1、2、3、5的四个盒子中，则各放2个，1个，1个，1个的方法有

C^C∖C∖C∖4410×3×2×l/CC,

51.√r=---------------------×4×3×2×1=240种.

643×2×1

综上，总的放球方法数为90+60+240=390种.故选C.

29.（2021•甘肃靖远模拟）疫情防控期间，某中学从9位（包含甲、乙、丙、丁）行政人员中选出

6人负责某月1日到6日的学生体温情况统计工作，每人各1天，其中甲、乙、丙、丁四人必

须选中，且甲、乙两人不能安排在相邻的两天，丙、丁两人也不能安排在相邻的两天，则不同

的安排方法共有种（用数字作答）.

【答案】3360

【解析】余下5人选2人，即C；,6人全排，即《'，所以共有C14=7200种，

甲乙捆绑一起，即A；,丙丁捆绑一起，即用,

2个组合与另外2人全排，即用，故8∙&∙M∙C==960;

甲乙捆绑一起，与另外4人全排，即&∙g∙C=2400;

丙丁捆绑一起，与另外4人全排，即&∙g∙C=2400;

所以符合条件的有7200-(2400+2400-960)=3360种.

14.3二项式定理

1.(2021・辽宁模拟)在(5—2)5的展开式中，％2的系数为()

A.-5B.5C.-10D.10

【答案】C

【解析】5+I=C§3)5-，(-2)，=C笈甘r∙(-2)l令?=2,.∙.r=l./的系数为C!(-2)∣=

一10.故选C.

2.(2021.江苏金陵模拟)若(l+3x)"(其中"∈N且〃≥6)的展开式中％5与f的系数相等，则〃

【答案】7

【解析】(l+3x)"的展开式中含炉的项为C煎3x)5=G35√,展开式中含3的项为C936Λ

由两项的系数相等得CQ5=cQ6,解得〃=7.

(V-A)4

3.(2021•北京Tll)X的展开式中常数项是

【答案】-4

(x3-I)44rrr24r

τTr+f=q∙(√)-∙(-i)=(-D∙q∙√-

【解析】设X展开式的通项为则X

令12—4r=0得r=3.开式中常数项为：(-1齐仁=-4

4.(2021.福建高三三模)已知［+g)(l+x)5展开式中的所有项的系数和为64,则实数。=

;展开式中常数项为.

【答案】16

【解析】令x=l,可得(α+1("K展开式中的所有项的系数和为32(α+l)=64,则实数

。=1.展开式中常数项为"以+<^=1+5=6,

5.(2021•河南联考)已知(3x—l)"展开式的第5项的二项式系数最大，且"为偶数，则(3x—1)"

展开式中f的系数为()

A.-252B.252C.-28D.28

【答案】B

【解析】由题意可得〃=8,则(3χ-l)8的展开式的通项是7；+I=Ca(3x)8F(—1)「,令8—r=2,

解得r=6,则展开式中X2的系数为C832=252.故选B.

6.(1+2x)5的展开式中，f的系数为.

答案：40

解析：/+∣=G(2Xy=C然也当&=2时,帝的系数为CQ2=40.

7.已知(x+l)∣°="i+α2x+α3X2+…+4TlXn).若数列02,