广东省汕头市高三上学期普通高中毕业班教学质量监测数学试题

汕头市2020～2021学年度普通高中毕业班教学质量监测试题数学考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名等信息填涂在答题卡相应位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷选择题一、单项选择题：本题共8小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．已知是实数，是纯虚数，则（）A．1 B． C． D．3．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数，现有一组勾股数3，4，5，则由这组勾股数组成没有重复数字的三位数中，能被2整除的概率为（）A． B． C． D．4．已知，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．5．爱美之心，人皆有之健身减肥已成为很多肥胖者业余选择的项目．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了100名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg）情况如柱状图1所示，经过六个月的健身后，他们的体重情况如柱状图2所示．对比健身前后，关于这100名肥胖者，下面结论不正确的是（）柱状图1 柱状图2A．他们健身后，体重在区间内的人数增加了10个B．他们健身后，原来体重在区间内的肥胖者体重都有减少C．他们健身后，体重在区间内的人数没有改变D．因为体重在内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响6．的展开式中的系数为（）A． B． C．120 D．2007．已知定义在的函数满足以下条件：①对任意都有；②对任意且都有；③，则不等式的解集为（）A． B．C． D．8．运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图3），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（）图1 图2 图3A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．已知数列是公差为3的等差数列，，数列前项和为，下面选项中正确的是（）A． B．小值为C．时的最小值为7 D．前项之积最大值4010．下列不等式正确的有（）A．当时，函数的最小值为B．若恒成立，则C．函数的最小值为D．已知实数，满足且，则的最小值是411．已知函数的部分图象如上图所示，现将的图象向左平移个单位，得到的图象，下列说法错误的是（）A．该图象对应的函数解析式为B．函数的图象关于直线对称C．函数的图象关于点对称D．函数在上单调递增12．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的是（）A．平面平面B．三棱锥体积最大值为C．当为中点时，直线与直线所成的角的余弦值为D．直线与所成的角不可能是第Ⅱ卷非选择题三、填空题：本题共4小题．13．设向量，，且，则______．14．已知的三个顶点分别为，，，则顶点到边上中线所在直线的距离为______．15．如图，一辆汽车以每秒20米的速度在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北15°的方向上，行驶到达处时，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为60°，已知山的高度米，则汽车从到行驶了______小时．16．直三棱柱的顶点都在一个半径为3的球面上，底面是等腰，且，当直三棱柱的体积最大时，此时它的高的值为______．四、解答题：本大题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并解答．已知中，角，，的对边分别是，，，且满足______，求面积．18．已知公比不为1的等比数列，其前项和为，，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．19．已知边长为2的等边（图1），点和点分别是边、上的中点，将沿直线折到的位置，使得平面平面（图2），此时点和点分别是边、上的中点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．图1 图220．当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化，为提高防控能力以及实效，某学校为宣传防疫知识做了大量工作，近期该校还将准备组织一次有关新冠病毒预防知识竞赛活动，竞赛分初赛和决赛两阶段进行．初赛共有5道必答题，答对4道或4道以上试题即可进入决赛；决赛阶段共3道选答题．每位同学都独立答题，且每道题是否答对相互独立．已知甲同学初赛阶段答对每道题的概率为，决赛阶段答对每题的概率为．（1）求甲同学进入决赛的概率；（2）在决赛阶段，若选择答题，答对一道得4分，答错一道扣1分，选择放弃答题得0分，已知甲同学对于选答的3道题，选择回答和放弃回答的概率均为．已知甲同学已获决赛资格，求甲同学在决赛阶段，得分的分布列及数学期望．21．已知椭圆：其左、右焦点分别为、，且离心率为，点为椭圆的一个顶点，三角形的面积为2．（1）求椭圆的方程；（2）若点为椭圆的左顶点，点在椭圆上，线段的垂直平分线与轴相交于点，若为等边三角形，求点的横坐标．22．已知．（1）当时，求的最小值；（2）若恒成立，求的取值范围．汕头市2020～2021学年度普通高中毕业班教学质量监测试题数学参考答案一、单项选择题：本题共12小题．1．B 2．C 3．B 4．D 5．D 6．A 7．A 8．C二、多项选择题：本题共4小题．9．BCD 10．CD 11．BD 12．ABC三、填空题：本题共4小题．13．0 14． 15．0.1 16．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：若选①：，由正弦定理得，又，，代入解得．∵∴∴面积．若选①：，由正弦定理得，由余弦定理得，∵∴．又，，代入解得．∴面积．若选①：，由正弦定理得，由余弦定理得，∵∴．又，，由正弦定理得，∴．∵，∴．∴．∴面积．（得到后，也可以算出边．然后．）若选②：，由余弦定理得，整理得，下面的解答与选①的各种解法一样若选②：，由余弦定理得，整理得，由余弦定理得，∵∴．下面的解答与选①的各种解法一样若选②：，由正弦定理得整理得，∴，∴．下面的解答与选①的各种解法一样（若用其他解法做对按分值和相应步骤给分）18．解：（1）设等比数列的公比为，且，，成等差数列所以有∴，即，且解得：，又∴，即∴．（2）由（1）可知，，得∵∴，即∴∴①－②，得∴19．（1）连接∵点和点分别是边、上的中点．∴∵等边中，点是边的中点∴∴∵等边中，点是边的中点∴又∵平面∵平面平面且平面平面∴平面∴∵∴平面（2）连接的中点，由图1得以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，所以，设平面的法向量为．由，取，得；因为平面的法向量为设平面与平面所成锐二面角为所以，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．20．解：（1）甲同学进入决赛的概率为：．（2）依题意得，甲同学每道题选择回答并答对的概率为，选择回答且答错的概率为，选择放弃回答的概率为．的可能取值为，，，0，2，3，4，7，8，12．所以，，，，，，，，，，所以的分布列为：02347812．21．【解答】解：（1）由题意有：解得：所以椭圆的方程为：（2）方法1：设，则，且，若点为右顶点，则点为上（或下）顶点，，不是等边三角形，不合题意，所以，．设线段中点为，所以，因为，所以，因为直线的斜率，所以直线的斜率，又直线的方程为，令，得到因为，所以，因为为正三角形，所以，即化简，得到，解得，（舍）故点的横坐标为．方法2：设，直线的方程为．当时，点为右顶点，则点为上（或下）顶点，，，不是等边三角形，不合题意，所以．联立方程，消元得，所以，所以，设线段中点为，所以，，所以，因为，所以，所以直线的方程为，令，得到，因为为正三角形，所以，所以，化简，得到，解得，（舍），所以，故点的横坐标为．方法3：设，当直线的斜率为0时，点为右顶点，则点为上（或下）顶点，，，不是等边三角形，不合题意，所以直线的斜率不为0．设直线的方程为，联立方程，消元得，，所以，设线段中点为，所以，，所以，因为，所以，所以直线的方程为，