第01讲直线的方程练习（解析版）-2023年高考数学一轮复习（新教材新高考）

第Ol讲直线的方程(精练)

A夯实基础B能力提升C综合素养

A夯实基础

一、单选题

I.已知直线/的倾斜角为60,且/在y轴上的截距为-1,则直线/的方程为()

A.y=--Λ-1B.y=—+1

3ʃ3

C.y=∖∕3x—1D.y=Gx+I

【答案】C

解：因为直线/的倾斜角为60,所以直线/的斜率k=tan60=6，

又直线，在N轴上的截距为T,所以直线/的方程为y=Gx-I;

故选：C

2.直线2x-y-2=0在y轴上的截距为()

A.1B.2C.-ID.-2

【答案】D

由直线2x-y-2=0,可化为y=2x-2

所以直线2=0在y轴上的截距为—2.

故选：D.

3.已知43C的三个顶点A(3,0),3(-l,2),C(L-3),贝LABC的高CO所在的直线方程是()

A.x+5>,-5=0B.x÷2y÷5=O

C.2x+y-5=0D.2x-y-5=0

【答案】D

由题意知：L=言ID=-1，则％=-J=2,故C。所在的直线方程为y+3=2(x-l),g∣J2x-y-5=0.

故选：D.

4.若直线/的方程是y+2=-x-l,贝U()

A.直线经过点(-1,2),斜率为-1；

B.直线经过点(2,-1),斜率为T；

C.直线经过点(-1,-2),斜率为-1；

D.直线经过点(-2,-1),斜率为L

【答案】C

直线方程化筒为：y=-χ-3,所以直线经过点(T，-2),斜率为-1.

故选：C.

5.已知”,Ec为非零实数，且满足工=千=工=3则一次函数"6+(l+Q的图象一定经过第

abc

()象限.

A.-B.二C.ΞD.四

【答案】B

由[+>="+'="+"=k,可得2(α+0+C)=k(a+b+c),

abc

分两种情况讨论：

当“+6+cw0时，可得k=2,此时一次函数为y=2x+3,

可得直线>=2x+3过第一、二、三象限；

当4+5+c=0时，即α+分=—c,可得左=一1,此时一次函数为>=一工，

可得直线y=-χ过第二、四象限，

综上所述，该宜线y=依+(1+6必经过第二象限.

故选：B.

6.无论f取何值，直线(2f+3)x+<y+5f+6=0恒过定点尸，则点尸为()

A.(2,1)B.(-2,1)C.(-2,-1)D.(2,-1)

【答案】C

解：直线(2f+3)x+(y+5f+6=O可化为(2x+y+5)f+3x+6=0,

2x+y÷5=0X=-2

令3…，解得

J=T

即直线(2∕+3)x+)+5∕+6=0恒过定点尸(―2,—1).

故选：C.

7.设点A(-2,3),6(3,2),若直线以+y+2=0与线段AB有交点，则〃的取值范围是()

5445

C.D.—00.----U----,+00

2,332

【答案】D

54

，.・直线火+丁+2=0过定点。(0,—2),且L=怎c=]，

45

由图可知直线与线段AB有交点时，斜率一a满足§≤-。或-。≤,

解得。Wl-Oo,一§5

U一,+8

2

故选：D

22

8.已知直线丘-丁+2左-2=0恒过定点A,点A在直线蛆+∙+2=0上，其中机、〃均为正数，则一+一的

mn

最小值为（）

A.4B.4+4√2C.8D.4-4√2

【答案】C

由近一y+2左一2=0,得y=Z（x+2）-2.

・♦,直线五一y+2左一2=0恒过定点（-2,—2）,即A（-29-2）,

丁点A在直线如+"y+2=0上，.∙.m÷n=l,

当且仅当K=',即〃?=〃=:时取等号∙.∙.^+L的最小值为：8.

mn2mn

故选：c.

二、多选题

9.下列说法错误的是（）

A.平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率

B.点（0,2）关于直线y=x+l的对称点为（1,1）

C.直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2

D.经过点（Ll）且在X轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0

【答案】AD

A：垂直于X轴的直线不存在斜率，错误；

B：由（0,2）、（1,1）中力:为忤|）且|=；+1,两点所在直线的斜率为Z=-I,故与y=x+l垂直，正确;

C：令X=O有y=-2,令/0有χ=2,所以围成的三角形的面枳是；X2x∣-2∣=2,正确；

2

D：由Y=X也过(Ll)且在X轴和y轴上截距都为0,错误.

故选：AD

10.已知直线4：x-y-l=0,动直线4：伏+l)x+什+K=0(keR),则下列结论正确的是()

A.不存在3使得&的倾斜角为90°B.对任意的直线4恒过定点

C.对任意的火,4与4都不重合D.对任意的％,4与4都有公共点

【答案】BD

对A,当Z=O时，/2：%=0,符合倾斜角为90。，故A错误；

[x+y+1=0fx=O

对B,4：/+1)工+外+z=%(χ+y+i)+χ=0,解(八可得｛1,故4过定点(。，一1)，故B正确;

[x=0[γ=-l

对c,当左=_；时，4：1龙一(X_y_i)=o,显然与4：x_y-i=o重合，故C错误；

对D,4过定点(0,τ),而©T)也在4"—yτ=o匕故对任意的左，4与6都有公共点，故D正确；

故选：BD

三、填空题

11.已知直线/被两条直线G4x+y+3=0和/∕3x-5y-5=0截得的线段的中点为尸(-1,2),则直线/的一

般式方程为.

【答案】3x+y+l=O

设直线/的斜率为左，因为直线/过P(T,2),

所以直线方程为y-2=A(x+l)=>y=fcr+2+%,

4x+y+3=0k+5

=>X=-------

y=kx+2+k⅛÷4

3x—5y—5=015+5⅛

=>x=--------由题意可知：P(-l,2)是截得的线段的中点,

y=kx+2+k3-5k

A+515+5”

所以_~^+=2x(—l)nA=_3,B∣Jy=-3x+2-3=>3x+y+l=0,

⅛+43-5k

故答案为：3x÷y÷l=0

12.在平面直角坐标系Xoy内，经过点P(2,3)的直线分别与X轴、y轴的正半轴交于A,B两点,则...OA8面

积最小值为.

【答案】12

设直线的方程出+；=1,由过点尸(2,3)可得2+g=ι,则有ι=2+±.2厚；a>0;Z»0；

abahab∖ab

23

解得：成.24,当且仅当：一=；时，。=4,匕=6时取等号;

ab

所以SOAB=T而…gx24=12

故答案为：12

四、解答题

13.已知直角坐标平面XQy内的两点A(5,-3),8(1,1).

(1)求线段AB的中垂线所在直线的方程；

(2)一束光线从点A射向V轴，反射后的光线过点8,求反射光线所在的直线方程.

【答案】(I)X-y-4=0(2)2x-3y+l=0

(I)VA(5,-3),3(1,1)

.∙.中点为(3,-1).且kAB=三?=-1.

.∙.线段AB的中垂线的斜率为1,

,由直线方程的点斜式可得线段AB的中垂线所在直线方程为y-(-l)=x-3即X-y-4=O.

(2)：A(5,-3)关于V轴的对称点4(-5,—3),

••3引=§

所以直线A'8的方程为：y-l=j2(x-l),

即反射光线所在的直线方程为2x-3y+l=0

14.已知直线/过点P(2,l).

(1)若直线/在两坐标轴上的截距相等，求直线/的方程；

(2)若直线/与X,)，轴分别交于A,8两点且斜率为负，。为坐标原点，求|。AMOBl的最小值.

【答案】(l)y=gx或x+y=3(2)2√Σ+3

(1)解：当直线/过原点时，

则直线/的方程为y=gχ在两坐标轴上的截距相等；

当直线/不过原点时，设直线/的方程为二+上=1,

aa

ɔ1

将点P(2,l)代入得±+己=1,解得α=3,

aa

所以直线/的方程为χ+y=3,

综上所述直线/的方程为y=；X或χ+y=3;

(2)解：设直线/的方程为)=1=Z(x-2),k<0,

当X=O时，y=-2k+1,

当y=0时，x=一一+2,

k

故∣OA∣+∣OB∣=(-2Λ)+1力+3>2.20.卜£|+3=2√2+3,

当且仅当(-2%)=1J即Z=_当时取等号，

所以网+1。Bl的最小值为2忘+3.

B能力提升

1.若关于X的不等式MX-2)-石2内二7的解集为{x∣w≤x≤"},且〃-帆=1,则实数Z的值为.

【答案】一延

2

设/(x)=⅛(x-2)-√5,g(x)=∖∣9-X2>

则/(x)的图象是一条过定点A(2,-拓)的直线，g(x)的图象是圆/+y2=9的上半圆部分，

注意到点4(2,-石)在圆f+y2=9上，故A(2,-右)关于原点的对称点P(-2,√5)也在圆上，

如图示：当直线/(x)=Z(X-2)-石经过点口-2,6)时，满足关于龙的不等式

Zc(x—2)--Js≥√9—%2>

由关于X的不等式NX-2)-6'≥内二J的解集为{x∣"7≤x≤"},且w-"2=l,

可知：m--3,n--2,

此时直线的斜率即实数&=或二匕叵=-且，

-2-22

故答案为：一旦

2

2.经过点尸(1,-2)作直线/,若直线/与连接A(0,-l)与8(2,1)两点的线段总有公共点，则直线/的斜率左的取

值范围为.

【答案】A>3或％<—1

如图，连接以、P8,则直线PA与直线P8均与线段A8相交，

设直线PA的倾斜角为α,宜线PB的倾斜角为夕.

则符合要求的直线/的倾斜角范围为(/M),

.—1+2.n1+2.

*w=tanα=-^-j-=-l,⅛ra=tan/?=-=3

由题意知直线/的斜率存在，根据宜线的倾斜角与斜率上的关系，

满足条件的直线/的斜率左的取值范围为4>3或々<-1

故答案为：么>3或4<一1

3.已知动直线∕∣:x-my-2=0过定点A,动直线4：WX+y-4,α+26=O过定点B,若直线4与4

相交于点股(异于点A,B),则周长的最大值为.

【答案】4+4√2

解：因为动直线R》-，2-2=0过定点A(2,0),

动直线4：∕ra∙+y-4∕H+2√3=0,整理可得m(x-4)+y+2√5=O,可得定点3(4,-2匈，

因为l∙∕n+m∙(-l)=0,

所以两条直线垂直，设交点为M,则也J..奶，

所以IF+∣M81之ABf=(4-2)2+(-2√3)2=16,

因为IM4∣+∣MBI≤2∙J也竺学竺f=2∙楞=4及，当且仅当|砌=IMBl=2五时取等号，

所以周长为4∣+∣MBI+∣AB∣≤4+40,

故答案为：4+40.

4.已知点A(2,-1),B(3,∕M),若mw,则直线AB的倾斜角的取值范围为.

【答案小

L3」L6)

设直线AB的倾斜角为ɑ,

；点A(2,-1),B(3,M,

二直线AB的斜率α=舞=m+1,

X∙/m∈G-I

∈

/.∕π+1当6'

即k的取值范围为-γ,√3,

即tana∈孚,局,

又∙.∙1∈[0,兀)，

5π

.∙.ex∈0,一,π

3~6

故答案为：Ow5π]

5.设mwR,过定点A的动直线x+%+l=0和过定点8的动直线皿-y-2"z+3=0交于点P(X,y),则

IBAl+∣P8∣的最大值

【答案】6

由x+my+l=0可知阳=-x-l,所以该直线过定点A(-l,0),

由皿一y-2%+3=0可得∕n(x-2)=y-3,所以该直线过定点3(2,3),

因为直线χ+my+ι=o与m”y-2∕M+3=o垂直,

所以IPAF+∣PB∣2=∖ABf=(-l-2)2+(0-3)2=18,

2

因为18=IPAf+∣PB∣2=(∣PA∣+∣P8∣)2一2|PAHPBIz(IP4∣+∣P8∣)2-2"∖PA∖+∖PB∖

2

即(IPAl+∣PB∣)2≤36,解得：∣E4∣+∣P6∣≤6,

所以IPAl+∣PB∣的最大值为6,

故答案为:6.

C综合素养

1.设直线/的方程为(α+l)x+y-5-2α=0(αwR)

(1)求证：不论“为何值，直线/必过一定点P；

(2)若直线/分别与X轴正半轴，)，轴正半轴交于点A(XA,0),β(0,ye),当AQB面积为12时，求.AO8的

周长;

【答案】⑴见解析⑵ιo+2√i3

(1)证明：将(q+l)x+y-5-2。=0整理成(x-2)α+x+y-5=0,

x-2=0

令解得x=2,y=3,

x+y-5=O

所以定点P为(2,3),

故不论α为何值，直线/必过一定点P(2,3)；

(2)解：由题意知I,β+1≠0,由(α+l)x+y-5-2α=O,

当y=O时，XA=5+2a,当冗=O时，%=5+2%

。+1

f5+2£>0,

由Ta+1,得。>一1,

5+2。>0

所以AOB面积S=gz∙%=g次?∙(5+2o)=12,解得α=g,

22a+∖2

此时A(4,0),B(0,6),∣AB∣=√42+62=2√H,

所以AQB的周长为4+6+2万=10+2万，

故当ΔAOB面