新人教B版必修四《向量数量积的坐标运算与度量公式》word同步测试

2.3.3一、选择题1．已知点A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A．－1 B．0C．1 D．2[答案]B[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－3,3)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝1×(－3)＋1×3＝0.2．(2009·全国Ⅱ)已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq\r(2)，则|b|＝()A.eq\r(5) B.eq\r(10)C．5 D．25[答案]C[解析]∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝5＋20＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝53．已知m＝(1,0)，n＝(1,1)，且m＋kn恰好与m垂直，则实数k的值为()A．1 B．－1C．1或－1 D．以上都不对[答案]B[解析]m＋kn＝(1,0)＋k(1,1)＝(1＋k，k)，∵m＋kn与m垂直，∴(1＋k)×1＋k×0＝0，得k＝－1.4．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，则cos<a，b>为()A.eq\f(63,65) B．－eq\f(63,65)C．±eq\f(63,65) D．－eq\f(9\r(85),85)[答案]B[解析]a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，解出a＝(－3,4)，b＝(5，－12)，∴cos<a，b>＝eq\f(－3×5＋4×－12,\r(－32＋42)·\r(52＋－122))＝－eq\f(63,65).5．已知向量n＝(a，b)，向量n与m垂直，且|m|＝|n|，则m的坐标为()A．(b，－a)B．(－a，b)C．(－a，b)或(a，－b)D．(b，－a)或(－b，a)[答案]D[解析]设m的坐标为(x，y)，∵n⊥m.∴ax＋by＝0又|m|＝|n|，四个选项都满足，经检验知选D.6．已知a＝(2,4)，则与a垂直的单位向量的坐标是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))[答案]D[解析]设与a垂直的单位向量的坐标是(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1,2x＋4y＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2\r(5),5),y＝\f(\r(5),5)))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2\r(5),5),y＝－\f(\r(5),5))).7．(2009·辽宁)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C．4 D．12[答案]B[解析]∵a＝(2,0)，∴|a|＝2，|a＋2b|＝eq\r(a＋2b2)＝eq\r(a2＋4a·b＋4b2)，∵a·b＝|a|·|b|cos60°＝1，∴|a＋2b|＝eq\r(4＋4＋4)＝2eq\r(3).8．已知向量a＝(2，t)，b＝(1,2)，若t＝t1时，a∥b；当t＝t2时，a⊥b，则()A．t1＝－4，t2＝－1B．t1＝－4，t2＝1C．t1＝4，t2＝－1D．t1＝4，t2＝1[答案]C[解析]a∥b⇒2×2－t1＝0⇒t1＝4.a⊥b⇒2＋2t2＝0⇒t2＝－1，故选C.二、填空题9．(2009·江西)已知a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,2)，若(a－c)∥b，则k＝________.[答案]0[解析]∵a－c＝(3,1)－(k,2)＝(3－k，－1)，(a－c)⊥b，b＝(1,3)，∴(3－k)×1－3＝0，∴k＝0.10．已知a＝(5，－5)，b＝(0,3)，若a与b的夹角为θ，则sinθ＝________.[答案]eq\f(\r(2),2)[解析]cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－15,\r(50)·\r(9))＝－eq\f(\r(2),2).0≤θ≤π，∴sinθ＝eq\f(\r(2),2).11．若将向量a＝(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转eq\f(π,4)得到向量b，则向量b的坐标为________．[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(3\r(2),2)))[解析]设b＝(x，y)，则|b|＝|a|，cos〈a，b〉＝eq\f(2x＋y,\r(5)·\r(5))＝eq\f(\r(2),2)，∴2x＋y＝eq\f(5,2)eq\r(2)①x2＋y2＝5②由①、②⇒x＝eq\f(\r(2),2)，y＝eq\f(3,2)eq\r(2)或x＝eq\f(3,2)eq\r(2)，y＝eq\f(\r(2),2)(舍)．12．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，有以下命题：①|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))；②b2＝eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))；③a·b＝x1x2＋y1y2;④a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.其中假命题的序号是________．[答案]②[解析]∵b2＝|b|2＝xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)，∴②是假命题，其余都是真命题．三、解答题13．已知A(2,3)，B(5,1)，C(9,7)，D(6,9)四点，试判断四边形ABCD的形状．[解析]因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－2)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(3，－2)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).又eq\o(BC,\s\up6(→))＝(4,6)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝3×4－2×6＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).因为|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(9＋4)＝eq\r(13)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(16＋36)＝2eq\r(13)，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|≠|eq\o(BC,\s\up6(→))|，故四边形ABCD是矩形．14．已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)分别确定λ的取值范围，使得：(1)a与b夹角为90°；(2)a与b夹角为钝角；(3)a与b夹角为锐角．[解析]设<a，b>＝θ，(1)由a⊥b得λ＝－eq\f(1,2)；(2)cosθ＝eq\f(1＋2λ,\r(51＋λ2))，由cosθ<0且cosθ≠－1得λ<－eq\f(1,2)；(3)由cosθ>0且cosθ≠1，得λ>－eq\f(1,2)，且λ≠2.15．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(6,1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－2，－3)．(1)若eq\o(BC,\s\up6(→))∥eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，求x、y的值；(2)求四边形ABCD的面积．[解析](1)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(4＋x，y－2)，eq\o(DA,\s\up6(→))＝(－4－x,2－y)，由eq\o(BC,\s\up6(→))∥eq\o(DA,\s\up6(→))得x(2－y)＋y(4＋x)＝0①eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝(6＋x，y＋1)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(x－2，y－3)，由eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))得(6＋x)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0②由①②解得x＝2，y＝－1或x＝－6，y＝3.(2)S四边形ABCD＝eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up6(→))||eq\o(BD,\s\up6(→))|当x＝2，y＝－1时，面积为16；当x＝－6，y＝3时，面积为16.16．已知a＝(eq\r(3)，－1)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).(1)求证：a⊥b；(2)若存在不同时为0的实数k和t，使x＝a＋(t－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数关系式k＝f(t)；(3)在(2)的结论中，求k的最小值．[解析](1)由a·b＝eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(3),2)＝0，得a⊥b.(2)由x⊥y得，x·y＝[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，即－ka2－k(t－3)a·b＋ta·b＋t(t－3)b2＝0.－ka2＋t(t－3)b2＝0.所以k＝eq\f(1,4)t(t－3)．(3)k＝eq\f(1,4)t(t－3)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2)))2－eq\f(9,16)，所以当t＝eq\f(3,2)时，k取最小值－eq\f(9,16).17．已知a＝(3,4)，b＝(4,3)，求x，y的值使(xa＋yb)⊥a，且|xa＋yb|＝1.[解析]∵a＝(3,4)，b＝(4,3)，∴xa＋yb＝(3x＋4y,4x＋3y)．又(xa＋yb)⊥a，∴(xa＋yb)·a＝0，∴(3x＋4y)＝4(4x＋3y)＝0，即25x＋24y＝0，①又|xa＋yb|＝1，∴|x