高考数学复习资料：5 立体几何（理科）解答题30题 教师版

专题5立体几何（理科）解答题30题

1.（青海省海东市第一中学2022届高考模拟（一）数学（理）试题）如图，在三棱柱

W-44C中，A1C=AA1=2AB=2AC=2BC,ΔBAAx=60°.

A4

⑴证明：平面NBC/平面//避产.

⑵设P是棱CC1的中点，求AC与平面244所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵当

4

【分析】（1）设48=2,由余弦定理求出48=26,从而由勾股定理得到48145,

ABLBC,进而证明出线面垂直，面面垂直；（2）建立空间宜角坐标系，利用空间向

量求解线面角的正弦值.

（1）

AB=-I.

在四边形44田田中，∙.∙∕4=2N8,/8/4=60。，连接力产，

22

由余弦定理得A1B=44：+AB-2AAt-48CoS60。=12,即A1B=2√3,

22

AiB+AB=AAf,

.-.AyB1AB.

222

又∙.∙A1B+BC=A1C,

AtB].BC,ABCBC=B.

:.AtB1平面Z8C,

1•4台U平面44圈8,

.∙.平面/SC/平面血¾4B.

(2)

取N8中点£),连接CD∙.∙AC=BC,：.CDLAB,

由⑴易知CDl平面且CD=√i.

如图，以8为原点，分别以射线BA,BA,为χ,y轴的正半轴，建立空间直角坐标系B-xyz,

则4(2,0,0),4(O,2√3,O),C(l,0,√3),B1(-2,2√3,0).Cl(-1,2√3,√3),P(O,√3,√3).

福=(-2,0,0),4^=(0,-√3,√3).

设平面PAtBi的法向量为n=(x,y,z),则:空=，,

n∙AlP=0

-2x=0T

得［s+怎3令…,则取〃=(QLl),

关=(T0,回卜。说，讣第P系若，

HC与平面尸4与所成角的正弦值为逅.

4

2.(陕西省榆林市2023届高三上学期一模理科数学试题)如图，在四棱锥P-RBS中,

平面PAD1底面/8CL>,AB//CD,NDAB=60°,PZ1PO,且

PA=PD=E,AB=2CD=2.

⑴证明:ADLPB.

(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵噜

【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，然后利用线面垂直证明线线垂直;

(2)建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，然后求出二面角的平面角的余弦

值

【详解】(1)证明：取4。的中点G,连接BD,BG,PG.

因为PA=PD=所以力。IPG.

又PZIPZ),所以ZD=2.

又AB=2∕BAD=600,所以△48。为正三角形，所以∕Z)18G.

因为PG,BG在平面P8G内相交，所以Zz)I平面PBG.

又PBu平面P8G,所以NZ)IP8.

(2)以G为坐标原点，而,不的方向分别为K',z轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系,

则尸(0,0,1),5(0,6,0),CO],而'=(0,ʃ-l),PC=Γ-ʃ-l

V22J\22

设平面尸8C的法向量为m=(x∕,z),

vɜʃ-z=0,

则3ʌ/ɜ令y=g∖得m=(T，63).

育+7-Z=0,

由题可知,平面尸4。的一个法向量为G=（0,1,0）.

设平面PAD和平面PBC所成的锐二面角为夕

m∙n√3_√39

则COSe==IP

k^ττ∙

m∖∖n

3.（广西南宁市第二中学2023届高三上学期1月月考（期末）数学（理）试题）如图,

四棱柱/8CQ—48GA的侧棱44」底面48CZ）,四边形/88为菱形，E,F分别为

CG,44/的中点.

（1）证明：B,E,Dl,F四点共面;

⑵若AB=AAx,ΔDAB=求直线AE与平面BED1F所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵零

26

【分析】(1)通过证明£0必5£来证明用E,D1,尸四点共面.

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线/E与平面BED/所成角的正弦值.

【详解】(I)取乌。的中点为G,连接∕G,GE,

由£G分别为CG,DA的中点，

：.EGI/DCIlAB,且EG=DC=4B.

四边形ABEG为平行四边形，

故AG//BE.

乂尸是44∣的中点，即皿〃/G.

.∙.FDJIBE,

故8,F,2,E四点共面.

(2)连接/U8D交丁点0,取上底面的中心为。I，

以。为原点，0A,0B.函分别为X、AZ轴正方向，建立如图所示的空间直角坐

标系。-Λ^Z,

设/5=2,则/(G0,0),B(0,1,0),f(-√3,0,l),F(√3,0,1),

.∙.AE=(-2√3,0,1),5F=(√3,-1,1),SE=(√3,-1,1)

设面BE.的一个法向量为成=(X,y,z),

m-BF=0ʌ/ɜɪ-y+z=0

则取玩=(OJJ),

th∙BE=0-SX-y+z=O

.CI而•西√26

设直线AE与平面BED1F所成角为，，故SInθ=同网=ɪ,

.∙.直线AE与平面BED1F所成角的正弦值为叵.

26

4.（河南省十所名校2022-2023学年高三阶段性测试（四）理科数学试题）如图所示,

四棱台Z8CD-44CQ的上、下底面均为正方形，且。AI底面/8CD

（1）证明：150,；

（2）^AD=DDi=24。=2,求二面角/一8A-C的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵半

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明线线垂直；

（2）利用空间向量的坐标运算求面面角.

【详解】（1）Q。。i平面∕8CD4C1平面Z8C2∙∙.∕C1OA,

如图，连接四边形"8为正方形，.∙.∕1C∙LB,

乂“：DDlCBD=D,：DR,BDu平面DQB,

.∙./C/平面〃08,

：BD,U平面AZ）氏.∙.4C1BR.

(2)由题意知直线DC。4两两互相垂直，故以。为坐标原点，建立如图所示的空

间直角坐标系.

由已知可得4(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0))当Q,l,2),

βlβ=(l,l,-2),BC=(-2,0,0),8l=(0,-2,0).

设平面N8∣8与平面阴C的法向量分别为Nl=(xl,y∣,zl),n2=(x2,y2>⅞)∙

%由8=%+必-24=0

则-----令4=1,则*=(2,0,1),

〃]∙BA=-2必=0,

n2-B,B=x2+y2-2z2=0,

------令Z2=l,则Z=(O21),

n2∙BC=-2x2=0,

11

.,.COSGa卜箭=F6=S'

故二面角-C的正弦值为Jm=半.

5.(贵州省毕节市2023届高三年级诊断性考试(一)数学(理)试题)如图，四棱锥

P-/8C。的底面是矩形，尸4_1_底面/8。。，AB=6y[2,AD=6,M,N分别为CD,

PO的中点，K为PA上一点、,PK=^PA.

(1)证明：B,M,N,K四点共面;

TT

(2)若PC与平面ABCD所成的角为w,求平面BMNK与平面PAD所成的锐二面角的余

6

弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵4

O

【分析】(1)先证明线线平行，再利用基本事实判定四点共面；

(2)建立空间直角坐标系，求出点的坐标，求解两个平面的法向量，然后利用向量法

求解二面角平面角的余弦值.

【详解】(I)证明：连接/C交于瓦连接KE,

,二四边形/8CQ是矩形，"为8的中点,

CECM_\

:.CM//ABBLCM=-AB

2~AE~^4B~2

PKCE

'：PK=-PA..-.PK=-KA:.KE//PC,

32

■：M,N分别是CD,Pn的中点，,MN〃尸C,.∙.KE〃加N,

∙∙∙K,E,M,N四点共面,

'.'BeEM,--B,M,N,K四点共面.

⑵∙.78=6√LAD=6,：.AC=643.

：PA1平面48CDPC与平面Z5C。所成的角为NPe4=£,

6

在APZC中，^ɪtanɪ=-.ʌAP=6.

AC63

以/8为X轴，4。为y轴，XP为Z轴建立空间直角坐标系，如图

4(0,0,0),5(6√2,0,0),M(3√2,6,0),K(0,0,4),

∙.-BΛ7=(-3√2,6,O),βæ=(-6√2,0,4).

4∙BM=-3y∕2x+6y=0

设平面BMNK的一个法向量为W=(Xj,z),则

々∙BK--6∖∣2x+4z=0

令X=√L得平面BMNK的一个法向量为nλ=(√2,1,3),

又平面Pzz)的个法向量为限=(1,0,0).

设平面BMNK与平面PAD所成的锐二面角的大小为夕

平面BMNK与平面PAD所成的锐二面角的余弦值为逅.

6.(贵阳省铜仁市2023届高三下学期适应性考试(一)数学(理)试题)如图(1),

在梯形/8CZ)中，ADHBC,AD1AB,AD=2AB=IBC,E为XZ)中点，现沿SE将

△IBE折起，如图(2),其中尸,G分别是BE,ZC的中点.

(1)(2)

⑴求证：FGI平面/CO；

Q)若AB=AC=6,求二面角8—4C-O的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵-4

【分析】(1)取力。中点H,易证得四边形EFG〃为平行四边形，从而得到JFG//£〃，

利用等腰三角形三线合一性质可分别得到FG1AC,EH1AD,结合平行关系和线面垂

直的判定可证得结论；

(2)根据长度关系可证得ZRBE,FC两两互相垂直，则以f为坐标原点建立空间直角

坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.

【详解】（1）取4。中点〃，连接CE,AF,FC,EH,GH,

•••四边形BCOE为平行四边形，.∙.8E"CZ),BE=CD,

GH=gcD,

又产为BE中点，.∙.EFHCD,EF=gcD,.∙.EFHGH,EF=GH.

二四边形EFGH为平行四边形，：.FGHEH；

'：AE=DE,丹为/£>中点，.-.EH1.AD.ʌFGLAD­,

'：AEHBC.AE=AB≈BC=^AD,ABLAD,二四边形NBCE为正方形，

AF=FC,:.FGLAC1又/CCM。=/,/(7,/。匚平面48,

.∙.FGi3P½∣ACD.

(2)由(1)知：CE=AB=^-AD,:.ACLCD,义BEHCD,:.BE∖.FC■,

YAB=AE,尸为8E中点，AFi.BE,

■：AF=FC=^BE=AB2+AE2=1,AC=五':.AF2+FC2=AC2,

:.AFLFC,又BECFC=F、BE,FCu平∙面BCDE,r./尸1平面BCDE,

以尸为坐标原点，丽,网,成正方向为χ,v,z轴，可建立如图所示空间直角坐标系,

则8(1,0,0),/(0,0,l),C(0,l,0),F(0,0,0),G(Os

.∙.存=(l,0,T),就=(OJ-I),用=(0St),

设平面MC的法向量〃=(Xj,Z),

*.

AB∙n=x-z=0aj、

―._,令X=1,解得：y=z=ι..∙.∏=(1,1,1)；

AC`n=y-Z=0

■：FG1平面ACD..∙.平面ACD的一个法向量为FG=（°，；，；），

∣=——-yj==半

.∙.1cos<FG,π>1=MIT-HJ6下3'

2

由图形知：二面角5-4C-。为钝二面角，，二面角B-ZC-。的余弦值为-逅.

3

7.（湖北省武汉市2022届高三下学期2月调研考试数学试题）在如图所示的多面体中,

点及F在矩形ABCD的同侧，直线EDI平面ABCD,平面BCF1平面ABCD,且△BCF

为等边三角形，ED=AD=2,AB=y∣2.

/D:-Ac

(1)证明：ACVEF-,

（2）求平面45尸与平面ECF所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵李

6

【分析】⑴取BC中点M,连接尸则由平面BCFL平面/8CO,可得尸Wi平面

ABCD,再由即1平面23CD,可得即//月0,ACiED,再由已知条件可证得

ACLDM,由线面垂直的判定定理可得ZCI平面EZWF,然后由线面垂直的性质可

得结论，

l⅜JUULlULMU

（2）以。为坐标原点，D4,Z）C,Z）E的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间

直角坐标系，利用空间向量求解

【详解】（I）取BC中点M,连接产以，

'：FB=FC,:.FM1BC.

由平面BCF1平面ABCD,且交线为BC,

FM1平面ABCD.

又EZ）I平面,有ED//FM.

.∙.E,Q,尸,M四点共面.

■：ED∖.^ABCD,AC'∖平面∕8CO,

.∙.ACLED.

乂在矩形Z8C。中，段=照=

DCCM

：.XADCSXMCD、

/CAD=KDM、

∙.∙ZCOΛf+Z^OA/=90°.

；/CAD+Z.ADM=90°,

.∙.ACiDM.

又：EDCDM=D,

.∙.4C」平面EDMF.

二所u平面EDMF,:,ACLEF.

ULl4ULlUUUU

(2)以。为坐标原点，D4,OC,OE的方向为XJ*轴的正方向，建立如图所示的空间

直角坐标系厕有：J(2,0,0),β(2,√2,0),F(l,√2,√3),E(0,0,2),c(0,√2,0).

设平面的法向量〃=（AM,zj,行=（θ,√∑,θ）,丽=卜1,0,码.

n∙AB=V∑y=O

1令Z]=1,则〃=(JJ,O,1).

n∙BF=-x1÷V⅛1=O

设平面Ea，的法向量前=（Z/2，Z2），斤=（Lo，6），酝=（0，-五,2）.

tnCF=x+y∣3z=O

22令z?=1,则m=(-ʌʌ/l,l)

fhCE=-41y1+2z2=O

m-n∖∣-3+l∣_√6

/.Icosun,n

∕W∣∣W∣y∕4-yfβ6

所平面43尸与平面ECF所成锐二面角的余弦值为四.

6

8.（甘肃省兰州市第五十中学2022-2023学年高三第一次模拟考试数学（理科）试题）

如图，在多面体N8COE尸中，四边形ZBCO为直角梯形，AD//BC,ABLAD,四边

形4DEF为正方形,平面NDETU平面NBCDBC=3AB=3AD,M为线段8。的中点.

(1)求证：8。，平面/FA/；

(2)求平面AFM与平面ACE所成的锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

⑵岑,

【分析】⑴证明AFLBD以及BDLAM即可求证BDLAM；

(2)在点/处建立空间坐标系，分别计算平面/尸M与平面4CE的法向量，结合空间角

与向量角的联系计算即可.

【详解】(1)因为四边形力。E尸为正方形，所以"L4D

乂因为平面/OE/U平面ABCD,且平面ADEFD平面ABCD=AD,AFU平面ADEF,

所以/尸，平面43CI>,而BQU平面438,所以工因为48=4。，M线段8。

的中点，

所以8。2M^.AM^}AF=A,ZM,/尸U平面4尸”,所以平面

(2)由⑴知ZFl平面488,所以XFLI8,AFLAD,

51.ABLAD,所以48,AD,/F两两垂直.

分别以万,亚,万X轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系/-型(如图).

设/8=1,则4(0,0,0),5(1,0,0),C(l,3,0),D(0,1,0),Λ(0,1,1),

所以丽=(TI,O),Zg=(0,1,1),衣=(1,3,0),

设平面ZCE的'•个法向量为A=(X,y,z),

ACn=O,x+3y=O

则即

AE-H=Oy+z=O

令y=l,贝IJX=-3,Z=-1,贝=(-3,1,-1).

由⑴知，丽=（-1,1,0）为平面/尸M的一个法向量.

设平面AFM与平面ACE所成的锐二面角为夕

忸力(-3)×(-l)+l×l+(-l)×0

则cos6=cos(AO,〃

22222J

阿阿√(-3)+1+(-1)√(-1)+1+0

所以平面与平面ACE所成的锐二面角的余弦值为双红.

11

9.（甘肃省兰州市第五十八中学2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试数学（理科）

试题）在直角梯形/8Co（如图1）,ZABC=W,BCHAD,∕1D=8,AB=BC=4,

M为线段中点.将4/8C沿ZC折起，使平面力8CJ_平面力CZx得到几何体8-

/0（如图2）.

（I）求证：CD_L平面N8C；

⑵求AB与平面BCM所成角8的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵芈

【分析】（1）先根据勾股定理得到CD14C,再根据面面垂直的性质定理可证CDL平

ABC-,

（2）取NC的中点0,连接。8,先证明。4OB,OM两两垂直，再以。为原点，OM、

OUOB所在直线为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式可

求出结果.

【详解】（1）由题设可知ZC=4jΣ,CD=4√2,/IP=8,

.∙.AD2=CD2+AC2,：.CD]_AC,

又r平面/8CI平面4CD,平面/8CC平面NCZJ=/C,CDU平面ZCZ),

，C£>_L平面ABC.

(2)取力。的中点0,连接08,由题设可知4/8C为等腰直角三角形，所以08INC,

又因为平面48C_L平面XCD平面/8CC平面/CO=NC,。8U平面/8C,

所以。81平面/CM.连接OM,因为OMu平面ZCW,所以051Qir

因为M、O分别为4。和/C的中点，所以OM“CD,

所以OMI/C,故以。为原点，OM.OU08所在直线为X轴、y轴、Z轴建立空间直

角坐标系，如图所示：

则/(θ,-2√∑,θ),B(0,0,2√2),C(0,2板,0),Λf(2√2,θsθ),

C5=(θ,-2√2,2√2),O7=(2√2,-2√2,0),=(θ,-2√2,-2√2),

设平面BCM的一个法向量为n=(x,y,z),

ii-CB=-2y∕2y+2-j2z=O

则得x=y=z,令χ=l,得万=(1,1,1),

H-CM=2y∕2x-2y∕2y=0

BAn

.p.1I4√2√6

“网不标XG=5

所以”与平面BCM所成角6的正弦值为也.

3

10.(陕西省西安市长安区2023届高三下学期一模理科数学试题)如图，在四棱锥

P-ZBCD中，PA15FWABCD,ADLCD,AD//BC,PA=AD=CD=I,BC=3,

E为尸。的中点，F在PC上，满足EFl.PC.

B'C

(1)求证：81平面PND；

(2)求二面角8-4F-C的余弦值.

【答案】(1)证明见解析.

【分析】(1)根据线面垂直的判定定理即可证明结论；

(2)建立空间直角坐标系，根据题意求得相关点坐标，求出点F的坐标，求出平面/BF

和平面NeF■的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.

【详解】(1)证明：因为PR1平面488,CDu平面488,所以&，C

又因为力OIC。，PZC4D=4P4∕Ou平面，

所以CD1平面PAD.

(2)过Z作4。的垂线交BC广点K

因为尸41平面N8C。U平面488.

所以刃1∕M,P4∖,AD,

以/为坐标原点，以/〃尸分别为χ,y,z轴，建立空间直角坐标系如图，

则)(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,01O©,2,0)P(),0,2),

因为E为PQ的中点,所以E(OJl),

因为F在尸C上,设而=4定=*2,2,-2),则尸(2儿2儿2-2人),

故而=(2W,2∕l-l,1-2/1),

因为MI尸C,所以而1斤而・京=0,

即(2儿24-1,1-24)•(2,2,—2)=0,即12R-4=0,入=g,

224

即％,英)，

所以第z=（m）,刀=（2T0）,

ffι∙AB=。

设平面ABF的一个法向量为m=（x,y,z）,则

m∙AF=O

2x-y=0

即224c,令χ=2,则y=4,z=-3,故而=(2,4,-3)；

—X+—y+—z=0

1333

H-AC=O

ZC=（2,2,0）,设平面」CF的一个法向量为7=（α也C）,则

n-AF=θ'

'2a+2b=Q

即∙22,4c，令α=l,则b=-l,c=0,故1=(1,-1,0),

-a+-b+-c=0

1333

..z---.m∙n-2Λ∕58^

故COS〈加，n)==~→-=——尸=------

∖m∖∖n∖Vj29×>∕229

由图可知二面角B-∕F-C为锐角，故二面角8-/尸-C的余弦值为恒.

29

IL（陕西省铜川市王益中学2023届高三下学期一模理科数学试题）如图，四棱锥

P-ZBCD中，PB1JS®ABCD,AB//CD,AB1BC,B,AB=2BC=2CD=2.

（2）若平面PAD与平面PBC所成的二面角的余弦值为近，求PA与底面ABCD所成的角

6

的正切值.

【答案】（1）证明见解析:

【分析】⑴由已知结合勾股定理可推得，4。18,进而证得/Di平面尸8。，然后

根据线面垂宜的性质即可得出ADVPD.

⑵以点8为坐标原点，建立空间直角坐标系.设8P=t写出各点的坐标，根据向量法

得出平面以。与平面PBC的法向量，结合已知可得丁：=埋求出点P坐标.在

√2z2+46

RSPBA中，求出tanAPAB即可.

【详解】(1)取48中点R连接QE,则由已知得OE〃8C且。E=BC,所以。E184

由已知可得，AD2=AE1+DE1=2,BD2≈DC2+BC2=2.

乂/8=2,所以力/=BO+4)2

所以1BD.

又产81底面力88,4。U平面NBCD,所以PB140.

又PBCBD=B、P8u平面PBD,BDU平面PBD.

所以/O1平面P8D.

因为PoU平面P8D,所以4D1PZ).

如图，以BC,8∕,8P所在宜线分别为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系.

设BP=f(f>0),由题知8(0,0,0),4(0,2,0),C(l,0,0),£>(1,1,0),P(0,0√).

则赤=(LT,0),万=(0,-2/),第=(0,2,0).

设/=(x,y,z)是平面PAD的一个法向量.

ADin=x-y=0

所以有

AP∙in=-Iy+Zz=0

令X=f,则y=/,z=2,则而=(f,f,2)是平面尸”。的一个法向量.

由已知得，BA=(0,2,0)是平面P8C的一个法向量.

又平面PAD与平面PBC所成的二面角的余弦值为星＞0,

6

2/ty∕β

2y∕t2+t2+4∣2t2+46

则H反网卜品鬻y

整理可得，*=ι.

因为。0,所以f=L即BP=L

由直线马平面所成角定义知PA与底面/J5CD所成的角为NP/8.

在:RtAP8/中，^jtanZPAB=-=-,所以tan∕Λ48=L

AB22

所以，PA与底面/8S所成的角的正切值为g.

12.(山西省太原市2022届高三下学期模拟三理科数学试题)已知三角形尸4。是边长

为2的正三角形，现将菱形/8C。沿4。折叠，所成二面角P-NO-8的大小为120。，

此时恰有尸CI/D.

(1)求8。的长；

(2)求二面角D-PC-B的余弦值.

【答案】C)BD=2也

⑵一短

7

【分析】⑴取X。中点"，连接PM,CM,即可得到PMl/O,再由PCI/D.

从而得到平面尸MC,即可得解NOlMC,从而求出

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；

【详解】(1)解：取4。中点M,连接PM,CM,

是正三角形，

.∙.PMLAD.

又：.PCLAD,PCCPM=P,尸C,PA/U平面PMC

，1平面PΛ∕C,MCU平面PMC,

ADlMC,

在菱形ABCD中，NCDA=60°,则ND48=120°,

12

BD=Λ∣AD+AB-2AD-ABcosΛDAB=2m

⑵解：取M为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则。(T,0,0),P(θ,√3,θ),

(√33

dco

22['^τ4

设平面Pa＞的法向量为机=(xj,z),

3√3rι3_q一

2-2,令y=l,则X=-6，z=y∣3,m=(-√3,

x+>j3y=0

设平面PCB的法向量为n=(α,b,c)

∙,∙C5=(2,0,0),^C=O,

3√33

一万2C,令6=1,则c=6α=0,所以G=(0,1,6)

2a=0

∣O×+1×1+ʌ/ɜ×∙V3∣2y∣j

m`n

COS

一丽2×√77

又二面角D-PC-B为钝二面角，二面角D-PC-B的余弦值为一2"

7

13.(山西省吕梁市2022届高三三模理科数学试题)如图，在四棱柱/8CQCa中,

底面”8是平行四边形，D41O8,侧面4)A4是矩形，AB=2AD=^AA,M为AA∖

的中点，DlAlBM.

(1)证明：BD1平面ADDtA,；

(2)点N在线段4G上，若4G=44N,求二面角M-08-N的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

⑵坐.

3

【分析】(1)由即可得D/LMD,然后利用线面垂直的判定定理可得D/1平面BQM,

进而即得；

(2)建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法即得.

(1)

因为矩形中，y∕2AAt=2AD,M为AA1的中点，

所以IanZMDA=XanZADlD=—.

2

所以∕Λ∕r%=∕4qo.

因为∕XOQ+No/D=

所以NMDA+ZDiAD=ɪ,

所以

因为D/1BM,MDcBM=M.

所以1平面BDM.

因为8。U平面8。”,

所以"∕18Q,乂DALDB,R4cDA=A,

所以8。1平面力。。/.

(2)

由(1)知。4。民。■两两相互垂直，所以以。为原点，D4,D8,DD所在直线分别为

χ,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

连接

则。(o,o,o)Q(0,0,6),4(1,0,0),8@应O)G(T，石，(,o,C

J√3

所以丽=(O,百,0),丽=可'+而=可彳。

2彳

设平面BDN的一个法向量为n=(x,y,z),

y∕3y=0

伍”=0

则-X+^-y+∖∣2z=0

n∙DN=0''

,24-

所以尸0,令Z=-L得χ=2√∑,所以1(2√Σ,0,-l),

由⑴知即=(l,0,-6^)是平面BOM的一个法向量,

/取___________3叵√6

所以Cos(ED)=

W•取√(2√2)2+l2×√(√2)2+l23

故二面角M-DB-N的余弦值为限.

3

14.(山西省际名校2022届高三联考二(冲刺卷)理科数学试题)如图，在四棱锥

P-ABCD'V,底面W。是梯形，AB//CD,ABLAD,AB=AD=2CD=2,AAPD

为等边三角形，E为棱PB的中点.

(1)证明：CE∕j平面PAD；

(2)当PB的长为多少时，平面P4。，平面458?请说明理由，并求出此时直线CE与

平面尸Co所成角的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)PS=2√2.ɪ

0

【分析】(1)取线段P/的中点尸，连接跖、FD,利用三角形中位线定理结合已知条

件可得四边形CEEo为平行四边形，则CEDF,然后利用线面平行的判定定理可证

得结论，

(2)当PB=2√2时，由已知条件可证得AB1平面PAD,从而可得平面PAD1平面

ABCD.分别取线段ZQ,BC的中点O,M,连接尸O,OM,则可证得04OM.OP

两两垂直，所以分别以04OM、。尸所在直线为X轴，y轴，Z轴，建立空间直角坐标

系的Z,利用空间向量求解

(I)

证明：取线段P4的中点/，连接EfFD.

则EF为Ap43的中位线，

.∙.EFIlAB,EF=-AB,

■：ABIlCD.CD=-AB.

EFIlCD,EF=CD,

二四边形CEFD为平行四边形.

:.CE/IDF,

...。尸:3平面尸”。，CE(X平面P4。，

:.CEIl平面PW.

(2)

当PB=2√2时，平面PAD1平面ABCD.

理由如下：

在△尸48中，;AB=P4=2,P8=2√L.∙.AB∖.PA.

乂•：ABLAD,ADcPA=A,.∙.AB15FffiPzlD,

又ABU平面ABCD,平面PADi平面ABCD.

分别取线段月。，SC的中点O,M,连接P。，OM,

因为△/「£＞为等边三角形，。为4)的中点，所以尸。1/。，即尸OJ平面Z88.

PO=B

因为。，M分别为4。，8C的中点，所以

又1814D,所以。M』ND.

分别以。4OM,。尸所在直线为X轴，V轴，Z轴，建立空间直角坐标系。斗，则

5(1,2,0),P(θ,θ,√3),C(-l,l,0),0(-1,0,0),

PC=(-l,l,-√3),PC=(O,1,O),CE=

设平面PCD的法向量∙为〃=（Xj,z）,

PC`n=-x÷ʃ-ʌ/ɜz=O

DCn=ʃ=O

所以直线CE与平面PCD所成角的正弦值为7,所成的角为3.

z6

15.（内蒙古呼伦贝尔市部分校2022届高考模拟数学（理）试题）如图，在四棱锥

P-ZBCD中，PA1jPWABCD,ADHBC,AB=BC=CD=PA=X,AD=2.

(1)求证：平面尸8_L平面尸/C;

(2)求平面218与平面PCD所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

【分析】⑴取的中点E,连接CE.证明CZ)I/C,CDVPA,由线面垂直判定

定理知81平面H4C,再由面面垂直的判定定理得证；

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

(1)

取的中点E,连接CE,如图，

因为∕D∕∕BC,AB=BC=CD=1,/0=2,所以NE=5C,AEHBC,

所以四边形/8CE为平行四边形，

所以CE=XB=JNO=I,所以COizc,

因为PZl平面/88,Cr)U平面N5CZ),所以COlP/,

因为"ΓMC=/,所以CoI平面P4C,

因为CZ)U平面尸Cn所以平面尸CDI平面P/C.

(2)

过点8作AWl/。于M,以旭为原点，建立空间直角坐标系，如图所示,

在等腰梯形中NBCQ、ADUBC,AB=BC=CD=LAD=2,

则NΛ/=L=旦，

222

0

设平面Pa＞的法向量为∙=(x,y,z),因为户4=**悒=-≠r

n∙PC=x+-y-z=O

22

所以令x=l,则7=0,√J,2√J),

nCD=-^-x+^-y=O

22

(李，；，0)，莎=(o,o,-ι),

设平面PAB的法向量为蔡=(a,b,c),因为方=

一√31

所以，"31r"5b=O令—则嬴(一百°),

fhPA=-C=Q

所以卜os(前,。卜备，=/2=_—==1

I'A砚√1+3+12×√ΓΓ34

16.(内蒙古呼和浩特市2022届高三第二次质量数据监测理科数学试题)如图，在三棱

柱∕RC'-∕8C中，侧棱44'1底面Z5C,AB=AC,BC=y∣2AA,,。、E分别是SC,

班’的中点.

(1)证明：平面/CDi平面ADE；

(2)已知44'=&,求直线44'与平面E所成角的正弦值.

【答案】⑴证明见解析

⑵4

【分析】(I)由acα>~a∑>8E,证得CQIQE,再根据题意证得/Z)I平面BCCr)

得到AD1CD,进而证得CD1平面ADE,即可证得平面ZC'。1平面4。E.

⑵以。为原点，。/为X轴，OC为y轴，在平面8CC'd内，过。且平行与58'直

线为Z轴，建立空间直角坐标系，得到五？=倒,0,亚)和平面3E的法向量为

DC=(θ,l,√2),结合向量的夹角公式，即可求解.

(ɪ)

证明：由题意知∕8=NC,BC=41AA',可得m=应，警=应，

CD

所以△CCO〜△OBE,所以NCDC'+NBOE=90。，所以CD1OE,

因为月8=NC,且。为BC的中点,可得/O/8C,

又因为侧棱41'1底面/8C,且力。U底面/8C,所以4。L44,

乂由88'∕∕∕H,所以401.8".

因为BCClBQ=B,所以4)1平面8CC'。'.

又因为CQU平面BCCD',所以/O_LC'。，

因为/OcOE=。且AD,DEU平面NOE,所以CDi平面/OE,

又因为CDu平面/C'。，所以平面/C'。i平面4OE.

(2)

解：以。为原点，D4为X轴，OC为y轴，在平面BeCR内，过。且平行与38'直线

为Z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

因为44'=√Σ,可得8C=2,设4)=α,

可得C(OJO),N(α,0,0),Cl(θ,l,√2),则Z?=(0,0,&),DC1=(θ,l,√2),

由CD1平面/OE,所以平面ZOE的法向量为DC=(θ,ɪ,√Σ),

AADC'2^√6

设/与平面所成角为万,则β=

sinRFi√2√3-5^

17.(内蒙古包头市2022届高三第二次模拟考试数学(理)试题)已知直三棱柱

Z8C-48C中，侧面BBCC为正方形./8=BC==3,D,E分别为/C和44上

的点，且∕Z)=2DC,AlE=2EA,尸为棱8©上的点，BElBG.

(1)证明：ABIBC,且BEJ.DF;

(2)当CE为何值时，平面44蜴8与平面OEF所成的二面角的正弦值最小?

【答案】(1)证明见解析

7

(2)C1F=-

【分析】(D先证8C1BE以及BCiBA即可证得BC/平面88//,即可证得

BCLAB,建立空间直角坐标系，求出屉,而，由乐.而=0即可证得5E1DF；

(2)直接写出平面44lB声的一个法向量，求出平面Z)M的法向量，由夹角公式表示

出余弦值，由平方关系求出二面角的正弦值，结合二次函数求解即可.

【详解】(I)因为8E18C,BC/∕BtCl,所以BCLBE.

又BCIBB、,且BBICBE=B,所以BC/平面88/“,

又∕8u平面8耳44所以BC1/8.

因为∕8=8C=88∣=3,所以在RtZ∖∕BC∣∣∣,

AC=Λ∣BC2+AB2=3√2.

ɔ

又AD=2DC,所以ZO=]∕C=2√Σ,

由/4=84=3,且4E=2EN,得NE=1,

取点8为坐标原点，以A4,BC,所在直线分别为％%z轴,

建立空间直角坐标系8-种（如图所示）.

则8(0,0,0),D(1,2,0),E(3,0,l),屁=(3,0,1),

设Cr=w(0≤加≤3),则F(0,3-〃7,3),于是DF=(-l,l-w,3),

所以乐•而z=-3+3=0,即8E1AF∙

(2)因为平面物5中的一个法向量为G=(Oj0),又由⑴知方=(2,-2,1),

丽=(一3,3-加,2),