7.2.1三角函数的定义（2知识点6题型强化训练）

7.2.1三角函数的定义课程标准学习目标（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及其应用；（2）会判断三角函数在各象限的符号。（1）理解并掌握任意角的三角函数定义，会求给定角的三角函数值，重点培养数学抽象、数学运算核心素养；（2）借助任意角的三角函数定义，掌握三角函数在各象限的符号规律，重点提升逻辑推理等核心素养。知识点01任意角的正弦、余弦、正切的定义1、定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则：叫做的正弦函数，记作.即；叫做的余弦函数，记作.即；叫做的正切函数，记作.即。2、三角函数定义域正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为：正弦函数：余弦函数：正切函数：3、三角函数另一种定义设点（不与原点重合）为角终边上任意一点，点P与原点的距离为：，则：，，.三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关【即学即练1】已知角的终边经过点，则的值为（）A．B．1C．2D．3【答案】A【解析】由，得，，，代入原式得．故选：A【即学即练2】已知点是角终边上一点，，则__________．【答案】【解析】因为是角终边上一点，，所以，解得（舍去），或，知识点02正弦、余弦与正切在各象限的符号1、正弦、余弦、正切在各象限的符号（1）当且仅当的终边在第一、二象限，或轴正半轴上时，；当且仅当的终边在第三、四象限，或轴负半轴上时，；（2）当且仅当的终边在第一、四象限，或轴正半轴上时，；当且仅当的终边在第二、三象限，或轴负半轴上时，；（3）当且仅当的终边在第一、三象限，；当且仅当的终边在第二、四象限，。上述结果可用下图直观表示：2、对三角函数值符号的理解：三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内点的坐标符号导出的，从原点到角的终边上任意一点的距离的值总是正值，根据三角函数定义值：正弦值的符号取决于纵坐标的符号；余弦值的符号取决于横坐标的符号；正切值的符号是由、的符号共同决定的，即、同号为正，异号为负。3、记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．【即学即练3】若，则是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角【答案】B【解析】因为，则在第一，二象限或轴非负半轴；又因为，则在第二，三象限或轴非正半轴，所以在第二象限.故选:B.【题型一：利用定义求三角函数值】例1．（2023·四川达州·高一万源中学校考阶段练习）若角的终边经过点，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则点到原点的距离为，则.故选：D.变式11．（2022·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知角的终边与单位圆的交点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为角的终边与单位圆的交点，令，所以，所以，故选：A.变式12．（2023·全国·高一专题练习）已知角的终边落在直线上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设直线上任意一点P的坐标为（），则（O为坐标原点），根据正弦函数的定义得：，时，；时，，所以选项D正确，选项A，B，C错误，故选：D.变式13．（2023·天津红桥·高一天津市第五中学校考阶段练习）已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，因为角的终边上有一点的坐标是，所以.故选：D.【方法技巧与总结】求一个三角函数值，需确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离。当已知坐标含参数时一定要注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需要分类讨论。【题型二：利用三角函数值求参数】例2．（2023·安徽亳州·高一亳州二中校考期中）已知角的终边经过点，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，，，又，显然，，，故选：A变式21．（2023·江苏无锡·高一校考阶段练习）已知是角的终边上一点，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三角函数的定义知:，所以.故选：A.变式22．（2023·山东烟台·高一校考阶段练习）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若角终边有一点，且，则（）A．1B．C．D．2【答案】B【解析】由题意得，解得，故选：B.变式23．（2023·全国·高一课时练习）已知角的终边经过点，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】角的终边经过点，由，可得，所以，所以，，所以.故选：A．【方法技巧与总结】利用三角函数的定义及三角函数值列方程，解方程后需结合三角函数值的符号对结果进行检验取舍。【题型三：求特殊角的三角函数值】例3．（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）的值等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据特殊角的三角函数值可得.故选：B变式31．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】已知，，则，所以.故选：C变式32．（2023·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考阶段练习）（多选）已知角的终边经过点,则（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】由题知,即,因为角的终边经过点，所以,.故选:ACD变式33．（2023·上海静安·高一校考期中）是成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【答案】D【解析】当时，，此时，即推不出成立；当时，，此时，即推不出成立；故是成立的既非充分也非必要条件，故选：D【方法技巧与总结】求特殊角的三角函数值需要注意符号的正负。【题型四：确定三角函数的符号】例4．（2023·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）下列函数值符号为正的是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】因为是第二象限角，所以，故A正确；因为是第三象限角，所以，故B正确；因为是第二象限角，所以，故C正确；因为是第三象限角，所以，故D正确；故选：AD变式41．（2023·广东惠州·高一惠州一中校考阶段练习）已知角的终边位于第二象限，则点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】由于的终边位于第二象限，所以，所以位于第二象限.故选：B变式42．（2023·辽宁沈阳·高一校联考期末）已知角的终边经过点，则下列各式一定为正的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角终边经过点，所以在第四象限，所以，，，，故C正确．故选：C．变式43．（2023·江西九江·高一统考期末）（多选）若为第四象限角，则（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】由于为第四象限角，所以,所以，，则，所以终边落在第三、四象限以及轴负半轴上，终边落在第二或第四象限的角，故BC正确，AD错误，故选：BC【方法技巧与总结】判断三角函数值在各象限符号的攻略（1）基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；（2）关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；（3）注意：用弧度制给出角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误。【题型五：由三角函数符号确定角的范围】例5．（2023·江苏南京·高一校联考阶段练习）已知点是第二象限的点，则的终边位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】因为点在第二象限，所以，，所以为第二象限角.故选：B变式51．（2023·福建福州·高一校考阶段练习）已知，且，则为（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】B【解析】因为，所以的终边可能在第二、三象限；因为，所以的终边可能在第二、四象限.要同时满足,，则为第二象限角.故选：B.变式52．（2023·四川眉山·高一校考期中）（多选）已知，则可能是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】BC【解析】因为，所以可能是第二、三象限角.故选：BC.变式53．（2023·全国·高一专题练习）（多选）若，则可能在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】BCD【解析】当是第一象限角时，，故一定不是第一象限角；当是第二象限角时，，即可以是第二象限角；当是第三象限角时，，即可以是第三象限角；当是第四象限角时，，即可以是第四象限角．故选：BCD.【方法技巧与总结】准确结合正弦、余弦、正切在各个象限的符号关系进行判断。【题型六：圆上的动点与旋转点问题】例5．（2023·浙江杭州·高一学军中学校考阶段练习）点从出发，沿着单位圆的边界顺时针运动弧长到达点，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的最小正角为，由任意角的三角函数的定义可得，的坐标为，即，故选：D.变式51．（2023·山东菏泽·高一东明县第一中学校考期末）单位圆上一点从出发，顺时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】点从出发，顺时针方向运动弧长到达点，所以，所以点的横坐标是，纵坐标是，即.故选：D变式52．（2023·山东青岛·高一青岛二中校考阶段练习）已知O为坐标原点，点P的初始位置坐标为，线段绕点O顺时针转动后，点P所在位置的坐标为.【答案】【解析】在第一象限，又，故点P在单位圆上，设点P的初始位置所在角为，则，故，顺时针转动后，点P在第四象限，设转动后的角为，则，因为，所以点P所在位置的坐标为.变式53．（2023·湖南株洲·高一株洲二中校考阶段练习）（多选）如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A在（1，0）处，质点B在第一象限，且.质点A以的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以的角速度按逆时针方向运动，则（）A．经过1后，扇形AOB的面积为B．经过2后，劣弧的长为C．经过6后，质点B的坐标为D．经过后，质点A，B在单位圆上第一次相即【答案】BD【解析】对于，由题意可知：经过1后，，所以此时扇形AOB的面积为，故选项错误；对于，经过2后，，所以此时劣弧的长为，故选项正确；对于，经过6后，质点转过的角度为，结合题意，此时质点为角的终边与单位圆的交点，所以质点B的坐标为，故选项错误；对于，经过后，质点转过的角度为，质点转过的角度为，因为，所以经过后，质点，在单位圆上第一次相遇，故选项正确，故选：.【方法技巧与总结】解题的关键在于确定动点运动后的坐标位置。一、单选题1．（2023·北京·高一清华附中校考期末）若点在角的终边上，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】点为坐标原点，.根据三角函数的概念可得，.故选：C.2．（2023·四川眉山·高一校考期末）已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点为，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】角的终边与单位圆的交点为，则.故选：A3．（2023·湖南长沙·高一校联考阶段练习）已知角的顶点为平面直角坐标系的原点，始边与x轴非负半轴重合，若角的终边所在直线的方程为，则的值为（）A．B．C．3D．5【答案】C【解析】因为角的终边所在直线的方程为，在角的终边取一点，则，所以，则，故选：C.4．（2022·浙江绍兴·高一统考期末）若点在角的终边上，则的值为（）A．B．1C．D．【答案】B【解析】因为,所以所以由三角函数定义可知故选:.5．（2022·广东茂名·高一统考期末）已知角的终边经过点，且，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，所以.故选：C.6．（2023·河北保定·高一校联考期中）已知角终边上有一点，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】C【解析】角是第四象限角，是第一象限角，是第三象限角.故选：C.7．（2023·陕西西安·高一校考阶段练习）在下列各选项中，角为第二象限角的充要条件是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A：时，为第三象限或轴负半轴或第四象限角，，为第一象限或轴正半轴或第四象限角，故为第四象限角，故A错误；对于B：时，为第一象限或轴正半轴或第二象限角，，为第一象限或第三象限角，故为第一象限角，故B错误；对于C：时，为第二象限或轴负半轴或第三象限角，，为第一象限或第三象限角，故为第三象限角，故C错误；对于D：时，为第一象限或轴正半轴或第二象限角，时，为第二象限或轴负半轴或第三象限角，故为第二象限角，故D正确；故选：D.8．（2023·北京顺义·高一牛栏山一中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，单位圆上一点P从点（0，1）出发，逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为（）A．B．（）C．（，）D．（－，）【答案】A【解析】设与轴正半轴的夹角为，则点P逆时针方向运动弧长到达Q点后与轴正半轴的夹角为，此时，则，，故此时点Q的坐标为.故选：A二、多选题9．（2023·江苏淮安·高一校考阶段练习）若角的终边经过点，且，则（

）A．0B．1C．D．2【答案】ABC【解析】由三角函数定义得，故，若，满足要求，若，则，解得，综上，.故选：ABC10．（2023·安徽·高一校联考阶段练习）下列选项中，结果为正数的有（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】由，可得，所以，所以A正确由，可得且，所以，，所以B正确，C错误；由，可得，所以，所以D错误.故选：AB.11．（2023·江苏南京·高一期末）已知，则的值可能是（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】当为第一象限角时，；当为第二象限角时，，同理，当为第三、四象限角时，，综上，或，故选：BD.12．（2023·广东深圳·高一校考期末）若角的终边经过点，则下列结论正确的是（）A．是钝角B．是第二象限角C．D．点在第四象限【答案】BC【解析】由点在第二象限，可得是第二象限角，但不一定是钝角，B正确，A错误；，C正确；由，，则点在第二象限，D错误，故选：BC.三、填空题13．（2023·上海·高一建平中学校考阶段练习）已知角的终边经过点，其中，则角的余弦值为.【答案】【解析】由题意知，14．（2023·上海静安·高一校考期中）角的顶点在直角坐标系的原点，始边与x轴的正半轴重合，点是角终边上一点，若，则．【答案】【解析】由题意得点到原点O的距离为，故由得，解得.15．（2023·河南·高一济源第一中学校考阶段练习）如图所示，角的终边与单位圆（圆心在原点，半径1）交于第二象限的点，则．【答案】【解析】由三角函数定义可知．16．（2023·高一课时练习）若为第一象限角，则在中，能确定为正值的有.【答案】【解析】因为为第一象限角，所以.所以，，故有可能取负值（如，则）.当时，.所以为第一象限角，所以.当时，.所以为第三象限角，所以.故能确定为正值的有.四、解答题17．（2023·江苏·高一专题练习）判断下列各式的符号：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由是第三象限角，所以，所以.（2）因为是第二象限角，是第二象限角，是第三象限角，所以，所以.18．（2023·全国·高一随堂练习）已知角的终边