河北省张家口宣化一中高三上学期期末考试数学试卷

20202021学年上学期宣化一中高三数学期末试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）已知复数z1,z2在复平面内对应的点分别为(1,1)，(0,1)A.1+i B.-1+i C.-1-i D.1-i设a∈R，则“sinα=cosα”是“sin2α=1”A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件向量a,b满足|a|=1，|b|=2，A.45° B.60° C.90° D.120°已知数列an中，a3=2，a7A.23 B.32 C.43已知点M2,4在抛物线C:y2=2px(p>0)上，点MA.4 B.3 C.2 D.1在△ABC中，AB+AC=2AD，AEA.y=2x B.y=-2x C.x=2y D.x=-2y已知双曲线C:x2a2-y2b2=1，(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1，F2，OA.y=±12x B.y=±22x已知奇函数fx是R上增函数，gxA.glog314>g2-32二、不定项选择题（本大题共4小题，共16.0分）如图，正方体ABCD-A1B1C1A.直线BC与平面ABC1D1所成的角等于π4

B.点C到面ABC1D1的距离为22

C.两条异面直线D1要得到y=cos2x的图象C1，只要将y=sinA.将y=sin2x+π3的图象C2沿x轴方向向左平移π12个单位

B.将y=sin2x+π3的图象C2沿x轴方向向右平移11π12个单位

C.先作C2关于x轴对称图象C3，再将图象C3沿x轴方向向右平移5π12已知集合M=x,yy=fx，若对于∀x1,y1∈M，∃x2,y2∈M，使得A.M1 B.M2 C.M3德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,1805∼1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”y=f(x)=1,x∈Q0,x∈∁RQ其中R为实数集，Q为有理数集.A.函数fx是偶函数

B.∀x1，x2∈∁RQ，fx1+x2=fx1+fx2恒成立

C.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）已知直线x-2y+a=0与圆O:x2+y2=2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且▵AOB为等腰直角三角形，则实数已知直线y=x+2与曲线y=ln(x+a)相切，则2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间Ｔ(单位：年)的衰变规律满足N=N0⋅2-T5730(N0表示碳14原有的质量)，则经过5730年后，碳14的质量变为原来的______;经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的37至12已知ΔABC的顶点A∈平面α，点B，C在平面α异侧，且AB=2，AC=3，若AB，AC与α所成的角分别为π3，π6，则线段BC长度的取值范围为______四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）已知fx(1)求函数fx的最小正周期及单调递减区间(2)求函数fx在区间-π在ΔABC，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且8absinC=3b2+(1)求cos(2)求ΔABC的面积S．

设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，(1)证明：Sn+1为等比数列，求出a(2)若bn=nan，求bn的前n项和Tn，并判断是否存在正整数n使得Tn《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du);阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖膈(bie nao)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵ABC-A1B(1)求证：四棱锥B-A1(2)若C1C=BC=2，当鳖膈C1-ABC给定椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，称圆心在原点O，半径为a2+b2的圆是椭圆C(1)求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程;(2)点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2使得l1⊥l2，与椭圆C都只有一个交点，且l1，l2分别交其“卫星圆”已知函数fx=lnx-x+2sin(1)求证：f'x在0,π上存在唯一零点(2)求证：fx20202021学年上学期宣化一中高三数学期末试卷答案和解析1.【答案】D

【解析】【试题解析】

【分析】

本题考查复数的几何意义，复数的四则运算，属于基础题．

由已知条件可得z1,z【解答】解：∵复数z1,z2在复平面内对应的点分别为∴z1=1+i，z故选：D．

2.【答案】C

【解析】【试题解析】

【分析】

本题主要考查必要条件、充分条件与充要条件的判断等相关知识，属于基础题，

根据题意，进行求解即可．【解答】解：若sinα=cosα，则tanα=1，α=kπ+π4，k∈Z，得sin2α=sin2(kπ+π4)=sinπ2=1成立；

反之，若sin2α=1，则2α=2kπ+故选：C．

3.【答案】C

【解析】【试题解析】【分析】

本题主要考查了向量的夹角、向量的数量积及向量的垂直的相关知识，属于基础题，

设向量a与b的夹角为θ，结合题干条件求出夹角的余弦值，进而即可得解．

【解答】

解：设向量a与b的夹角为，∴(a+b∵θ∈[0,π]，∴θ=90°．

故选C．

4.【答案】C

【解析】【试题解析】【分析】

根据等差数列的性质先求出1an的公差，即可求出【解答】设等差数列1an的公差为则1a7=1a则1a5=故选：C．

5.【答案】A

【解析】【试题解析】【分析】

本题考查抛物线的标准方程和性质，属于基础题．

将点M2,4的坐标代入抛物线方程，求出p=4，即得焦点F(2,0)【解答】解：由点M2,4在抛物线y2=2px上，可得16=4p即抛物线C:y2=8x，焦点坐标F(2,0)所以点M到抛物线C焦点的距离为：2--2故选：A．

6.【答案】D

【解析】【试题解析】【分析】

本题主要考查向量的加法、减法、数乘运算，

平面向量的基本定理及其应用等知识，属于中档题，

依题可得，点D为边BC的中点，AE=-2DE，从而可得出DE=-16(AB+AC【解答】解：如图所示：

∵AB∴点D为边BC的中点，∵AE+2DE=0又DB=∴EB又EB=x∴x=23,y=-故选：D．

7.【答案】D

【解析】【试题解析】【分析】

利用双曲线的定义求出m=2a，由向量的数量积，可求出∠F1PF2【解答】因为PF1-PF2=2a4a⋅2acos∠F即有4c2=4所以ba所以双曲线的渐近线方程为：y=±2故选：D．

8.【答案】B

【解析】【分析】

根据定义，可判断出g(x)为偶函数，根据其导数可得出，x>0时，函数g(x)单调递增，x<0时，函数g(x)单调递减，再利用奇偶性将三个函数值转化到同一个单调区间上的函数值，即可比较出大小．【解答】由奇函数f(x)是R上的增函数，可得f'x当x>0时，fx>0，当x<0时，由gx=xfx，则g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x)因为g'x=fx+xf'x，所以当x>0时，g'故x>0时，函数g(x)单调递增，x<0时，函数g(x)单调递减．因为glog3所以glog故选：B．

9.【答案】ABD

【解析】【试题解析】

【分析】

本题考查正方体内的点、线、面关系，涉及异面直线所成的角、线面成角、点面距离，以及外接球问题，属中档题．

根据线面角的定义及求法，点面距的定义，异面直线所成角的定义及求法，三棱柱的外接球的半径求法，即可判断各选项的真假．

【解答】解：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，

对于A，连接B1C，故B 1C⊥BC1，

又正方体中AB⊥平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，

又AB∩BC1=B，AB、BC1⊂对于C，因为BC1//AD1，所以异面直线D1C和BC1所成的角为∠AD1对于D，因为A1A,A1B1,A1故选：ABD．

10.【答案】ABC

【解析】【分析】

根据三角函数的变换法则，即可判断各选项是否可以变换得到．【解答】对于A，将y=sin2x+π3图象C2沿x轴方向向左平移π12个单位，可得对于B，将y=sin2x+π3的图象C2y=sin2x-11π12对于C，先作C2关于x轴对称，得到y=-sin2x+π3的图象C3，再将图象C3沿x轴方向向右平移5π对于D，先作C2关于x轴对称，得到y=-sin2x+π3的图象C3，再将图象C3沿x故选：ABC．

11.【答案】BD

【解析】【分析】

根据题意知，对于集合M表示的函数图象上的任意点Px1,y1【解答】由题意知，对于集合M表示的函数图象上的任意点Px1,y1在y=x2+1的图象上，当P点坐标为(0,1)所以M1不是“互垂点集”对y=x+1所以在M2中的任意点Px1,y1，在所以M2是“互垂点集”在y=ex的图象上，当P点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P'，所以M3不是“对y=sin所以所以M4是“互垂点集”故选：BD．

12.【答案】ACD

【解析】【分析】

本题考查函数的奇偶性，集合的补集，新定义，属于较难题．

根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可．【解答】对于A，若x∈Q，则-x∈Q，满足f(x)=f(-x)；

若x∈∁RQ，则-x∈∁RQ，满足f(x)=f(-x)；

故函数对于B，取x1=π∈∁RQ,x2=-π∈∁对于C，若x∈Q，则x+T∈Q，满足fx=fx+T；

若x∈∁RQ，则x+T∈∁对于D，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：①直角顶点A在y=1上，斜边在x轴上，

此时点B，点C的横坐标为无理数，

则BC中点的横坐标仍然为无理数，

那么点A的横坐标也为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；②直角顶点A在y=1上，斜边不在x轴上，

此时点B的横坐标为无理数，

则点A的横坐标也应为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；③直角顶点A在x轴上，斜边在y=1上，

此时点B，点C的横坐标为有理数，

则BC中点的横坐标仍然为有理数，

那么点A的横坐标也应为有理数，这与点A的纵坐标为0矛盾，故不成立；④直角顶点A在x轴上，斜边不在y=1上，

此时点A的横坐标为无理数，

则点B的横坐标也应为无理数，这与点B的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点Ax1,fx1，Bx2故选：ACD．

13.【答案】±5【解析】【分析】

根据等腰直角三角形边长可求得弦长AB=2，利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离d，根据垂径定理构造方程可求得结果．【解答】∵ΔAOB为等腰直角三角形

∴OA⊥OB，又OA=OB=r=2

又圆O的圆心到直线距离d=∴AB=2r2故答案为±

14.【答案】3

【解析】【分析】

设切点为(x0,y0)，求出函数y=ln(x+a)的导数为y 【解答】设切点为(x0,y0所以k切=1x0+a=1，并且y0=故答案为3．

15.【答案】12

【解析】【分析】

把T=5730代入N=N0⋅2-T5730，即可求出；再令【解答】∵N=N0⋅2-T5730，∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12由题意可知：2-T两边同时取以2为底的对数得：log2∴-T∴T<6876，∴推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间．故答案为：12；6876

16.【答案】7,【解析】【分析】

由题意画出图形，分别过B,C作底面的垂线，垂足分别为B1，C根据BC2=BB1+B1C【解答】如图所示：分别过B,C作底面的垂线，垂足分别为B1，C由已知可得，BB1=3，CC∵BC=BB1∴当AB，AC所在平面与α垂直，且B,C在底面上的射影B1，C1，在A点同侧时，BC长度最小，此时B1C1当AB，AC所在平面与α垂直，且B,C在底面上的射影B1，C1，在A点异侧时，BC长度最大，此时B1C1∴线段BC长度的取值范围为7,故答案为：7,

17.【答案】

(1)由题意，化简得f==2所以函数fx的最小正周期∵y=sinx的减区间为2kπ+由2kπ+π2≤2x-所以函数fx的单调递减区间为kπ+5π12(2)因为∵x∈-π2,0，所以所以，函数fx在区间-π2【解析】见答案

18.【答案】(1)由题意得8ab由余弦定理得：4a由正弦定理得4所以tanA=∴ΔABC中，cosA=(2)由余弦定理a2=解得b=3或b=5∵tanA=由S=12bc⋅sinA【解析】见答案

19.【答案】解：(1)∵∴Sn+1因为a1=S故Sn+1+1S∵S1∴Sn+1=2n，即Sn=2n∴a(2)因为bn=∴12即Tn=4-n+22n-1令f(x)=2x-x-26(x≥1)，f'∴fx=2而f5⋅f4<0，所以不存在正整数【解析】本题考查等比数列的判定与证明，等比数列的通项公式，错位相减法求和，利用导数求解函数的单调区间，属难题．

(1)将已知变形为Sn+1+1=2Sn+1，n∈N*，再由Sn+1>0，可得Sn+1+1Sn(2)由(1)解得bn=nan=n2n-1，根据错位相减法解得Tn=4-n+22n-1，代入Tn

20.【答案】(1)∵A1A⊥底面ABC，∴又AB⊥AC，A∴AB⊥面ACC又四边形ACC∴四棱锥B-A(2)∵AB⊥AC，BC=2，∴A又∵A1A⊥∴=当且仅当AB=AC=2时，V∵AB⊥AC