3.3 抛物线（精讲）（解析版）

3.3抛物线（精讲）考点一抛物线的标准方程【例1-1】（2023春·江西吉安·高二校联考期末）若点在抛物线上，则该抛物线的准线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为点在抛物线上，所以，得，所以抛物线方程为，所以抛物线的准线方程为，故选：A【例1-2】（2023·陕西榆林）以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点到焦点的距离为3，则抛物线的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，可设抛物线的方程为，由抛物线的定义知，即，所以抛物线方程为．故选：C．【例1-3】（2023春·湖南·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，C上一点满足，则抛物线C的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意得，因为，所以.又，解得，所以抛物线的方程为.故选：D【一隅三反】1．（2023秋·高二课时练习）顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点，则它的方程是（

）A．或B．或C．D．【答案】A【解析】当抛物线的焦点在轴上时，设抛物线的方程为．因为抛物线过点，记为点，如图，所以，所以、所以抛物线的方程为；当抛物线的焦点在轴上时，设抛物线的方程为．因为抛物线过点，所以，所以，所以抛物线的方程为．故选：A.

.2．（2023·陕西汉中）已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为4，则该抛物线的方程为．【答案】【解析】因为抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点，所以可设抛物线：.由抛物线的定义可得：，解得：.所以抛物线的方程为：.故答案为：.3．（2023春·云南保山·高二统考期末）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是.【答案】【解析】设方程为，则有，解得，即有.故答案为：.考点二抛物线定义及应用【例2-1】（2023春·河南开封）已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为（

）A．5 B． C．2 D．3【答案】B【解析】由题意知，，设，则，所以，

故当时，，所以.故选：B.【例2-2】（2023·海南·海南中学校考模拟预测）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和距离之和的最小值是（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【解析】由题可知是抛物线的准线，设抛物线的焦点为，则，所以动点到的距离等于到的距离加1，即动点到的距离等于.所以动点到直线和直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离加1，即其最小值是.

故选：D【例2-3】（2023·西藏日喀则）已知点P为抛物线上一动点，点Q为圆上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若的最小值为3，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】圆的圆心，半径，抛物线的焦点为，准线为，则由抛的线的定义可知点到y轴的距离为，所以，由图可知，当共线，且在线段上时，最短，而，因为，所以，解得，故选：B

【一隅三反】1．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为是抛物线：的焦点，所以，又，由抛物线的定义可知，解得，所以.故选：A2．（2023春·四川泸州·高二统考期末）已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（

）．A．13 B．12 C．10 D．8【答案】A【解析】，故,记抛物线的准线为，则：，记点到的距离为，点到的距离为，则.故选：A.

3．（2023春·云南曲靖·高二统考期末）已知抛物线的焦点到其准线的距离为是抛物线上一点，若，则的最小值为（

）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】D【解析】由焦点到其准线的距离为得；设在准线上的射影为如图,则，当且仅当共线时取得等号．所以所求最小值是4．故选：D．4．（2023·浙江·校联考二模）已知直线和直线，拋物线上一动点到直线直线的距离之和的最小值是（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【解析】由题意可得：拋物线的焦点，准线，设动点直线的距离分别为，点到直线的距离分别为，则，可得，当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，等号成立，动点到直线直线的距离之和的最小值是3.故选：B.考点三直线与抛物线的位置关系【例3-1】（2023广东深圳）设直线，抛物线，当为何值时，与相切？相交？相离？【答案】当时，与相切；当时，与相交；当时，与相离.【解析】：联立方程，得消去并整理，得.当时，方程为一元二次方程.所以.当，即时，与相切；当，即且时，与相交；当，即时，与相离.当时，直线的方程为，显然与抛物线交于点.综上所述，当时，与相切；当时，与相交；当时，与相离.【例3-2】（2023秋·高二课时练习）（多选）设抛物线的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是（）A． B．C．1 D．2【答案】BC【解析】抛物线的准线与x轴交于点Q，

准线为，Q点的坐标，又直线l过点Q，且斜率必存在，可设l：，联立，可得，当时，得，即交点为，当时，由得，即，解得，或，综上，k的取值范围是．故选：BC.【一隅三反】1．（2023·内蒙古呼和浩特）过点与抛物线只有一个交点的直线有（）条.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由题意可知点在抛物线外故过点且与抛物线只有一个公共点时只能是：①过点且与抛物线相切，此时有两条直线；②过点且平行对称轴轴，此时有一条直线；则过点与抛物线只有一个交点的直线有3条.故选：C．2．（2022·全国·高二专题练习）直线与抛物线的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【答案】A【解析】直线过定点，∵，∴在抛物线内部，∴直线与抛物线相交，故选：A．3．（2023·上海杨浦·高二复旦附中校考期中）已知过点的直线与抛物线相交于不同的两点，为直线斜率，则k的取值范围为.【答案】【解析】直线的方程为：，联立，化为，直线与抛物线相交于不同的两点，，即，解得，且．斜率的取值范围是．故答案为：．4．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）写出一条过点且与抛物线：仅有一个公共点的直线方程：.【答案】（或，答案不唯一）【解析】当l平行于x轴时，l与C只有一个公共点，此时方程为；当l与抛物线相切时，l与C只有一个公共点，设直线l方程为，联立方程得，由，此时直线l的方程为.故答案为：（或，答案不唯一）.考点四弦长【例4-1】（2023·陕西延安）已知抛物线：的准线方程为．(1)求抛物线的方程；(2)直线：交抛物线于、两点，求弦长．【答案】(1)(2)8【解析】（1）由抛物线：的准线方程为，得，．抛物线的方程为．（2）设，，由消去，得，则，．又直线过抛物线的焦点，．【例4-2】（2023春·黑龙江·高二校联考开学考试）已知直线l过抛物线C：的的焦点且与C交于A，B两点，线段AB中点的横坐标3，则．【答案】8【解析】设，则，抛物线中，所以．故答案为：8．【例4-3】（2023·陕西渭南）设为抛物线的焦点，过点的直线交于两点，若，则（

）A．8 B．12 C．16 D．24【答案】D【解析】由抛物线可知，由抛物线的定义可得，即，又在抛物线上，，.故选：D.【一隅三反】1．（2023春·上海长宁·高二校考期中）已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为，则弦的长【答案】【解析】由题意抛物线焦点，且直线斜率不为0，设，联立抛物线得，，故，，所以，即，则.故答案为：2．（2023秋·山西大同·高二统考期末）（多选）经过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，设，，则下列说法中正确的是（

）A．当与轴垂直时，最小 B．C．以弦为直径的圆与直线相离 D．【答案】ABD【解析】

如图，设直线为，联立，得，即，所以，，故D正确，，将代入得，故当时，取得最小值，此时直线与轴垂直，故A正确，，代入，，得，故B正确，设的中点为，则以弦为直径的圆的圆心为，半径为分别过作抛物线的垂线，垂足分别为,由抛物线的定义知，，则,故以弦为直径的圆与直线相切，C错误，故选：ABD3．（2023春·四川·高二统考期末）已知直线与抛物线相交于、两点.(1)若直线过点，且倾斜角为，求的值；(2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程.【答案】(1)(2)【解析】（1）因直线的倾斜角为，所以直线的斜率，又因直线过点，所以直线的方程为：，即，联立得，设，，所以，，所以（2）因、在抛物线上，所以，，两式相减得：，得，故直线的斜率为4，所以直线的方程为：，即考点五抛物线有关的轨迹【例5】（2023秋·福建宁德·）已知圆：与定直线：，动圆与圆外切且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为.【答案】【解析】设，动圆与圆外切且与直线相切，则有，化简得.故曲线的方程为.故答案为：【一隅三反】1．（2022·高二课时练习）在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为．【答案】【解析】由题意，由得，化简得．故答案为：．2．（2022秋·北京海淀·高二北京市十一学校校考期中）设O为坐标原点，，点A是直线上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线l，过点A作y轴的垂线交l于点P，则点P的轨迹方程为．【答案】【解析】如图，由垂直平分线的性质可得，符合抛物线第一定义，抛物线开口向右，焦点坐标为，故，点P的轨迹方程为.故答案为：3．（2022·全国·高三专题练习）已知点，在轴上，且，则外心的轨迹的方程；【答案】【解析】设外心为，且，，，由点在的垂直平分线上知由，得故即点G的轨迹S为：，故答案为：.考点六抛物线的实际应用【例6】（2023·全国·高二专题练习）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】以碗体的最低点为原点，向上方向为轴，建立直角坐标系，如图所示．

设碗体的抛物线方程为（），将点代入，得，解得，则，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为，则两抛物线在第一象限的交点为，代入到，解得，解得．故选：C【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，依题意可得的坐标为．设抛物线的标准方程为，则，解得．故该抛物线的焦点到准线的距离为．故选：C2．（2023·全国·高三专题练习）探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在纵断面内，以反射镜的顶点（即抛物线的顶点）为坐标原点，过顶点垂直于灯口直径的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示，由题意可得.设抛物线的标准方程为，于是，解得.所以抛物