高中人教A版数学模块素养检测

模块素养检测(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.复数z=QUOTE(i为虚数单位)的虚部为()A.1 B.-1 C.±1 D.0【解析】选B.因为z=QUOTE=1i,所以复数z的虚部为1.2.当前,国家正大力建设保障性住房以解决低收入家庭住房困难的问题.已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户,假设第一批保障性住房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题,若采用分层抽样的方法决定各社区户数,则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为()A.40 B.30 C.20 D.36【解析】选A.QUOTE×90=40.3.一组数据中的每一个数据都乘以2,再减去80,得到一组新数据,若求得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是()A.40.6,1.1 B.48.4,4.4C.81.2,44.4 D.78.8,75.6【解析】选A.设原来数据的平均数和方差分别为QUOTE和s,则QUOTE解得QUOTE4.已知点O,N在△ABC所在平面内,且||=||=||,++=0,则点O,N依次是△ABC的()A.重心外心 B.重心内心C.外心重心 D.外心内心【解析】选C.由||=||=||知,O为△ABC的外心;由++=0,得=+,取BC边的中点D,则=+=2,知A,N,D三点共线,且AN=2ND,故点N是△ABC的重心.5.一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键,则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.任意敲击0到9这十个数字键两次,其得到的所有结果为(0,i)(i=0,1,2,…,9);(1,i)(i=0,1,2,…,9);(2,i)(i=0,1,2,…,9);…;(9,i)(i=0,1,2,…,9).故共有100种结果.两个数字都是3的倍数的结果有(3,3),(3,6),(3,9),(6,3),(6,6),(6,9),(9,3),(9,6),(9,9),共有9种.故所求概率为QUOTE.6.如图,已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是()A.PB⊥ADB.平面PAB⊥平面PBCC.直线BC∥平面PAED.直线PD与平面ABC所成的角为45°【解析】选D.选项A,B,C显然错误.因为PA⊥平面ABC,所以∠PDA是直线PD与平面ABC所成的角.因为ABCDEF是正六边形,所以AD=2AB.因为tan∠PDA=QUOTE=QUOTE=1,所以直线PD与平面ABC所成的角为45°.故选D.【补偿训练】在等腰Rt△A′BC中,A′B=BC=1,M为A′C的中点,沿BM把它折成二面角,折后A与C的距离为1,则二面角CBMA的大小为()A.30°B.60°C.90°D.120°【解析】选C.如图所示,由A′B=BC=1,∠A′BC=90°,得A′C=QUOTE.因为M为A′C的中点,所以MC=AM=QUOTE.且CM⊥BM,AM⊥BM,所以∠CMA为二面角CBMA的平面角.因为AC=1,MC=AM=QUOTE,所以∠CMA=90°.7.在△ABC中,若(+)·()=0,则△ABC为()A.正三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.形状无法确定【解析】选C.因为(+)·()=0,所以=0,=,所以CA=CB,△ABC为等腰三角形.【补偿训练】圆O为△ABC的外接圆,半径为2,若+=2,且||=||,则向量在向量方向上的投影为()A.1 B.2 C.3D.4【解析】选C.因为+=2,所以O是BC的中点,故△ABC为直角三角形.在△AOC中,有||=||,所以∠B=30°.由定义,向量在向量方向上的投影为||cosB=2QUOTE×QUOTE=3.8.已知四棱锥SABCD的所有顶点都在同一球面上,底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内,当此四棱锥体积取得最大值时,其表面积等于4+4QUOTE,则球O的体积等于()A.QUOTEπ B.QUOTEπC.QUOTEπ D.QUOTEπ【解析】选B.由题意可知四棱锥SABCD的所有顶点都在同一个球面上,底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内,当体积最大时,可以判定该棱锥为正四棱锥,底面在球大圆上,可知底面正方形的对角线长度的一半为球的半径r,且四棱锥的高h=r,进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为QUOTEr的正三角形,底面为边长为QUOTEr的正方形,所以该四棱锥的表面积为S=4×QUOTE(QUOTEr)2+(QUOTEr)2=2QUOTEr2+2r2=(2QUOTE+2)r2=4+4QUOTE,因此r2=2,r=QUOTE,所以球O的体积V=QUOTEπr3=QUOTEπ×2QUOTE=QUOTE.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.奥林匹克会旗中央有5个套连的圆环,颜色自左至右,上方依次为蓝、黑、红,下方依次为黄、绿,象征着五大洲.在手工课上,老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学,每人分得1个,则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是()A.对立事件B.互斥事件C.不对立事件D.不互斥事件【解析】选BC.甲、乙不能同时得到红色,因而这两个事件是互斥事件;又甲、乙可能都得不到红色,即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件,故这两个事件不是对立事件.10.下列说法:①一组数据不可能有两个众数;②一组数据的方差必须是正数;③将一组数据中的每个数据都加上或减去同一常数后,方差恒不变;④在频率分布直方图中,每个小长方形的面积等于相应小组的频率.其中错误的有()A.① B.② C.③ D.④【解析】选AB.若一组数据中,有两个或几个数据出现的次数相同且最多,则这几个数据都是这组数据的众数.可见,一组数据的众数可以不唯一,即①错误.一组数据的方差是标准差的平方,必须是非负数,即②错误.根据方差的定义知③正确.根据频率分布直方图的定义知④正确.11.下列事件中,是随机事件的有()A.从集合{2,3,4,5}中任取两个元素,其和大于7B.明年清明节这天下雨C.物体在地球上不受地球引力D.盒子中有5个白球,2个红球,从中任取3个球,则至少有1个白球【解析】选AB.A,B是随机事件;C是不可能事件;D是必然事件.12.如图,在棱长均相等的正四棱锥PABCD中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,判断下列结论正确的是()A.PC∥平面OMNB.平面PCD∥平面OMNC.OM⊥PAD.直线PD与直线MN所成角的大小为90°【解析】选ABC.连接AC,易得PC∥OM,所以PC∥平面OMN,结论A正确.同理PD∥ON,所以平面PCD∥平面OMN,结论B正确.由于四棱锥的棱长均相等,所以AB2+BC2=PA2+PC2=AC2,所以PC⊥PA,又PC∥OM,所以OM⊥PA,结论C正确.由于M,N分别为侧棱PA,PB的中点,所以MN∥AB.又四边形ABCD为正方形,所以AB∥CD,所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角,即为∠PDC.又三角形PDC为等边三角形,所以∠PDC=60°,故D错误.三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.a为正实数,i为虚数单位,QUOTE=2,则a=________.

【解析】QUOTE=QUOTE=1ai,则QUOTE=|1ai|=QUOTE=2,所以a2=3.又因为a为正实数,所以a=QUOTE.答案:QUOTE14.如图所示,是在某一年全国少数民族运动会上,七位评委为某民族舞蹈运动员打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数为________,方差为________.

【解析】七位评委为某民族舞蹈运动员打出的分数是:79,84,84,86,84,87,93,去掉一个最高分和一个最低分后所剩数据是84,84,86,84,87,平均分等于QUOTE(84+84+86+84+87)=85,则方差s2=QUOTE[3(8485)2+(8685)2+(8785)2]=1.6.答案:851.615.已知a,b表示不同的直线,α,β,γ表示不重合的平面.①若α∩β=a,b⊂α,a⊥b,则α⊥β;②若a⊂α,a垂直于β内任意一条直线,则α⊥β;③若α⊥β,α∩β=a,α∩γ=b,则a⊥b;④若a⊥α,b⊥β,a∥b,则α∥β.上述命题中,正确命题的序号是________.

【解析】对①可举反例,如图,需b⊥β才能推出α⊥β;对③可举反例说明,当γ不与α,β的交线垂直时,即可知a,b不垂直;根据面面、线面垂直的定义与判定知②④正确.答案:②④16.已知两点A(1,0),B(1,QUOTE).O为坐标原点,点C在第一象限,且∠AOC=120°,设=3+λ(λ∈R),则λ=________.

【解析】由题意,得=3(1,0)+λ(1,QUOTE)=(3λ,QUOTEλ),因为∠AOC=120°,所以=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得λ=QUOTE.答案:QUOTE四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)青海玉树发生地震后,为了重建,对某项工程进行竞标,现共有6家企业参与竞标,其中A企业来自辽宁省,B,C两家企业来自山东省,D,E,F三家企业来自河南省,此项工程需要两家企业联合施工,假设每家企业中标的概率相同.(1)列举所有企业的中标情况;(2)在中标的企业中,至少有一家来自山东省的概率是多少?【解析】(1)所有企业的中标情况为:AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF.共15种.(2)在中标的企业中,至少有一家来自山东省的情况有:AB,AC,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,共9种,在中标的企业中,至少有一家来自山东省的概率是P=QUOTE=QUOTE.18.(12分)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足QUOTEa2bsinA=0.(1)求角B的大小;(2)若a+c=5,且a>c,b=QUOTE,求·的值.【解析】(1)因为QUOTEa2bsinA=0,所以QUOTEsinA2sinBsinA=0,因为sinA≠0,所以sinB=QUOTE,又B为锐角,所以B=QUOTE.(2)由(1)知,B=QUOTE,b=QUOTE,所以根据余弦定理得7=a2+c22accosQUOTE,整理得(a+c)2-3ac=7,又a+c=5.所以ac=6,又a>c,所以a=3,c=2,于是cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以·=||||cosA=2×QUOTE×QUOTE=1.19.(12分)如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点(1)证明:BC1∥平面A1CD;(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2QUOTE,求三棱锥CA1DE的体积.【解析】(1)连接AC1交A1C则F为AC1的中点.又D是AB的中点,则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.(2)因为ABCA1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥因为AC=CB,D为AB的中点,所以CD⊥AB.又AA1∩AB=A,所以CD⊥平面ABB1A1由AA1=AC=CB=2,AB=2QUOTE得∠ACB=90°,CD=QUOTE,A1D=QUOTE,DE=QUOTE,A1E=3,故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.所以QUOTE=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=1.20.(12分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数,根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:分组频数频率[10,15)100.25[15,20)25n[20,25)mp[25,30)20.05合计M1(1)求出表中M,p及图中a的值;(2)若该校高一学生有360人,试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数.【解析】(1)由分组[10,15)内的频数是10,频率是0.25知,QUOTE=0.25,所以M=40.因为频数之和为40,所以10+25+m+2=40,解得m=3,故p=QUOTE=QUOTE=0.075.因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商,所以a=QUOTE=0.125.(2)因为该校高一学生有360人,分组[10,15)内的频率是0.25,所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为360×0.25=90.21.(12分)在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且QUOTEa=2csinA.(1)确定角C的大小;(2)若c=QUOTE,求△ABC周长的取值范围.【解析】(1)已知a,b,c分别为角A,B,C所对的边,由QUOTEa=2csinA,得QUOTEsinA=2sinCsinA,又sinA≠0,则sinC=QUOTE,所以C=QUOTE或C=QUOTE,因为△ABC为锐角三角形,所以C=QUOTE舍去,所以C=QUOTE.(2)因为c=QUOTE,sinC=QUOTE,所以由正弦定理得:QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2,即a=2sinA,b=2sinB,又A+B=πC=QUOTE,即B=QUOTEA,所以a+b+c=2(sinA+sinB)+QUOTE=2[sinA+sinQUOTE]+QUOTE=2QUOTE+QUOTE=3sinA+QUOTEcosA+QUOTE=2Q