10.2　事件的相互独立性（解析版）

10.2事件的相互独立性【考点梳理】考点一相互独立事件的概念对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立.考点二相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立，那么A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也都相互独立.【题型归纳】题型一：事件独立性的判断1．（2022春·安徽黄山·高一统考期末）袋子里装有大小质地都相同的个白球，个黑球，从中不放回地摸球两次，用表示事件“第次摸得白球”，表示事件“第次摸得白球”，则与是（

）A．互斥事件 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立事件【答案】D【分析】根据相互独立的乘法公式即可判断.【详解】由题意可知,而表示“第一次摸白球，第二次摸白球”，故,故与不相互独立，同时与可以同时发生，也不对立，故选：D2．（2022春·河南安阳·高一统考期末）从一批产品中逐个不放回地随机抽取三件产品，设事件A为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品不全是次品”，事件D为“第一件是次品”则下列结论正确的是（

）A．B与D相互独立 B．B与C相互对立C． D．【答案】B【分析】根据互斥事件，对立事件，相互独立事件的定义逐个判断即可.【详解】为三件产品全部是次品，指的是三件产品都是正品，为三件全是次品，为三件产品不全是次品，包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件，为第一件是次品，指的是最少有一件次品，包括一件次品，两件次品，三件次品三个事件.由此可知与是互斥事件，与是包含，不是互斥，与对立故选:B.3．（2022春·河北邯郸·高一统考期末）抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（

）A．当时， B．当时，事件A与事件不独立C．当时， D．当时，事件A与事件不独立【答案】D【分析】首先，列出和事件，再求概率，然后根据与的关系，判断两个事件是否独立.【详解】当时，所有基本事件有：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4种，且，,，，，，所以，故A正确；，所以事件A与事件不独立，故B正确；当时，所有基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8种，，，，，所以，故C正确；，，，，所以事件A与事件独立，故D错误.故选：D.题型二：独立事件和互斥事件4．（2022春·湖南郴州·高一安仁县第一中学校考期末）设A，B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（

）A．若A，B是对立事件，则事件A，B满足P（A）＋P（B）＝1B．事件A，B，C两两互斥，则P（A）＋P（B）＋P（C）＝1C．若A和B互斥，则A和B一定相互独立D．P（A＋B）＝P（A）＋P（B）【答案】A【分析】A.该选项正确；B.事件A，B，C两两互斥，举例说明该选项错误；C.若A和B互斥，则A和B一定不相互独立，所以该选项错误；D.只有当A和B互斥时，P（A＋B）＝P（A）＋P（B），所以该选项错误.【详解】A.若A，B是对立事件，则事件A，B满足P（A）＋P（B）＝1，所以该选项正确；B.事件A，B，C两两互斥，如:投掷一枚均匀的骰子，设{向上的点数是1点}，{向上的点数是2点}，{向上的点数是3点}，则A，B，C两两互斥，,P（A）＋P（B）＋P（C）＜1,所以该选项错误；C.若A和B互斥，则，则A和B一定不相互独立，所以该选项错误；D.只有当A和B互斥时，P（A＋B）＝P（A）＋P（B），所以该选项错误.故选：A5．（2021春·高一课时练习）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A，“第二枚为正面”记为事件B，“两枚结果相同”记为事件C，那么事件A与B，A与C间的关系是（

）A．A与B，A与C均相互独立B．A与B相互独立，A与C互斥C．A与B，A与C均互斥D．A与B互斥，A与C相互独立【答案】A【分析】结合相互独立事件的概念直接判断即可【详解】因为事件A是否发生对事件B、C是否发生不产生影响，所以A与B，A与C均相互独立.故选：A6．（2021春·湖南常德·高一临澧县第一中学校考期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，设事件“第二枚硬币正面向上”，则（

）A．事件与互为对立事件 B．件与为互斥事件C．事件与事件相等 D．事件与相互独立【答案】D【分析】事件发生与否与事件无关，事件发生与否与事件无关，从而事件与事件相互独立．【详解】解：抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，设事件“第二枚硬币正面向上”，事件发生与否与事件无关，事件发生与否与事件无关，事件与事件相互独立．故选：．【点睛】本题考查两个事件的相互关系的判断，考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．题型三：相互独立事件概率的计算7．（2023秋·辽宁·高一校联考期末）从高一（男、女生人数相同,人数很多）抽三名学生参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则以下错误的是（

）A． B．C．事件A与事件B互斥 D．事件A与事件C对立【答案】B【分析】由独立乘法公式求，根据事件的描述，结合互斥、对立事件的概念判断B、C、D即可.【详解】由所抽学生为女生的概率均为，则，A正确；两事件不可能同时发生，为互斥事件，C正确；事件包含：三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生，其对立事件为，D正确；事件包含：三名学生都是男生、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生，与事件含义相同，故，B错误；故选：B.8．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题．已知他答对这三道题的概率分别为a，a，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，并利用D，E，F构造相应的事件，根据概率加法公式与乘法公式求解相应事件的概率.【详解】记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，且.恰好能答对两道题为事件，且两两互斥，所以，整理得，他三道题都答错为事件，故.故选：C.9．（2023秋·辽宁抚顺·高一抚顺一中校考期末）某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为、，两人能否获得满分相互独立，则下列说法正确的是（

）．A．两人均获得满分的概率为B．两人至少一人获得满分的概率为C．两人恰好只有甲获得满分的概率为D．两人至多一人获得满分的概率为【答案】A【分析】利用独立事件同时发生的概率公式和对立事件概率公式计算各自的概率，进而作出判定【详解】解：∵甲、乙两人能得满分的概率分别为、，两人能否获得满分相互独立，分别记甲，乙能得满分的事件为M，N，则，，M，N相互独立，∴两人均获得满分的概率为，故A正确；两人至少一人获得满分的概率为，故B错误；两人恰好只有甲获得满分的概率为，故C错误；两人至多一人获得满分的概率为，故D错误．故选：A．题型四：相互独立事件概率的综合应用10．（2021春·湖南岳阳·高一统考期末）某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题中条件求出的值，然后再根据至少进入一个社团的概率求出.【详解】由题知三个社团都能进入的概率为，即，又因为至少进入一个社团的概率为，即一个社团都没能进入的概率为，即，整理得.故选：C.【点睛】本题考查了相互独立事件的概率计算问题，属于基础题.11．（2023春·高一单元测试）甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者”，负者称为“负者”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙､丙､丁相互之间胜负的可能性相同.(1)求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；(2)求甲获得冠军的概率；(3)求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）乙仅参加两场比赛且连负两场，所以1、4均负，由独立事件概率公式，即可得出答案；（2）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：1胜3胜6胜，1负4胜5胜6胜，1胜3负5胜6胜，由此求出甲获得冠军的概率；（3）分成三类进行讨论，若乙的决赛对手是甲，若乙的决赛对手是丙，若乙的决赛对手是丁，从而能求出乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.【详解】（1）根据题意，乙获连负两场，所以1、4均负，所以乙获连负两场的概率为.（2）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜，所以甲获得冠军的概率为.（3）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：甲1胜3胜，乙1负4胜5胜；甲1负4胜5胜，乙1胜3胜，所以甲与乙在决赛相遇的概率为：，若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种：乙1胜3胜，丙2胜3负5胜；乙1胜3负5胜，丙2胜3胜，同时考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为：，若乙的决赛对手是丁，则其概率与乙的决赛对手是丙相同，所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为.12．（2022春·山东泰安·高一统考期末）某工厂有，，三条生产线各自独立地生产同一种汽车配件，已知生产线生产的汽车配件是合格品且生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，生产线生产的汽车配件是非合格品且生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，生产线生产的汽车配件是合格品且生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，记事件，，分别为，，三条生产线各自生产的汽车配件是合格品．(1)求事件，，的概率；(2)随机从，，三条生产线上各取1个汽车配件进行检验，求恰有2个合格品的概率．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）借助对立事件的概率公式，把相互独立的事件同时发生的概率表示出来，然后联立方程组求解即可得到每个事件发生的概率；（2）随机从三条生产线上各取1个汽车配件进行检验，恰有2个合格品的情况分为、、三种，根据相互独立事件的概率公式求解即可.【详解】（1）因为事件，，分别为，，三条生产线各自生产的汽车配件是合格品，则事件，，分别为，，三条生产线各自生产的汽车配件是非合格品，且，，相互独立，，，也相互独立．由得解得，，，（2）由（1）知，，，记事件为抽取的三个汽车配件中合格品为2个，则【双基达标】一、单选题13．（2023春·江西赣州·高一校联考期中）若甲､乙､丙在10分钟之内独立复原魔方的概率分别为，则甲､乙､丙至多有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率为（

）A．0.26 B．0.29 C．0.32 D．0.35【答案】D【分析】应用对立事件概率，结合互斥事件加法、独立事件乘法公式求甲､乙､丙至多有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率.【详解】甲､乙､丙至多有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率为.故选：D14．（2023秋·江西萍乡·高一统考期末）据统计，下午2点在某超市付款处排队的人数及其概率如下表，则下午2点至多有2人排队的概率为（

）排队人数012345人及以上概率0.10.250.310.20.10.04A．0.31 B．0.34 C．0.35 D．0.66【答案】D【分析】至多有两人排队即没有人排队，一人排队和两人排队三种情况，利用互斥事件的概率公式求解即可．【详解】设下午2点没有人排队为事件，一人排队为事件，两人排队为事件，则彼此互斥，因此下午2点至多有2人排队的概率为故选：D15．（2023·高一课时练习）一批零件共有10个，其中8个正品，2个次品，每次任取一个零件装配机器，若第二次取到合格品的概率为，第三次取到合格品的概率为，则（

）A． B． C． D．与的大小关系不确定【答案】B【分析】分两种情况结合独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出，同理分四种情况求出.【详解】第1次取到合格品，第2次也取到合格品的概率为，第1次取到次品，第2次取到合格品的概率为，故，第1次，第2次和第3次均取得合格品的概率为，第1次取得次品，第二次和第三次均取得合格品的概率为，第1次取得合格品，第二次取得次品，第三次取得合格品的概率为，第1次和第2次取得次品，第三次取得合格品的概率为，故.故选：B16．（2023·高一课时练习）下列说法中正确的是（

）A．事件A、B至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大B．事件A、B同时发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率小C．互斥事件一定是对立事件，对立事件也是互斥事件D．互斥事件不一定是对立事件，而对立事件一定是互斥事件【答案】D【分析】对于AB，利用事件的运算方法，举反例排除即可；对于CD，根据对立事件与互斥事件的概念，对选项进行分析判断即可.【详解】对于A，因为事件A，B中至少有一个发生包括事件A发生B不发生，A不发生B发生和A，B都发生；事件A，B中恰有一个发生包括事件A发生B不发生，A不发生B发生；又当事件A，B为对立事件时，事件A，B都发生的概率为，所以事件A、B至少有一个发生与A、B中恰有一个发生是相等事件，两者概率相等，故A错误；对于B，若A、B是相等事件，此时A、B恰有一个发生为不可能事件，概率为0，而事件A、B同时发生的概率必然大于或等于0，故B错误；对于CD，由互斥事件和对立事件的概念知，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故C错误，D正确.故选：D.17．（2023秋·高一单元测试）为了纪念2017年在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．【答案】(1)，；(2)．【分析】（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，根据独立事件概率的求法计算即可得出结果；（2）根据独立事件概率的求法分别求出有0个、1个家庭回答正确的概率，利用间接法即可求出不少于2个家庭回答正确这道题的概率．【详解】（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则，，，即，，所以，．所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和.（2）有0个家庭回答正确的概率，有1个家庭回答正确的概率，所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率．18．（2023秋·辽宁丹东·高一统考期末）甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，，（），各项目的比赛结果相互独立，甲得0分的概率是，甲得3分的概率是．(1)求，的值；(2)甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由．【答案】(1)，(2)甲，理由见解析【分析】（1）根据独立事件的概率公式进行求解即可；（2）根据独立事件的概率公式和概率加法公式进行求解即可.【详解】（1）因为，且，解得．（2）甲得2分的概率，所以甲得2分或3分的概率，那么乙得2分或3分的概率为所以甲获得最终胜利的可能性大．【高分突破】一、单选题19．（2023秋·北京昌平·高一统考期末）已知射击运动员甲击中靶心的概率为，射击运动员乙击中靶心的概率为，且甲､乙两人是否击中靶心互不影响.若甲､乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式可求出结果.【详解】设甲击中靶心为事件，乙击中靶心为事件，则，，因为与相互独立，所以与也相互独立，则甲、乙都不击中靶心的概率为，所以甲、乙至少有一人击中靶心的概率为.故选：A20．（2022秋·高一课时练习）出租车司机老王从饭店到火车站途中经过六个交通岗，已知各交通岗信号灯相互独立.假设老王在各交通岗遇到红灯的概率都是，则他遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.【详解】因为司机老王在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯之间是相互独立的，且遇到红灯的概率都是，所以未遇到红灯的概率都是，所以遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为.故选：B21．（2022秋·陕西汉中·高一校联考期末）对于事件，，下列命题不正确的是（

）A．若，互斥，则B．若，对立，则C．若，独立，则D．若，独立，则【答案】D【分析】根据对立事件，独立事件和互斥事件的性质，分别进行判断即可.【详解】因为，互斥，互斥事件概率和在(0,1]区间，所以，故选项正确；因为，对立，对立事件概率和为1，所以，故选项正确；因为，独立，则,也相互独立，所以，故选项正确；因为，独立，由独立事件的性质可知：二者同时发生的概率，由概率大于零可知：不一定成立，故选项错误；所以命题不正确的是，故选：.22．（2022春·新疆克拉玛依·高一克拉玛依市高级中学校考期末）下列叙述：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”是互斥事件；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“没有人射中目标”是对立事件；③抛掷一枚硬币，连续出现4次正面向上，则第5次出现反面向上的概率大于；④在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率；则所有正确结论的序号是（

）A．①②④ B．①③ C．②④ D．①②【答案】A【分析】根据互斥事件，对立事件和独立重复事件的相关定义，逐个选项进行判断，可得答案.【详解】对于①．某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”是不可能同时发生的事件，所以是互斥事件，故①正确．对于②．甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”包括：1人射中，1人没有射中和2人都射中，由对立事件的定义：“至少有1人射中目标”与“没有人射中目标”是对立事件．故②正确．对于③．抛掷一枚硬币n次，属于独立重复事件，每次出现正面向上的概率为，出现反面向上的概率为，所以连续出现4次正面向上，第5次出现反面向上的概率为，故③不正确．对于④，在相同条件下，试验次数越多，频率就会稳定在概率附近，故④正确；故选：A23．（2021秋·高一课时练习）如图，随机事件A，B互斥，记分别为事件A，B的对立事件，那么（）A．A∪B是必然事件B．∪是必然事件C．与一定互斥D．与一定不互斥【答案】B【分析】用集合的思想看事件的Venn图即可的解.【详解】由Venn图可知A，B互斥，即为不可能事件，∪是必然事件，故选：B.24．（2021秋·高一课时练习）三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，且是互相独立的.若将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，“电路不发生故障”为事件M，由M=(A2∪A3)∩A1求解.【详解】解：记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，记“电路不发生故障”为事件M，则M=(A2∪A3)∩A1，∴不发生故障的概率为P(M)=P[(A2∪A3)∩A1]=[1-P()P()]P(A1)=×=.故选：A.25．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票.六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以A表示在甲抽奖箱中中奖的事件，B表示在乙抽奖箱中中奖的事件，C表示两次抽奖均末中奖的事件.下列结论中不正确的是（

）A． B．事件A与事件相互独立C．与和为 D．事件A与事件B互斥【答案】D【分析】分别求出，，进一步求出与，从而判断AC选项，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，判断BD选项.【详解】，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，B项正确，故A正确，故C正确事件A与事件B相互独立而非互斥，故D错误.故选：D.26．（2022春·天津·高一校联考期末）一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（

）A． B．事件A与事件B互斥C．事件A与事件B相互独立 D．【答案】C【分析】利用互斥事件、相互独立事件的意义及古典概率公式逐项计算判断作答.【详解】依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有1，2，3，4四个基本事件，则，A不正确；事件B含有的基本事件有8个：，其中事件发生时，事件A也发生，即事件A，B可以同时发生，B不正确；抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有16个，，即事件A与事件B相互独立，C正确；，D不正确.故选：C二、多选题27．（2023春·河南焦作·高一统考期中）若则（

）A． B．事件A与B不互斥C．事件A与B相互独立 D．事件A与B不一定相互独立【答案】BC【分析】根据互斥与独立事件的定义判断即可.【详解】因为，所以与能同时发生，不是互斥事件，故B正确；，所以，故A不正确；又，故成立，故事件A与B相互独立，故C正确，D错误故选：BC.28．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）下列说法正确的有（

）A．掷一枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现奇数点”，事件N＝“出现3点或4点”，则B．袋中有大小质地相同的3个白球和2个红球．从中依次不放回取出2个球，则“两球同色”的概率是C．甲，乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中靶率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98D．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为【答案】AC【分析】计算古典概率判断A；利用列举法结合古典概型计算判断B；利用对立事件及相互独立事件求出概率判断CD作答.【详解】对于A，依题意，事件=“出现3点”，而掷骰子一次有6个不同结果，所以，A正确；对于B，记3个白球为，2个红球为，从5个球中任取2个的不同结果有：，共10个，其中两球同色的结果有：，共4个，所以“两球同色”的概率是，B错误；对于C，依题意，“至少一人中靶”的概率为，C正确；对于D，该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯，即在前两个路口都没有遇到红灯，第3个路口遇到红灯，所以到第3个路口首次遇到红灯的概率为，D错误.故选：AC29．（2023秋·广西北海·高一统考期末）某工厂制造一种零件，甲机床的正品率是0.7，乙机床的正品率为0.8，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则（

）A．两件都是次品的概率为0.06B．事件“至多有一件正品”与事件“至少有一件正品”是互斥事件C．恰有一件正品的概率为0.38D．事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件【答案】ACD【分析】求得两件都是次品的概率判断选项A；判定出事件“至多有一件正品”与事件“至少有一件正品”的关系判断选项B；求得恰有一件正品的概率判断选项C；判定出事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”的关系判断选项D.【详解】两件都是次品的概率，A正确；“至多有一件正品”包含有两件次品、一件正品和一件次品；“至少有一件正品”包含有两件正品、一件正品和一件次品；故“至多有一件正品”“至少有一件正品”两个事件不是互斥事件，B错误；恰有一件正品的概率，C正确；分别从甲乙机床制造的产品中任意抽取一件，共有两件都是正品、一件正品和一件次品，两件都是次品三种情况；“至少有一件正品”包含有两件都是正品、一件正品和一件次品两种情况，则“至少有一件正品”“两件都是次品”是对立事件；D正确；故选：ACD.30．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．点Q移动4次后恰好位于点的概率为0【答案】ABD【分析】根据题意找出在下或上底面时，随机移动一次仍在原底面及另一底面的概率即可逐步分析计算确定各选项的正误.【详解】依题意，每一个顶点由3个相邻的点，其中两个在同一底面.所以当点在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为：，在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为：，所以，故A选项正确；对于B：，故B选项正确；对于C：，故C选项错误；对于D：点由点移动到点处至少需要3次，任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能到达点，所以点Q移动4次后恰好位于点的概率为0.故D选项正确；故选：ABD.三、填空题31．（2023·高一课时练习）从甲口袋中摸出1个白球的概率是，从乙口袋中摸出1个白球的概率是，那么从两个口袋中各摸1个球，2个球都不是白球的概率是______.【答案】【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式计算作答.【详解】记甲口袋中摸出1个白球的事件为A，从乙口袋中摸出1个白球的事件为B，则，而事件A与B相互独立，因此，所以从两个口袋中各摸1个球，2个球都不是白球的概率是.故答案为：32．（2023·高一单元测试）已知A、B是独立事件，，，则______.【答案】【分析】根据公式和，即可求出．【详解】∵为两个独立事件，∴，∵∴∴．故答案为：．33．（2023秋·北京·高一校考期末）甲､乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出（至少有一人解出来）的概率是__________.【答案】【分析】设这道题没被解出来为事件A，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率【详解】设数学题没被解出来为事件A，则，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率：.故答案为：34．（2022·高一单元测试）2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”难求.甲､乙､丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲､乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，丙购买到冰墩墩的概率为，则甲，乙､丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为___________.【答案】【分析】先算出甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率，然后算出丙购买不到冰墩墩的概率，进而算出甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率，最后算出答案.【详解】因为甲乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，所以甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率，因为丙购买到冰墩墩的概率为，所以丙购买不到冰墩墩的概率，所以甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率，于是甲乙丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率.故答案为：.35．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）在一个由三个元件构成的系统中，已知元件正常工作的概率分别是，，，且三个元件正常工作与否相互独立，则这个系统正常工作的概率为______．【答案】【分析】先求出都不工作的概率，可得至少有一个能正常工作的概率，继而求得这个系统正常工作的概率.【详解】由题意可知都不工作的概率为，所以至少有一个能正常工作的概率为，故这个系统正常工作的概率为，故答案为：四、解答题36．（2023秋·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）某校团委举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.【答案】(1)派乙参赛赢得比赛的概率更大(2)【分析】（1）记事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”，由表示“甲赢得比赛”，表示“乙赢得比赛”求解即可；（2）记表示“甲赢得比赛”，表示“乙赢得比赛”由（1）知，，由表示“两人中至少有一个赢得比赛”，且求解即可.【详解】（1）记事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”，所以表示“甲赢得比赛”，，表示“乙赢得比赛”，，因为，所以派乙参赛赢得比赛的概率更大；（2）记表示“甲赢得比赛”，表示“乙赢得比赛”由（1）知，，所以表示“两人中至少有一个赢得比赛”，所以，所以两人至少一人赢得比赛的概率为.37．（2023秋·辽宁·高一校联考期末）某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关的通过率为0.7，第二关、第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.2，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加．假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动．(1)求甲未获得奖金的概率；(2)求甲和乙最后所得奖金之和为900元的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据概率乘法公式分别求出获得一二等奖概率，再利用对立事件即可求出甲未获奖金的概率；（2）根据最后奖金总和分析得甲和乙中一人获得一等奖，一人获得二等奖，根据概率乘法和加法公式即可求解.【详解】（1）获得二等奖的概率