2023-2024学年高中数学人教A版（2019）2.2 基本不等式 分层训练

亲爱的同学加油，给自己实现梦想的一个机会！第页2023-2024学年高中数学人教A版（2019）2.2基本不等式分层训练班级：姓名：亲爱的同学，在做题时，一定要认真审题，完成题目后，记得审查，养成好习惯！祝你轻松完成本次练习。一、选择题1．若a>0，b>0，且a+b=6，则ab的最大值为（）A．5 B．6 C．8 D．92．设实数x满足x<1，则函数y=2x+3+1A．1−22 B．5+22 C．1+223．若a>1，b>1，且a≠b，则A．a2+b2 B．2ab C．4．已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（）A．36 B．4 C．16 D．95．已知x>y>0，且x2−yA．34 B．1 C．1716 6．若x>0，y>0，x+3y=1，则xy3x+yA．19 B．112 C．1167．已知x>0，y>0，且满足x+2y−xy=0，则92x+yA．9 B．6 C．4 D．18．已知x，y∈R，A．x2+y2的最大值为2B．x2+y2的最大值为C．x2+y2的最小值为2D．x2+y2的最小值为9．已知x>0，y>0，且2x+1A．5+42 B．3+42 C．910．已知a，①ba>b+1a+1；②ab+2abA．②④ B．②③ C．②③④ D．①④二、多项选择题11．下列结论中正确的有（）A．若命题“∃x∈R，x2+4x+m=0”为假命题，则实数mB．若a，b，c∈R，则“C．“a>1”是“1aD．当x>0时，x+2x12．已知a，b为实数，且ab≠0，则下列命题正确的是（）A．若a>0，b>0，则a+b≥2ab B．若a+b=1，则C．若a≠b，则a+b>2ab D．若a+b>2ab13．已知x>0，y>0，x2+yA．xy取得最大值为12 B．xy取得最小值为C．x+y取得最大值为2 D．x+y取得最小值为214．已知a，b∈R，且ab>0，则下列不等式成立的是（）A．a+b2≥ab B．ab≤a2+15．a，b>0且a+b=1，则A．8 B．9 C．10 D．1116．已知正实数x，y满足2x+y=xy，则（）A．xy≥8B．x+y≥6C．1x−1+8三、填空题17．若正实数x、y满足3x+y=1，则12x+118．已知x>0，y>0，且x+y=1，则3xy19．已知x>−2，则x+9x+2的最小值为20．某公园设计了一座八边形的绿化花园，它的主体造型平面图（如图2）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为80m2的十字型区域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为99元/m2；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元/m21．设实数x满足x>−1，函数y=2+3x+4x+1的最小值为22．已知x>0，y>0，满足x2+2xy−2=0，则2x+y的最小值是四、解答题23．（1）在面积为定值S的矩形中，边长是多少时矩形的周长最小？（2）在周长为定值P的矩形中，边长是多少时矩形的面积最大？24．已知m+2n=2．（1）当m>0，n>0时，求1m（2）当m>−1，n>0时，求1m+125．已知a>0，b>0.（1）若b=6−1a，求（2）若a2+9b26．已知正实数a，b满足1a（1）a+2b的最小值；（2）4aa−1（3）16a27．已知m+2n=2，且m>−1，n>0.（1）求1m+1（2）求m228．已知关于x的方程(1+2k2)（1）证明：m2（2）证明：x1（3）设S=|

答案解析部分1．答案：D解析：解答：因为a>0，b>0，且a+b=6，所以ab≤(a+b2所以ab的最大值为9.故答案为：D.

分析：利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而得出ab的最大值。2．答案：D解析：解答：因为x<1，所以1−x>0，所以y=2x+3+当且仅当x=1−2故答案为：D.

分析：y=2x+3+13．答案：A解析：解答：因为a>1，b>1，所以根据基本不等式可知a2+b因为a≠b，所以a2+b综上所述，上述四个式子中最大值为a2故答案为：A

分析：根据题意，得到a2+b2>a+b4．答案：D解析：解答：由题意，(1+x)+(1+2y)=6，1+x>1，1+2y>1，所以(1+x)(1+2y)≤[故答案为：D.

分析：利用基本不等式的性质求解可得(1＋x)(1＋2y)的最大值.5．答案：B解析：解答：因为x2−y2=1，所以(x−y)(x+y)=1x=n+m2y=2=≥当9m2=所以最小值为1.故答案为：B

分析：令m=x−y，n=x+y，则mn=1且x=n+m6．答案：C解析：解答：因为x>0，y>0，x+3y=1，则3x+yxy当且仅当3xy=3y所以0<xy3x+y≤116故答案为：C.

分析：利用基本不等式“1”的妙用求得3x+yxy的最小值，即可得到xy7．答案：D解析：解答：因为x+2y−xy=0，x>0，y>0，所以2x所以2x+y=(2x+y)(2当且仅当2yx=2x所以92x+y≤1，即故答案为：D.

分析：利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而求出92x+y8．答案：C解析：解答：利用x2+y2≥2xy当且仅当x=y，即x2=y2=利用(x+y)2≥4xy，x2+y当且仅当x=y=33时取得等号，故x+y的最大值为故答案为：C

分析：利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而找出正确的选项。9．答案：A解析：解答：因为x>0，y>0，且2x所以2x+y+=5+当x=2+2，y=1+所以2x+y+2yx的最小值为故答案为：A.

分析：利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而得出2x+y+2y10．答案：C解析：解答：只有b>a时①成立；ab+2ab≥22（当且仅当a2+b2−4ab+4故a2+b令a=x，则|a−1|+|a|≥1可以看成当x>0时，函数y=|x−1|+|x|=2x−1，由函数图象可知④恒成立.故答案为：C.

分析：利用已知条件结合不等式的基本性质、均值不等式求最值的方法、平方数的性质、绝对值的定义，进而找出不等式成立的选项。11．答案：A,C,D解析：解答：对于A项，等价于∀x∈R，x2+4x+m≠0，则Δ=4对于B项，因为ab2>cb2，显然b2>0，1b2对于C项，1a−1=1−aa，所以1a<1等价于1−aa<0，即a(a−1)>0，所以a>1或对于D项，当x>0时，x+2x≥2x⋅2故答案为：ACD.

分析：转化为∀x∈R，x2+4x+m≠0，计算Δ=42−4m<0，可得m>4，即可判断A项；根据不等式的性质，可判断B项；求出112．答案：A,D解析：解答：对于A，由基本不等式可知当a>0，b>0时，a+b≥2ab，当且仅当a=b对于B，取a=2，b=−1，a+b=1，而对于C，取a=−1，b=−4，则对于D，因为a+b>2ab，a⋅b≠0，所以a+b>0ab>0，且所以a>0，b>0，(a−b故答案为：AD.

分析：利用基本不等式可判断A，举例可判断BC，利用基本不等式可判断D.13．答案：A,C解析：解答：因为x>0，y>0，故x2+y2≥2xy所以xy取得最大值为12因为x+y2≤x2+所以x+y取得最大值为2，C符合题意，D不符合题意．故答案为：AC．

分析：利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而得出结论正确的选项。14．答案：B,C解析：解答：对于A，因为ab>0，故当a<0，b<0时，不等式对于B，因为ab>0，所以ab≤a2+对于C，因为ab>0，所以ab>0，ba对于D，因为a2+b2≥2ab，所以(a+b)2≥4ab，当a<0故答案为：BC.

分析：利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而找出不等式成立的选项。15．答案：B,C,D解析：解答：4a当且仅当4ba=aba+b=1即a=所以4a+1b的不可能为故答案为：BCD.

分析：化简4a16．答案：A,D解析：解答：由题知，正实数x，y满足所以2y对于A，因为2x+y≥22xy所以xy≥22xy所以x2y2对于B，x+y=(x+y)⋅(2当且仅当2xy=yx且对于C，因为2x+y=xy，所以x=y所以1所以1x−1当且仅当y2=8y，且对于D，由A得xy≥8，所以2=(2x+1)当且仅当2x+1=y+1，且2y+1故答案为：AD

分析：运用基本不等式得2x+y≥22xy，求解即可判断A；；由题得2y+1x=1，根据乘“1”法，结合基本不等式即可判断B；由题得x=y17．答案：49解析：解答：因为正实数x、y满足3x+y=1，所以12x当且仅当12yx=3xy，即x=27，故答案为：49.

分析：由乘1法，12x18．答案：6解析：解答：因为x>0，y>0，所以0<x<1，3x令3x+1=t∈(1，则3xy其中t9+49t≥2故3xy+1xy=−3−故答案为：6

分析：利用已知条件结合换元法和均值不等式变形求最值的方法得出3xy19．答案：4解析：解答：x+9当且仅当x+2=9x+2(x>−2)所以x+9故答案为：4.

分析：利用基本不等式可求出x+920．答案：1440解析：解答：设DQ长为ym，则4xy+x即y=0<x<45所以S=99=100(≥100×2x当且仅当x2即x=22所以当x=22时，S故答案为：1440.

分析：利用已知条件结合矩形的面积和求和的方法建立函数的模型，再结合均值不等式求最值的方法得出绿化花园总造价S的最小值。21．答案：4解析：解答：由题意x>−1，所以x+1>0，故y=2+3x+4当且仅当3(x+1)=4x+1，即所以函数y=2+3x+4x+1的最小值为故答案为：43

分析：利用拼凑法结合基本不等式即可求解.22．答案：6解析：解答：由x2+2xy−2=0，得y=所以2x+y=2x+1当且仅当3x2=1所以2x+y的最小值是6.故答案为：6.

分析：由x2+2xy−2=0，得y=2−x223．答案：（1）解：设矩形的相邻两条边的长分别是x，y，由已知得xy=S，由x+y2可得x+y≥2xy所以2(当且仅当x=y=S因此，当这个矩形是边长为S的正方形时，它的周长最小，最小值为4S（2）解：设矩形的相邻两条边的长分别是x，y，则2(x+y)因为xy≤所以xy≤P216因此，当这个矩形是边长为P4的正方形时，它的面积最大，最大为P解析：分析：（1）利用已知条件结合矩形的周长公式和均值不等式求最值的方法，进而得出当这个矩形是边长为S的正方形时，它的周长最小，进而得出矩形的周长的最小值。

（2）利用已知条件结合矩形的面积公式和均值不等式求最值的方法，进而得出当这个矩形是边长为P424．答案：（1）解：因为m>0，n>0，m+2n=2，则12所以1m当且仅当2nm=2mn且所以1m+2n≥（2）解：因为m>−1，n>0，m+2n=2，则13(m+1+2n)=1，所以1m+1当且仅当2nm+1=2(m+1)n且所以1m+1+2n≥3解析：分析：（1）根据已知条件，结合基本不等式即可求出1m+2n的最小值；25．答案：（1）解：因为b=6−1a，所以ba当且仅当b=1a，a=1故ba（2）证明：因为a2所以a2b2解得ab≥8，当且仅当a=26故ab≥8.解析：分析：（1）由题意得b+1a=6，ba=1a×b，根据基本不等式即可求得最值；26．答案：（1）解：因为a，b是正数，1a所以a+2b=(a+2b)(1因为ab>0，所以a+2b=3+a当且仅当a=2+1，故a+2b的最小值为3+22（2）解：由1a+1b=1所以a−1>0，b−1>0，又4aa−1+9bb−1=4+所以4a当且仅当a=53，b=52时等号成立，故（3）解：由1a+1b=1所以a−1>0，b−1>0，所以16=16≥8(a−1)(b−1)−17=−9当且仅当a=32，故2a2+解析：分析：（1）化简得到a+2b=(a+2b)(1a+1b)=3+ab+2ba，结合基本不等式，即可求解.

27．答案：（1）解：因为m+1+2n=3，(m+1)+2n3所以1=1+4+当且仅当2nm+1=4(m+1)2n，且m+2n=2，即则1m+1（2）解：m==2(n+1)+==9因为m+1+2n+2=5，所以(m+1)+(2n+2)5所以原式==9+16+≥=当且仅当9(2n+2)m+1=16(m+1)2n+2，且m+2n=2，即则