高中物理带电粒子在有界磁场中运动的临界问题、极值问题和多解问题

第4节带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题和多解问题

相切越长1．刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界________.2．当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，圆周角越大，那么带电粒子在有界磁场中运动的时间________.一、带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题3．当速率v变化时，圆周角大的，运动时间_____.长1．解决此类问题关键是找准临界点，审题应抓住题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语作为突破口，挖掘隐含条件，分析可能的情况，如有必要那么画出几个不同半径相应的轨迹图，从而分析出临界条件．寻找临界点的两种有效方法：规律方法(2)轨迹圆的旋转：当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋转(作图)中，也容易发现“临界点”．(1)轨迹圆的缩放：当粒子的入射方向不变而速度大小可变时，粒子做圆周运动的轨迹圆心一定在入射点所受洛伦兹力所表示的射线上，但位置(半径R)不确定，用圆规作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中即可发现“临界点”．2．要重视分析时的尺规作图，标准而准确的作图可突出几何关系，使抽象的物理问题更形象、直观．

3.找临界点的方法，常用结论如下:〔1〕刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.〔2〕当速度v一定时,弧长〔或弦长〕越长,圆周角越大,那么带电粒子在有界磁场中运动的时间越长.〔3〕当速率v变化时,圆周角大的,运动时间越长.一、带电粒子在平行直线边界磁场中的运动①速度较小时，作半圆运动后从原边界飞出；②速度增加为某临界值时，粒子作局部圆周运动其轨迹与另一边界相切；③速度较大时粒子作局部圆周运动后从另一边界飞出SBPQ圆心在磁场原边界上SPQ①速度较小时，作圆周运动通过射入点；②速度增加为某临界值时，粒子作圆周运动其轨迹与另一边界相切；③速度较大时粒子作局部圆周运动后从另一边界飞出圆心在过入射点跟边界垂直的直线上SQ圆心在过入射点跟跟速度方向垂直的直线上量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态P①速度较小时，作圆弧运动后从原边界飞出；②速度增加为某临界值时，粒子作局部圆周运动其轨迹与另一边界相切；③速度较大时粒子作局部圆周运动后从另一边界飞出二、带电粒子在矩形边界磁场中的运动oB圆心在磁场原边界上①速度较小时粒子作半圆运动后从原边界飞出；②速度在某一范围内时从侧面边界飞出；③速度较大时粒子作局部圆周运动从对面边界飞出。临界状态〔轨迹与边界相切〕①速度较小时粒子做局部圆周运动后从原边界飞出；②速度在某一范围内从上侧面边界飞；③速度较大时粒子做局部圆周运动从右侧面边界飞出；④速度更大时粒子做局部圆周运动从下侧面边界飞出。dabcθB圆心在过入射点跟速度方向垂直的直线上临界状态〔轨迹与边界相切〕(1)假设使电子源发射的电子能到达挡板，那么发射速度最小为多大？(2)如果电子源S发射电子的速度为第(1)问中的2倍，那么挡扳上被电子击中的区域范围有多大？例1如下图，S为一个电子源，它可以在纸面内360°范围内发射速率相同的质量为m、电量为e的电子，MN是一块足够大的挡板，与S的距离OS＝L，挡板在靠近电子源一侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，问：

题后反思(1)审题应首先抓住“速率相等”⇒即轨迹圆半径相等，其次“各个方向发射”⇒轨迹不同．然后作出一系列轨迹圆．(2)注意粒子在磁场中总沿顺时针方向做圆周运动，所以粒子打在左边和右边最远点的情形不同．

(1)假设要粒子从ab边上射出，那么入射速度v0的范围是多少？(2)粒子在磁场中运动的最长时间为多少？【跟踪训练1】如下图，一足够长的矩形区域abcd内有磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从ad边的中点O处，以垂直磁场且跟ad边成30°角的速度方向射入一带电粒子．粒子质量为m，带电荷量为q，ad边长为l，不计粒子重力．求：

二、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的多解问题

规律方法1．带电粒子电性不确定形成多解带电粒子假设带正电，其轨迹为a；假设带负电，其轨迹为b.2．磁场方向不确定形成多解

如下图，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如果B垂直于纸面向里，其轨迹为a；如果B垂直于纸面向外，其轨迹为b.

带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，如下图，于是形成了多解．3．临界状态不唯一形成多解(1)带电粒子在局部是电场、局部是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解．如下图．

4．运动的往复性形成多解(2)带电粒子在磁场中运动时，由于磁场方向突然反向等，使得运动具有往复性而形成多解．

例2如下图，在x<0与x>0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面向里，且B1>B2.一个带负电荷的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什么条件？例3如下图，在NOQ范围内有垂直于纸面向里的匀强磁场I，在MOQ范围内有垂直于纸面向外的匀强磁场Ⅱ，M、O、N在一条直线上，∠MOQ=60°，这两个区域磁场的磁感应强度大小均为B。离子源中的离子带电荷量为+q，质量为m，通过小孔O1进入两板间电压为U的加速电场区域〔可认为初速度为零〕，离子经电场加速后由小孔O2射出，再从O点进入磁场区域I，此时速度方向沿纸面垂直于磁场边界MN，不计离子的重力。求：〔1〕假设加速电场两板间电压U=U0，求离子进入磁场后做圆周运动的半径R0；

〔2〕在OQ上有一点P，P点到O点距离为L，假设离子能通过P点，求加速电压U和从O点到P点的运动时间。解：（1）离子在电场中加速时

离子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力

解得

（2）离子进入磁场时的运动轨迹如图所示

由几何关系可知OP'=P'P"=R0要保证离子通过P点，则I=nR0

解得

其中n=1，2，3，…

，其中n=1，2，3，…【跟踪训练2】如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，有一束正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场．正离子的质量为m，带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力．求：(1)磁感应强度B0的大小；(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值．诱思启导先分析正离子在交变磁场中的运动性质，明确物理过程，然后判断出要使正离子垂直于N板射出磁场，必须让正离子从O孔垂直于M板射入磁场，且在磁场中运