2022-2023学年湖南师大附中教育集团九年级(上)期中数学试题及答案解析

2022-2023学年湖南师大附中教育集团九年级（上）期中数学试卷1.1−(−2)=()A.−3B.3C.1D.−12.中国古文化遗存最大的三星堆遗址让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是()A.B.C.D.3.下列运算中，结果正确的是()A.3𝑎2+2𝑎2=5𝑎4B.𝑎3−2𝑎3=𝑎3C.𝑎2⋅𝑎3=𝑎5D.(𝑎2)3=𝑎54.如图，直线𝑎//𝑏，直线𝑐与直线𝑎，𝑏分别交于𝐴，𝐵，若∠1=45°，则∠2的度数是()A.135°B.145°C.155°D.165°5.一元二次方程2𝑥2+1=0的根的情况是()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根6.将抛物线𝑦=𝑥2向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为()A.𝑦=(𝑥−1)2+2B.𝑦=(𝑥+1)2−2C.𝑦=(𝑥+1)2+2D.𝑦=(𝑥+2)2+17.如图，𝐴，𝐵，𝐶为⊙𝑂上的三个点，∠𝐴𝑂𝐵=72°，则∠𝐴𝐶𝐵的度数为()第1页，共22页A.36°B.24°C.48°D.144°𝐷，𝐸分别是𝐴𝐵，𝐴𝐶的中点，𝐹，𝐺分别是𝐴𝐷，𝐴𝐸的中点，在△𝐴𝐵𝐶中，且𝐹𝐺=2𝑐𝑚，8.如图，则𝐵𝐶的长度是()A.4𝑐𝑚B.6𝑐𝑚C.8𝑐𝑚D.10𝑐𝑚9.已知，在同一平面直角坐标系中，二次函数𝑦=𝑎𝑥2与一次函数𝑦=𝑏𝑥+𝑐的图象如图所示，则二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象可能是()A.B.C.D.𝐵两点，已知直线𝑦=𝑘𝑥+2𝑘分别交𝑥轴和𝑦轴于𝐴，以𝐴𝐵为边作等边△𝐴𝐵𝐶(𝐴,𝐵,𝐶10.如图，三点逆时针𝐵排列)，𝐷，𝐸两点坐标分别为(−6,0)，(−1,0)，连接𝐶𝐷，𝐶𝐸，则𝐶𝐷+𝐶𝐸的最小值为()第2页，共22页A.6B.5+√3C.6.5D.711.2022年4月16日，神舟十三号飞船与太空站核心舱分离，最终返回地面，太空三人组经历了390000多米的回家之旅．数据390000用科学记数法表示为______．12.二次函数𝑦=−4(𝑥−1)2+1的图象的顶点坐标是______．𝐵两点，以点𝑃为圆心的圆弧与𝑥轴交于𝐴，点𝑃的坐标为(4,2)，点𝐴的坐标为(2,0)，13.如图，则点𝐵的坐标为______．14.农科院计划为某地选择合适的水果玉米种子，通过实验，甲、乙、丙、丁四种水果玉米2222𝑆乙=0.02，𝑆丙=0.03，𝑆丁=0.01，种子每亩平均产量都是1500𝑘𝑔，方差分别为𝑆甲=0.02，则这四种水果玉米种子产量最稳定的是______.(填“甲”“乙”“丙”“丁”)15.如图，四边形内接于⊙𝑂，若它的一个外角∠𝐷𝐶𝐸=46°，则∠𝐴的度数为______．16.某班学生共有50人，会游泳的有27人，会体操的有18人，游泳、体操都不会的有15人，那么既会游泳又会体操的有______人．17.计算：(−1)2022−√8−(𝜋−√3)0+|1−√2|．2第3页，共22页18.先化简，再求值：(𝑚−𝑛)(𝑚+𝑛)+(𝑚−𝑛)2−2𝑚2.其中𝑚=2，𝑛=1．19.如图，在直角△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°．(1)尺规作图：以𝐵为圆心，𝐵𝐶为半径画弧，交𝐴𝐵于点𝐷；分别以点𝐶，𝐷为圆心，以大于𝐶𝐷2的长为半径画弧，两弧交于点𝐹，连接𝐵𝐹，则射线𝐵𝐹为∠𝐵的角平分线．上述过程所用到的原理是______．A.𝑆𝑆𝑆B.𝑆𝐴𝑆C.𝐴𝐴𝑆D.𝐴𝑆𝐴(2)在(1)的条件下，射线𝐵𝐹交𝐴𝐶于点𝐸，连接𝐷𝐸.若∠𝐴=30°，𝐶𝐸=1，求𝐴𝐶的长．120.教育部规定中小学劳动教育考核纳入学生综合素质档案，以促进学生劳动素养的提升．为了了解本校学生“一周内做家务劳动所用的时间”(简称“劳动时间”)的情况，某校随机调查了100名学生的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：第4页，共22页组别𝐴𝐵𝐶𝐷总计“劳动时间”𝑡/分钟𝑡<6060≤𝑡≤9090≤𝑡≤120𝑡≥120频数81640𝑎100组内学生的平均“劳动时间”/分钟5075100150根据上述信息，解答下列问题：(1)表格中𝑎=______，这100名学生的“劳动时间”的中位数落在______组(填“𝐴”“𝐵”“𝐶”“𝐷”)；(2)求这100名学生的平均“劳动时间”；(3)若该校有1200名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于60分钟的人数．21.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷为𝐵𝐶边上的中线，𝐸为𝐴𝐷的中点，将线段𝐵𝐸绕着点𝐸顺时针旋转180°到𝐸𝐹，连接𝐴𝐹，𝐶𝐹．(1)求证：四边形𝐴𝐷𝐶𝐹为矩形；(2)若𝐴𝐷=𝐵𝐶，𝐴𝐵=2√5，求𝐵𝐹的长．22.为满足市场需求，某超市在新年来临前夕购进一批盲盒，进价为每个15元，第一天以每个25元的价格售出30个，为了尽快售完，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出3个．(1)当售价小于25元时，试求出第二天起每天的销售量𝑦(盒)与每盒售价𝑥(元)之间的函数关系式；(2)如果前两天共获利525元，且第二天销售数量不低于30个，则第二天每个盲盒的销售价格为多少元？第5页，共22页⏜的中点，𝐶𝐹为⊙𝑂的弦，且𝐶𝐹⊥𝐴𝐵，垂足为𝐸，连23.如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，点𝐶为𝐵𝐷接𝐵𝐷交𝐶𝐹于点𝐺，连接𝐶𝐷，𝐴𝐷，𝐵𝐹．(1)求证：△𝐵𝐹𝐺≌△𝐶𝐷𝐺；(2)若𝐴𝐷=𝐵𝐸=4，求𝐵𝐹的长．24.规定：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“守望函数”，这对点称为“守望点”.例如：点𝑃(2,4)在函数𝑦=𝑥2上，点𝑄(−2,−4)在函数𝑦=−2𝑥−8上，点𝑃与点𝑄关于原点对称，此时函数𝑦=𝑥2和𝑦=−2𝑥−8互为“守望函数”，点𝑃与点𝑄则为一对“守望点”．(1)函数𝑦=−2𝑥−1和函数𝑦=4𝑥是否互为“守望函数”？若是，求出它们的“守望点”，若不是，请说明理由；(2)已知函数𝑦=𝑥2+2𝑥和𝑦=4𝑥+𝑛−2022互为“守望函数”，求𝑛的最大值并写出取最大值时对应的“守望点”；(3)已知二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎>0)与𝑦=2𝑏𝑥+1互为“守望函数”，有且仅有一对𝐵(𝑥2,0)，𝐴𝐵=2，“守望点”，若二次函数的顶点为𝑀，与𝑥轴交于𝐴(𝑥1,0)，其中0<𝑥1<𝑥2，又𝑎=2，过顶点𝑀作𝑥轴的平行线𝑙交𝑦轴于点𝑁，直线𝑦=2𝑏𝑥+1与𝑦轴交点为点𝑄，动𝑐−𝑐+6点𝐸在𝑥轴上运动，求抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎>0)上的一点𝐹的坐标，使得四边形𝐹𝑄𝐸𝑁为平行四边形．4𝑐25.如图，点𝐴(𝑎,0)，𝐵(0,𝑏)，且𝑎，𝑏满足(𝑎−2)2+|2𝑏−1|=0．(1)如图1，求△𝐴𝑂𝐵的面积；(2)如图2，𝐵重合)移动，𝐴𝐵⊥𝐵𝐷，𝐴𝐶+𝐵𝐷=点𝐶在线段𝐴𝐵上(不与𝐴，且∠𝐶𝑂𝐷=45°，求证：𝐶𝐷；(3)如图3，若点𝑃为𝑥轴上异于原点𝑂和点𝐴的一个动点，连接𝑃𝐵，将线段𝑃𝐵绕点𝑃顺时针旋1第6页，共22页转90°至𝑃𝐸，直线𝐴𝐸交𝑦轴于点𝑄.若点𝐵，𝐴，𝐸三点在半径为2√2的圆𝐹上，求𝐸𝐵的值．𝐴𝑃第7页，共22页答案和解析1.【答案】𝐵【解析】解：原式=1+2=3，故选：𝐵．利用有理数的减法运算法则计算即可．本题考查了有理数的减法，解题的关键是掌握有理数减法法则．2.【答案】𝐵【解析】解：𝐴.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；B.既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；C.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：𝐵．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．3.【答案】𝐶【解析】解：𝐴.3𝑎2+2𝑎2=5𝑎2，故此选项不合题意；B.𝑎3−2𝑎3=−𝑎3，故此选项不合题意；C.𝑎2⋅𝑎3=𝑎5，故此选项符合题意；D.(𝑎2)3=𝑎6，故此选项不合题意；故选：𝐶．直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．第8页，共22页4.【答案】𝐴【解析】解：∵直线𝑎//𝑏，∠1=45°，∴∠3=45°，∴∠2=180°−45°=135°．故选：𝐴．直接利用平行线的性质结合邻补角的性质得出答案．此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．5.【答案】𝐷【解析】解：2𝑥2+1=0，2𝑥2=−1，∴此方程没有实数根，故选：𝐷．利用解一元二次方程−直接开平方法，进行计算即可解答．本题考查了解一元二次方程−直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程−直接开平方法是解题的关键．6.【答案】𝐶【解析】解：将抛物线𝑦=𝑥2向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为：𝑦=(𝑥+1)2+2．故选：𝐶．直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．7.【答案】𝐴【解析】解：∵∠𝐴𝑂𝐵=72°，∴∠𝐴𝐶𝐵=2∠𝐴𝑂𝐵=36°，故选：𝐴．1第9页，共22页直接根据圆周角定理即可得出结论．本题考查的是圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．8.【答案】𝐶【解析】解：如图，∵△𝐴𝐷𝐸中，𝐹、𝐺分别是𝐴𝐷、𝐴𝐸的中点，∴𝐷𝐸=2𝐹𝐺=4𝑐𝑚，∵𝐷，𝐸分别是𝐴𝐵，𝐴𝐶的中点，∴𝐷𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中位线，∴𝐵𝐶=2𝐷𝐸=8𝑐𝑚，故选：𝐶．利用三角形中位线定理求得𝐹𝐺=𝐷𝐸，𝐷𝐸=𝐵𝐶，于是得到结论．22本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．119.【答案】𝐵【解析】解：观察函数图象可知：𝑎<0，𝑏>0，𝑐>0，∴二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象开口向下，对称轴𝑥=−故选：𝐵．根据二次函数𝑦=𝑎𝑥2与一次函数𝑦=𝑏𝑥+𝑐的图象，即可得出𝑎<0，𝑏>0，𝑐>0，由此即可得出：二次函数𝑦=𝑎𝑥−+𝑏𝑥+𝑐的图象开口向上，对称轴𝑥=−再对照四个选项中的图象即可得出结论．本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象和一次函数图象经过的象限，找出𝑎<0、𝑏>0、𝑐>0是解题的关键．𝑏2𝑎𝑏2𝑎>0，与𝑦轴的交点在𝑦轴正半轴．与𝑦轴的交点在𝑦轴正半轴，>0，10.【答案】𝐷【解析】解：∵点𝐵在直线𝑦=𝑘𝑥+2𝑘上，∴𝑘(𝑥+2)=0，∵𝑘≠0，∴𝑥−2=0，∴𝐵(−2,0)，第10页，共22页∵𝐸(−1,0)，𝐷(−6,0)，在𝑥轴上方作等边△𝐴𝑂𝐹，∵∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐹𝐴𝑂=60°，∴∠𝐶𝐴𝐵+∠𝐵𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝐹+∠𝐹𝐴𝑂，即∠𝐶𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝑂，在△𝐴𝑂𝐵和△𝐴𝐹𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶{∠𝐶𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝑂，𝐴𝐹=𝐴𝑂∴△𝐴𝑂𝐵≌△𝐴𝐹𝐶(𝑆𝐴𝑆)，∴∠𝐴𝐹𝐶=∠𝐴𝑂𝐵=90°，∴点𝐶的轨迹为定直线𝐶𝐹，作点𝐸关于直线𝐶𝐹的对称点𝐸′，连接𝐶𝐸′，𝐶𝐸=𝐶𝐸′，∴𝐶𝐷+𝐶𝐸=𝐶𝐷+𝐶𝐸′，∴当点𝐷、𝐶、𝐸′在同一条直线上时，𝐷𝐸′=𝐶𝐷+𝐶𝐸的值最小，∵𝐴𝐹=𝐴𝑂=2，∠𝐹𝐴𝑂=60°，∠𝐴𝐹𝐺=90°，∴𝐴𝐺=4，𝐸𝐺=3，𝐸𝐸′=2×𝐴𝐹=3，即𝐸′(1,3√3)，2234∴(𝐶𝐷+𝐶𝐸)的最小值=𝐷𝐸′=√(−6−1)2+(0−3√3)2=7，22故选：𝐷．第11页，共22页在𝑥轴上方作等边△𝐴𝑂𝐹，证明△𝐴𝑂𝐵≌△𝐴𝐹𝐶(𝑆𝐴𝑆)，所以点𝐶的轨迹为定直线𝐶𝐹，作点𝐸关于直线𝐶𝐹的对称点𝐸′，连接𝐶𝐸′，𝐶𝐸=𝐶𝐸′，当点𝐷、𝐶、𝐸′在同一条直线上时，𝐷𝐸′=𝐶𝐷+𝐶𝐸的值最小，再根据勾股定理，即可解答．本题考查旋转的性质，一次函数的性质，最短路径，勾股定理，轴对称等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．11.【答案】3.9×105【解析】解：390000=3.9×105，故答案为：3.9×105．390000>1，写成𝑎×10𝑛(0<𝑎<10)即可．本题考查了科学记数法知识点，做题时注意位数的个数即可，难度不大．12.【答案】(1,1)【解析】解：∵𝑦=−4(𝑥−1)2+1，∴抛物线的顶点坐标为(1,1)，故答案为：(1,1)．抛物线解析式为顶点式，直接根据抛物线解析式得解．本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数解析式的顶点式的特征．13.【答案】(6,0)【解析】解：过点𝑃作𝑃𝐶⊥𝐴𝐵于点𝐶，∵以点𝑃为圆心的圆弧与𝑥轴交于𝐴，𝐵两点，∴𝐴𝐶=𝐵𝐶，∵点𝑃的坐标为(4,2)，点𝐴的坐标为(2,0)，∴点𝐶的坐标为(4,0)，𝐴𝐶=2，∴𝐵𝐶=2，第12页，共22页∴𝑂𝐵=6，∴点𝐵的坐标为(6,0)．故答案为：(6,0)．由以点𝑃为圆心的圆弧与𝑥轴交于𝐴，𝐵两点，可以想到过点𝑃作𝑃𝐶⊥𝐴𝐵，利用垂径定理，即可求得答案．此题考查了垂径定理的应用．此题结合了直角坐标系的知识，有一定的综合性，不过难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．14.【答案】丁2222【解析】解：∵𝑆甲=0.02，𝑆乙=0.02，𝑆丙=0.03，𝑆丁=0.01，∴丁的方差最小，∴成绩最稳定的是丁．故答案为：丁．直接利用方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，进而分析即可．此题主要考查了方差，正确理解方差的意义是解题关键．15.【答案】46°【解析】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于⊙𝑂，∴∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐵𝐶𝐷=180°，∵∠𝐵𝐶𝐷+∠𝐷𝐶𝐸=180°，∴∠𝐴=∠𝐷𝐶𝐸=46°．故答案为：46°．由四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于⊙𝑂，可得∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐵𝐶𝐷=180°，又由邻补角的定义，可证得∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐷𝐶𝐸.继而求得答案．此题考查了圆的内接四边形的性质．注意掌握圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．16.【答案】10第13页，共22页【解析】解：如图，设既会游泳又会体操的有𝑥人，则27−𝑥+𝑥+18−𝑥+15=50，解得𝑥=10，∴既会游泳又会体操的有10人．故答案为：10．设既会游泳又会体操的有𝑥人，结合图形，利用只会游泳人数+两项都会的人数+只会体操的人数+两者都不会的人数=总人数列出关于𝑥的方程，解之可得答案．本题主要考查了容斥原理公式之一：𝐴类、𝐵类元素个数总和=属于𝐴类元素个数+属于𝐵类元素个数−既是𝐴类又是𝐵类的元素个数．17.【答案】解：(−1)2022−√8−(𝜋−√3)0+|1−√2|2=1−2√2−1+√2−12=1−√2−1+√2−1=−1．【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．18.【答案】解：(𝑚−𝑛)(𝑚+𝑛)+(𝑚−𝑛)2−2𝑚2=𝑚2−𝑛2+𝑚2−2𝑚𝑛+𝑛2−2𝑚2=−2𝑚𝑛，当𝑚=2，𝑛=1时，原式=−2×2×1=−4．【解析】利用平方差公式，完全平方公式，进行计算即可解答．本题考查了整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．第14页，共22页19.【答案】𝐴【解析】解：(1)由作法得𝐵𝐷=𝐵𝐶，𝐶𝐹=𝐷𝐹，∵𝐵𝐹为公共边，∴△𝐵𝐶𝐹≌△𝐵𝐷𝐹(𝑆𝑆𝑆)，∴∠𝐶𝐵𝐹=∠𝐷𝐵𝐹，∴射线𝐵𝐹为∠𝐵的角平分线；故选：𝐴；(2)∵∠𝐶=90°，∠𝐴=30°，∴∠𝐴𝐵𝐶=60°，∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝐸=30°，在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐸中，∠𝐶𝐵𝐸=30°，∴𝐵𝐸=2𝐶𝐸=2，∵∠𝐴=∠𝐴𝐵𝐸，∴𝐴𝐸=𝐵𝐸=2，∴𝐴𝐶=𝐴𝐸+𝐶𝐸=2+1=3．(1)由作法得𝐵𝐷=𝐵𝐶，𝐶𝐹=𝐷𝐹，则根据“𝑆𝑆𝑆”可判断△𝐵𝐶𝐹≌△𝐵𝐷𝐹，从而得到∠𝐶𝐵𝐹=∠𝐷𝐵𝐹；(2)先计算出∠𝐴𝐵𝐶=60°，再根据角平分线的定义得到∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝐸=30°，所以𝐵𝐸=2𝐶𝐸=2，接着利用∠𝐴=∠𝐴𝐵𝐸得到𝐴𝐸=𝐵𝐸=2，然后计算𝐴𝐸+𝐶𝐸即可．本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质和勾股定理．20.【答案】36𝐶【解析】解：(1)由题意可知，𝑎=100−8−16−40=36；把100名学生的“劳动时间”从小到大排列，排在中间的两个数均在𝐶组，故这100名学生的“劳动时间”的中位数落在𝐶组，故答案为：36；𝐶；(2)𝑥=100×(50×8+75×16+100×40+150×36)=110(分钟)，−1第15页，共22页答：这100名学生的平均“劳动时间”为110分钟；(3)1200×100=1104(名)，答：估计在该校学生中，“劳动时间”不少于60分钟的有1104名．(1)用100分别减去其它三组的频数可得𝑎的值；再利用中位数的定义解答即可；(2)根据平均数的定义解答即可；(3)用样本估计总体即可．本题考查了中位数，频数(率)分布表．从频数(率)分布表中得到必要的信息是解决问题的关键．100−821.【答案】(1)证明：∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷为𝐵𝐶边上的中线，∴𝐵𝐷=𝐶𝐷，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∵将线段𝐵𝐸绕着点𝐸顺时针旋转180°到𝐸𝐹，∴𝐵𝐸=𝐸𝐹，∠𝐵𝐸𝐹=180°，∴点𝐵，点𝐸，点𝐹三点共线，在△𝐴𝐸𝐹和△𝐷𝐸𝐵中，𝐴𝐸=𝐷𝐸{∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐷𝐸𝐵，𝐸𝐹=𝐸𝐵∴△𝐴𝐸𝐹≌△𝐷𝐸𝐵(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐴𝐹=𝐵𝐷，∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐷𝐵𝐹，∴𝐴𝐹=𝐵𝐷=𝐶𝐷，𝐴𝐹//𝐶𝐷，∴四边形𝐴𝐷𝐶𝐹是平行四边形，∵𝐴𝐷⊥𝐶𝐷，∴四边形𝐴𝐷𝐶𝐹是矩形；(2)解：∵𝐴𝐷=𝐵𝐶，𝐵𝐷=𝐶𝐷，∴𝐴𝐷=2𝐵𝐷，∵𝐴𝐵2=𝐴𝐷2+𝐵𝐷2，∴20=4𝐵𝐷2+𝐵𝐷2，∴𝐵𝐷=2，∴𝐵𝐶=𝐴𝐷=4，∵四边形𝐴𝐷𝐶𝐹是矩形，第16页，共22页∴𝐴𝐷=𝐶𝐹=4，∠𝐹𝐶𝐷=90°，∴𝐵𝐹=√𝐶𝐹2+𝐵𝐶2=√16+16=4√2．【解析】(1)由“𝑆𝐴𝑆”可证△𝐴𝐸𝐹≌△𝐷𝐸𝐵，可得𝐴𝐹=𝐵𝐷，∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐷𝐵𝐹，由平行四边形的判定可证四边形𝐴𝐷𝐶𝐹是平行四边形，由矩形的判定可得结论；(2)由勾股定理可求𝐴𝐷，𝐵𝐶的长，由矩形的性质和勾股定理可求𝐵𝐹的长．本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．22.【答案】解：(1)根据题意，当𝑥<25时，𝑦=30+3(25−𝑥)，化简得𝑦=−3𝑥+105；答：每天的销售量𝑦(盒)与每盒售价𝑥(元)之间的函数关系式为𝑦=−3𝑥+105；(2)设第二天每个盲盒的售价为𝑥元，根据题意，得：(25−15)×30+(𝑥−15)(105−3𝑥)=525，整理得：𝑥2−50𝑥+600=0，解得：𝑥1=20，𝑥2=30(不符合题意，舍去)，当𝑥=20时，105−3𝑥=105−3×20=45>30，符合题意．答：第二天每个盲盒的销售价格为20元．【解析】(1)利用销售量=30+3×每个降低的钱数，即可找出𝑦与𝑥之间的函数关系式，再结合每个盲盒的进价及从第二天起降价销售，即可得出自变量𝑥的取值范围；(2)利用总利润=每个的销售利润×销售数量，即可得出关于𝑥的一元二次方程，解之即可得出𝑥的值，结合(1)中的𝑥取值范围及第二天销售数量不低于30个，即可得出结论．(1)根据各数量之间的关系，本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找出𝑦与𝑥之间的函数关系式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．⏜中点，23.【答案】(1)证明：∵𝐶是𝐵𝐷⏜=𝐵𝐶⏜，∴𝐶𝐷∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，且𝐶𝐹⊥𝐴𝐵，第17页，共22页⏜=𝐵𝐹⏜，∴𝐵𝐶⏜=𝐵𝐹⏜，∴𝐶𝐷∴𝐶𝐷=𝐵𝐹，在△𝐵𝐹𝐺和△𝐶𝐷𝐺中，∠𝐹=∠𝐶𝐷𝐺{∠𝐹𝐺𝐵=∠𝐷𝐺𝐶，𝐵𝐹=𝐶𝐷∴△𝐵𝐹𝐺≌△𝐶𝐷𝐺(𝐴𝐴𝑆)；(2)解：如图，连接𝑂𝐹，设⊙𝑂的半径为𝑟，𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐵中，𝐵𝐷2=𝐴𝐵2−𝐴𝐷2，即𝐵𝐷2=(2𝑟)2−42，𝑅𝑡△𝑂𝐸𝐹中，𝑂𝐹2=𝑂𝐸2+𝐸𝐹2，即𝐸𝐹2=𝑟2−(𝑟−4)2，⏜=𝐵𝐶⏜=𝐵𝐹⏜，∵𝐶𝐷⏜，⏜=𝐶𝐹∴𝐵𝐷∴𝐵𝐷=𝐶𝐹，∴𝐵𝐷2=𝐶𝐹2=(2𝐸𝐹)2=4𝐸𝐹2，即(2𝑟)2−42=4[𝑟2−(𝑟−4)2]，解得：𝑟=2(舍)或6，∴𝐵𝐹2=𝐸𝐹2+𝐵𝐸2=62−(6−4)2+42=48，∴𝐵𝐹=4√3．【解析】(1)首先利用已知条件和垂径定理证明𝐶𝐷=𝐵𝐹，然后根据𝐴𝐴𝑆证明△𝐵𝐹𝐺≌△𝐶𝐷𝐺；(2)连接𝑂𝐹，设⊙𝑂的半径为𝑟，由𝐶𝐹=𝐵𝐷列出关于𝑟的勾股方程就能求解．此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理．第二问有难度，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．24.【答案】解：(1)是“守望函数”．理由：设𝑃(𝑎,𝑏)在𝑦=−2𝑥−1上，则𝑄(−𝑎,−𝑏)在𝑦=4𝑥上，∴{𝑏=−2𝑎−1，−𝑏=−4𝑎1𝑎=−6解得{2，𝑏=−3∴“守望点”为(−,−)，(,)；63631212第18页，共22页(2)设𝑃(𝑠,𝑡)在𝑦=𝑥2+2𝑥上，则𝑄(−𝑠,−𝑡)在𝑦=4𝑥+𝑛−2022上，2∴{𝑠+2𝑠=𝑡，−4𝑠+𝑛+2022=−𝑡∴𝑛=−𝑡+4𝑠+2022=−𝑠2+2𝑠+2022=−(𝑠−1)2+2023，当𝑠=1时，𝑛有最大值2023，此时“守望点”为(1,3)与(−1,−3)；(3)设𝑃(𝑥,𝑦)在𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐上，则𝑄(−𝑥,−𝑦)在𝑦=2𝑏𝑥+1上，𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐∴{，−𝑦=−2𝑏𝑥+1整理得𝑎𝑥2−𝑏𝑥+𝑐+1=0，∵有且仅存在一组“守望点”，∴𝛥=𝑏2−4𝑎(𝑐+1)=0，即𝑏2−4𝑎𝑐=4𝑎，∵𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0，𝑏∴𝑥1+𝑥2=−，𝑥1⋅𝑥2=𝑎，𝑎𝑐∴𝐴𝐵=√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2=∵𝐴𝐵=2，∴𝑎=1，∴1=𝑐2−𝑐+6，∴𝑐=2(舍弃)或3，∴𝑐=3，∴𝑏2=12+4=16，∴𝑏=−4或4(舍弃)，4𝑐2，√𝑎∴抛物线的解析式为𝑦=𝑥2−4𝑥+3，直线的解析式为𝑦=−8𝑥+1，第19页，共22页函数图像如图所示，由题意𝑀(2,−1)，𝑁(0,−1)，𝑄(0,1)，∵四边形𝐹𝑄𝐸𝑁为平行四边形，点𝐸在𝑥轴上，∴𝐹(1,0)或(3,0)．【解析】(1)设𝑃(𝑎,𝑏)在𝑦=−2𝑥−1上，则𝑄(−𝑎,−𝑏)在𝑦=4𝑥上，构建方程组求解即可；(2)设𝑃(𝑠,𝑡)在𝑦=𝑥2+2𝑥上，则𝑄(−𝑠,−𝑡)在𝑦=4𝑥+𝑛−2022上，构建方程组求解；𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(3)设𝑃(𝑥,𝑦)在𝑦=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐上，则𝑄(−𝑥,−𝑦)在𝑦=2𝑏𝑥+1上，可得{，整理−𝑦=−2𝑏𝑥+12得𝑎𝑥2−𝑏𝑥+𝑐+1=0，可得𝛥=𝑏2−4𝑎(𝑐+1)=0，即𝑏2−4𝑎𝑐=4𝑎，由𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0，𝑏可知𝑥1+𝑥2=−，𝑥1⋅𝑥2=𝑎，推出𝐴𝐵=√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2=𝑎=2，求出𝑎，𝑏，𝑐的值，可𝑎√𝑐2得结论．本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，一元二次方程根与系数的关系，弄清定义是解题的关键．25.【答案】(1)解：∵(𝑎−2)2+|2𝑏−1|=0，∴𝑎−2=0，𝑏−1=0，2∴𝑎=2，𝑏=2，