2023-2024学年人教版初中数学九年级下册 28.2 解直角三角形及其应用 同步练习

亲爱的同学加油，给自己实现梦想的一个机会！第页2023-2024学年人教版初中数学九年级下册28.2解直角三角形及其应用同步练习班级：姓名：亲爱的同学，在做题时，一定要认真审题，完成题目后，记得审查，养成好习惯！祝你轻松完成本次练习。一、单选题1．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB＝45A．23 B．56 C．1 2．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是（）A．5 B．53 C．10-53 3．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=35A．8 B．9 C．10 D．124．如图是大坝的横断面，斜坡AB的坡度i1=1：2，背水坡CD的坡度i2=1：1，若坡面CD的长度为62A．43 B．63 C．65．已知一道斜坡的坡比为1：3，坡长为24米，那么坡高为（）米.A．83 B．12 C．436．如图，滑雪场有一坡角为20°的滑道，滑雪道的长AC为100米，则BC的长为（）米．A．100cos20° B．100cos20° C．1007．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若AB=BC=1，∠AOB=α，则OC2的值为（）A．sinB．1C．cosD．18．春节期间，某老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边.”邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤AB的坡度为1：2.4，AB长为5.2米，钓竿AC与水平线的夹角是60°，其长为6米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是60°，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（）（参考数据：3＝1.732）A．2.33米 B．2.35米 C．2.36米 D．2.42米9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，BC＝6，则ABA．4 B．6 C．8 D．1010．如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角α为30°，看这栋楼底部C处的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离AD为90米，则这栋楼的高度BC为（）A．40033米 B．903米 C．1203米二、填空题11．如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，A在B的正西方向，AB=2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏西30°的方向，则船C离海岸线的距离是.12．如果一个正六边形的边心距的长度为3cm，那么它的半径的长度为13．如图，在⊙O中，弦AB的长为123，圆心到弦AB的距离为6，则∠BOC的度数为14．某通信公司准备逐步在山上建设5G基站.如图，某处斜坡CB的坡角∠BCE的正切值为512，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米则通讯塔AB的高度约为米.（参考数据：sin53°≈45，15．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上.则大楼AB的高度.（结果保留根号）三、解答题16．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动.如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为多少米？（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）17．某数学兴趣小组通过调查研究把“如何测量嵩岳寺塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间实地测量.课题测量嵩岳寺塔的高度测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量方案 在点C处放置高为1.3米的测角仪CD，此时测得塔顶端A的仰角为45°，再沿BC方向走22米到达点E处，此时测得塔顶端A的仰角为32°. 说明：E、C、B三点在同一水平线上 请你根据表中信息结合示意图帮助该数学兴趣小组求嵩岳寺塔AB的高度.(精确到0.1米，参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62)18．如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯．某测绘兴趣小组为测算电梯AC的高度，测得斜坡AB=105米，坡度i=1：2，在B处测得电梯顶端C的仰角α=45°，求观光电梯（参考数据：2≈1.41，3四、综合题19．为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温（如图1），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上下调节（如图2），已知探测最大角(∠OBC)为58.0°，探测最小角(∠OAC)为26.6°．（1）若该设备的安装高度OC为1.6米时，求测温区域的宽度AB．（2）该校要求测温区域的宽度AB为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．(结果精确到0.01米，参考数据：sin58.0°≈0.85，cos58.0°≈0.53，tan58.0°≈1.60，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50)20．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米，2≈1.41，3≈1.73）．21．在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度.如图所示，测得斜坡BE的坡度i＝1：4（即AB：AE＝1：4），坡底AE的长为8米，在B处测得树CD顶部D的仰角为30°，在E处测得树CD顶部D的仰角为60°.（1）求AB的高；（2）求树高CD.（结果保留根号）22．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，作直线AE，且∠EAC=∠D．（1）求证：直线AE是⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=3423．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长AB=120mm，支撑板长CD=80mm，底座长DE=90mm，托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB=40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin40°≈0.643，cos40（1）若∠DCB=80°，∠CDE=60°，求点（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10∘后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求

答案解析部分1．答案：D解析：解：连接OD.∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，∴AB⊥CD，∴∠OHD＝∠BHD＝90°.∵cos∠CDB＝DHBD＝4∴DH＝4，∴BH＝DB设OH＝x，则OD＝OB＝x＋3.在Rt△ODH中，由勾股定理得x2＋42＝（x＋3）2，解得x＝76∴OH＝76故答案为：D.

连接OD，利用垂径定理可证得AB⊥CD，利用垂直的定义可证得∠OHD＝∠BHD＝90°，利用解直角三角形求出DH的长，利用勾股定理求出BH的长；设OH＝x，可表示出OD的长，在Rt△ODH中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到OH的长.2．答案：D解析：解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝103∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin30°＝103×12＝CM＝BC×cos30°＝15，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝53∴CD＝CM-MD＝15-53故答案为：D．

过点B作BM⊥FD于点M，先利用解直角三角形的方法求出BM和CM的长，再利用线段的和差求出CD的长即可。3．答案：C解析：由题意得：sinA=BCAB∵BC=6，∴6AB∴AB=10，故答案为：C.

根据sinA=BCAB4．答案：C解析：解：如图，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于F，

∵tanA=BEAE=1：2，tanB=CFFD=1：2，

∴AE=2BE，CF=DF，

∵CF2+DF2=CD2，

∴CF2+CF2=（62）2，

∴CF=6米，

∵DC∥AB，

∴四边形EFCD为矩形，

∴BE=CF=6米，

∴AE=12米，

∴AB=A故答案为：C.过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于F，根据题意求出CF=BE=6米，AE=12米，再根据勾股定理即可得出AB的长.5．答案：B解析：解：设坡度为α∴tan∴α=30°∴坡高=12故答案为：B由斜坡的坡比为1：3，可得坡度为30°，再利用30°角的直角边等于斜边的一半进行解答即可.6．答案：B解析：解：∵滑道坡角为20°，∴∠C=20°，∵AC为100米，∠B=90°，∴cos∠C=∴BC=AC·cos故答案为：B.根据坡角可得∠C=20°，然后根据∠C的余弦函数进行计算即可.7．答案：B解析：解：∵AB=BC=1，

在Rt△OAB中，sinα=ABOB

∴OB=1sinα

∵在Rt△BCO中，OB2+BC2=OC2

∴OC2=(1sinα)2+12=1sin2α+1

故答案为：B.

由正弦函数的定义得sinα=AB8．答案：B解析：解：如图，延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥BE于点F，则∠CED＝60°，∵AB的坡比为1：2.4，∴AFBF设AF＝5x，BF＝12x，在Rt△ABF中，由勾股定理知，5.22＝25x2+144x2.解得：x＝0.4，∴AF＝5x＝2（米），BF＝12x＝4.8（米），由题意得：AC＝6米，∠CAG＝∠C＝60°，AG∥DF，∴∠EAF＝90°﹣60°＝30°，∠AEF＝∠CAG＝60°，∴EF＝33AF＝233∵∠C＝∠CED＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴DE＝CE＝AC+AE＝（6+43∵BD＝DE﹣EF﹣BF＝6+433﹣即浮漂D与河堤下端B之间的距离约为2.35米，故答案为：B.延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥BE于点F，则∠CED＝60°，由坡比为1：2.4，可设AF＝5x，BF＝12x，在Rt△ABF中，由勾股定理可得x的值，由题意得：AC＝6米，∠CAG＝∠C＝60°，AG∥DF，则可求得EF、AE的值，推出△CDE是等边三角形，得到DE的值，然后根据BD＝DE-EF-BF求解即可.9．答案：D解析：解：∵在Rt△ABC中

sinA=BCAB=35，

∴6AB=10．答案：C解析：解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD=α=30°,∠CAD=β=60°,AD=90m,在Rt△ABD中，由tan∴BD=AD·在Rt△ACD中，由tan∴CD=AD·∴BC=BD+CD=30故这栋楼的高度为1203故答案为：C．首先过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得∠BAD=α=30°,∠CAD=β=60°,AD=90m,然后利用三角函数求解即可求得答案．11．答案：(3−解析：解：如图所示，过C作AB的垂线交AB于D由题易知：∠CAD=45°，∠CBD=60°设BD=x在Rt△BCD中，∠CBD=60°sin60°=CD∴CD=3在Rt△ACD中，∠CAD=45°∴AD=CD=3∴3x+x解得：x=∴CD=3−故答案是：(3−3

过C作AB的垂线交AB于D，由题易知∠CAD=45°，∠CBD=60°，设BD=x，则CD=3x，AD=CD=312．答案：2解析：解：如图：由题可知：ABCDEF是正六边形，OG⊥ABOG=3∴∠AOB=360°∵OA=OB，∴△OAB为等边三角形，∵OG⊥AB，∴∠AOG=30°，∵OG=3∴OA==OG故答案为：2．

由正六边形的性质可得△OAB为等边三角形，由OG⊥AB，可得OG=3cm，13．答案：60°解析：解：∵OC⊥AB，AB=123∴AC=BC=63在Rt△OBC中，OC=6，∵tan∴∠BOC=60°.故答案为：60°.利用垂径定理可求出BC的长，再利用解直角三角形求出∠BOC的度数.14．答案：77解析：解：如图，延长AB与水平线交于F，过D作DM⊥CF，M为垂足，过D作DG⊥AF，G为垂足，连接AC，AD，∵斜坡CB的坡角∠BCD的正切值为512∴DMCM设DM=5k米，则CM=12k米，在Rt△CDM中，CD=26米，由勾股定理得，CM2+DM2=CD2，即（5k）2+（12k）2=262，解得k=2，∴DM=10（米），CM=24（米），∵斜坡CB的坡角∠BCE的正切值为512设DG=12a米，则BG=5a米，∵∠ACF=45°，∴AF=CF=CM+MF=（24+12a）米，∴AG=AF-GF=24+12a-10=（14+12a）米，在Rt△ADG中，DG=12a米，AG=（14+12a）米，∵tan∠ADG=∴14+12a12a解得，a=∴DG=12a=42（米），AG=14+12a=56（米），BG=5a=352∴AB=AG-BG=56-352=772（米），

故答案为：延长AB与水平线交于F，过D作DM⊥CF，M为垂足，过D作DG⊥AF，G为垂足，连接AC，AD，由题意知tan∠BCE=DMCM=512，可设DM=5k米，则CM=12k米，利用勾股定理得CM2+DM2=CD2，据此建立方程求出k值，即得DM、CM的长，由tan∠BCE=tan∠BDG=15．答案：（6+43）米解析：解：在Rt△DCE中，DC＝4米，∠DCE＝30°，∠DEC＝90°，∴DE=1过D作DF⊥AB，交AB于点F，∵∠BFD＝90°，∠BDF＝45°，∴∠FBD＝45°，即△BFD为等腰直角三角形，设BF＝DF＝x米，∵四边形DEAF为矩形，∴AF＝DE＝2米，即AB＝（x+2）米，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴BC=ABBD=2BF=∵∠DCE＝30°，∠ACB＝60°，∴∠DCB＝90°，在Rt△BCD中，根据勾股定理得：2x2解得：x＝4+43，则AB＝（6+43）米.故答案为：（6+43）米.根据含30°角的直角三角形的性质可得DE=1216．答案：解：延长DC交EA的延长线于点F，则CF⊥EF，∵山坡AC上坡度i＝1：2.4，∴令CF＝km，则AF＝2.4km，在Rt△ACF中，由勾股定理得，CF2+AF2＝AC2，∴k2+（2.4k）2＝262，解得k＝10，∴AF＝24m，CF＝10m，∴EF＝30m，在Rt△DEF中，tanE＝DFEF∴DF＝EF•tanE＝30×tan48°＝30×1.11＝33.3（m），∴CD＝DF-CF＝23.3m，因此，古树CD的高度约为23.3m.解析：延长DC交EA的延长线于点F，则CF⊥EF，根据山坡AC的坡度可设CF＝km，则AF＝2.4km，在Rt△ACF中，由勾股定理可得k的值，据此可得AF、CF、EF的值，由三角函数的概念可求出DF的值，然后根据CD＝DF-CF进行计算.17．答案： 解：延长FD交AB于点G， 则FG⊥AB，CD=GB=1.3米，DF=CE=22米， 设AG=x米， 在Rt△AGD中，∠ADG=45°，∴GD=AGtan45∴GF=GD+DF=(x+22)米， 在Rt△AGF中，∠AFG=32°，∴tan32°=AG∴x≈35.89， 经检验，x≈35.89是原方程的根，∴AG≈35.89米，∴AB=AG+BG=35.89+1.3≈37.2(米)，∴嵩岳寺塔AB的高度约为37.2米.解析：延长FD交AB于点G，则CD=GB=1.3米，DF=CE=22米，设AG=x，根据三角函数的概念可得GD=x，则GF=GD+DF=(x+22)米，根据三角函数的概念求出x，然后根据AB=AG+BG进行计算.18．答案：解：过点B作BE⊥AC于点E，如图，在Rt△ABE中，AB=105（米），坡度i=1：2设AE=x（米），则BE=2x（米）由勾股定理得，A∴x解得，x=215∴AE=215（米），BE=42∵α=45°∴△BEC是等腰直角三角形∴CE=BE=425∴AC=AE+CE=215答：观光电梯AC的高度为141.1米。解析：过点B作BE⊥AC于点E，设AE=x（米），则BE=2x（米），利用勾股定理可得x2+(2x)19．答案：（1）解：根据题意可知：OC⊥AC，∠OBC=58.0°，∠OAC=26.6°，OC=1.6米，在Rt△OBC中，BC=OC在Rt△OAC中，AC=OC∴AB=AC−BC=3.2−1=2.20米．答：测温区域的宽度AB为2.2米；（2）解：根据题意可知：AC=AB+BC=2.53+BC，在Rt△OBC中，BC=OC∴OC=1.60BC，在Rt△OAC中，OC=AC⋅tan∠OAC≈(2.53+BC)×0.50，∴1.60BC=(2.53+BC)×0.50，解得BC=1.15米，∴OC=1.60BC=1.84米．答：该设备的安装高度OC约为1.84米．解析：（1）在Rt△OBC中，根据正切三角函数的定义得BC=OCtan∠OBC，据此算出BC，在Rt△OAC中，根据正切三角函数的定义得AC=OCtan∠OAC，据此算出AC，进而根据AB=AC-BC算出答案；

（2）由题意得AC=AB+BC=2.53+BC，在Rt△OBC中，由正切三角函数的定义得20．答案：（1）解：过点F作FG⊥EC于G，依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°，∴四边形DEGF是矩形，∴FG＝DE，在Rt△CDE中，DE＝CE•tan∠DCE＝6×tan30o＝23（米），∴点F到地面的距离为23米；（2）解：∵斜坡CF的坡度为i＝1：1.5．∴Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝23×1.5＝33（米），∴FD＝EG＝（33+6）（米）．在Rt△BCE中，BE＝CE•tan∠BCE＝6×tan60o＝63（米），∴AB＝AD+DE-BE＝33+6+23-63＝6-3≈4.3（米）．答：宣传牌的高度约为4.3米．解析：（1）过点F作FG⊥EC于G，易得四边形DEGF是矩形，根据矩形的性质得FG＝DE，在Rt△CDE中，根据正切函数的定义，由DE＝CE•tan∠DCE即可算出答案；

（2）根据坡比的定义，Rt△CFG中，可得CG＝1.5FG，进而可得FD＝EG＝（33+6）（米），在Rt△BCE中，根据正切函数的定义，由BE＝CE•tan∠BCE求出BE，最后根据AB＝AD+DE-BE算出答案.21．答案：（1）解：作BF⊥CD于点F，根据题意可得ABCF是矩形，∴CF=AB，∵斜坡BE的坡度i=1：4，坡底AE的长为8米，∴AB=2（米），（2）解：∵AB=2，∴CF=2，设DF=x米，在Rt△DBF中，tan∠DBF=则BF=DF在直角△DCE中，DC=x+CF=（2+x）米，在直角△DCE中，tan∴EC=3∵BF-CE=AE，即3x−解得：x=43+1，则CD=43答：CD的高度是（(4解析：（1）作BF⊥CD于点F，则四边形ABCF是矩形，CF=AB，然后根据斜坡BE的坡度就可求出AB的值；

（2）根据AB的值可得CF，设DF=x米，利用三角函数的概念可得BF、EC，根据BF-CE=AE求