第14讲 等差数列的通项求和及性质7大题型 （解析版）-2024高考数学常考题型

第14讲等差数列的通项求和及性质7大题型【考点分析】考点一：等差数列的基本概念及公式①等差数列的定义：（或者）．②等差数列的通项公式：，通项公式的推广：③等差中项：若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有（）．④等差数列的前项和公式：考点二：等差数列的性质①通项下标和性质：在等差数列中，当时，则．特别地，当时，则．②等差数列通项的性质：，所以当时，等差数列的通项为关于的一次函数，即．③等差数列前n项和的常用性质：，所以当时，等差数列的前n项和为关于的二次函数且没有常数项，即因为当时，开口向上，有最小值；当时，开口向下，有最大值；【题型目录】题型一：等差数列通项求和公式运用题型二：等差中项及性质问题题型三：等差数列前项和的性质题型四：等差数列前n项和的最值题型五：等差数列通项公共项及奇偶项和问题题型六：等差数列新文化试题题型七：对于含绝对值的数列求和问题【典型例题】题型一：等差数列通项求和公式运用【例1】（2022·江西省万载中学高一阶段练习（文））在数列中，，，若，则（

）A．671 B．672 C．673 D．674【答案】D【分析】分析得到数列是以1为首项，3为公差的等差数列，利用等差数列通项即得解.【详解】∵，，∴∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列，∴，解得.故选：D.【例2】（2022·全国·高三专题练习）数列{an}满足，且，，是数列的前n项和，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据递推公式得到数列是等差数列，进而求出公差和通项公式，求出，得到答案.【详解】数列满足，则数列是等差数列，设等差数列的公差为.因为，所以，即.所以，所以，，，所以，.故选：B【例3】（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【解析】设，则，依题意，有，且，所以，故，故选：D【例4】（2022·北京石景山·高二期末）等差数列的前项和为，前项积为，已知，，则（

）A．有最小值，有最小值 B．有最大值，有最大值C．有最小值，有最大值 D．有最大值，有最小值【答案】C【详解】依题意，由解得，，所以等差数列的前项和满足：最小，无最大值.……当时：，且为递减数列，故有最大值，没有最小值.故选：C【例5】（2022·全国·高二课时练习）已知数列均为等差数列，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，得出，令，可得构成一个等差数列，求得公差，即可求得的值.【详解】由题意，设，则，令，可得构成一个等差数列，所以由已给出的，，，，所以解得：，即.故选：B【例6】（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则（

）A．18 B．16 C．14 D．12【答案】C【分析】设的公差为，依题意得到方程组，解得、，从而得解.【详解】解：设的公差为，依题意可得，即，解得，所以；故选：C.【例7】（2021·福建省华安县第一中学高三期中）设等差数列的前n项和为，若，，，则m等于（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【详解】是等差数列，，又，∴公差，，故选：D．【题型专练】1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知等差数列中，为数列的前项和，则（

）A．115 B．110 C． D．【答案】D【解析】设数列的公差为，则由得，解得，．故选：D．2．（2022全国高二专题练习）在等差数列中，，且（1）求数列的首项､公差；（2）设，若，求正整数m的值.【答案】（1）数列的首项是4，公差为0或首项是1，公差为3；（2）6.【分析】（1）根据条件，列出两个关于首项和公差的方程，然后解方程即可；（2）由（1）求出数列的通项，然后再求出，再根据求出.【详解】（1）设等差数列的公差为d，前n项和为，由已知可得：或，即数列的首项是4，公差为0或首项是1，公差为3.（2）由（1）可知或当时，，又，而不满足题意；当时，，又，所以，整理得，因为m为正整数，所以m=6.3．（2022·山西吕梁·高二期末）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块．已知每层圈数相同，共有9圈，则下层比上层多______块石板．【答案】1458【详解】设第圈的石板为，由条件可知数列是等差数列，且上层的第一圈为，且，所以，上层的石板数为，下层的石板数为.所以下层比上层多块石板.故答案为：14584．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知圆的半径为，，过点的条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为，最长弦长为，且公差，则的取值可能是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】由过圆内一点的最长弦和最短弦的求法可求得，结合等差数列通项公式可求得，根据的范围可求得所有可能的取值.【详解】过点的最长弦为圆的直径，则；过点的最短弦是与最长弦垂直的弦，则；，解得：；，，即，又，的取值可能为或.故选：AB.5．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列为递增数列，若，，则数列的公差d的值为______．【答案】1【分析】根据等差数列的性质结合完全平方公式可得，由此可求得，，利用等差数列的通项公式即可求得答案．【详解】由，得，所以．又，，所以，，所以,故答案为：1题型二：等差中项及性质问题【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（

）A．8 B．6 C． D．3【答案】D【分析】利用等差中项的定义即求.【详解】∵，，∴，∴，∴和的等差中项是．故选：D.【例2】（2022·辽宁·高三开学考试）设等差数列的前项和为，若则（

）A．150 B．120 C．75 D．60【答案】D【分析】由等差数列的性质及求和公式计算即可得解.【详解】由等差数列的性质可知，所以，.故选：D【例3】（2022·全国·高三专题练习（理））数列{an}满足，且，是函数的两个零点，则的值为（

）A．4 B．－4 C．4040 D．－4040【答案】A【分析】由题设可得+＝8，根据已知条件易知{an}是等差数列，应用等差中项的性质求.【详解】由，是的两个零点，即，是x2－8x＋3＝0的两个根，∴+＝8，又，即数列{an}是等差数列，∴+＝8，故＝4.故选：A.【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列的前项和为，，，，求项数的值．【答案】【分析】利用、，两式作和，结合等差数列下标和性质可求得，代入等差数列求和公式可构造方程求得的值.【详解】，，，又，，解得：，，解得：.【例5】（2022·河南焦作·一模（文））设和都是等差数列，前项和分别为和，若，，则（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由等差数列的性质可得，所以；因为，所以．由等差数列的前项和公式可得，，所以．故选：A【例6】（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知数列满足，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意和等差中项的性质可知数列为等差数列，进而可得，结合诱导公式计算即可.【详解】由题意知，，由等差数列的等差中项，得数列为等差数列，又，所以，则，所以.故选：B【题型专练】1．（2022·陕西·渭南市三贤中学高二阶段练习（理））已知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前项和为77，则项数的值为___________.【答案】7【分析】先利用等差数列的性质结合已知条件可求出的值，再利用等差数列的求和公式列方程可求出项数的值.【详解】因为等差数列的前四项和为21，末四项和为67，所以，所以，所以，因为等差数列的前项和为77，所以，解得，故答案为：72.（2022·全国·高三专题练习）下列选项中，为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件的是（

）A． B．C．数列的通项公式为 D．【答案】C【分析】根据等差数列的中项性质以及通项公式，结合充分必要条件的概念逐项分析即可.【详解】对于A：数列是等差数列，∴A选项为“数列是等差数列”的一个充要条件，故A错误；对于B：易知B选项为“数列是等差数列”的一个既不充分也不必要条件，故B错误；对于C：∵，∴，∴，∴数列是等差数列，反之若为等差数列，则，此时不一定为2，所以必要性不成立，∴C选项为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件，故C正确；对于D：若数列是等差数列，则，∴成立，反之当，，，时，满足，但不是等差数列，∴D选项为“数列是等差数列”的一个必要不充分条件，故D错误．故选：C．3．（2022·全国·高二单元测试）在等差数列中，已知，，，则______．【答案】20【分析】根据等差中项的性质，化简整理解得等差数列其中两项，根据等差数列的求和公式，可得方程，解得答案.【详解】在等差数列中，，，，同理由，则，即，由，解得.故答案为：20.4.（2022·浙江宁波·高一期末）设等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】令函数，，，则是R上的单调递增的奇函数，由得，由得，于是得，且，即，且，所以等差数列前项，且.故选：C5．（2022·四川省高县中学校高一阶段练习（理））等差数列的前项和为，若，满足，其中为边上任意一点，则（

）A．2020 B．1020 C．1010 D．2【答案】C【详解】由题设知：，而.故选：C6．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））已知等差数列中，、是的两根，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用韦达定理结合等差中项的性质可求得的值，再结合等差中项的性质可求得结果.【详解】对于方程，，由韦达定理可得，故，则，所以，.故选：B.题型三：等差数列前项和的性质【例1】（2022·广东·金山中学高三阶段练习）等差数列的前n项和为，若，，则（

）．A．27 B．45 C．18 D．36【答案】B【分析】根据等差数列前项和的性质可得，，成等差数列，从而可列方程可求出结果.【详解】由已知，，，即6，15，成等差数列，所以，所以，故选：B．【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（

）A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040【答案】C【分析】根据等差数列前n项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】∵Sn是等差数列{an}的前n项和，∴数列{}是等差数列．∵a1＝﹣2018，，∴数列{}的公差d，首项为﹣2018，∴2018+2019×1＝1，∴S2020＝2020．故选：C．【例3】（2022·全国·高二多选题）下列结论中正确的有（

）A．若为等差数列，它的前项和为，则数列也是等差数列B．若为等差数列，它的前项和为，则数列，，，也是等差数列C．若等差数列的项数为，它的偶数项和为，奇数项和为，则D．若等差数列的项数为，它的偶数项和为，奇数项和为，则【答案】AD【分析】利用等差数列定义判断，利用等差数列片段和性质判断，利用奇偶项和的性质判断.【详解】对于A，，数列是等差数列，故正确；对于B，，，是等差数列，故错误；对于C，，，所以，故错误；对于D，，，所以，故正确；故选：AD.【例4】（2023·全国·高三专题练习）两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式结合等差数列性质计算作答.【详解】两个等差数列和的前项和分别为、，且，所以.故选：A【例5】（2021·江苏·高二单元测试）已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则使得为整数的正整数n的个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根据给定条件结合等差数列性质及前n项和公式，将用n表示出即可作答.【详解】依题意，，又=，于是得，因此，要为整数，当且仅当是正整数，而，则是32的大于1的约数，又32的非1的正约数有2，4，8，16，32五个，则n的值有1，3，7，15，31五个，所以使得为整数的正整数n的个数为5.故选：B【题型专练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则等于（

）A．110 B．150C．210 D．280【答案】D【分析】根据在等差数列中，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等差数列即可得解.【详解】因为等差数列{an}的前n项和为Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列．故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，所以S30＝150，又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，所以S40＝280.故选：D.2.（2022重庆巴蜀中学高三阶段练习）在等差数列中，为其前项和．若，且，则等于（

）A．-2021 B．-2020 C．-2019 D．-2018【答案】A【分析】根据等差数列的性质可知，数列也为等差数列，结合已知条件求出等差数列的首项，即可得到.【详解】因为为等差数列的前项和，令，则也为等差数列，设其公差为，由得，又得.故选：A．3.（2022·山西·忻州一中高三阶段练习）设等差数列的前项和分别是，且，则__________.【答案】【分析】根据等差数列前项和公式求解即可.【详解】由等差数列的性质可知，则.故答案为：4.（2022·辽宁·沈阳市第五十六中学高二阶段练习）若等差数列和的前项的和分别是和，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等差数列的前项的和的公式即可转化成,进而求解.【详解】因为和是等差数列,故故选:C5.（2021·全国·高二单元测试）已知数列，均为等差数列，其前项和分别为，，且若对任意的恒成立，则实数的最大值为（

）A． B． C．-2 D．2【答案】C【解析】由已知结合等差数列性质可得，，然后结合单调性可求取得最大值，从而可求.【详解】因为数列，均为等差数列，且，所以单调递减，当时，取得最大值为，所以，若对任意的恒成立，所以，故实数的最大值为-2.故选：C6.（2022·全国·高二课时练习）(多选)已知两个等差数列和的前项和分别为，，且，则使得为整数的正整数可能是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】首先利用等差数列前项和公式，求出与之间的关系，进而可求出，然后根据已知求解即可.【详解】由题意，可得，∵和均为等差数列，∴，同理，，∴，若为整数，则只需，，，.故选：AC.【点睛】若等差数列和的前项和分别为，，则.题型四：等差数列前n项和的最值【例1】（2022·四川省武胜烈面中学校高二开学考试（文））记为等差数列的前项和，且，，则取最大值时的值为（

）A．12 B．12或11 C．11或10 D．10【答案】B【分析】设等差数列的公差为，由，可解出值为－2，从而可知数列前11项为正；第12项为0；从第13项起，各项为负，所以取得最大值时n的值可确定.【详解】解：设等差数列的公差为，由，得，即，又，所以，所以，令，可得，所以数列满足：当时，；当时，；当时，，所以取得最大值时，的取值为11或12.【例2】（2022·四川乐山·高一期末）已知数列为等差数列，公差为d，为其前n项和，若满足，给出下列说法：①；②；③；④当且仅当时，取得最大值．其中正确说法的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由题可得，，然后结合条件及求和公式逐项分析即得.【详解】由，有，故②正确；又，则，从而，即，所以，故①正确；因为，所以，故④错误；因为，所以，故③错误；所以正确说法的个数为2.故选：B．【例3】（2023·全国·高三专题练习）等差数列的前n项和为，已知，，则的最小值为______．【答案】【分析】由条件得到，再由求和公式得，从而得可求解.【详解】由，，得，解得：，则．故．由于，故当或4时，.故答案为：【例4】（2022·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））设为等差数列的前n项和，若，则满足的最大的正整数n的值为__________．【答案】22【分析】由已知，可通过得到，，，，再结合等差数列的性质可以得到，，，然后带入等差数列的前n项和即可得到，，，从而作出判断.【详解】由已知，为等差数列的前n项和，，所以，而，所以，所以，，所以，而，所以，所，，所以，而，所以，所以，，，，所以满足的最大的正整数n的值为22.故答案为：22.【例5】（2022·山东·德州市教育科学研究院高二期中）在等差数列中，前n项和为，若，，则在，，…，中最大的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，，知，得最大值是，从而判断结果．【详解】∵等差数列前n项和，由，，得，∴，故为递减数列，当时，；当时，，所以最大值是，则当时，且单调递增，当时，，∴最大．故选：B．【题型专练】1.（2022·河北·石家庄二中高二期末多选题）等差数列中，，则下列命题中为真命题的是（

）A．公差 B．C．是各项中最大的项 D．是中最大的值【答案】ABD【分析】由得：，进而再等差数列的性质逐个判断即可【详解】由得：，所以，且各项中最大的项为，故A正确，C错误；，所以，故B正确；因为，等差数列递减，所以最大，故D正确；故选：ABD2．（2023·全国·高三专题练习）等差数列的首项为正数，其前n项和为.现有下列命题，其中是假命题的有（

）A．若有最大值，则数列的公差小于0B．若，则使的最大的n为18C．若，，则中最大D．若，，则数列中的最小项是第9项【答案】B【分析】由有最大值可判断A；由，可得，，利用可判断BC；，得，，可判断D.【详解】对于选项A，∵有最大值，∴等差数列一定有负数项，∴等差数列为递减数列，故公差小于0，故选项A正确；对于选项B，∵，且，∴，，∴，，则使的最大的n为17，故选项B错误；对于选项C，∵，，∴，，故中最大，故选项C正确；对于选项D，∵，，∴，，故数列中的最小项是第9项，故选项D正确.故选：B.3．（2022·四川眉山·高一期末（理））设等差数列的前n项和为，，，取最小值时，n的值为（

）A．11或12 B．12 C．13 D．12或13【答案】D【分析】设等差数列的公差为，根据题意求得首项与公差，从而可求得数列的通项，令，求出的范围，从而可得出答案.【详解】设等差数列的公差为，因为，，则有，解得，所以，令，则，又，所以当或时，取最小值.故选：D.4．（2022·山西·怀仁市第一中学校模拟预测（文））数列是递增的整数数列，若，，则的最大值为（

）A．25 B．22 C．24 D．23【答案】D【分析】数列是递增的整数数列，要取最大值，则递增幅度要尽可能为小的整数，所以，可得是首项为2，公差为1的等差数列，再利用等差数列的前项和公式即可求解.【详解】数列是递增的整数数列，要取最大值，则递增幅度要尽可能为小的整数.假设递增的幅度为，，，，解得，当时，，不满足题意.当时，，满足，所以的最大值为23.故选：D.题型五：等差数列通项公共项及奇偶项和问题【例1】（2022·重庆市实验中学高二期末）已知数列中，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】当为奇数时，，即数列中的奇数项依次构成首项为，公差为的等差数列，所以，，当为偶数时，，则，两式相减得，所以，，故，故选：D.【例2】（2022全国高二单元测试）在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在的整数中，把被除余数为，被除余数也为的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则数列的项数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将数列中的项由小到大列举出来，可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得，然后解不等式，即可得解.【详解】由题意可知，数列中的项由小到大排列依次为、、、、，可知数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，由可得，解得，，则，因此，数列的项数为.故选：A.【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，.(1)记，求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，求.【答案】(1)，(2)353【分析】（1）令n取代入已知条件可以得到，从而求出数列的通项公式（2）先分奇偶求出数列的表达式，分别求奇数项的和与偶数项的和，相加得到（1）因为，令n取，则，即，，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列，所以（2）令n取2n，则，所以，由（1）可知，；；所以【例4】（2022·四川·成都七中高一期末）已知数列的通项公式为，Sn为数列的前n项和，则的值为（

）A．672 B．1011 C．2022 D．6066【答案】B【解析】因为的周期为，由，可得，，，，，，，，，……，因为，所以故选：B【题型专练】1.（2022·全国·高二课时练习）在1，2，3，…，2021这2021个自然数中，将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列，构成数列，则等于（

）A．289 B．295 C．301 D．307【答案】B【分析】根据题意，得到能被2除余1满足，被3除余1的数满足，进而求得数列的通项公式，即可求解.【详解】由题意，在1，2，3，…，2021这2021个自然数中，能被2除余1满足，被3除余1的数满足，所以在1，2，3，…，2021这2021个自然数中，能被2除余1，且被3除余1的数，按从小到大的次序排成一列，可得构成的数列是首项为，公差为的等差数列，则数列的通项公式，所以.故选：B.2.（2022·海南中学高三）已知数列满足，则（

）A．50 B．75 C．100 D．150【答案】A【详解】解：∵，∴，.两式相减得.则，，…，，∴，故选：A.3.（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题可设等差数列共有项，然后通过即可得出结果.【详解】设等差数列共有项，则，，中间项为，故，，故选：B.4.（2022·重庆·三模）已知数列的前项和为，，则（

）A． B．0 C． D．【答案】C【解析】当为奇数时有，函数的周期为，故有，，，，，按此规律下去循环重复下去，，故有.故选：C.题型六：等差数列新文化试题【例1】（2022·云南·弥勒市一中高二阶段练习）斐波那契数列（FibonacciSequence）又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多，斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波纳契数列被以下递推的方法定义：数列满足：，现从数列的前2022项中随机抽取1项，能被3整除的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据斐波那契数列的定义，数列各项除以3所得余数依次为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，…，余数数列是周期数列，周期为8，，所以数列的前2022项中能被3整除的项有，所求概率为，故选A．【例2】（2022·全国·高三专题练习）2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫．倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，冬至到处暑等九个节气的日影长之和为85.5寸，问大暑的日影长为（

）A．4.5寸 B．3.5寸 C．2.5寸 D．1.5寸【答案】B【详解】因为从冬至到夏至的日影长等量减少，所以构成等差数列，由题意得：，则，，则，所以公差为，所以，故选：B【例3】（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱?”则第2人比第4人多得钱数为（

）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱【答案】D【分析】设从前到后的5个人所得钱数构成首项为，公差为的等差数列，则有，，从而可求出，进而可求得结果【详解】设从前到后的5个人所得钱数构成首项为，公差为的等差数列，则有，，故解得则，故选：D