湖南省2023届高三二轮复习联考(二)数学试题（含答案与解析）

湖南省2023届高三二轮复习联考（二）

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知A={L2,α+3},B={α,5},若AUB=A,则α=（）

A.0B.1C.2D.3

2.已知复数z=（l+i）∙（m-2i）在复平面内对应点落在第一象限，则实数〃?的取值范围为（）

Am>2B.0<tn<2

C.-2<m<2D.m<-2

3.“。+1>匕-2”是"〃>力''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知数列{α,J满足％=1,%+产量门，则%=（）

Illl

A.-B.-C.-D.—

78910

5.声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数V=Asinw,我们听到的声音是由纯音合成

的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数/（x）=COS2%+同时，则下列结论正确的是（）

A./（尤）是奇函数B.的最小正周期为2兀

ɜJrjr

C./（X）的最大值为二D./（X）在区间上单调递减

6.已知点P为直线/：%-丁+1=0上的动点，若在圆C：（X-2>+（y-l）2=l上存在两点M,N,使得

/MPN=60o,则点P的横坐标的取值范围为()

A.[-2,1]B.[-1,3]C.[0,2]D.[1,3]

7.如图，在直三棱柱ABC-ABCl中，=ABC为等腰直角三角形，NACB=90,AB=A4=4,平面

ABG截三棱柱ABC-AgC的外接球所得截面的面积为()

8.设函数/(x)在R上存在导数/'(力，对任意的XeR,有/(x)-∕(-X)=2sinx,且在[0,+e)上

∕,(x)>cosx.若一，-/(f)>cos∕-Sinf.则实数，的取值范围为()

A∙UBCCGmD-⅛+q°)

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法中正确的是()

A.某射击运动员进行射击训练，其中一组训练共射击九次，射击的环数分别为

9.2,10.5,10,8.5,10.3,9.8,10.6,8.2,9.7,则这组射击训练数据的70分位数为10.3

B.已知随机变量X服从B(%p),若E(X)=20,D(2X)=60,则p=：

C.在经验回归分析中，如果两个变量的相关性越强，则相关系数，•就越接近于1

D.用模型y="e"+c拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=ln(y-c),若通过这样的变换

后，所得到经验回归方程为z=0.8x+3,则a=e3

10.下列结论正确的是()

3535

A.e+e>e∙eB.Ig3+lg5>lg3∙lg5

ππππ

C.2+6>3∙5D.Iog310+Iog510>Iog310∙log,10

如图，在棱长为的正方体。中，点满足其中

11.2ABCD-AMGNA1M=;IAC,C∣N="GB,

%M∈(0,l),则()

A.存在/I,"∈（0,1）,使得BM∕∕RN

B.存在X,4∈（0,l）,使得MNL平面BAC

C.当人=〃=1时，MN取最小值

2

D.当〃=；时，存在2∈（0,l）,使得NAMN=90

12.已知数列｛4｝,如果存在常数A,对于任意给定的正数/（无论多小），总存在正整数N,使得

〃>N时，恒有|ɑ,,-A∣<r成立，就称数列｛%｝收敛于A（极限为A）,即数列｛%｝为收敛数列.下列结

论正确的是（）

A.数列｛；｝一个收敛数列

B.若数列｛叫为收敛数列，则mM∈R'，使得∀"eN*,都有㈤<M

C.若数列｛4｝和也｝为收敛数列，而数列｛4—2｝不一定为收敛数列

D.若数列｛an｝和也,｝为收敛数列,则数列｛an∙brl｝也一定为收敛数列

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.曲线/（x）=XeA—3x+l在点（0,1）处的切线方程是（结果用一般式表示）.

14.在边长为6的正..ABC中，若点。满足B£）=2。。，则Ar）∙BC=.

15.近两年来，多个省份公布新高考改革方案，其中部分省份实行“3+1+2”的高考模式，“3”为全国统一

高考的语文、数学、外语3门必考科目，“1”由考生在物理、历史两门科目中选考1门科目，“2”由考生在思想

政治、地理、化学、生物4门科目中选考2门科目，则甲，乙两名考生恰有两门选考科目相同的概率为

16.已知双曲线C:J-二=15>0/>0）的右焦点为尸，双曲线C的一条渐近线与圆O:炉+y2=/在

ab

第二象限的交点为圆O在点M处的切线与X轴的交点为N,若SinNMNF=JIsin/MFN,则双

曲线C的离心率为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

.在中，内角的对边分别为已知‘∣s

17UWCA5,Cα,"c,=-I2

cosBcosCa^+h^-C

（1）求角B的大小；

（2）若α+c=2J^aSinC，S.h-3,求_ABC的面积S.

18.如图①，在等腰梯形ABCD中，点E为边BC上的一点，A。〃3C,AO=CD=I,_ABE是一个

等边三角形，现将4?E沿着AE翻折至VAPE,如图②.

（2）当四棱锥P-AECO体积最大时，求平面AEP与平面PCD的夹角的余弦值.

19.设正项数列｛”,｝的前〃项和为S“，且4S,,=d+2q,-8.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）能否从｛%｝中选出以《为首项，以原次序组成的等比数列A，%，，4j,（K=l）∙若能，请找出

使得公比最小的一组，写出此等比数列的通项公式，并求出数列｛%｝的前〃项和北；若不能，请说明理

由.

20.旅游承载着人们对美好生活的向往.随着近些年人们收入和消费水平不断提高，对品质生活的需求也日

益升级，旅游市场开启了快速增长的时代.某旅游景区为吸引旅客，提供了A、8两条路线方案.该景区为进

一步了解旅客对这套路线的选择情况和满意度评价（“好”或"一般”），对300名的旅客的路线选择和评价进

行了统计，如下表：

A路线4路线

合计

好一般好一般

男2055120

女9040180

合计5075300

（1）填补上面的统计表中的空缺数据，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为对A,8两条

路线的选择与性别有关？

(2)某人计划到该景区旅游，预先在网上了解两条路线的评价，假设他分别看了两条路线各三条评价

(评价好或一般的可能性以前面统计的比例为参考)，若评价为“好''的计5分，评价为“一般”的计2分，以

期望值作为参考，那么你认为这个人会选择哪一条线路.请用计算说明理由.

2_n(ad-bc)1

附:其中〃=a+/?+c+d.

(α+b)(c+d)(α+c)(0+d)'

a0.1000.0500.0100.001

Xa2.7063.8416.63510.828

21.已知椭圆C:「+与=l(α>b>O)的左、右焦点分别为耳、鸟，焦距为2g，过6的直线加与椭圆C

ah

相交于A,8两点，且AAB居的周长为8.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若过点G(l,0)的动直线〃与椭圆C相交于M,N两点，直线/的方程为x=4.过点M作MPJj于点

P,过点N作NQ_U于点。.记，GPQ,_GPMaGQN的面积分别为S,S1,邑.问是否存在实数；I,使

得/1肉豆"一S=O成立？若存在，请求出/1的值；若不存在，请说明理由.

22.已知函数/(x)=(OX-q)e'其中α,beR,e是自然对数底数.

(1)当Z?=0时，讨论函数/(x)的单调性；

(2)当匕=1时，若对任意的x∈[-2,+e)J(X)≥-：恒成立，求。的值.

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,已知A={L2,α+3},B={α,5},若ADB=A,则”=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根据并集的知识求得

【详解】由于AUB=A，所以α+3=5,α=2,

此时A={1,2,5},B={2,5},满足AU3=A.

故选：C

2.已知复数z=(l+i)∙(m-2i)在复平面内对应的点落在第一象限，则实数小的取值范围为()

A.m>2B.O</77<2

C.—2<m<2D.m<-2

【答案】A

【解析】

【分析】化简z,根据Z对应点所在象限列不等式，从而求得m的取值范围.

【详解】z=(l+i)∙(m-2i)=m+2+(∕zz-2)i,

对应点(机+2,加一2),

由于点(加+2,加―2)在第一象限,

m+2>O

所以《解得m>2.

m-2>Q

故选：A

3.“。+1>匕-2”是“。>。”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.

【详解】a+l>b-2<^>a>b-3,

a>b-3%a>b

所以《，

a>b=>a>b-3

所以“α+l>。-2”是“的必要不充分条件.

故选：B

4.已知数列{α,J满足q=1,%+∣=*1，则％=()

【答案】C

【解析】

【分析】根据递推公式一一计算可得.

【详解】因为“∣=1,%+1—ɔj^，

20,,+l

,a.1a-,1%1%1

i

所以"2=T~T7=W，¾=Z-y7=7>¾=τ--=-,a5

2(rz1+132a1+152%+172%+19

故选：C

5.声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数y=AsinW,我们听到的声音是由纯音合成

的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数/(x)=COS2%+忖阿，则下列结论正确的是()

A.”X)是奇函数B.7(x)的最小正周期为2π

3TTTT

C.“X)的最大值为7D.“X)在区间上单调递减

【答案】D

【解析】

【分析】根据奇偶性的定义可判断A；由/(x+7l)=∕(x)可判断B；利用换元法将问题化归为二次函数

给定区间求最值可判断C；对/(X)求导，判断了(X)的单调性可判断D.

[详解】因为/(-X)=COS(-2Λ)+∣sin(-x)∣=cos2x+∣sin%∣=∕(x),/(x)定义域为R,

所以/(X)偶函数，故A不正确；

因为/(x+π)=cos2(x+π)+∣sin(x+π)∣=cos2x+∣sinΛ∣=/(X),

所以/(x)的最小正周期不是2π,故B不正确；

因为/(x)=cos2x+∣sinx∣=l-2sin2Λ+∣sinx∣,

令f=卜inx∣∈[0,l],则/«)=一2『+/+1=—2,—；+1,

10

所以当/=1时，/(χ)取得最大值，最大值为：，故C不正确；

兀π

当x∈/(x)=cos2x+sinx,

4,2

则/'(X)=-2Sin2x+cosx=-Asinxcosx÷cosx=cosx(-4sinx+l),

π兀∖[2

当x∈—,一时，y=cosx>0,sinx∈——,1,-4Sirlx÷1∈[-÷1,—ɜj,

422

所以r(x)<0,所以/(同在区间I上单调递减，故D正确.

故选：D.

6.已知点P为直线/：x-y+l=O上的动点，若在圆C:(x—2>+(y—1)2=1上存在两点M,N,使得

ZMPN=60°,则点P的横坐标的取值范围为()

A.[-2,1]B.[-1,3]C.[0,2]D.[1,3]

【答案】C

【解析】

【分析】求得PM,PN与圆C相切且NMPN=600时IPq的长，根据圆与直线的位置关系求得P点的横

坐标的取值范围.

【详解】圆C:(无一2p+(y-1)2=1的圆心为C(2,l),半径r=1，

当PM,PN与圆C相切且NΛ∕PN=60°时，IPq=2r=2,

以C(2,l)为圆心，半径为2的圆的标准方程为(x-2p+(y-l)2=4,

九-y+1=0

由〈/=、2/∖2,消去)并化简得/一21二0，

[(x-2)-+(y-l)=4

解得尤=O或X=2,所以点P的横坐标的取值范围[0,2].

故选：C

7.如图，在直三棱柱ABC-中，N45C为等腰直角三角形，NACB=90,A8=A41=4,平面

ABC截三棱柱ABC-AiBtQ的外接球所得截面的面积为()

2836

A.—πB.—πC.---71D.8兀

555

【答案】C

【解析】

【分析】判断出外接球球心的位置，利用勾股定理计算出外接球的半径，利用等体积法求得外接球球心到平

面ABG的距离，进而求得截面半径，从而求得截面面积.

【详解】由于..ABC为等腰直角三角形，所以一ABC的外心是AB的中点，设为。

设4,用的中点为。1,连接。。2,设。。2的中点为。,

则。是直三棱柱ABC-44G的外接球的球心,

OCi,OA,OB,OA1,

设外接球的半径为R,则H=OA=√22+22=2√2.

由于GA=QB1,所以C1O11AlBt,根据直棱柱的性质可知C1O11Λ41,

由于44,44=A,AVA8∣u平面ABgA,

所以平面ABg4,Ga=；A4=2,

所以VG-AsO=gx(；x4x2)x2=|,

AB=BC=Ax显=2近，

2

4C∣=BCl="+(2何=2瓜，所以SABG=LX4XJ(2#『-(3)=4√5,

设0到平面ABCt的距离为h,则;X46X力=I,//=1，

所以平面ABG截三棱柱ABC-ABe的外接球所得截面的半径为

36

所以截面面积为兀X=—π

5

8.设函数/(x)在R上存在导数/'(x),对任意的XeR,有“X)—/(T)=2sinx,且在［0,+8)上

∕,(x)>cosx.若/[3-"-∕(r)>cos/-sinf.则实数f的取值范围为()

【答案】A

【解析】

【分析】先构造函数可得g(x)在［0,+8)上单调递增，在(y,0)上单调递减，将不等式等价转化为

g(f)<g(5-',利用函数的单调性和奇偶性得到W<5一f,解之即可.

【详解】因为F(X)-√(r)=2sinx,所以f(x)-sinx=f(-X)-Sin(-%),

设g(x)=∕(X)-Sinx,可得8(%)=8(-力，8(%)为偶函数

在［0,+OO)上有r(x)>cosx,二g'(x)=r(x)-cosx>0,

故g(x)在［0,+8)上单调递增，根据偶函数的对称性可知，g(x)在(-8,0)上单调递减，

(πyπ2π

即，2L—πf>o,解得『<一.

U)44

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法中正确的是()

A.某射击运动员进行射击训练，其中一组训练共射击九次，射击的环数分别为

9.2,10.5,10,8.5,10.3,9.8,10.6,8.2,9.7,则这组射击训练数据的70分位数为10.3

B.已知随机变量X服从6(〃,p),若E(X)=20,L>(2X)=60,则p=；

C.在经验回归分析中，如果两个变量的相关性越强，则相关系数r就越接近于1

D.用模型y=αe.+c拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=ln(y-c),若通过这样的变换

后，所得到经验回归方程为z=0.8x+3,则α=e3

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据百分位数的计算即可判断A,根据二项分布的期望和方差的计算公式以及方差的性质即可判

断B,根据相关系数的性质即可求解C,根据线性经验回归方程和非线性之间的转化关系即可判断D.

【详解】对于A,将环数从小到大排列为8.2,8.5,9.2,9.7,9.8,10,10.3,10.5,10.6,由于9χ70%=6.3,故

这组射击训练数据的70分位数为第七个数10.3,故A正确，

对于B,由二项分布的期望公式可得E(X)=20=∕ψ,D(X)=〃p(l—p)=20(l—〃)，由于

r>(2X)=4E>(X)=80(l-p)=60,故〃=；，故B正确，

对于C,在经验回归分析中，如果两个变量的相关性越强，则相关系数M就越接近于1,故C错误，

对于D,z=0.8x+3=ln(y-c∙)=y=e°∙8*+3+c∙=e3e°∙8χ+c∙,又y="e'"+c,所以α=e3,故D正确,

故选：ABD.

10.下列结论正确的是()

3535

A.e+e>e∙eB.Ig3+lg5>lg3∙lg5

ππππ

C.2+6>3∙5D.log310+log510>log310∙log510

【答案】BD

【解析】

【分析】根据指数以及对数的运算性质即可结合选项逐一求解.

ɑɔ+11已3+I1

【详解】对于A,3苧■二5+A，由于e>2,所以=上二3+3<1.故A错误,

OɔJ

对于B,由于l>lg3>0,l>lg5>0,所以举⅜W⅞=r⅛+Jς∙>l,所以怆3+馆5>怆3-怆5,故B正

Ig3∙lg5Ig5lg3

确,

≡=≡÷≡<≡÷≡<≡÷≡<

对于C,所以C错误,

对于D,由于3〉108310>2,2>108510〉1,所以

log,10+log51011,u,c,,u,

,~ιn.^ιn=-一-+-一-=⅛5+lg3=lgl5>l,故D正确，

log310Iog510log510Iog3IO

故选：BD

11.如图，在棱长为2的正方体ABC。一A耳GA中，点M，N满足AM==其中

Λ√∕∈(0,l),则()

A.存在/I,"∈(0,1),使得BM∕∕RN

B.存4M∈(0,1),使得W平面A4∣C

C.当人=〃=1时，MN取最小值

2

D.当〃=；时，存在2∈(0,l),使得NAMN=90

【答案】BD

【解析】

【分析】根据线面的位置关系可判断A；根据线面垂直的判定定理可判断B；利用和异面直线都垂直且相交

的线段的长为异面直线间的最短距离的含义可判断Ci利用球的半径和点到球心的距离的比较可判断D,即

得答案.

【详解】因为AN平面BCA4=。厂且BMU平面BCAA,

所以不存在2,Me(0,1),使得BM//RN,故A错误；

记AiC-平面BDeI=M,在平面BDCl中，

过点M作直线MN〃&£),交直线BG于点N,

在正方体中,8Cl平面。CeQl。u平面。CCQI,故BC，CQ,

连接2。，则£O，z)c，而AB〃2C,：.GO_L4B,

BeCA6=8,BC,ABu平面ABC,故平面BAQ,

所以此时MNj_平面BAC,故B正确；

B

当2=〃=g时，M,N分别为AC，8C∣的中点，M点也为AG的中点,

则MN〃AB，且直线AB与AC不垂直，即MN与AC不垂直，

即MN不是线段AC和BG上两点连线的最小值，故C错误;

当〃=g时，N为8G的中点，D∖N=d*+2=指,

如图，设的中点为。，连接。N,交AC于MI点，则Ml为AC的中点,

设RN中点为0∣,则Mo=JLO°=∙LAD∣=也<如，AD.=2>-,

'124222

因此以AN为直径的球与线段AC必有交点,

即存在4∈（0,1）,使得NAMN=90°.故D正确.

故选：BD.

【点睛】难点点睛：解决此类空间儿何体中的存在性问题，属于较难问题，解答是要充分发挥空间想象能

力，明确空间几何体中的点线面的位置关系，对于存在性的判断，可以找到特殊位置或特殊值，说明适合

题意，如果不存在，要加以证明或说明.

12.已知数列｛%｝,如果存在常数A,对于任意给定的正数/（无论多小），总存在正整数N,使得

〃>N时，恒有寓-A∣<r成立，就称数列｛4｝收敛于A（极限为A）,即数列｛a,,｝为收敛数歹U∙下列结

论正确的是（）

A.数列是一个收敛数列

B.若数列｛叫为收敛数列，则mMcR+,使得V"∈N',都有同<M

C.若数列｛%｝和｛2｝为收敛数列，而数列｛4—包｝不一定为收敛数列

D.若数列｛4｝和｛勿｝为收敛数列，则数列｛an-bn｝也一定为收敛数列

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据新定义证明是一个收敛数列，A正确，取M=max{3+l,∣A∣+r}得到B正确，证明

{an-bn},{α,,也,}一定为收敛数列，得到C错误D正确，得到答案.

【详解】对选项A：存在A=O,取N=」,当”>N时，•'—Q=%<T=,是收敛数列，正确；

r

r

对选项B：当〃>N时，,“一A∣<r,则同<∣Λ∣+r,

当1≤"≤N时，㈤中最大的项为B,取M=max{8+l,∣A∣+r},则同<M,正确；

对选项C：对任意r,取(=G=∙∣,”>N∣时，恒有,“一4|<《，

n>TV20t,∖bll-B∖<r2,故〃>max{N］,M}时,

则1%—2-(A-国≤∖an-A∖+∖brl-B∖<rl+r2=r,故数列{an-bn}一定为收敛数列，

错误；

对选项D：对任意—，ΛT=max{∣A∣,∣B∣},取4=4=J高7-K，

〃>N］时，恒有∣α,,-A∣<Aj,">小时，麻-用<为，

故〃>max{N∣,N2}时，则∖anbn-AM=∣(a,,-A)(bn-B)+(«„-A)β+(⅛-B)A∣

V∣(%-A)∣∣(⅛-B)∣+∣(%一⑷脚+同一BaAl<"+K(zi+G)=r,

故数列{an∙bn}一定为收敛数列，正确.

故选：ABD

【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能

力，其中利用数列的新定义，构造类似4=弓=］的关系，是解题的关犍.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.曲线/(x)=XeA-3x+l在点(0,1)处的切线方程是(结果用一般式表示).

【答案】2x+y-l=0

【解析】

【分析】求导，由导数的几何意义可得切线斜率，由点斜式即可求解直线方程.

【详解】/'(x)=(x+l)e*-3,所以/'(0)=-2,所以由点斜式可得切线方程为丁一1=一2x,即

2x+γ-l=0,

故答案为：2x+y-∖=0

14.在边长为6的正ABC中，若点。满足B£)=2£>C，则AfhBC=.

【答案】6

【解析】

【分析】以AC、AB作为一组基底表示出A。、BC,再根据数量积的运算律计算可得.

【详解】因为BD=2DC，所以AZ)=AC+CO=AC+§CB=AC+§(AB—AC)=]AC+§AB,

BCAC-AB>

(21、/\22112

所以A£>.8C=(§AC+§A8.(AC-A3)=§AC--AB-AC--AB

=-∣AC∣--∣∣AB∣∙∣AC∣cosNBAC--∣AB∣^^

2111

=—×69'——×6×6×------×69'=6.

3323

故答案为：6

15.近两年来，多个省份公布新高考改革方案，其中部分省份实行“3+1+2”的高考模式，“3”为全国统一

高考的语文、数学、外语3门必考科目，“1”由考生在物理、历史两门科目中选考1门科目，“2”由考生在思想

政治、地理、化学、生物4门科目中选考2门科目，则甲，乙两名考生恰有两门选考科目相同的概率为

[答案]—

【解析】

【分析】首先求出选科的总情况，再求出有两门选考科目相同的情况，最后利用古典概型的概率公式计算可

得.

【详解】甲、乙两名考生选科的总情况有(C]C,2=122=144,其中恰有两门选考科目相同的情况有以

下两种：

①在物理、历史两科中选科相同：C；-CiA；=48；

②在物理、历史两科中选科不同：C〉A；=12,

因此甲、乙两名考生恰有两门选考科目相同的概率P=竺些=里=9.

14414412

故答案为：—

12

22

16.已知双曲线C:二-2=l(4>0,b>0)的右焦点为E，双曲线。的一条渐近线与圆O:M+V=/在

右b-

第二象限的交点为例，圆。在点M处的切线与X轴的交点为N,若SinNMNF=血SinNMFN，则双

曲线C的离心率为.

【答案】巫##J■厉

33

【解析】

【分析】依题意得：F(c,O),渐近线的方程为y=-2χ,联立渐近线方程和圆的方程求得

a

/2r\

M,根据MNLON求得直线MN的斜率，进而得到其方程，从而求得N(-c,O).由

【cCj

sinZMNF=√7sinAMFN，结合正弦定理可得，|M尸∣=√7∣MN∣,从而利用两点距离公式代入可得

5O2=3C2.进而求得双曲线。的离心率.

b

联立＜a,解得＜

X2+/2=Cr2

MNLOM,.∙Λ=-.

MNb

,—raba∖a1

.∙.MN的j方程为ty------=-XH—

cb∖c

令y=0,得χ=-c..∙.N(—Go)

sinZ.MNF-ʌ/?sinNMFN，

根据正弦定理可得，IM/∣=J71MNI

,c2_5即心沁=卓

"∑τ^3

故答案为：Y叵

3

【点睛】关键点睛：这道题的关键是能根据正弦定理把SinNMNE=√7sinNMFN,转化为

∖MF∖=∕1∖MN∖,从而借助两点距离公式构造齐次方程求离心率.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在一ABC中，内角ARC的对边分别为“∕,c,已知∙=J,

cosBcosCa~+/?--c~

(1)求角B的大小；

(2)若α+c=2CαsinC，且〃=3,求一ABC的面积S.

JT

【答案】(I)B=^

(2)唯

4

【解析】

【分析】(1)利用余弦定理、正弦定理化简已知条件，由此求得心

(2)正弦定理求得SinC,根据余弦定理、三角形的面积公式求得正确答案.

【小问1详解】

SinA_2垂＞a1

依题意,

cosBcosCa~Λ-b1-c~

2y[3a2VJa

由余弦定理得si*14=,2叩,=—^―,cosC≠0,

cosBcosCa+b“一CcosC

Iab

则包&=叵，由正弦定理得包4=遍吧，

COSBhCoSBsinB

由于SinA≠0,则tan3二6,

所以8为锐角，则3=1.

【小问2详解】

C=b_3_SinC—C

由正弦定理得SinC-SinB一百一“^2√3.

2

=2VdtzsinC=2瓜a∣2ac

Q+CXSr∖

由余弦定理得3~—ci~+c~—2。CCOS—,cι~+c~—cιc—9①，

3

由α+c=两边平方得（α+c）-=谬+c?+2勿;=2。202,。2+。2=2。2《2一2々。，

代入①得2储02一3知=9,即（αc-3）（2αc+3）=0,解得Qc=3（负根舍去）,

所以S=，x3x@=唯.

224

18.如图①，在等腰梯形ABC。中，点E为边BC上的一点，AD//BC,AD^CD^l,ABE是一个

等边三角形，现将，ABE沿着AE翻折至VAPE，如图②.

（1）在翻折过程中，求四棱锥P-AECD体积的最大值；

（2）当四棱锥P-AES体积最大时，求平面AEP与平面PC。的夹角的余弦值.

【答案】⑴-

4

⑵也

2

【解析】

【分析】（1）根据平面AB£1平面AEe。时，四棱锥P-AECO体积取得最大值来求得正确答案.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面AEP与平面PCD的夹角的余弦值.

【小问1详解】

依题意可知：三角形ABE是边长为1的等边三角形，高为且，

2

四边形AECr)是边长为1的菱形，且NECD=二，5=Ixlxsin-=-

3A4EFCΓD32

在翻折过程中，当平面ABEI平面AECD时，

四棱锥P-AECD体积取得最大值，

且最大值为LX立X且='.

3224

【小问2详解】

设AE的中点为。，连接0P,。。，

当平面4?El平面AECD时，四棱锥P—AECD体积取得最大值，

由于平面A」BEC平面AEa)=AE,OPU平面Q4£,OPVAE,

所以OPL平面AECE,

由于OOU平面AEeE,所以OP_LOD,

连接OE，则三角形Ar)E是等边三角形，所以。DLAE,

由于平面ABEC平面AECZ)=AE,QDU平面Q4E，OD±AE,

所以。。，平面R4E.

以。为原点建立如图所示空间直角坐标系，

(\

平面B4E的法向量为Oo=ɑ,ɪ-,θ,

I2)

l,ɪ,θ,DC=(1,0,0),PC=

Z

设平面PCo的法向量为〃=(X,y,z),

n-DC=X=O

则〈√3√3√故可设〃=(0,1,1),

n∙PC=x+——y--------z=0

22

设平面AEP与平面PCD的夹角为

ODn√2

则

cosθ=WH

二

P1

O∖∖×、

19.设正项数列｛”,｝的前〃项和为S“，且4S,,=d+2α,,-8.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)能否从｛0,,｝中选出以％为首项，以原次序组成的等比数列4,%，，%,，，(K=I)•若能，请找出

使得公比最小的一组，写出此等比数列的通项公式，并求出数列代｝的前”项和北；若不能，请说明理

由.

【答案】(1)=2〃+2(〃GN*)

n+

(2)能，K,=2"-1("∈N*),Tll=2'-n-2.

【解析】

【分析】(1)根据。”与S”的关系式，分成n=1与〃≥2两种情况求解可；

(2)观察｛4｝知其每项均为偶数，讨论当A=%=4,公比q=2或5时能否成立，从而得出满足题意的

数列：再得出优｝通项，求其和即可.

【小问1详解】

22

当〃=1时，4S1=A1+2α1—8=4al,B∣J0l-2al—8=0(al>0),

得4=4或q=-2(舍去).

当“22时，由4S“=。；+2%—8,……①

得4S,ι=⅛,+2”,τ—8(〃≥2),……②

①一②得：4an=a；一a；T+2an-2an.l,

化简得(a“-%-2)(«,(+*)=0.

因为a“>0,所以a,一a,——2=0,an=an^+2(n≥2),

即数列｛为｝是以4为首项，2为公差的等差数列，

所以=2"+2(n∈N*).

【小问2详解】

存在.

当a∣i∖=C[=4,a卜=%=8时，

会得到数列｛%｝中原次序的一列等比数列%,%，.，%,，,，(4=1)，

此时的公比4=2,是最小的，此时该等比数列的项均为偶数，均在数列｛%｝中；

下面证明此时的公比最小：

4,=%=4,假若%取4=6，公比为g=g,

/ɔ

则%=4x3=9奇数，不可能在数列｛%｝中.

所以"=4∙2'"-∣=2叫

又见,,,=2心+2=2”用，所以K=2"'-1,

即代｝的通项公式为：％=2"-l("∈N*),

..2(1-2")

⅛u7;,=2l-l+22-l+…….+2"-l=ʌɔ'-n=2"+'-n-2-

20.旅游承载着人们对美好生活的向往.随着近些年人们收入和消费水平不断提高，对品质生活的需求也日

益升级，旅游市场开启了快速增长的时代.某旅游景区为吸引旅客，提供了A、8两条路线方案.该景区为进

一步了解旅客对这套路线的选择情况和满意度评价(“好”或"一般”)，对300名的旅客的路线选择和评价进

行了统计，如下表：

A路线8路线

合计

好一般好一般

男2055120

女9040180

合计5075300

(1)填补上面的统计表中的空缺数据，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为对A,8两条

路线的选择与性别有关？

(2)某人计划到该景区旅游，预先在网上了解两条路线的评价，假设他分别看了两条路线各三条评价

(评价好或一般的可能性以前面统计的比例为参考)，若评价为“好''的计5分，评价为“一般”的计2分，以

期望值作为参考，那么你认为这个人会选择哪一条线路.请用计算说明理由.

_n(ad-be)?

附:2其中〃=α+Z>+c+d.

(α+A>)(c+d)(α+c)(∕j+d)，

a0.1000.0500.0100.001

χ2.7063.8416.63510.828

a

【答案】(1)表格见解析，有关

(2)选择A路线，理由见解析

【解析】

【分析】(1)首先补全补全统计表，即可作出列联表，再计算出卡方，即可判断;

(2)首先求出选择A、B路线好评的概率，A路线和B路线累计分数分别为X,Y，则X，y的可能

取值都为6、9、12、15,求出所对应的概率，求出数学期望，即可判断.

【小问1详解】

补全统计表如下:

A路线B路线

合计

一般好一般

男10205535120

女90302040180

合计100507575300

零假设”o：对于A、B两条路线的选择与性别无关,

将所给数据整理，得到如下列联表:

路线

性别合计

AB

男3090120

女12060180

合计150150300

所以∕=2≡瑞品。­

根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断"o不成立，

即认为对A、B两条路线的选择与性别有关.

【小问2详解】

I∩nO

设E为选择A路线好评率，则6=17=彳，

1503

751

设舄为选择B路线好评率，则A=司=Q,

设A路线和B路线累计分数分别为X,Y，则X，Y的可能取值都为6、9、12、15,

则P(X=6)=%j$，P(X=9)=CeJXH)=枭

vɔ7N/kɔ/∖ɔ/乙/

/Λ\0/]、3

产(X=12)=CGMlqj128

P(X=I5)=GʌXl-τ

2727

1/6„12_8.

所以E(X)—×6+—×9+—