中职数学拓展模块（高教版）4.1平面

4.1平面情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业我们知道,构成空间的基本要素是点、线、面,在平面几何中,我

们学习的重点是点与直线,下面我们先重点学习平面.平面的特征和表示4.1.1情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业

茶卡盐湖被称为“中国的天空之镇”,当其湖面平静之时就像一面镜子,给人很“平”的印象.面对浩瀚的大海时,我们会感慨大海“一望无际”.茶卡盐湖湖面和海面都可以用“平面”来描述.类似地,课桌桌面、书本封面也可以用“平面”来描述.这些平面有什么共同特征呢？情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业这些面都是平的,可以向各个方向无限延展.数学中的平面具有平和无限延展的特征.情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业

数学中,因直线具有无限延伸性,所以人们作直线时实际只画出直线的一部分来表示整条直线.

类似地,我们用平面的一部分来表示平面.通常我们用平行四边形三角形、圆等平面图形来表示平面.怎样画出具有无限延展性的平面呢？情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业

观察右图粉笔盒的正面、顶面、侧面所在平面可以分别画成下图所示的三个图形.情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业为叙述方便,常常把几何对象用字母表示.例如,点可以用大写英文字母A、B、⋯表示.直线可以用小写英文字母l、m、⋯表示,也可以用直线上两点的字母AB、CD、⋯表示.类似地,可以用小写希腊字母α、β、⋯表示平面,如平面α

、平面β;也可以用多边形的顶点字母表示平面,对于平行四边形,可选用其中一组对角线的顶点字母表示平面.平面可表示为平面

ABCD

或平面AC.

如图所示,ΔABC

所在的平面可表示为面

ABC,

⏥ABCD

所在的平面可表示为平面

ABCD

或平面AC.

情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业考虑到直线和平面均可看作由无数个点组成的点集,当点P在直线l或平面α内时,可分别表示为P∈l,P∈α.当点P不在直线l或不在平面α内时,可分别表为P∉l,P∉α.例1用符号语言表示以下点与直线,平面的位置关系,并画出满足条件的一个图形.（1）点A在直线l上,且在平面α内.解情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题（1）A∈l且A∈α,如图所示.画法：①画平行四边形表示平面α；②将点A画在平行四边形的内部；③经过点A画直线l.想一想，还有其他画法么？例1用符号语言表示以下点与直线,平面的位置关系,并画出满足条件的一个图形.（2）点C不在平面β内,直线m经过点C且与平面β有一个公共点B.情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题（2）C∉β,C∈m,B∈m,B∈β,如图所示.画法：①画平行四边形表示平面β；②将点C画在平行四边形的外部；③将点B画在平行四边形内；④连接点C与点B并向两个方向延长,将直线CB标注为直线m,并将直线被平面遮挡部分擦除或画为虚线.解情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题画直线与平面相交时,直线被平面遮挡的部分画出虚线或不画.情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题练习1.

判断下列说法是否正确.

（1）平整的课桌面是一个平面的一部分；

（2）不同平面的大小是不同的：

（3）光滑的玻璃球的表面是一个平面；

（4）长方体

ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1,所在平面可表示为平面AB1；

（5）把一块长为3m、宽为1.5m

的黑板看作一个平面，这个平面的面积是

4.5

m.情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题练习2.已知ABCD-A1B1C1D1,如图所示.试用符号“∈”或“∉”填空.

A

直线

AD,A

直线

A1B1

,A

平面BD,A

平面BC1.情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题练习3.

请画出符合下列条件的一个图形.

（1）

A∉l,

A∈α;（2）

B∉l,B∉β.

4.

观察自己身边有哪些事物可以看作平面的一部分.平面的基本性质4.1.2情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业如图所示,分别尝试用一个指尖、两个指尖、三个指尖顶起一块硬纸板,看看哪种方式能比较稳地将硬纸板顶起来？你有什么发现？情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业

尝试后发现,当三个指尖不在同一条直线上时,能将硬纸板平稳地顶起来.这个公理也可以说成“不共线的三点确定一个平面”.

这个现象蕴含着平面的如下重要性质.

公理1经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.

情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业如图所示,点A、B、C不共线．由公理

1可知,存在唯一的平面α,使得A∈α,B∈α,C∈α.容易看出,经过一个点、两个点或共线的三个点有无数个平面,也可以说成“一个点，两个点或共线的三个点不能确定一个平面”.情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业将一根细线拉直,然后把它的两个端点固定在桌面上,如图所示,观察细线上其他的点与桌面的关系.如果抓住细线中的一点并拉离桌面,细线还是直线吗？情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业

容易看出,当把拉直的细线的两个端点放在桌面上时,细线上的所有点都在桌面上.如果将细线抽象为直线,桌面抽象成平面,可以得出平面的如下性质.

公理2如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.有且只有一个平面.

情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业当一条直线上的所有点都在平面内时,称直线在平面内,或者说平面经过直线.如图所示,由A∈α,B∈α,可知AB⊆α.因为直线和平面都是由点组成的集合,所以直线m在平面α内可表示为m⊆α.当直线m不在平面α内时,表示为

m⊈α,此时直线与平面有一个公共点或没有公共点.情境导入典型例题巩固练习归纳总结布置作业探索新知表示直线在平面内时,要把直线画在表示平面的图形的内部.情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业由公理1、2得到以下结论.

推论1经过一条直线和该直线外的一点有且只有一个平面.

如图所示,A∈l,存在唯一的平面α,使得A∈α,l⊆α.情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业推论2经过两条相交直线有且只有一个平面.

如图所示,直线m与直线n相较于点A,存在唯一的平面α,使得m⊆α,n⊆α.情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业推论3经过两条平行直线有且只有一个平面.

如图所示,

m∥n,存在唯一的平面α,使得m⊆α,n⊆α.情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业将一块薄的硬纸板平放到桌面上,可视作硬纸板和桌面所在的平面重合,如图所示.抬起硬纸板的一端,让另一端紧贴桌面,则硬纸板和桌面所在台面有一条公共直线.继续抬起硬纸板,将纸板的一角支在桌面上,则支点就是硬纸板和桌面所在平面的一个公共点.这时,它们所在的平面就只有这一个公共点么？情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业考虑到平面具有无限延展性,我们把硬纸板向下延展.容易看出,硬纸板所在的平面与桌面所在的平面有一条公共直线由此,得

到平面的性质：公理3如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条经过该点的公共直线.

此时,称两个平面相交,并把公共直线称为两个平面的交线.当平面α与平面β相交于直线l时,记作α⋂β=l.如图所示,A∈α,A∈β,存在唯一的直线l,使得A∈l,

α⋂β=l.情境导入典型例题巩固练习归纳总结布置作业探索新知画两个平面相交时,一定要画出它们的交线,平面被遮挡部分用虚线表示或者不画.情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题例2试用符号语言表示下列语句,并画出相应的图形.（1）点A、B在直线l上,直线l在平面α内.解（1）A、B∈l,l⊆α,如图所示.画法：①画平行四边形表示平面α；②在平行四边形内画点A、B；③连接A、B并延长,在直线AB上标出直线l.情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题例2试用符号语言表示下列语句,并画出相应的图形.（2）平面α和平面β相交于直线l.解（2）α⋂β=l,如左图所示.画法：①画线段AB表示交线l,如右图所示；②过点A画与l不同的两条相交线段CD、EF,再过点B画

C'D'与E'F'

,使C'D'∥CD、E'F'∥EF,C'D'=CD,E'F'=EF；③连接

CC'

、DD'、EE'、FF',分别将平面

CD'和平面EF'标注为平面α和平面β,再将被遮挡部分改为虚线或不画,最后擦去字母A、B、C、D、A'、B'、C'、D'.情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题例3判断下列说法是否正确.

（1）经过三个点有且只有一个平面；（2）如果直线l与平面α有三个公共点,那么l⊆α；（3）用三角板的一个顶点与桌面接触,只有一个公共点,故两

个平面可以只有一个公共点.解（1）错误.经过不共线的三点有且只有一个平面.当三点共线时,经过这三个点有无数个平面；

（2）正确.当一条直线有两个点在平面内时,这条直线就在平面内；

（3）错误.当两个平面有一个公共点时,这两个平面就有一条经过该点的公共直线,因此它们一定有无数个公共点.情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题例4在正方体ABCD-A1B1C1D1[图(1)]中,找出符合下列条件的平面.

（1）经过点A1、B、D的平面；解（1）经过点A1、B、D的平面是平面A1BD,如图(2)所示；情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题例4在正方体ABCD-A1B1C1D1[图(1)]中,找出符合下列条件的平面.

（2）经过直线BC和点D1的平面；解（2）经过直线BC和点D1平面是平面BCD1,如图(3)所示；情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题例4在正方体ABCD-A1B1C1D1[图(1)]中,找出符合下列条件的平面.

（3）经过直线BD和DD1的平面；解（3）经过直线BD和DD1的平面是平面BDD1,如图(4)所示；情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题例4在正方体ABCD-A1B1C1D1[图(1)]中,找出符合下列条件的平面.

（4）经过直线AB和C1D1的平面；解（4）经过直线AB和C1D1的平面是平面ABC1D1,如图(5)所示.情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题练习1.判断下列说法是否正确.

（1）经过直线m和点A的平面有且只有一个；（2）两条相交直线可以确定一个平面；

（3）同时经过两条