备战2023年海南新高考数学仿真卷（五）（解析版）

备战2023年海南新高考数学仿真卷（五）一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）函数的定义域为A．， B．，， C．， D．，【答案】【详解】要使原函数有意义，则，解得且．函数的定义域为，，．故选：．2．（5分）设集合，，则A．， B．，1， C．， D．，【答案】【详解】由题意得，，，，故，3，，故选：．3．（5分）已知函数，则（5）的值为A． B．2 C． D．3【答案】【详解】令，解得：，．故选：．4．（5分）沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时80分钟．设经过分钟沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度恰好相等（假定沙堆的底面是水平的），则的值为A．10 B．20 C．60 D．70【答案】【详解】沙漏上方圆锥中的沙子的高度和下方圆锥中沙子的高度恰好相等，上方圆锥的空白部分就是下方圆锥中的沙子部分，且上方沙漏中沙子的高度为一个沙漏的高的一半，可以单独研究上方圆锥，其高度为一个圆锥的一半，沙子形成的圆面的半径为圆锥底面圆半径的一半，设圆锥的高为，底面半径为，则上方此时剩的沙子占总沙子的，下方圆锥中的沙子占总沙子的，一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个沙漏中需要用时80分钟，当的沙子从一个沙漏中漏到另一个沙漏中，需要分钟，．故选：．5．（5分）已知点为外接圆的圆心，且，则的内角等于A． B． C． D．【答案】【详解】由，得，可知，为的重心，延长交于，则为的中点，又为外接圆的圆心，可得，则，同理可得，则为正三角形，．故选：．6．（5分）已知函数．若关于的方程在区间，上有且仅有两个不相等的实根，则的最大整数值为A．3 B．4 C．5 D．6【答案】【详解】当，时，，；关于的方程在区间，上有且仅有两个不相等的实根，结合正弦函数的图象，得，解得，可得满足条件的的最大整数为4．故选：．7．（5分）将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为A．315 B．640 C．840 D．5040【答案】【详解】有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同有种放法，剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子有种放法，所以有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为种，故选：．8．（5分）已知定义在上的函数满足，且有（3），则的解集为A． B． C． D．【答案】【详解】设，则，所以在上单调递增，又（3），则（3）（3），所以等价于，即（3），所以，即不等式的解集为．故选：．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）下列说法正确的有A．对任意的事件，都有（A） B．随机事件发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 C．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0 D．若事件事件，则（A）（B）【答案】【详解】频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率．任意事件发生的概率（A）满足（A）判断错误，随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．正确．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0，小于1，正确．随机事件的样本空间一定时，事件事件必然有（A）（B），正确，故选：．10．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则不可能为A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形【答案】【详解】由余弦定理，因为，所以，又，所以，故为等腰直角三角形．故选：．11．（5分）在下列四个式子中正确的是A．当时， B．有最小值8 C．的最小值为4 D．函数的值域为【答案】【详解】当时，，当且仅当时等号成立，正确；，当且仅当，即时取等号，正确；令，则，，原式在，上单调递减，当时取得最小值5，错误；当时，，显然错误．故选：．12．（5分）若袋子中有2个白球，3个黑球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记4次取球的总分数为，则A． B． C．的期望 D．的方差【答案】【详解】由题意知从袋子中有放回地随机取球4次，每次取到白球的概率为，取到白球记1分，取到黑球的概率为，取到黑球记0分，则记4次取球的总分数为，即为4次取球取到白球的个数，则知，错误；错误；的期望，正确；的方差，正确，故选：．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）疫情期间，有7名医护人员要到两所医院进行支援，每所医院最少3名，则不同的分配方案有种．【答案】70【详解】根据题意，分2步进行分析：①先将7人分为2组，一组4人另一组3人，有种分组方法；②将分好的2组全排列，分派到两个医院，有种情况，则有种不同的分配方案；故答案为：70．14．（5分）已知正实数，满足，则的最小值为，的最大值为．【答案】，【详解】，，，（当且仅当，即时，等号成立），故的最小值为，，（当且仅当，即，时，等号成立），，即，解得，或（舍去），故的最大值为，故答案为：，．15．（5分）中常数项是．（写出数字）【答案】559【详解】因为多项式表示的是6个因式的乘积，所以从6个因式中选2个，4个或者选1个，2个，3个2或者选6个2即可求出展开式的常数项，所以展开式的常数项为，故答案为：559．16．（5分）如图，直三棱柱中，，，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为．【答案】【详解】三棱柱为直三棱柱，又，易得平面，又平面，，又，且，平面，又平面，，如图，设，则易得，又，，又，，的面积，当且仅当，即时，等号成立，此时，又，，，，三棱锥的外接球的直径，三棱锥的外接球的半径，三棱锥的外接球的表面积为，故答案为：．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数的最大值与最小值．【答案】（1），，；（2）当时，取最小值，当时，取最大值【详解】（1）由于，令，，解得，，故函数的单调递增区间为，，．（2），当时，，故当时，取最小值，当时，取最大值．18．（12分）已知等差数列和等比数列满足，，，．（1）求数列，通项公式；（2）设数列中满足，求和．【答案】（1），；（2）【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，所以，又，所以，即，设正项等比数列的公比为，因为，即，因为，所以，所以；（2），设，则．19．（12分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，面，，．（1）求点到平面的距离；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）；（2）【详解】（1）连接，因为面，，面，所以，，又，，所以平面，平面，所以，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，0，，，0，，，，，，，，，0，，则，，，，0，，设平面的法向量为，，，则，即，令，则，所以，，，所以点到平面的距离．（2）由（1）可知，，，，，0，，，，，，0，，设平面的法向量为，，，则，即，取，在平面的法向量，，，设平面的法向量为，，，则，即，取，则平面的法向量，1，因为，，所以二面角的正弦值为．20．（12分）2022北京冬奥会即将开始，北京某大学鼓励学生积极参与志愿者的选拔，某学院有6名学生通过了志愿者选拔，其中4名男生，2名女生．（1）若从中依次抽取2名志愿者，求在第1次抽到男生的条件下，第2次也抽到男生的概率；（2）若从6名志愿者中任选3人负责滑雪项目服务岗位，且所选3人中女生人数为，求的分布列和数学期望．【答案】见解析【详解】（1）设“第1次抽到的男生”为事件，“第2次抽到男生”为事件，则“第1次和第2次都抽到男生”为事件．方法一根据分步乘法计数原理，得，所以．方法二易知，所以．（2）的取值可能为0，1，2依题意，得，，，所以的分布列为：012．21．（12分）已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆在第一象限内的交点是，点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，椭圆另一个焦点是，且．（1）求椭圆的方程；（2）直线过点，且与椭圆交于，两点，求△的内切圆面积的最大值．【答案】（1）；（2）【详解】（1）根据直线与椭圆在第一象限内的交点是，点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，可知焦点在轴上且点坐标．，．，，．设椭圆方程：点坐标代入椭圆方程得，又，，．椭圆方程为；（2）直线过点，且与椭圆交于，两点，则△的周长为，则为三角形内切圆半径），要使△的内切圆面积最大，即使△的面积最大，为定长，△的面积为，，分别为，的纵坐标），可设直线的方程为，代入椭圆方程可得，，，，显然上式取得最大值，当且仅当直线过，与轴垂直时△的面积最大．此时，，．设△的内切圆半径为，则，其面积．22．（12分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若，，试证：．【答案】（