贵州省贵阳市五校2023届高三联合考试（五）理科数学试题（含答案与解析）

贵阳市五校2023届高三年级联合考试（五）

数学（理科）

贵州省实验中学贵阳二中贵阳六中贵阳八中贵阳九中贵阳民中

注意事项:

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填

写清楚.

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

―,在人A=(XIx~-5x<θ},8={x∣x=2"+l,"∈N}则A

1.已知集合IB=()

A.{0,1,2,3,4,5)B.{1,2,3,4,5)C.{1,3,5)D.{3,5}

2.设复数一i∙z=T+23则Z的共轮复数对应的点位于（）

A第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.根据如下样本数据得到回归直线方程y=⅛r+G,其中8=9,则％=7时y的估计值是（）

X2345

y25385055

A.73.5B.64.5C.61.5D.57.5

4.已知命题P：3XeR,有SinX<1成立；命题9："<7>l,⅛lia2>a充要条件，则下列命题中为真命题

的是（）

A.PdqB.∏P^√C.PAFD.TPVq)

5.设α=3°,,A=IogoslSc=IogojOS,则α,b,C的大小关系为()

A.a<b<cB.c<a<b

C.c<b<aD.h<c<a

6.在＜45C中，AO为8C边上的中线，E为AQ的中点，则EC=（)

31-1—3

A.-AB——ACB.--AB--AC

4444

3113

C-AB+-ACD.--AB+-AC

4444

7.等差数列｛α,J的公差为2,若q.%,q成等比数列，则｛凡｝的前“项和S”=

/,、/,、n(n+Γ)n(n-l)

A.n(n+l)B.n(n-l)C.--------D.—-------

22

einY4-Y

8.函数4》)=一在［—兀，π］的图像大致为

COSX+X

9.十七世纪德国著名天文学家开普勒曾经说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分

割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，黄金分割就可以比作钻石矿”.如果把顶角为36。的等腰三角形称

为“黄金三角形"，那么我们常见的五角星则是由五个黄金三角形和一个正五边形组成.如图所示，

丝=避二ɪ（黄金分割比），则COS2ND84=（）

BC2

「3-√5n√5+l

44

10.在三棱锥A—BCD中，已知AC,BC,AC=BC=2,AO=BO=遍，且平面ABDJ_平面ABC,则

三棱锥A-BCr）的外接球表面积为（）

A.8兀B.9兀C.10πD.12兀

23L

11.设点A为椭圆r0+y2=i（α>i）上的动点，点8为椭圆的上顶点，若IABl的最大值为彳夜，则椭圆

a2

的方程为（）

r2r2

A.—+γ2ɪlB.—+/=1

54∙

22

C.—+/=1D.—+/ɪl

32

12.已知函数/（χ）的定义域为R,满足/（x+D为奇函数且/（6-x）=∕（x）,当xe[l,3]时•，

/CO="∙2"+bd,若/⑸+/Q2）=y则/（2023）=（）

33

A.10B.-10C,-D.-一

22

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.在（尤-2）的展开式中，常数项是.（用数字作答）

14.已知等比数列｛4｝的前〃项和为S“，且S“=则%=.

15.由直线x+2y~7=0上一点P引圆χ2+y2-2χ+4y+2=0一条切线，切点为A,贝IJlPAl的最小值为

16.将函数"X）=Sin[S+"W>0）向右平移;个周期后所得的图象在（0,?内有3个最高点和2个

最低点，则。的取值范围是.

三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.记一ABC内角A,B,C的对边分别为4,b,c,⅛（a2+⅛2-C2）（«COSB+/JCOSA）=«Z?C.

（1）求C；

（2）若为锐角三角形，c=2,求二ABC周长范围.

18.某学校组织"消防”知识竞赛，有A,3两类题目.每位参加比赛的同学先在两类题目中选择一类并从中

随机抽取一道题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题

回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得40分，否则得0分；B类问

题中的每个问题回答正确得60分，否则得0分已知小明能正确回答A类问题的概率为0.7,能正确回答B

类问题的概率为05且能正确回答问题的概率与回答次序无关

（1）若小明先回答A类问题，记X为小明累计得分，求X的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

19.如图，在三棱锥产一ABC中，AB=BC=2√2,PA=PB=PC=AC=4,。为AC的中点.

(!)证明：PO，平面ABC；

CM

(2)若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°,求——的值.

CB

22

20.已知坐标原点为。，抛物线为G：Y=2Py(P>0)与双曲线3-《=1在第一象限的交点为P,F为

双曲线的上焦点，且AOPF的面积为3.

(1)求抛物线G的方程；

(2)已知点M(-2,-l),过点M作抛物线G的两条切线，切点分别为A,B,切线M4,MB分别交X

轴于C,D,求z∖MAB与aMCD的面积之比.

21.设函数/(x)=αe*-∕+l.(其中e=2.71828为自然对数的底数)

(1)若AX)在区间(0,+8)内单调递增，求"的取值范围；

(2)证明：Va≥1,当χ>0时，f(x)≥aex-2x+2.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注

意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，

则按所做的第一题计分.

【选修4-4：坐标系与参数方程】

22.在直角坐标系Xoy中，以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为

/7=2COS6,直线/的普通方程为x—y+l=O.

(1)将C的极坐标方程化为参数方程；

(2)设点A的直角坐标为(-1,2),M为C上的动点，点尸满足AP=240,写出P的轨迹Cl的参数方

程并判断Cl与/的位置关系.

【选修4-5：不等式选讲】

23.已知函数/(x)=∣x+2∣+∣2x+3∣.

(1)求函数/(χ)的最小值;

（2）若","c为正实数，且/（。）+/（勿+/（。）=21,求∙L+1+∙L的最小值.

abc

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1已知集合A={x∣χ2-5χ<θ},8={x∣x=2∕j+"∈N},则AB=（）

A.{O,1,2,3,4,5}B.{1,2,3,4,5}C.{1,3,5}D.{3,5}

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式，得到A={x∣0≤x<5},结合集合8的元素特征，得到交集.

【详解】X2-5Λ<0-解得0≤X≤5;集合A元素满足x=2〃+l,〃eN,

当〃=O时，χ=l满足要求，当n=1时，χ=3满足要求，当拉=2时，x=5满足要求，

其他均不合要求，故4B={1,3,5}.

故选：C.

2.设复数-i.z=T+2i,则Z的共枕复数对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数运算法则计算出z,进而得到Z=-2+i,求出答案.

【详解】由题意得z=（—l+2i）∙i=-2—i,Z的共轲复数5=—2+i,z的共扼复数对应的点为（一2,1）,

位于第二象限，

故选：B.

3.根据如下样本数据得到回归直线方程y=%+a,其中2=9,则x=7时y的估计值是（）

X2345

y25385055

A.73.5B.64.5C.61.5D.57.5

【答案】A

【解析】

【分析】根据回归方程经过样本中心点和回归方程对数据的估计即可求解.

【详解】因为回归直线方程y=9χ+4必过（双歹），

由题中表格数据得X=3.5,5=42,

则。=歹一9了=10.5,

故y=9x+10.5,

则当X=7时，J=73.5,

故选：A.

4.已知命题P：玉eR,有SinX<1成立；命题4：是“∕>α，，的充要条件，则下列命题中为真命题

的是（）

A.PdqB.7AqC.P八rD.TPVq）

【答案】C

【解析】

【分析】先分别判断命题，。的真假，再根据复合命题真假的判断方法即可得解.

【详解】当X=O时，sinx=O<1,所以命题P是真命题，则一7?为假命题，

由a?）。，得α>l或a<0,

所以"α>l''是"∕>α，，的充分不必要条件，故命题4是假命题，则F为真命题，

所以。人4,为假命题，P*q,P八一4真命题，则Vq）为假命题.

故选：C.

5.设”=3°,7,/?=1080.81.6,。=1。80.70.8,则4,b,C的大小关系为（）

A.a<h<cB.c<a<b

C.c<b<aD.b<c<a

【答案】D

【解析】

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，确定这三个数所在范围，即可比较出大小.

【详解】由题意得3°∙7>3°=1,即a>l;

Iog081.6<Iog081=0,即）<0；

Iog071<Iog07θ∙8<Iog070.7,即O<c<1,

则a,b,C的大小关系为Z?<c<a.

故选：D.

6.在,AgC中，4。为BC边上的中线，E为AO的中点，贝IJEC=（）

3113

A.-AB——ACB.——AB--AC

4444

3113

C.-AB+-ACD,--AB+-AC

4444

【答案】D

【解析】

【分析】首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，向量减法的三角形法则，用基底ABAC表

示EC，从而求得结果.

由。为BC中点，根据向量的运算法则,

可得Ao=；（AB+AC）,

1131

在ABC中，ECAC-AEAC——AD=一一(AB+AC)+AC=-AC一一AB.

2444

故选:D.

7.等差数列伍“｝的公差为2,若%,牝,4成等比数列，则仅“｝的前”项和S“=

/,、/八n(n+Γ)n(n-l)

A.n(n+l)B.rt(rt-l)C.———-D.———-

22

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：qMq成等比数歹U二W=44(4+2)2=4(4+6)/.α∣=2

考点：等差数列

Sinγ+ɪ

8.函数~~7在［—兀，兀］的图像大致为

【答案】D

【解析】

【分析】先判断函数的奇偶性，得/(X)是奇函数，排除A,再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案.

“、sin(-ɪ)+(-%)-SinX-X”、

【详解】由八r)=c。f+(-4=嬴ETM得AX)是奇函数，其图象关于原点对称.又

π

1+

2_4+2^TT

>1,/(π)=--------->0.故选D.

π~-∖Λ-π~

【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养.采取性质法或赋值法,

利用数形结合思想解题.

9.十七世纪德国著名天文学家开普勒曾经说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分

割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，黄金分割就可以比作钻石矿”.如果把顶角为36。的等腰三角形称

为“黄金三角形"，那么我们常见的五角星则是由五个黄金三角形和一个正五边形组成.如图所示，

丝=苴二ɪ(黄金分割比)，则CoS2N084=()

BC2

r3—λ∕5nλ∕5+1

44

【答案】D

【解析】

【分析】构造RtADEB,根据题意推得SinN8。E=避二ɪ.然后根据诱导公式以及二倍角的余弦公式化

4

简，即可得出答案.

【详解】如图：

D

过。作r>E1Aβ于E,则SinNBOE=Sin18°=殷=J_.丝=J.四=避二ɪ

BD2BD2BC4

1800-36°

NoBA==72°,

2

0002o

所以，cos2ZDjβ4=cosl44=cos(180-36)=-cos360=-(l-2sin18)

Λ√5-1V√5+l

=-1+2

4

故选：D.

10.在三棱锥A—BCD中，已知AC,BCAC=BC=2,Ao=BO=#，且平面ABD，平面ABC,则

三棱锥A-88的外接球表面积为（）

A.8πB.9πC.10πD.12π

【答案】B

【解析】

【分析】通过面面垂直确定球心的大致位置，在直角三角形中利用勾股定理可求球的半径，结合表面积公式

可得答案.

【详解】如图，设外接球的半径为R,取AB的中点O一连接则由AD=皿，得qOLAB,

因为平面AfiD，平面ABC,平面ABoC平面ABC=AB，U平面他£）,

所以平面A8C,则球心。在直线上.

连接。4,则QD=Q4=R,

因为AC,BCAC=BC=2,所以48=2及；

因为AO=80=#，所以Aa=0,qθ=2.

因为QO>AO一所以球心在线段。。上.

在RtZ∖O0A中，由勾股定理，得。O：+GA2=0屋，

3

即(2-H)2+2=R2,解得R二一

2

3

所以三棱锥人-38的外接球表面积为4兀/?2=471*

故选：B.

11.设点A为椭圆0+y2=i(α>i)上的动点，点B为椭圆的上顶点，若IABl的最大值为］√∑,则椭圆

a~2

的方程为()

【答案】C

【解析】

【分析】设动点A(XO,%),贝IJlABl2=(1—一二]+/+]+/,利用二次函数性质求最

'∖∖-a')α^-1

大值，由IABl的最大值为求出/即可.

2

2

【详解】由椭圆方程得3(0,1),设动点A(XO,%),则其+y=1,所以x；="一标必，

a

则IABI2=片+(No-1)2=〃一+(NO-I)2

(ɪλ2ɔɪ

=(l-<a^)jθ-2y0+α^+l=(l-α^)y0-J^Tj+k+1+胃'

、2]

y~ɪɪ2J+〃+]+^^^PyO对称轴为%=]_々2〈0•

(0

1/9

①若^~r≤-l,即1<Q2≤2时，/(%)在[-1J上单调递减，则〃%)maχ=∕(-l)=4≠[,故舍去；

1—Ci2

②若一L>T,即∕>2,f(y0)⅛-l,-ɪ-上单调递增，在ɪ-,l上单调递减，则

l-a^L'~aJLl-a.

/(%)max=∕[r⅛]=α2+l+^7=q,解得/=3,

故选：C.

12.已知函数/(x)的定义域为R,满足/(X+数为奇函数且或为一X)=∕(X),当X∈[l,3]时,

/0)=22"+陵2,若/(5)+/(12)=-4,则/(2023)=()

33

A.10B.-10C.-D.--

22

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数/(χ)的奇偶性与对称性得函数的周期，再根据已知区间内的解析式求得。力的值，最后利

用周期性即可求得/(2023)的值.

【详解】由f(x+D为奇函数可得：/(x+l)=-∕(-x+l),即/(x)=-∕(2-X)①，则/(χ)关于点

(LO)对称,令χ=l,则。。)=0；

由/(6-X)=/(x)②，得/(χ)的图象关于直线％=3对称;

由①②可得：/(6-x)=-∕(2-x),即f(x+4)=-f(x),所以/(x)=~√(X-4),故

/(x+4)=∕(x-4),所以函数/(χ)的周期T=8；

所以f(5)=_/•⑴=2。+匕=0"(12)=2(4)=f⑵=-4,即，+6=—1,

2a+b-Q)a=1

联立《解得〈，C，故/(X)=2"-2一.所以

a+b=-lD=-2

/(2023)=/(-1)=-/(3)=-(23-2×32)=10.

故选：A.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.在(尤-2]的展开式中，常数项是_________.(用数字作答)

IXj

【答案】-160

【解析】

【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求得答案.

【详解】(X-2)的展开式的通项公式为

6r62r

Tr+t=Cix-(--y=(-2YC^x-,r=0,l,2,,6,

令6-2v=0,尸=3,

故常数项为(-2)3*=760,

故答案为：-160

14.已知等比数列｛α,J的前”项和为S“，且S“=则%=.

【答案】54

【解析】

【分析】先求出4=3丸—1,根据S“与%的关系得出当时，α,,=2∕l∙3"τ.又根据等比数列，可知

4=22.列出方程，即可求出4的值，代入可得｛q｝的通项公式.

【详解】当n=1时，则S∣=q=34-1.

n

当〃22时，a,,^Sn-S,ι=4(3"-3"τ)=22∙3^'.

又因为｛%｝是等比数列，所以％=2∕l,

所以%=2∕t=32-1,解得：A=I,

所以”,,=2∙3"τ,所以%=54.

故答案为：54.

15.由直线x+2y—7=0上一点P引圆χ2+y2-2x+4y+2=0的一条切线,切点为A,则IPAl的最小值为

【答案】√∏

【解析】

【分析】根据题意，将圆的一般方程变形为标准方程，即可得圆心坐标与半径，由直线与圆相切的性质可得

PAI2=IMPp-F=IMPF-3,分析可得MP取得最小值时，PA取得最小值，据此分析可得答案.

【详解】根据题意，圆χ2+y2-2x+4y+2=0的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=3,

则圆的圆心为(1，-2),半径『石，

设圆心为M,

贝!∣IPAF=IMPF-P=IMPF-3,

则IMPl取得最小值时，PAl取得最小值，

∣l+2×(-2)-7∣L

JL

且IMPl的最小值即M到直线x+2y-7=0的距离，［MP卮Wa=——-∣=——=2√5，

则IPAl最小(S=J20—3=历，

故答案为√∏.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意将圆的一般方程变形为标准方程.

16.将函数〃尤)=5吊(公1+1)0>0)向右平移；个周期后所得图象在(θ,∙∣)内有3个最高点和2个

最低点，则0的取值范围是.

28,34

【答案】--<69≤----

33

【解析】

【分析】求出平移后所得函数的解析式，根据题意可得出关于。的不等式，解之即可.

2冗

【详解】函数/(χ)的最小正周期为T=力，

T

将函数/(χ)向右平移彳后的解析式为了

，八兀∖,πfπωππ

由X∈0,二∙，∏T<69X---∈-一~

\2J6\626

要使得平移后的图象有3个最高点和2个最低点，则需：电<要-2≤坐，解得空<o≤2.

226233

故答案为：--<(V≤—.

33

三、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.记JIBC内角A,B,C的对边分别为α,b,c,Ji(«2+b2-c2)(tzcosB+ZJCOSA)=O∕JC.

(1)求C；

(2)若.ABC为锐角三角形，c=2,求-ABC周长范围.

71

【答案】(I)C=-

(2)(2+2√3,6]

【解析】

分析】(1)应用正弦定理及余弦定理解三角形即可；

(2)先应用正弦定理用角表示边长，再根据锐角三角形求角的范围，最后求三角函数的值域即得.

【小问1详解】

在LA6C中，由射影定理得acosB+Z?cosA=c,

则题述条件化简为a2-^-b2-c2=abf

由余弦定理得cr+b2-c2=2abcosC.

可得CoSC=-^,C∈(0,π),

π

所以C=-∙

3

【小问2详解】

在-ABC中,

a_b_c_2_4λ∕3

由正弦定理得SinASinBsinC.兀3,

sin—

3

则_ABC周长Cλbc=α+0+2=2+∙^^（sinA+sinB）=SinA+sin（学一A

因为SinA+sinA）=百Sin（A+巳），贝IJCabc=2+4sin（A+£）,

因为一ABC为锐角三角形，A+B=~,

故sin〔A+7Jw-ɪ,1,Cλbc∈（2+2Λ∕3,6].

18.某学校组织"消防'’知识竞赛，有A,8两类题目.每位参加比赛的同学先在两类题目中选择一类并从中

随机抽取一道题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题

回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得40分，否则得0分；B类问

题中的每个问题回答正确得60分，否则得0分已知小明能正确回答A类问题的概率为0.7,能正确回答B

类问题的概率为0.5,且能正确回答问题的概率与回答次序无关

（1）若小明先回答4类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

【答案】（1）分布列见解析

（2）小明应选择先回答4类问题，理由见解析

【解析】

【分析】（1）由X的所有可能取值，计算对应的概率，列出分布列；

（2）分别计算先回答A类问题累计得分的期望和先回答8类问题累计得分的期望，比较即可.

【小问1详解】

由己知可得，X的所有可能取值为0,40,100,

则P（X=O）=I-0.7=0.3；

P（X=40）=0.7X（l-O.5）=O.35;

P（X=IOO）=O.7X0.5=0.35.

所以X的分布列为

X040100

【小问2详解】由(1)可知小明先回答4类问题累计得分的期望为

E(X)=OXO.3+40x0.35+100x0.35=49.

若小明先回答8类问题，记丫为小明的累计得分，

则y的所有可能取值为0,60,wo,

P(Y=O)=1-0.5=0.5,

P(y=60)=0.5×(1-0.7)=0.15,

P(y=100)=0.5X0.7=0.35,

则Y的期望为E(Y)=0x0.5+60x0.15+100x0.35=44,

因为E(X)>E(Y),

所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答A类问题.

19.如图，在三棱锥P—ABC中，AB=BC=2&PA=PB=PC=AC=A,。为4C的中点.

B

(1)证明：Po_L平面ABG

CM

(2)若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°,求——的值.

CB

【答案】(1)证明见解析

⑵,

【解析】

【分析】(1)由等腰三角形三线合一得到PO_LAC,由勾股定理逆定理得到50J_PO,从而证明出线面

垂直；

CM

(2)建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设J=∕l,利用空间向量及二面角列出方程，求出答案.

CB

【小问1详解】

在APAC中，PA=PC=4,。为AC的中点.

则中线Po_LAC,且AO=CO=2,OP=2G;

同理在JIBC中有AB2+BC2=AC2,则.IBC；

因为AB=BC=2后，。为AC中点.

所以BOlAC且BO=2；

在APOB中有尸。2+8。2=Bp2,则Boj.PO,

因为ACCBO=O,4。,8。(=平面42。,

所以POL平面4BC.

【小问2详解】

由(1)得产。,平面ABC,故建立如图所示空间直角坐标系。一孙z,

则BQ,0,0),C(0,2,0),A(0,-2,0),P(0,0,2圾,

设宴

=丸，则CM=TIC8,

CB

而CB=(2,-2,0),PA=(0,-2,-2√3),PC=(0,2,-2√3),

.∙.CM=ACB=(22,-22,0).

.∙.PM=PC+CM=(0,2,-2√3)+(22,-22,0)=(22,2-22,—2石)，

设平面PAM的一个法向量为m=(x,y,z),

m∙PM=0-2y-2√3z=0

由,得，\

mPA=O2Λx+(2-2Λ)ʃ-2√3z=θ'

令Z=ʌ/ɜ,/.m=

又X轴所在直线垂直于平面见C,

.∙.取平面PAC的一个法向量n=(1,0,0),

也

.∙.cos(m,〃〉=

2，

+3+9

%

平方得7必3,令

4λ

I--3+12

UJ

m2

C--=>4m2=3m2÷36,m2=36,m=6,

m2+124

...9—3=6,/1=9=2

A93

22

20.已知坐标原点为。，抛物线为G：f=2Py(P>0)与双曲线在第一象限的交点为P,F为

双曲线的上焦点，且AOPF的面积为3.

(1)求抛物线G的方程;

(2)已知点M(-2,-1),过点M作抛物线G的两条切线，切点分别为A,B,切线M4,MB分别交X

轴于C,D,求Z∖M4B与ZkMCD的面积之比.

【答案】(I)X2=2y

(2)生诞=12

S.CD

【解析】

【分析】⑴首先求出双曲线的上焦点，设P(XP,%),(⅞>0,γr>0),根据三角形面积求出Xp,再代

入双曲线方程求出Vp,再根据点尸在抛物线上，即可求出。，即可得解；

(2)设点A(XI,χ),β(x2,y2)1利用导数表示出的方程，即可求出C点坐标，同理可得。，再将M

代入M4,即可得到AB的方程，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，即可求出∣A8∣,再求出点

M到直线AB的距离，即可得到SMAB，再求出SM°,即可得解.

【小问1详解】

22.

双曲线《一方=1的上焦点为网0,遥)，设P(XP,%)，(xp>0,yp>0),

由已知得：S=g∙∙∣OZ∏∙Xp=3,则巧)=指，

代入双曲线方程可得y；=],解得力=3或孙=一3（舍去），所以p（、4,3）,

33

又因为P在抛物线上，所以6=2px3,解得p=l,故抛物线G的方程为f=2y∙

【小问2详解】

r2

设点A（玉，y）,B（X2,%），对y=]求导得V="

则切线M4的方程为y-χ=N（X-XJ,

由X；=2yl整理得y=x∣x-%,

令y=0,则X=5,即CE^,0,同理可求得。方,0

将“（一2,-1）代入直线MA可得：2%-1=0,

同理可求得直线的方程：2%2+y2-l=0,

所以A,B的直线方程2x+y-l=0.

y=l-2x

联立，消去y得f+4x—2=0，

则韦达定理：x∣+%2=-4,XlX2=-2,

22

则弦长IAB∖=√l+⅛∣X1-Λ2∣=√5∙√4+4×2=2√30，

∣2×(-2)+(-l)-l∣

点M到直线AB的距离d争,

所以STA郎"=6几，

又Si[m∙∣%∣=审考,

故K=I2.

^∆Λ∕CD

21.设函数/(x)="e*-V+](其中e=2.71828为自然对数的底数)

(1)若f(χ)在区间(0,+∞)内单调递增，求。的取值范围；

(2)证明：Dα≥l,当x>O时，f(x)≥aex-2x+2.

【答案】(1)j,+s)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)/S)在区间(O,+8)内单调递增可转化为了'(x)≥O在(0,+oo)恒成立，然后分离参数转化为求

函数最值问题.

v

(2)证明/(x)NaeX-2x+2,即证ɑ(eʌ-ex)-(X-I了≥0,考虑到x>0时，e-ex≥O)可把

a(e“一ex)—(x-1)220放缩为证明]一5一(无一1)220,排除参数方便证明.

【小问1详解】

∩Y

解：由己知得：1(x)=。eX—2x≥0在(0,+8)恒成立，则分参得一≥

2e

令函数g(x)=W，则只要一大于或等于g(x)的最大值即可.

eZ

又令g'(x)=O得X=L当x>l时，g'(%)<0,当O<x<l时，g'(x)>0,

X

则函数y=在(1,QO)上单调递减，在(0,1)上单调递增.

e+

故函数g(χ)≤g⑴=L所以9NL即”的取值范围是p,+j.

e2eLe)

【小问2详解】

证明：由题要证f(ɪ)≥cιex-2x+2成立，只需证aex—x2+1>aex-2x+2，即证

6z(ev-ex)-(x-l)2≥0.

令〃(X)=e*-ex,则/(X)=eA-e,令"(x)=0,得x=l,

当x〉l时，h,(x)>O,∕z(x)单调递增；当OVXVl时，h∖x)<O,g(x)单调递减.

所以∕2(x)≥〃(1)=0,即e"一ex≥O,当且仅当％=1时等号成立.

所以要证a(e'—ex)-(x-I)2≥0,只需证：ev-eΛ-(x-l)2>0.

令函数*x)=eA-ex-(x-l)2,则t∖x)=eʌ-e-2(x-l),

令函数O(X)=e"-e-2(x-I),则“(犬)=e"-2,令0(x)=O,则