第28章 锐角三角函数综合练-2023-2024学年 人教版九年级数学下册

第28章锐角三角函数一、单选题1．如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（

）

A． B． C． D．2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、、、均在格点上，与相交于点，则的余弦值为（

）

A． B． C． D．3．如图，，分别为的切线，切点为，，点为弧上一动点，过点作的切线，分别交，于点，，作的内切圆，若，的半径为，的半径为，则的面积是（

）A． B． C． D．4．如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（

）

A． B． C． D．5．如图，中，是线段上的一个动点，以为直径画分别交于，连接，则线段长度的最小值为（）

A． B． C． D．6．如图，在矩形中，，，连接，点E为上一个动点，点F为上一个动点，连接，且始终满足，则线段的最小值为（）A．1 B． C． D．27．如图，四边形内接于半径为6的，，连交于E，若E为的中点，且，则四边形的面积是（

）

A． B． C． D．8．如图，在点处，看建筑物顶端的仰角为，向前走了6米到达点即米，在点处看点的仰角为，则的长用三角函数表示为（

）A． B． C． D．9．某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形．若，，与地面垂直且，则灯顶A到地面的高度为（

）mA． B． C． D．10．如图，在正方形中，，点是边上的动点（点不与端点重合），的垂直平分线分别交于点，当时，的长为（

）

A．2 B． C． D．4二、填空题11．如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则．

12．如图，在平行四边形中，对角线交于点O，将沿翻折得到，连接，，则．13．如图，为半圆O的直径，点O为圆心，点C是弧上的一点，沿为折痕折叠交于点M，连接，若点M为的黄金分割点，则的值．14．综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度为米．（结果保留根号）

15．如图，坡角为的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树，当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影长为m，则大树的高为．（请用含m，的式子表示）三、解答题16．如图，是的直径，弦于点E，点F在上，与交于点G，点H在的延长线上，且是的切线，延长交的延长线于点M．(1)求证：；(2)连接，若，，求的长．17．在中，是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接．

(1)如图1，求的大小；(2)已知点和边上的点满足．（ⅰ）如图2，连接，求证：；（ⅱ）如图3，连接，若，求的值．18．如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且．

(1)求的度数．(2)①求证：．②若，求的值，(3)如图2，当点O恰好在上且时，求的长．19．年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为．

(1)求点离地面的高度；(2)求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：)20．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）

参考答案：1．D解：连接、、，交于，如图，

，与相切，切点分别为，，，，平分，，，，，，∵∴∵∴在中，，，．2．C

作于E，，，，，．中，．，，解得，．，．3．D如图，设的内切圆与、、的交点分别为、、连接、、、、、、，，根据题意，过点作的切线，分别交，于点，，，分别为的切线，是的角平分线．4．A解：如图所示，以为边向上作等边，过点作轴于点，则，则的横坐标为，纵坐标为，∴，取点，则是的中位线，∴，∵，∴点在半径为的上运动，∵是的中位线，∴，∴，当与相切时，最大，则正弦值最大，在中，，过点作轴，过点作于点，过点作于点，则∵与相切，∴，∴，∴，∴，∴设，,则∴∴∴解得：∴∴的最大值为，5．B解：由垂线段的性质可知，当为的边上的高时，直径最短，连接，，过点作，垂足为，如图所示：

在中，，，，即此时圆的直径为，，而，，在中，，，，，即线段长度的最小值为，6．D解：∵四边形为矩形，∴，∵，∴，∴由勾股定理得：，∵，∴，∵，∴，∴，∴取中点O，E在以为直径的圆上，∴，∴当取最小值时，也为最小值，∵E为上的动点，∴当时，OE最短，∵，∴，设，则，∴，∴，∴，∴．7．C解：如图所示，过点O作，垂足为F，连接．

∵，∴．在中，，∴．∴．∴．如图所示，过点A作，垂足为N，过点C作，垂足为M．

∵E为的中点，，∴∴．又∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴．又∵，∴．在中，．∴，在和中，，∴．∴．∴四边形的面积．8．D解：，，，，由题可知，为直角三角形，在中，，即：，，9．B解：如图，过点E作于点E，过点C作于点M，所以，四边形是矩形，∴，∵路灯图是轴对称图形，且，∵在中，又∴，∴即灯顶A到地面的高度为10．C解：如图作于．

四边形是正方形，，四边形是矩形，，，，，，，，，，设，则，垂直平分线段，，，，，11．解：方法一：∵，∴设，则，∴∵矩形的面积是6，是对角线，∴的面积为，即∴在中，即即解得：在中，∵对角线轴，则，∴,∵反比例函数图象在第二象限，∴，方法二：∵，∴设，则，∴，∴，，∵，∴，故答案为：．12．解：如图所示，连接，过点作交的延长线于点，设，交于点，过点作于点，∵在平行四边形中，对角线交于点O，∴∵将沿翻折得到，∴，∴是直角三角形；∵，∴∴，∴，∴∵平行四边形的面积∴∴∴,∴∵∴∴∴即解得：，故答案为：．13．过点作垂足为,延长交半于点连接由折叠得：，，∵点为的黄金分割点，，∵为半圆的直径，，，，，，∵四边形是半的内接四边形，，，，，在中,，故答案为：．14．/如图所示，过点E作于点M，过点F作于点N，

由题意可得，四边形是矩形，∴，∵，∴，∵博雅楼顶部E的俯角为，∴，∴，∴，∵点A是的中点，∴，由题意可得四边形是矩形，∴，∵尚美楼顶部F的俯角为，∴，∴，∴，∴在中，，∴，∴解得，∴．故答案为：．15．如图，延长交水平地面于点D，过点C作于点E，设的延长线与水平地面交于点O，结合题意可知，，∴．∵，∴，．∵，∴，∴．故答案为：．16．(1)证明见解析(2)（1）证明：连接，如图所示：∴，∵，∴，∴，∵是的切线，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：连接，如图所示：由（1）得，，∴，∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴（负值舍去），∴．17．(1)(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）（1）解：∵∴，在中，∴（2）证明：（ⅰ）证法一：如图，延长，交于点，则，

∵，∴．又∵，∴四边形是平行四边形．∴．∵是的中点，，∴．∴．∴四边形是平行四边形．∵，∴是菱形．∴．∵，∴．∴．∵，即，∴，即点是斜边的中点．∴．证法二：∵，是斜边的中点，∴点在以为圆心，为直径的上．

∵，∴垂直平分．∴．∴．∵，∴．∴．∴．证法三：∵，∴．又∵，∴四边形是平行四边形．∴．∵是的中点，，∴．∴．∴四边形是平行四边形．∵，∴是菱形．∴．∵，是斜边的中点，∴点在以为圆心，为直径的上．∴．（ⅱ）如图所示，过点作于点，

∵，∴，则，∵，∴，∴，∴，∴，∴18．(1)(2)①证明见解析；②；(3)（1）证明：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）①∵为中点，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴；②设，，∴，，∵，，∴，∴，即，∴，即，∴，∴，∴（负根舍去）；（3）解法一：如图，设的半径为，连接交于，过作于，

∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，而，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：，（负根舍去），由（2）①知，∴．解法二：如图，延长，分别交、于M、N