第21练基本立体图形及其直观图-2023年高考数学一轮复习小题练习（新高考）（解析版）

专题07立体几何初步

第21练基本立体图形及其直观图

谁练基础

1.（2022•天津市滨海新区塘沽第一中学三模）如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥

的底面圆与圆台的较大底面圆重合.已知圆台的较小底面圆的半径为1,圆锥与圆台的高分别为逐-1和3,

则此组合体的外接球的表面积是（）

A.16万B.20乃C.24万D.28乃

【答案】B

【解析】解：设外接球半径为R，球心为O,圆台较小底面圆的圆心为。一

则。。；+12=尸，而Oa=石+2—R,

故R2=l+（石+2-R）2=R=石=⅛S=4Λ∙Λ2=20π.

故选:B.

2.（2022•云南昆明•一模（理））已知为球。的半径，M为线段Q4上的点，且AM=2/0,过M且

垂直于的平面截球面得到圆M,若圆〃的面积为8万，则04=（）

A.2√2B.3C.2百D.4

【答案】B

【解析】解：如图所示，由题得%XBM2=8乃,BM=20.

设球的半径为R，则MO=g/?,。B=R,

22

所以R?=1Λ+（2√2）,.∙.Λ=3=OA.

故选：B

A

3.（2022•广东茂名•模拟）如图是一个长方体的展开图，如果将它还原为长方体，那么线段AB与线段CC

所在的直线（）

A.平行B.相交C.是异面直线D.可能相交，也可能是异面直线

【答案】C

【解析】如图，将展开图还原成长方体，易得线段与线段Cz）是异面直线,

4.（2022•四川•广安二中二模（文））正三角形AOB的边长为1,建立如图所示的直角坐标系XO），，则它

的直观图的面积是（）

y

ʌ√3

∕∖.----bcDY

16∙T∙f

【答案】D

【解析】原图中:设C是。4的中点,则BCJ_0A,OC=AC=-,BC=-

22

直观图中:OC=CA=-,BC=—，ZOCB=-,ZBCA=~

2444

」生

o,=lχlχ^xs1∏^÷lx&in旦

所以S

04fi2244224416

故选：D

5.（2022•河南开封•三模（文））已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长

为（）

A.√2B.√3C.2D.2√2

【答案】C

【解析】依题意可知，半圆的弧长为2π∙l=2π,圆心角的弧度数为兀,

2兀

由弧长公式可得该圆锥的母线长为—=2.

π

故选：C

6.（2022•江苏南通•模拟）一个圆锥的侧面展开图是半径为3,圆心角为1200的扇形，则该圆锥的体积为

【答案】巫π.

3

【解析】设圆锥底面半径为八

120

则由题意得2仃=痂∕∙3,解得r=l.

，底面圆的面积为S=万产=π.

又圆锥的高力=疗=J7=20∙

故圆锥的体积V='s∕7=!χΛ∙χ2jΣ=2^π∙.

333

2维练能力琳

1.（2022•浙江•海宁中学模拟）已知长方形ABCD中，AD=2,A8=4,点E为CQ的中点，现以AE所在

直线为旋转轴将该长方形旋转一周，则所得几何体的体积为（）

A.IO叵TtB.28*兀C.KhtD.8>∕2π

3

【答案】B

【解析】因为长方形A8C力中，AD=2,AB=4,点E为CD的中点，所以以AE所在直线为旋转轴将该长

方形旋转一周，如图：

贝IJ所得几何体的体积为y=兀（2夜Jx2j∑-2×∣π（√2）2×√2=^^π.

故选：B.

2.(2022•天津河西•一模)一个圆锥的高与底面圆的半径相等，体积为述兀，圆锥内有一个内接正方体,

3

则这个正方体的体积为().

A.2(√2-l)B.8(2-√2),

C.8(√2-l)^D.8(√2+l)''

【答案】C

由轴截面可知乌=至U,所以α=2(√∑-l)

2√2√2

所以V=/=8(&-l)3.

故选：C.

3.(2022・湖北•模拟)已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为()

A-nB.1πC.3兀D.4π

【答案】B

【解析】设圆锥的母线为/,即侧面展开图的半径为/

乂圆锥的底面半径为1,则侧面展开图的弧长为2万，

乂侧面展开图是半圆，则㈤=2%，则/=2

所以该圆锥的侧面积为=2〃

故选：B

4.（2022•河北•石家庄二中模拟）己知圆锥的底面半径为G,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线

长为（）

A.3B.2石C.6D.4√3

【答案】B

【解析】设圆锥的母线长为/,由底面半径为r=G，侧面展开图为一个半圆，

所以2πr=πl,

所以该圆锥的母线长为∕=2r=2√3.

故选：B.

5.（2022•广东惠州•一模）若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为4π,圆台上、

下底面圆的半径分别为4,r2（4<&）,则I-X=.

【答案】2

【解析】圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，

所以圆台的母线长为出-出=2/;-2、

ππ

圆台的侧面积为2叫产.X（24-24）=2π（］一书=4π,

所以I-1=2

故答案为：2

6.（2022•陕西宝鸡•二模（文））如图，在正三棱锥P-A8C中，ZAPB≈ZBPCɪZCPA=30，

PA=PB=PC=4,一只虫子从4点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最

短距离是.

【答案】4√2

【解析】如图所示，将三棱锥的侧面展开，

因为NAPB=NBPC=NCPA=30,所以NAPA=90,

当虫子沿4。爬行时，距离最短，

又A4,=JI6+16=4五,

所以虫子爬行的最短距离是4夜.

故答案为：40.

7.（2022•四川•宜宾市叙州区第二中学校三模（理））一个三角形的斜二测画法的直观图是一个边长为。的

正三角形，则原三角形的面积等于.

【答案】22

2

【解析】解：根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的

面积9之间的关系是s∙Es,

4

旦2

本题中直观图的面积为LXaXSin60。=巫/，所以原三角形的面积等于其-=恪/.

242ιr.Z

~T

故答案为：&

2

3堆练素养物

1.（2022•北京•高考真题）已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6,S是二AfiC及其内部的点构成的集合.设

集合T={QeS∣PQ≤5},则T表示的区域的面积为（）

3冗

A.—B.%C.2τtD.3τr

4

【答案】B

P

设顶点P在底面上.的投影为。，连接80,则。为三角形ABC的中心，

旦3O=2χ6χ3=2√j,⅛PO=√36-12=2√6.

32

因为PQ=5,故OQ=1,

故S的轨迹为以。为圆心，1为半径的圆，

ɔ√3%

而三角形ABC内切圆的圆心为。，半径为2xjg=Jj>∖,

故S的轨迹圆在二角形A8C内部，故其面积为万

故选：B

2.（2022•浙江•慈溪中学模拟）已知点M是棱长为4的正方体ABCO-ABGR的棱8C的中点.过直线

作平面α,记平面α与棱AA的交点为K,当平面α与底面ABCO所成的锐二面角最小时，AK=（）

【答案】B

【解析】连接MO,则NRMD为直线MDt与底面ABCO所成的角.

由于u平面a,因此平面a与底面ABCl）所成的锐：面角的大小不小于NDIMD.

•作平而α•使得平面αIJ底而ABCD所成的税.：而加恰为NRM

取AB的中点M则。VLZW,故CN，平面QM

取NB的中点E,则ME〃CN,故ME_L平面DMR.

则当平面α位于平面AME时，平面α与底面ABCD所成的锐二面角恰为NAMD,

此时平面α与底面ABCD所成的锐二面角最小.

如图作出截面AKEM/,其中AE:£8=3:1,BE=I,AE=3,AF=6,

312

从而AK=Wz）A=M,

故选：B

3.（2022•浙江省义乌中学模拟）三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=HPC=a,AC=b,BC=c，若三

角形PAC和PBC都是等腰直角三角形，则α,b,C可能的不同取值有（）

A.1种B.2种C.3种D.至少4种

【答案】C

【解析】根据题意可画简图如下,iU¾B为等边三角形，且qR4C-PBC都是等腰直角三角形，分类讨论如卜一:

①PA_LPC,PA=PC=&时，PC=PA=PB=丘，此时PBC中，NBPC=90°

所以，AC=√2PC=2,BC=>∣2PB^2

止匕时，a=∖∣2,⅛=2,c=2;

②PA_LAC,PA=AC=√Σ时，PC=立AC=2,此时PBC中,

NPBC=90°,此时BC=PB=无,止匕时α=√2,⅛=√2,c=√2;

③AC_LPC,AC=PC时，AC=PC=I,此时二PBC中，

ZBCP=90°,此时BC=PC=I,此时α=√∑,0=l,c=l

所以"C的取值有3种不同情况.

故选：C.

4.（2022•天津实验中学模拟）在正四面体SABC中，SA=2√3,D,E,F分别为SA,SB,SC的中点.则

该正四面体的外接球被平面OEF所截的圆周长为（）

A.%B.2πC.44D.6π

【答案】C

【解析】过点S作SPL平面A8C,垂足为P,如图，

则点P必为△A8C的中心，则正四面体SABC外接球的球心必在线段SP上，

设图中点。为正四面体SABC外接球的球心，外接球半径为R,

由已知得AP=2√5x乎x∣=2,SP=^（2√3）2-22=2√2,

所以*=22+（20-R『，解得R=乎.

因为。，E,F分别为SA,SB,SC的中点，

所以点。到平面OE尸的距离"=逑-&=变.

22

设截面圆的半径为，•，则W=/+/,解得「=2,

所以截面圆的周长为4万.

故选：C

5.（2022•湖北•荆州中学三模）1859年,英国作家约翰•泰勒UohnTaylor,1781-1846）在其《大金字塔》

一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用了黄金数（土叵=1.618）.泰勒还引用了古希腊历史学

2

家希罗多德的记载：胡夫金字塔的形状为正四棱锥，每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方.如图，已

知金字塔型正四棱锥P-ABCD的底面边长约为656英尺，顶点P在底面上的投影为底面的中心。，H为线

段8C的中点，根据以上信息，PH的长度（单位：英尺）约为（）

A.302.7B.405.4C.530.7D.1061.4

【答案】C

【解析】设8C=2α,PO-h,PH=S,由已知得〃,=〃.’，

又由勾股定理*=s2-/,故心=s∙2-q2,gpM-Δ-1=O,

∖a)a

因此可求得£=叵N,则PH=s=在±L=叵dχ∙^≡≈530.7.

a2222

故选：C

6.（2022•江苏南通•模拟）如图，正方体ABS-ABCQ的棱长为1,EEG”分别是所在棱上的动点，且

满足O4+3G=4E+Cb=l,则以下四个结论正确的是（）

A.E,G,£”四点一定共面

B.若四边形EGF”为矩形，则。H=Cb

C.若四边形EGFH为菱形,则E,F一定为所在棱的中点

D.若四边形EGF”为菱形，则四边形EFG〃周长的取值范围为卜,2石］

【答案】AD

连接AG,BR交于点P,尸为正方体ABCo-ABCa的中心，

由棱长为1，

EiDH+BG=AE+CF=↑,

可得D1H=BG,AE=CFt,

所以EF,AG交于尸点，HG,BQ交于P点、,

所以所,"G交于尸点，，

故E,G,F,"四点一定共面，所以A正确；

对B,若四边形EGF〃为矩形，

可以QH=B也可以=AE,故B错误；

对C,若四边形EGF”为菱形，

则必有EG”,

则必有E,F-定为所在棱的中点或2"一定为所在棱的中点，故C错误：

四边形EGFH为菱形，当E,F,G,H都为各边中点时，

四边形EFGH周长最小为1x4=4,

若E,F为所在棱的中点，而”,G分别和D1,B重合时，

此时菱形EFG，周长最大，边长为石，

所以周长为4石，故D正确.

故选：AD

7.（2022•湖北•襄阳五中模拟）已知四棱锥P-ABCD的底面ABCZ）是矩形，且该四棱锥的所有顶点都在球

。的球面上，B4_L平面48CZ）,PA=AB=2,BC=20，点E在棱PB上，且地=2注，过E作球。的截

面，则所得截面面积的最小值是.

【答案】*

【解析】如图，将四棱锥P-ASC。补形为长方体，易知该长方体的外接球即为四棱锥尸-ABCD的外接球,

：PC为长方体的体对角线，.∙.球心。在PC的中点上，.∙.外接球半径R=gpC=gsjBC2+AB2+PA2=2,

22

设平面ɑ为过E的球。的截面，则当OE_L平面α时，截面积最小，由图可知OE=dθF+EF。=正,设

3

截面半径为『，则产=R2-O6=^,所以截面圆的面积为?万，即所得截面面积的最小值为为》.

故答案为：

8.(2022•山东德州•模拟)已知三棱锥尸-ABC的棱AP,AB,Ae两两互相垂直，AP=AB=AC=2^,

以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于

【答案】ɪ

【解析】由题设，将三棱锥P-ABC补全为棱长为的正方体，如下图示:

若Ar)=AF=2,则Pr)=PF=4,即，尸在P为球心，4为半彳仝的球面上，且。为底面中心,

又OA=娓>2,OP=3√2>4.

所以，面ABC与球面所成弧是以A为圆心，2为半径的四分之一圆弧，故弧长为万；

面PBC与与球面所成弧是以尸为圆心，4为半径且圆心角为9的圆弧，故弧长为年；

面PB4,PC4与球面所成弧是以P为圆心，4为半径且圆心角为专的圆弧，故弧长为与；

所以最长弧的弧长为

故答案为：ʒ--

9.（2022•山东临沂•一模）已知正三棱台A8C-4gC∣的上下底面边长分别为2和5,侧棱长为3,则以下

底面的一个顶点为球心，半径为2的球面与此正三棱台的表面的交线长为.

【答案】2兀

【解析】由题意，得，ABC是边长为5的等边三角形，

侧面均为全等的等腰梯形，在四边形ABBM中，

AB=5,A∣8∣=