2022-2023学年湖南师大附中教育集团九年级(上)期中数学试题及答案解析_第1页
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文档简介

2022-2023学年湖南师大附中教育集团九年级(上)期中数学试卷1.1−(−2)=()A.−3B.3C.1D.−12.中国古文化遗存最大的三星堆遗址让世界为之瞩目,下列三星堆文物图案中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是()A.B.C.D.3.下列运算中,结果正确的是()A.3𝑎2+2𝑎2=5𝑎4B.𝑎3−2𝑎3=𝑎3C.𝑎2⋅𝑎3=𝑎5D.(𝑎2)3=𝑎54.如图,直线𝑎//𝑏,直线𝑐与直线𝑎,𝑏分别交于𝐴,𝐵,若∠1=45°,则∠2的度数是()A.135°B.145°C.155°D.165°5.一元二次方程2𝑥2+1=0的根的情况是()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根6.将抛物线𝑦=𝑥2向左平移1个单位,再向上平移2个单位,得到的抛物线解析式为()A.𝑦=(𝑥−1)2+2B.𝑦=(𝑥+1)2−2C.𝑦=(𝑥+1)2+2D.𝑦=(𝑥+2)2+17.如图,𝐴,𝐵,𝐶为⊙𝑂上的三个点,∠𝐴𝑂𝐵=72°,则∠𝐴𝐶𝐵的度数为()第1页,共22页A.36°B.24°C.48°D.144°𝐷,𝐸分别是𝐴𝐵,𝐴𝐶的中点,𝐹,𝐺分别是𝐴𝐷,𝐴𝐸的中点,在△𝐴𝐵𝐶中,且𝐹𝐺=2𝑐𝑚,8.如图,则𝐵𝐶的长度是()A.4𝑐𝑚B.6𝑐𝑚C.8𝑐𝑚D.10𝑐𝑚9.已知,在同一平面直角坐标系中,二次函数𝑦=𝑎𝑥2与一次函数𝑦=𝑏𝑥+𝑐的图象如图所示,则二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象可能是()A.B.C.D.𝐵两点,已知直线𝑦=𝑘𝑥+2𝑘分别交𝑥轴和𝑦轴于𝐴,以𝐴𝐵为边作等边△𝐴𝐵𝐶(𝐴,𝐵,𝐶10.如图,三点逆时针𝐵排列),𝐷,𝐸两点坐标分别为(−6,0),(−1,0),连接𝐶𝐷,𝐶𝐸,则𝐶𝐷+𝐶𝐸的最小值为()第2页,共22页A.6B.5+√3C.6.5D.711.2022年4月16日,神舟十三号飞船与太空站核心舱分离,最终返回地面,太空三人组经历了390000多米的回家之旅.数据390000用科学记数法表示为______.12.二次函数𝑦=−4(𝑥−1)2+1的图象的顶点坐标是______.𝐵两点,以点𝑃为圆心的圆弧与𝑥轴交于𝐴,点𝑃的坐标为(4,2),点𝐴的坐标为(2,0),13.如图,则点𝐵的坐标为______.14.农科院计划为某地选择合适的水果玉米种子,通过实验,甲、乙、丙、丁四种水果玉米2222𝑆乙=0.02,𝑆丙=0.03,𝑆丁=0.01,种子每亩平均产量都是1500𝑘𝑔,方差分别为𝑆甲=0.02,则这四种水果玉米种子产量最稳定的是______.(填“甲”“乙”“丙”“丁”)15.如图,四边形内接于⊙𝑂,若它的一个外角∠𝐷𝐶𝐸=46°,则∠𝐴的度数为______.16.某班学生共有50人,会游泳的有27人,会体操的有18人,游泳、体操都不会的有15人,那么既会游泳又会体操的有______人.17.计算:(−1)2022−√8−(𝜋−√3)0+|1−√2|.2第3页,共22页18.先化简,再求值:(𝑚−𝑛)(𝑚+𝑛)+(𝑚−𝑛)2−2𝑚2.其中𝑚=2,𝑛=1.19.如图,在直角△𝐴𝐵𝐶中,∠𝐶=90°.(1)尺规作图:以𝐵为圆心,𝐵𝐶为半径画弧,交𝐴𝐵于点𝐷;分别以点𝐶,𝐷为圆心,以大于𝐶𝐷2的长为半径画弧,两弧交于点𝐹,连接𝐵𝐹,则射线𝐵𝐹为∠𝐵的角平分线.上述过程所用到的原理是______.A.𝑆𝑆𝑆B.𝑆𝐴𝑆C.𝐴𝐴𝑆D.𝐴𝑆𝐴(2)在(1)的条件下,射线𝐵𝐹交𝐴𝐶于点𝐸,连接𝐷𝐸.若∠𝐴=30°,𝐶𝐸=1,求𝐴𝐶的长.120.教育部规定中小学劳动教育考核纳入学生综合素质档案,以促进学生劳动素养的提升.为了了解本校学生“一周内做家务劳动所用的时间”(简称“劳动时间”)的情况,某校随机调查了100名学生的“劳动时间”,并进行统计,绘制了如下统计表:第4页,共22页组别𝐴𝐵𝐶𝐷总计“劳动时间”𝑡/分钟𝑡<6060≤𝑡≤9090≤𝑡≤120𝑡≥120频数81640𝑎100组内学生的平均“劳动时间”/分钟5075100150根据上述信息,解答下列问题:(1)表格中𝑎=______,这100名学生的“劳动时间”的中位数落在______组(填“𝐴”“𝐵”“𝐶”“𝐷”);(2)求这100名学生的平均“劳动时间”;(3)若该校有1200名学生,请估计在该校学生中,“劳动时间”不少于60分钟的人数.21.如图,在△𝐴𝐵𝐶中,𝐴𝐵=𝐴𝐶,𝐴𝐷为𝐵𝐶边上的中线,𝐸为𝐴𝐷的中点,将线段𝐵𝐸绕着点𝐸顺时针旋转180°到𝐸𝐹,连接𝐴𝐹,𝐶𝐹.(1)求证:四边形𝐴𝐷𝐶𝐹为矩形;(2)若𝐴𝐷=𝐵𝐶,𝐴𝐵=2√5,求𝐵𝐹的长.22.为满足市场需求,某超市在新年来临前夕购进一批盲盒,进价为每个15元,第一天以每个25元的价格售出30个,为了尽快售完,从第二天起降价销售,根据市场调查,单价每降低1元,可多售出3个.(1)当售价小于25元时,试求出第二天起每天的销售量𝑦(盒)与每盒售价𝑥(元)之间的函数关系式;(2)如果前两天共获利525元,且第二天销售数量不低于30个,则第二天每个盲盒的销售价格为多少元?第5页,共22页⏜的中点,𝐶𝐹为⊙𝑂的弦,且𝐶𝐹⊥𝐴𝐵,垂足为𝐸,连23.如图,𝐴𝐵是⊙𝑂的直径,点𝐶为𝐵𝐷接𝐵𝐷交𝐶𝐹于点𝐺,连接𝐶𝐷,𝐴𝐷,𝐵𝐹.(1)求证:△𝐵𝐹𝐺≌△𝐶𝐷𝐺;(2)若𝐴𝐷=𝐵𝐸=4,求𝐵𝐹的长.24.规定:如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的,我们则称这两个函数互为“守望函数”,这对点称为“守望点”.例如:点𝑃(2,4)在函数𝑦=𝑥2上,点𝑄(−2,−4)在函数𝑦=−2𝑥−8上,点𝑃与点𝑄关于原点对称,此时函数𝑦=𝑥2和𝑦=−2𝑥−8互为“守望函数”,点𝑃与点𝑄则为一对“守望点”.(1)函数𝑦=−2𝑥−1和函数𝑦=4𝑥是否互为“守望函数”?若是,求出它们的“守望点”,若不是,请说明理由;(2)已知函数𝑦=𝑥2+2𝑥和𝑦=4𝑥+𝑛−2022互为“守望函数”,求𝑛的最大值并写出取最大值时对应的“守望点”;(3)已知二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎>0)与𝑦=2𝑏𝑥+1互为“守望函数”,有且仅有一对𝐵(𝑥2,0),𝐴𝐵=2,“守望点”,若二次函数的顶点为𝑀,与𝑥轴交于𝐴(𝑥1,0),其中0<𝑥1<𝑥2,又𝑎=2,过顶点𝑀作𝑥轴的平行线𝑙交𝑦轴于点𝑁,直线𝑦=2𝑏𝑥+1与𝑦轴交点为点𝑄,动𝑐−𝑐+6点𝐸在𝑥轴上运动,求抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎>0)上的一点𝐹的坐标,使得四边形𝐹𝑄𝐸𝑁为平行四边形.4𝑐25.如图,点𝐴(𝑎,0),𝐵(0,𝑏),且𝑎,𝑏满足(𝑎−2)2+|2𝑏−1|=0.(1)如图1,求△𝐴𝑂𝐵的面积;(2)如图2,𝐵重合)移动,𝐴𝐵⊥𝐵𝐷,𝐴𝐶+𝐵𝐷=点𝐶在线段𝐴𝐵上(不与𝐴,且∠𝐶𝑂𝐷=45°,求证:𝐶𝐷;(3)如图3,若点𝑃为𝑥轴上异于原点𝑂和点𝐴的一个动点,连接𝑃𝐵,将线段𝑃𝐵绕点𝑃顺时针旋1第6页,共22页转90°至𝑃𝐸,直线𝐴𝐸交𝑦轴于点𝑄.若点𝐵,𝐴,𝐸三点在半径为2√2的圆𝐹上,求𝐸𝐵的值.𝐴𝑃第7页,共22页答案和解析1.【答案】𝐵【解析】解:原式=1+2=3,故选:𝐵.利用有理数的减法运算法则计算即可.本题考查了有理数的减法,解题的关键是掌握有理数减法法则.2.【答案】𝐵【解析】解:𝐴.不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故此选项不合题意;B.既是中心对称图形,又是轴对称图形,故此选项符合题意;C.是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项不合题意;D.不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项不合题意.故选:𝐵.根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可.本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与自身重合.3.【答案】𝐶【解析】解:𝐴.3𝑎2+2𝑎2=5𝑎2,故此选项不合题意;B.𝑎3−2𝑎3=−𝑎3,故此选项不合题意;C.𝑎2⋅𝑎3=𝑎5,故此选项符合题意;D.(𝑎2)3=𝑎6,故此选项不合题意;故选:𝐶.直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则分别化简,进而得出答案.此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算,正确掌握相关运算法则是解题关键.第8页,共22页4.【答案】𝐴【解析】解:∵直线𝑎//𝑏,∠1=45°,∴∠3=45°,∴∠2=180°−45°=135°.故选:𝐴.直接利用平行线的性质结合邻补角的性质得出答案.此题主要考查了平行线的性质,正确得出∠3的度数是解题关键.5.【答案】𝐷【解析】解:2𝑥2+1=0,2𝑥2=−1,∴此方程没有实数根,故选:𝐷.利用解一元二次方程−直接开平方法,进行计算即可解答.本题考查了解一元二次方程−直接开平方法,熟练掌握解一元二次方程−直接开平方法是解题的关键.6.【答案】𝐶【解析】解:将抛物线𝑦=𝑥2向左平移1个单位,再向上平移2个单位,得到的抛物线解析式为:𝑦=(𝑥+1)2+2.故选:𝐶.直接根据“上加下减,左加右减”的原则进行解答即可.本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知“上加下减,左加右减”的原则是解答此题的关键.7.【答案】𝐴【解析】解:∵∠𝐴𝑂𝐵=72°,∴∠𝐴𝐶𝐵=2∠𝐴𝑂𝐵=36°,故选:𝐴.1第9页,共22页直接根据圆周角定理即可得出结论.本题考查的是圆周角定理,熟练掌握圆周角定理是解题的关键.8.【答案】𝐶【解析】解:如图,∵△𝐴𝐷𝐸中,𝐹、𝐺分别是𝐴𝐷、𝐴𝐸的中点,∴𝐷𝐸=2𝐹𝐺=4𝑐𝑚,∵𝐷,𝐸分别是𝐴𝐵,𝐴𝐶的中点,∴𝐷𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中位线,∴𝐵𝐶=2𝐷𝐸=8𝑐𝑚,故选:𝐶.利用三角形中位线定理求得𝐹𝐺=𝐷𝐸,𝐷𝐸=𝐵𝐶,于是得到结论.22本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,熟记定理是解题的关键.119.【答案】𝐵【解析】解:观察函数图象可知:𝑎<0,𝑏>0,𝑐>0,∴二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象开口向下,对称轴𝑥=−故选:𝐵.根据二次函数𝑦=𝑎𝑥2与一次函数𝑦=𝑏𝑥+𝑐的图象,即可得出𝑎<0,𝑏>0,𝑐>0,由此即可得出:二次函数𝑦=𝑎𝑥−+𝑏𝑥+𝑐的图象开口向上,对称轴𝑥=−再对照四个选项中的图象即可得出结论.本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象,根据二次函数图象和一次函数图象经过的象限,找出𝑎<0、𝑏>0、𝑐>0是解题的关键.𝑏2𝑎𝑏2𝑎>0,与𝑦轴的交点在𝑦轴正半轴.与𝑦轴的交点在𝑦轴正半轴,>0,10.【答案】𝐷【解析】解:∵点𝐵在直线𝑦=𝑘𝑥+2𝑘上,∴𝑘(𝑥+2)=0,∵𝑘≠0,∴𝑥−2=0,∴𝐵(−2,0),第10页,共22页∵𝐸(−1,0),𝐷(−6,0),在𝑥轴上方作等边△𝐴𝑂𝐹,∵∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐹𝐴𝑂=60°,∴∠𝐶𝐴𝐵+∠𝐵𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝐹+∠𝐹𝐴𝑂,即∠𝐶𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝑂,在△𝐴𝑂𝐵和△𝐴𝐹𝐶中,𝐴𝐵=𝐴𝐶{∠𝐶𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝑂,𝐴𝐹=𝐴𝑂∴△𝐴𝑂𝐵≌△𝐴𝐹𝐶(𝑆𝐴𝑆),∴∠𝐴𝐹𝐶=∠𝐴𝑂𝐵=90°,∴点𝐶的轨迹为定直线𝐶𝐹,作点𝐸关于直线𝐶𝐹的对称点𝐸′,连接𝐶𝐸′,𝐶𝐸=𝐶𝐸′,∴𝐶𝐷+𝐶𝐸=𝐶𝐷+𝐶𝐸′,∴当点𝐷、𝐶、𝐸′在同一条直线上时,𝐷𝐸′=𝐶𝐷+𝐶𝐸的值最小,∵𝐴𝐹=𝐴𝑂=2,∠𝐹𝐴𝑂=60°,∠𝐴𝐹𝐺=90°,∴𝐴𝐺=4,𝐸𝐺=3,𝐸𝐸′=2×𝐴𝐹=3,即𝐸′(1,3√3),2234∴(𝐶𝐷+𝐶𝐸)的最小值=𝐷𝐸′=√(−6−1)2+(0−3√3)2=7,22故选:𝐷.第11页,共22页在𝑥轴上方作等边△𝐴𝑂𝐹,证明△𝐴𝑂𝐵≌△𝐴𝐹𝐶(𝑆𝐴𝑆),所以点𝐶的轨迹为定直线𝐶𝐹,作点𝐸关于直线𝐶𝐹的对称点𝐸′,连接𝐶𝐸′,𝐶𝐸=𝐶𝐸′,当点𝐷、𝐶、𝐸′在同一条直线上时,𝐷𝐸′=𝐶𝐷+𝐶𝐸的值最小,再根据勾股定理,即可解答.本题考查旋转的性质,一次函数的性质,最短路径,勾股定理,轴对称等知识点,添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.11.【答案】3.9×105【解析】解:390000=3.9×105,故答案为:3.9×105.390000>1,写成𝑎×10𝑛(0<𝑎<10)即可.本题考查了科学记数法知识点,做题时注意位数的个数即可,难度不大.12.【答案】(1,1)【解析】解:∵𝑦=−4(𝑥−1)2+1,∴抛物线的顶点坐标为(1,1),故答案为:(1,1).抛物线解析式为顶点式,直接根据抛物线解析式得解.本题考查二次函数的性质,解题关键是熟练掌握二次函数解析式的顶点式的特征.13.【答案】(6,0)【解析】解:过点𝑃作𝑃𝐶⊥𝐴𝐵于点𝐶,∵以点𝑃为圆心的圆弧与𝑥轴交于𝐴,𝐵两点,∴𝐴𝐶=𝐵𝐶,∵点𝑃的坐标为(4,2),点𝐴的坐标为(2,0),∴点𝐶的坐标为(4,0),𝐴𝐶=2,∴𝐵𝐶=2,第12页,共22页∴𝑂𝐵=6,∴点𝐵的坐标为(6,0).故答案为:(6,0).由以点𝑃为圆心的圆弧与𝑥轴交于𝐴,𝐵两点,可以想到过点𝑃作𝑃𝐶⊥𝐴𝐵,利用垂径定理,即可求得答案.此题考查了垂径定理的应用.此题结合了直角坐标系的知识,有一定的综合性,不过难度不大,解题时要注意数形结合思想的应用.14.【答案】丁2222【解析】解:∵𝑆甲=0.02,𝑆乙=0.02,𝑆丙=0.03,𝑆丁=0.01,∴丁的方差最小,∴成绩最稳定的是丁.故答案为:丁.直接利用方差是反映一组数据的波动大小的一个量,方差越大,则平均值的离散程度越大,稳定性也越小;反之,则它与其平均值的离散程度越小,稳定性越好,进而分析即可.此题主要考查了方差,正确理解方差的意义是解题关键.15.【答案】46°【解析】解:∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于⊙𝑂,∴∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐵𝐶𝐷=180°,∵∠𝐵𝐶𝐷+∠𝐷𝐶𝐸=180°,∴∠𝐴=∠𝐷𝐶𝐸=46°.故答案为:46°.由四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于⊙𝑂,可得∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐵𝐶𝐷=180°,又由邻补角的定义,可证得∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐷𝐶𝐸.继而求得答案.此题考查了圆的内接四边形的性质.注意掌握圆内接四边形的对角互补是解此题的关键.16.【答案】10第13页,共22页【解析】解:如图,设既会游泳又会体操的有𝑥人,则27−𝑥+𝑥+18−𝑥+15=50,解得𝑥=10,∴既会游泳又会体操的有10人.故答案为:10.设既会游泳又会体操的有𝑥人,结合图形,利用只会游泳人数+两项都会的人数+只会体操的人数+两者都不会的人数=总人数列出关于𝑥的方程,解之可得答案.本题主要考查了容斥原理公式之一:𝐴类、𝐵类元素个数总和=属于𝐴类元素个数+属于𝐵类元素个数−既是𝐴类又是𝐵类的元素个数.17.【答案】解:(−1)2022−√8−(𝜋−√3)0+|1−√2|2=1−2√2−1+√2−12=1−√2−1+√2−1=−1.【解析】先化简各式,然后再进行计算即可解答.本题考查了实数的运算,零指数幂,准确熟练地化简各式是解题的关键.18.【答案】解:(𝑚−𝑛)(𝑚+𝑛)+(𝑚−𝑛)2−2𝑚2=𝑚2−𝑛2+𝑚2−2𝑚𝑛+𝑛2−2𝑚2=−2𝑚𝑛,当𝑚=2,𝑛=1时,原式=−2×2×1=−4.【解析】利用平方差公式,完全平方公式,进行计算即可解答.本题考查了整式的混合运算−化简求值,准确熟练地进行计算是解题的关键.第14页,共22页19.【答案】𝐴【解析】解:(1)由作法得𝐵𝐷=𝐵𝐶,𝐶𝐹=𝐷𝐹,∵𝐵𝐹为公共边,∴△𝐵𝐶𝐹≌△𝐵𝐷𝐹(𝑆𝑆𝑆),∴∠𝐶𝐵𝐹=∠𝐷𝐵𝐹,∴射线𝐵𝐹为∠𝐵的角平分线;故选:𝐴;(2)∵∠𝐶=90°,∠𝐴=30°,∴∠𝐴𝐵𝐶=60°,∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶,∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝐸=30°,在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐸中,∠𝐶𝐵𝐸=30°,∴𝐵𝐸=2𝐶𝐸=2,∵∠𝐴=∠𝐴𝐵𝐸,∴𝐴𝐸=𝐵𝐸=2,∴𝐴𝐶=𝐴𝐸+𝐶𝐸=2+1=3.(1)由作法得𝐵𝐷=𝐵𝐶,𝐶𝐹=𝐷𝐹,则根据“𝑆𝑆𝑆”可判断△𝐵𝐶𝐹≌△𝐵𝐷𝐹,从而得到∠𝐶𝐵𝐹=∠𝐷𝐵𝐹;(2)先计算出∠𝐴𝐵𝐶=60°,再根据角平分线的定义得到∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝐸=30°,所以𝐵𝐸=2𝐶𝐸=2,接着利用∠𝐴=∠𝐴𝐵𝐸得到𝐴𝐸=𝐵𝐸=2,然后计算𝐴𝐸+𝐶𝐸即可.本题考查了作图−复杂作图:解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.也考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质和勾股定理.20.【答案】36𝐶【解析】解:(1)由题意可知,𝑎=100−8−16−40=36;把100名学生的“劳动时间”从小到大排列,排在中间的两个数均在𝐶组,故这100名学生的“劳动时间”的中位数落在𝐶组,故答案为:36;𝐶;(2)𝑥=100×(50×8+75×16+100×40+150×36)=110(分钟),−1第15页,共22页答:这100名学生的平均“劳动时间”为110分钟;(3)1200×100=1104(名),答:估计在该校学生中,“劳动时间”不少于60分钟的有1104名.(1)用100分别减去其它三组的频数可得𝑎的值;再利用中位数的定义解答即可;(2)根据平均数的定义解答即可;(3)用样本估计总体即可.本题考查了中位数,频数(率)分布表.从频数(率)分布表中得到必要的信息是解决问题的关键.100−821.【答案】(1)证明:∵𝐴𝐵=𝐴𝐶,𝐴𝐷为𝐵𝐶边上的中线,∴𝐵𝐷=𝐶𝐷,𝐴𝐷⊥𝐵𝐶,∵将线段𝐵𝐸绕着点𝐸顺时针旋转180°到𝐸𝐹,∴𝐵𝐸=𝐸𝐹,∠𝐵𝐸𝐹=180°,∴点𝐵,点𝐸,点𝐹三点共线,在△𝐴𝐸𝐹和△𝐷𝐸𝐵中,𝐴𝐸=𝐷𝐸{∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐷𝐸𝐵,𝐸𝐹=𝐸𝐵∴△𝐴𝐸𝐹≌△𝐷𝐸𝐵(𝑆𝐴𝑆),∴𝐴𝐹=𝐵𝐷,∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐷𝐵𝐹,∴𝐴𝐹=𝐵𝐷=𝐶𝐷,𝐴𝐹//𝐶𝐷,∴四边形𝐴𝐷𝐶𝐹是平行四边形,∵𝐴𝐷⊥𝐶𝐷,∴四边形𝐴𝐷𝐶𝐹是矩形;(2)解:∵𝐴𝐷=𝐵𝐶,𝐵𝐷=𝐶𝐷,∴𝐴𝐷=2𝐵𝐷,∵𝐴𝐵2=𝐴𝐷2+𝐵𝐷2,∴20=4𝐵𝐷2+𝐵𝐷2,∴𝐵𝐷=2,∴𝐵𝐶=𝐴𝐷=4,∵四边形𝐴𝐷𝐶𝐹是矩形,第16页,共22页∴𝐴𝐷=𝐶𝐹=4,∠𝐹𝐶𝐷=90°,∴𝐵𝐹=√𝐶𝐹2+𝐵𝐶2=√16+16=4√2.【解析】(1)由“𝑆𝐴𝑆”可证△𝐴𝐸𝐹≌△𝐷𝐸𝐵,可得𝐴𝐹=𝐵𝐷,∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐷𝐵𝐹,由平行四边形的判定可证四边形𝐴𝐷𝐶𝐹是平行四边形,由矩形的判定可得结论;(2)由勾股定理可求𝐴𝐷,𝐵𝐶的长,由矩形的性质和勾股定理可求𝐵𝐹的长.本题考查了旋转的性质,矩形的判定和性质,勾股定理,全等三角形的判定和性质,证明三角形全等是解题的关键.22.【答案】解:(1)根据题意,当𝑥<25时,𝑦=30+3(25−𝑥),化简得𝑦=−3𝑥+105;答:每天的销售量𝑦(盒)与每盒售价𝑥(元)之间的函数关系式为𝑦=−3𝑥+105;(2)设第二天每个盲盒的售价为𝑥元,根据题意,得:(25−15)×30+(𝑥−15)(105−3𝑥)=525,整理得:𝑥2−50𝑥+600=0,解得:𝑥1=20,𝑥2=30(不符合题意,舍去),当𝑥=20时,105−3𝑥=105−3×20=45>30,符合题意.答:第二天每个盲盒的销售价格为20元.【解析】(1)利用销售量=30+3×每个降低的钱数,即可找出𝑦与𝑥之间的函数关系式,再结合每个盲盒的进价及从第二天起降价销售,即可得出自变量𝑥的取值范围;(2)利用总利润=每个的销售利润×销售数量,即可得出关于𝑥的一元二次方程,解之即可得出𝑥的值,结合(1)中的𝑥取值范围及第二天销售数量不低于30个,即可得出结论.(1)根据各数量之间的关系,本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用,解题的关键是:找出𝑦与𝑥之间的函数关系式;(2)找准等量关系,正确列出一元二次方程.⏜中点,23.【答案】(1)证明:∵𝐶是𝐵𝐷⏜=𝐵𝐶⏜,∴𝐶𝐷∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径,且𝐶𝐹⊥𝐴𝐵,第17页,共22页⏜=𝐵𝐹⏜,∴𝐵𝐶⏜=𝐵𝐹⏜,∴𝐶𝐷∴𝐶𝐷=𝐵𝐹,在△𝐵𝐹𝐺和△𝐶𝐷𝐺中,∠𝐹=∠𝐶𝐷𝐺{∠𝐹𝐺𝐵=∠𝐷𝐺𝐶,𝐵𝐹=𝐶𝐷∴△𝐵𝐹𝐺≌△𝐶𝐷𝐺(𝐴𝐴𝑆);(2)解:如图,连接𝑂𝐹,设⊙𝑂的半径为𝑟,𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐵中,𝐵𝐷2=𝐴𝐵2−𝐴𝐷2,即𝐵𝐷2=(2𝑟)2−42,𝑅𝑡△𝑂𝐸𝐹中,𝑂𝐹2=𝑂𝐸2+𝐸𝐹2,即𝐸𝐹2=𝑟2−(𝑟−4)2,⏜=𝐵𝐶⏜=𝐵𝐹⏜,∵𝐶𝐷⏜,⏜=𝐶𝐹∴𝐵𝐷∴𝐵𝐷=𝐶𝐹,∴𝐵𝐷2=𝐶𝐹2=(2𝐸𝐹)2=4𝐸𝐹2,即(2𝑟)2−42=4[𝑟2−(𝑟−4)2],解得:𝑟=2(舍)或6,∴𝐵𝐹2=𝐸𝐹2+𝐵𝐸2=62−(6−4)2+42=48,∴𝐵𝐹=4√3.【解析】(1)首先利用已知条件和垂径定理证明𝐶𝐷=𝐵𝐹,然后根据𝐴𝐴𝑆证明△𝐵𝐹𝐺≌△𝐶𝐷𝐺;(2)连接𝑂𝐹,设⊙𝑂的半径为𝑟,由𝐶𝐹=𝐵𝐷列出关于𝑟的勾股方程就能求解.此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理.第二问有难度,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.24.【答案】解:(1)是“守望函数”.理由:设𝑃(𝑎,𝑏)在𝑦=−2𝑥−1上,则𝑄(−𝑎,−𝑏)在𝑦=4𝑥上,∴{𝑏=−2𝑎−1,−𝑏=−4𝑎1𝑎=−6解得{2,𝑏=−3∴“守望点”为(−,−),(,);63631212第18页,共22页(2)设𝑃(𝑠,𝑡)在𝑦=𝑥2+2𝑥上,则𝑄(−𝑠,−𝑡)在𝑦=4𝑥+𝑛−2022上,2∴{𝑠+2𝑠=𝑡,−4𝑠+𝑛+2022=−𝑡∴𝑛=−𝑡+4𝑠+2022=−𝑠2+2𝑠+2022=−(𝑠−1)2+2023,当𝑠=1时,𝑛有最大值2023,此时“守望点”为(1,3)与(−1,−3);(3)设𝑃(𝑥,𝑦)在𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐上,则𝑄(−𝑥,−𝑦)在𝑦=2𝑏𝑥+1上,𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐∴{,−𝑦=−2𝑏𝑥+1整理得𝑎𝑥2−𝑏𝑥+𝑐+1=0,∵有且仅存在一组“守望点”,∴𝛥=𝑏2−4𝑎(𝑐+1)=0,即𝑏2−4𝑎𝑐=4𝑎,∵𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0,𝑏∴𝑥1+𝑥2=−,𝑥1⋅𝑥2=𝑎,𝑎𝑐∴𝐴𝐵=√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2=∵𝐴𝐵=2,∴𝑎=1,∴1=𝑐2−𝑐+6,∴𝑐=2(舍弃)或3,∴𝑐=3,∴𝑏2=12+4=16,∴𝑏=−4或4(舍弃),4𝑐2,√𝑎∴抛物线的解析式为𝑦=𝑥2−4𝑥+3,直线的解析式为𝑦=−8𝑥+1,第19页,共22页函数图像如图所示,由题意𝑀(2,−1),𝑁(0,−1),𝑄(0,1),∵四边形𝐹𝑄𝐸𝑁为平行四边形,点𝐸在𝑥轴上,∴𝐹(1,0)或(3,0).【解析】(1)设𝑃(𝑎,𝑏)在𝑦=−2𝑥−1上,则𝑄(−𝑎,−𝑏)在𝑦=4𝑥上,构建方程组求解即可;(2)设𝑃(𝑠,𝑡)在𝑦=𝑥2+2𝑥上,则𝑄(−𝑠,−𝑡)在𝑦=4𝑥+𝑛−2022上,构建方程组求解;𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(3)设𝑃(𝑥,𝑦)在𝑦=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐上,则𝑄(−𝑥,−𝑦)在𝑦=2𝑏𝑥+1上,可得{,整理−𝑦=−2𝑏𝑥+12得𝑎𝑥2−𝑏𝑥+𝑐+1=0,可得𝛥=𝑏2−4𝑎(𝑐+1)=0,即𝑏2−4𝑎𝑐=4𝑎,由𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0,𝑏可知𝑥1+𝑥2=−,𝑥1⋅𝑥2=𝑎,推出𝐴𝐵=√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2=𝑎=2,求出𝑎,𝑏,𝑐的值,可𝑎√𝑐2得结论.本题属于二次函数综合题,考查二次函数的图象及性质,熟练掌握二次函数的图象及性质,三角形相似的判定及性质,一元二次方程根与系数的关系,弄清定义是解题的关键.25.【答案】(1)解:∵(𝑎−2)2+|2𝑏−1|=0,∴𝑎−2=0,𝑏−1=0,2∴𝑎=2,𝑏=2,

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