《第三章 函数的概念与性质》考点讲解与同步练习

《第三章函数的概念与性质》考点讲解与同步练习3.1函数的概念及其表示【思维导图】【常见考点】考点一区间的表示【例1】（一般区间的表示设，且，规定如下:定义名称符号数轴表示闭区间______开区间______半开半闭区间______半开半闭区间______【一隅三反】1．已知区间，则的取值范围为______．2．用区间表示下列集合：（1）______；（2）______；（3）______．3．用区间表示下列集合：______；______；______；______.考点二函数的判断【例2-1】下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（）A． B．C． D．【例2-2】下列对应关系是从集合到集合的函数的是（）A．，，：B．，，：C．，，：D．，，：【一隅三反】1．如图所示，表示函数图像的是（）A． B．C． D．2．下列各图中能作为函数图像的是（）．A．①② B．①③ C．②④ D．③④3．判断下列对应是否为函数：（1）x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；（2）x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；（3）x→y＝3x＋1，x∈R，y∈R.考点三定义域【例3-1】函数的定义域为（）A． B．C． D．【例3-2】已知的定义域为，（1）求的定义域；（2）求的定义域【一隅三反】1．函数的定义域是()A．B．C．D．2．函数的定义域为（）A． B． C． D．3．已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为________．4．设的定义域为，则函数的定义域是___________.5．已知函数的定义域为，求的定义域.6.已知函数的定义域为[1，4]，求的定义域.考点四解析式【例4】根据下列条件，求f(x)的解析式.（1）f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；（2）f(x＋1)＝x2＋4x＋1；（3）.【一隅三反】1．根据下列条件，求f(x)的解析式.（1）f(f(x))＝2x－1，其中f(x)为一次函数；（2）f(2x＋1)＝6x＋5；（3）f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.2．（1）已知函数是一次函数，若，求的解析式；（2）已知是二次函数，且满足，，求的解析式．3．（1）已知，求的解析式；（2）已知，求的解析式．考点五函数值【例5】若函数，那么（）A．1 B．3 C．15 D．30【一隅三反】1．已知，则（）A．15 B．21 C．3 D．02．已知，则_________．3．若函数f(x)＝，g(x)＝，则的值为____________.4．若函数，则______________．考点六相等函数【例6】下列四组函数中,表示同一函数的是（）A． B．C． D．【一隅三反】1．下列各组函数中，表示同一个函数的是__________(填序号).（1）y＝x－1和y＝；（2）y＝x0和y＝1；（3）f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2；（4）f(x)＝和g(x)＝.2．下列函数；；；与函数是同一函数的是___.3．下列对应或关系式中是A到B的函数的序号为________.①，；②A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图：③，；④，.考点七分段函数【例7-1】已知函数，则的值为（）A．1 B．2 C． D．【例7-2】设函数若f（a）＝4，则实数a＝（）A．－4或－2 B．－4或2C．－2或4 D．－2或2【一隅三反】1．设，则等于（）A．1 B．0 C．2 D．-12．已知函数y＝，则使函数值为的的值是（）A．或 B．或C． D．或或3．已知（1）画出f(x)的图象；（2）若，求x的值；（3）若，求x的取值范围.3.1函数的概念及其表示答案解析考点一区间的表示【例1】一般区间的表示设，且，规定如下:定义名称符号数轴表示闭区间______开区间______半开半闭区间______半开半闭区间______【答案】【解析】(1).若,写成区间形式为(2).若,写成区间形式为(3).若,写成区间形式为(4).若,写成区间形式为故答案为:(1).(2).(3).(4).不等式改写成区间表达形式,注意边界情况不等式改写成区间表达形式,注意边界情况【一隅三反】1．已知区间，则的取值范围为______．【答案】【解析】由题意，区间，则满足，解得，即的取值范围为．故答案为．2．用区间表示下列集合：（1）______；（2）______；（3）______．【答案】【解析】（1）根据集合与区间的改写，可得．（2）由或．（3）由或．3．用区间表示下列集合：______；______；______；______.【答案】【解析】集合表示大于的所有实数，可用开区间表示为；集合表示大于2且小于或等于5的所有实数，可用左开右闭区间表示为；集合表示小于或等于的所有实数，可用左开右闭区间表示为；集合表示大于或等于2且小于或等于4的所有实数，可用闭区间表示为.考点二函数的判断【例2-1】下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．如图，C选项中，在x允许的取值范围内取x＝x0，此时函数y与之对应的有2个值，y＝y1，y＝y2，不符合函数的定义.其它三个选项都符合函数的定义.故选：C．【例2-2】下列对应关系是从集合到集合的函数的是（）A．，，：B．，，：C．，，：D．，，：【答案】D【解析】A.，，：不是函数关系，∵当x＝0时，|0|＝0，|x|＞0不成立，∴不是函数关系；B.，，：的定义域是，不是，当时，无意义，∴不是函数关系；C.，，：的定义域是，不是，当是负整数时，无意义，∴不是函数关系；D.，，：是函数关系.故选：D【一隅三反】1．如图所示，表示函数图像的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据函数的定义知，一个有唯一的对应，由图象可看出，只有选项B的图象满足这一点．故选：B．2．下列各图中能作为函数图像的是（）．A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】A【解析】对①②，对于定义域内的任意一个，都有唯一的值与对应，则①②正确；对③，在内，此时一个有两个值与对应，则③错误；对④，在内，此时一个有两个值与对应，则④错误；故选：A3．判断下列对应是否为函数：（1）x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；（2）x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；（3）x→y＝3x＋1，x∈R，y∈R.【答案】（1）不是；（2）是；（3）是【解析】（1）根据函数概念知，当时，在没有值与对应，所以不是函数；（2）根据函数概念，当时，，所以对于每一个值，都有唯一的值与之对应，所以是函数；（3）根据函数概念，对于每一个值，都有唯一的值与之对应，所以是函数；考点三定义域【例3-1】函数的定义域为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，解得x≥且x≠2．∴函数的定义域为．故选：C．【例3-2】已知的定义域为，（1）求的定义域；（2）求的定义域【答案】（1）（3，5）；（2）.【解析】（1）的定义域为，，则，即的定义域为；（2）的定义域为；由得，即的定义域为．抽象函数的定义域的求解，解抽象函数的定义域要抓住以下两点：（抽象函数的定义域的求解，解抽象函数的定义域要抓住以下两点：（1）函数的定义域指的是自变量的取值范围；（2）对于函数和的定义域的求解，和的值域相等，由此列不等式求出的取值范围作为函数的定义域.（3）对于抽象函数定义域的求解，（1）若已知函数的定义域为，则复合函数的定义域由不等式.（4）若复合函数的定义域为，则函数的定义域为在上的值域.【一隅三反】1．函数的定义域是()A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得：，且，得到，且，故选：D2．函数的定义域为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，可得，所以函数的定义域为.故选A.3．已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为________．【答案】【解析】由－1<2x＋1<0，得－1<x<－，所以函数f(2x＋1)的定义域为4．设的定义域为，则函数的定义域是___________.【答案】【解析】∵函数的定义域为，∴函数满足，解不等式，得，即函数的定义域是，故选A5．已知函数的定义域为，求的定义域.【答案】【解析】由题意，函数的定义域为，则函数满足，解得，即，即函数的定义域为.6.已知函数的定义域为[1，4]，求的定义域.【答案】∪.【解析】由，得，即或，解得x≤，或.∴函数的定义域为(-∞，]∪[，+∞).考点四解析式【例4】根据下列条件，求f(x)的解析式.（1）f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；（2）f(x＋1)＝x2＋4x＋1；（3）.【答案】（1）f(x)＝x＋3；（2）f(x)＝x2＋2x－2；（3）【解析】（1）解由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，由恒等式性质，得∴a＝1，b＝3∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.（2）设x＋1＝t，则x＝t－1f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1即f(t)＝t2＋2t－2.∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.（3）解，将原式中的x与互换，得.于是得关于f(x)的方程组解得.【一隅三反】1．根据下列条件，求f(x)的解析式.（1）f(f(x))＝2x－1，其中f(x)为一次函数；（2）f(2x＋1)＝6x＋5；（3）f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.【答案】（1）或；（2）f(x)＝3x＋2；（3）.【解析】（1）由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝2x－1由恒等式性质，得或∴所求函数解析式为或（2）设2x＋1＝t，则∴f(x)＝3x＋2.（3）将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，∴联立以上两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，2．（1）已知函数是一次函数，若，求的解析式；（2）已知是二次函数，且满足，，求的解析式．【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）设，则，又，所以，，解得或，因此，或；（2），则，，即，即，所以，解得.因此，.3．（1）已知，求的解析式；（2）已知，求的解析式．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意得：定义域为设，则（2）由…①得：…②①②联立消去得：考点五函数值【例5】若函数，那么（）A．1 B．3 C．15 D．30【答案】C【解析】由于，当时，，故选C.【一隅三反】1．已知，则（）A．15 B．21 C．3 D．0【答案】D【解析】根据的解析式，有.故选：D2．已知，则_________．【答案】【解析】，，所以故答案为：3．若函数f(x)＝，g(x)＝，则的值为____________.【答案】【解析】.故答案为：4．若函数，则______________．【答案】-1【解析】当时,故.故答案为：考点六相等函数【例6】下列四组函数中,表示同一函数的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】对于A:，，两个函数的定义域和对应关系都相同,表示同一函数；对于B:的定义域为R,的定义域为,两个函数的定义域不同,不是同一函数;对于C.的定义域为,的定义域为,两个函数的定义域不同,不是同一函数;对于D.的定义域为,的定义域为或,两个函数的定义域不同,不是同一函数.故选A.根据定义域和对应关系是否同时相等来判断是否为同一函数根据定义域和对应关系是否同时相等来判断是否为同一函数【一隅三反】1．下列各组函数中，表示同一个函数的是__________(填序号).（1）y＝x－1和y＝；（2）y＝x0和y＝1；（3）f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2；（4）f(x)＝和g(x)＝.【答案】（4）【解析】（1）的定义域为；的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数；（2）的定义域为；的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数；（3）两个函数的对应关系不同，故不是同一个函数；（4）因为两个函数的定义域均为，且，故两函数是同一个函数.故答案为：（4）2．下列函数；；；与函数是同一函数的是___.【答案】【解析】定义域是，所以与函数不是同一函数；定义域是，所以与函数不是同一函数；，所以与函数是同一函数；，所以与函数不是同一函数.故答案为：3．下列对应或关系式中是A到B的函数的序号为________.①，；②A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图：③，；④，.【答案】②【解析】①，，存在对应两个的情况，所以不是A到B的函数；②符合函数的定义，是A到B的函数；③，，对于集合A中的没有对应，所以不是A到B的函数；④，，对于集合A中的没有对应，所以不是A到B的函数.故答案为：②考点七分段函数【例7-1】已知函数，则的值为（）A．1 B．2 C． D．【答案】A【解析】由题意得,,,,所以,故选：A.【例7-2】设函数若f（a）＝4，则实数a＝（）A．－4或－2B．－4或2C．－2或4D．－2或2【答案】B【解析】当时，，解得；当时，，解得，因为，所以，综上，或，故答案选【一隅三反】1．设，则等于（）A．1 B．0 C．2 D．-1【答案】C【解析】,.故选:C.2．已知函数y＝，则使函数值为的的值是（）A．或 B．或C． D．或或【答案】C【解析】当时，令，得，解得；当时，令，得，解得，不合乎题意，舍去.综上所述，.故选：C.3．已知（1）画出f(x)的图象；（2）若，求x的值；（3）若，求x的取值范围.【答案】（1）作图见解析；（2）；（3）【解析】（1）函数的对称轴，当时，；当时，；当时，，则f(x)的图象如图所示.（2）等价于①或②或③解①得，②③的解集都为∴当时，.（3）由于，结合此函数图象可知,使的x的取值范围是3.2函数的基本性质【思维导图】【常见考点】考法一性质法求单调性（单调区间）【例1】函数的减区间是（）A． B．C．， D．【一隅三反】1.函数的单调递减区间为A． B． C． D．2．下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是()A.y＝1B.y＝－＋2C.y＝－x2－2x－1D.y＝1＋x23．函数y＝x2－6x＋10在区间(2，4)上是()A.递减函数B.递增函数C.先递减再递增D.先递增再递减考法二定义法求单调性（单调区间）【例2】求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数.【一隅三反】1．证明在其定义域上是增函数.2．用定义法证明函数在定义域内是减函数．考法三图像法求单调性（单调区间）【例3】求下列函数的单调区间．（1）f（x）＝3|x|；（2）f（x）＝|x2＋2x－3|．【一隅三反】1．求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．（1）f（x）＝－；（2）f（x）＝（3）f（x）＝－x2＋2|x|＋3.考法四利用单调性求参数【例4】（1）若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围（） B． C． D．（2）已知奇函数是定义域上的减函数，若，求实数的取值范围.【一隅三反】1．函数在上是减函数．则（）A． B． C． D．2．已知在区间上是增函数，则的范围是（）A． B． C． D．3．若函数，是定义在上的减函数，则a的取值范围为（）A． B．C． D．考法五奇偶性的判断【例5】判断下列函数的奇偶性．（1）f(x)＝2x＋；（2）f(x)＝2－|x|；（3）f(x)＝＋；（4）f(x)＝.【一隅三反】1.判断下列函数的奇偶性:(1);(2);(3);(4).2．判断下列函数的奇偶性：（1）．（2）．（3）．（4）考法六利用奇偶性求解析式【例6】（1）已知是上的奇函数，且当时，，则当时，。（2）已知函数在R上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是______．【一隅三反】1．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.则f(x)在R上的表达式为________．2．已知偶函数在时的解析式为，则时，的解式为_______.考法七利用奇偶性求参数【例7】（1）函数y＝f(x)在区间[2a－3，a]上具有奇偶性，则a＝________.（2）若函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，则实数a的值为。（3）若函数f(x)=(a∈R)是奇函数，则a的值为（）A．1 B．0 C．－1 D．±1【一隅三反】1．如果定义在区间[3-a, 5]上的函数2．已知函数为偶函数，则的值为__________.3．判断函数f(x)＝x＋(a为常数)的奇偶性，并证明你的结论．考法八单调性与奇偶性的综合运用【例8-1】已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．【例8-2】函数的最大值是：（）A． B． C． D．【一隅三反】1．已知函数，则函数的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．72．已知是定义在上的奇函数,且.（1）求的解析式；（2）判断在上的单调性,并用定义加以证明.3．设函数是上的奇函数，当时，．（1）求的表达式．（2）求证在区间上是增函数．3.2函数的基本性质答案解析考法一性质法求单调性（单调区间）【例1】函数的减区间是（）A． B．C．， D．【答案】C【解析】由图象知单调减区间为，单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接【一隅三反】1.函数的单调递减区间为A． B． C． D．【答案】A【解析】函数的二次项的系数大于零，抛物线的开口向上，二次函数的对称轴是，函数的单调递减区间是故选：A．2．下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是()A.y＝1B.y＝－＋2C.y＝－x2－2x－1D.y＝1＋x2【答案】B【解析】y=1在区间（－∞,0）上不增不减;y=－+2在区间（－∞,0）上单调递增;y=－x2－2x－1在区间（－∞,0）上有增有减;y=1+x2在区间（－∞,0）上单调递减;所以选B.3．函数y＝x2－6x＋10在区间(2，4)上是()A.递减函数B.递增函数C.先递减再递增D.先递增再递减【答案】C【解析】由于二次函数的开口向上，并且对称轴方程为x=3,所以函数在(2,4)上是先减后增.考法二定义法求单调性（单调区间）【例2】求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数.【答案】证明见详解.【解析】证明：在区间上任取，则因为，故可得；又因为，故可得.故，即.故在区间上单调递增.直接利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；直接利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；【一隅三反】1．证明在其定义域上是增函数.【答案】证明见解析；【解析】证明：函数的定义域为设且，因为，所以，所以，即所以在其定义域上是增函数.2．用定义法证明函数在定义域内是减函数．【答案】见解析【解析】设在R上任取两个数x1，x2，且x1>x2；则f（x1）–f（x2）=–x1–（–x2）=–+（x2–x1）=+（x2–x1）=（x1–x2）（–1）∵x1>x2，∴x1–x2>0，–1<0，则f（x1）–f（x2）<0，∴函数在R上是减函数．考法三图像法求单调性（单调区间）【例3】求下列函数的单调区间．（1）f（x）＝3|x|；（2）f（x）＝|x2＋2x－3|．【答案】（1）减区间为(－∞，0]，增区间为[0，＋∞)；（2）增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；减区间是(－∞，－3]，[－1，1]．【解析】（1）由题意，函数，图象如图所示，所以函数f（x）的单调递减区间为(－∞，0]，单调递增区间为[0，＋∞)．（2）令，作出的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方，即可得到函数的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]．【一隅三反】1．求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．（1）f（x）＝－；（2）f（x）＝（3）f（x）＝－x2＋2|x|＋3.【答案】（1）单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数；（2）单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f（x）在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；（3）单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f（x）在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．【解析】（1）函数f（x）＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．（2）当x≥1时，f（x）是增函数，当x<1时，f（x）是减函数，所以f（x）的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f（x）在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．（3）因为f（x）＝－x2＋2|x|＋3＝根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f（x）的单调区间为(－∞，－1]，(－1，0)，[0，1)，[1，＋∞)．f（x）在(－∞，－1]，[0，1)上是增函数，在(－1，0)，[1，＋∞)上是减函数．考法四利用单调性求参数【例4】（1）若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围（） B． C． D．（2）已知奇函数是定义域上的减函数，若，求实数的取值范围.【答案】（1）D（2）.【解析】对于，开口向下，对称轴为x=a若函数在区间上都是减函数，则区间在对称轴的右侧，所以可得：a<=1；对于，其相当于将的图象向左平移1个单位，得到如下函数图像：此时我们可以判断，当a>0时，则函数在第一象限为单调递减，而在单调递减，故a的取值范围是(0,1]（2）由，得，又为奇函数，得，∴，又是定义域上的减函数，所以，所以，所以实数的取值范围为.【一隅三反】1．函数在上是减函数．则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意，函数在上是减函数，则有，解可得，故选B．2．已知在区间上是增函数，则的范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵函数f（x）＝x2+2（a﹣2）x+5的图象是开口方向朝上，以x＝2﹣a为对称轴的抛物线，若函数f（x）＝x2+2（a﹣2）x+5在区间[4，+∞）上是增函数，则2﹣a≤4，解得a≥﹣2．故选：B．3．若函数，是定义在上的减函数，则a的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为函数是定义在上的减函数，所以，解得.故选：A.考法五奇偶性的判断【例5】判断下列函数的奇偶性．（1）f(x)＝2x＋；（2）f(x)＝2－|x|；（3）f(x)＝＋；（4）f(x)＝.【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）既是奇函数又是偶函数；（4）非奇非偶函数.【解析】（1）函数的定义域为，由，所以函数为奇函数（2）函数的定义域为由所以函数为偶函数（3）由，所以函数的定义域为又，所以函数既是奇函数又是偶函数（4）由，所以函数的定义域为因为定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数.首先判断函数的定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的情况下，判断首先判断函数的定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的情况下，判断f(x)与f(－x)之间的关系【一隅三反】1.判断下列函数的奇偶性:(1);(2);(3);(4).【答案】(1)既不是奇函数也不是偶函数.(2)奇函数.(3)既不是奇函数也不是偶函数.(4)偶函数.【解析】(1)函数的定义域为{且},定义域不关于原点对称,∴该函数既不是奇函数也不是偶函数.(2)的定义域是.当时,显然,.,是奇函数.(3)的定义域为R.,,.不是偶函数.又,不是奇函数.既不是奇函数也不是偶函数.(4)的定义域为R.,是偶函数.2．判断下列函数的奇偶性：（1）．（2）．（3）．（4）【答案】（1）既不是奇函数也不是偶函数；（2）既是奇函数又是偶函数；（3）偶函数；（4）奇函数.【解析】（1）由得，∴函数的定义域为，不关于原点对称．故既不是奇函数也不是偶函数．（2）由得，即．∴函数的定义域是，关于原点对称．又，∴既是奇函数又是偶函数．（3）函数的定义域为，关于原点对称．又∵，∴是偶函数．（4）当时，，则，当时，，则综上，对，都有．∴为奇函数．考法六利用奇偶性求解析式【例6】（1）已知是上的奇函数，且当时，，则当时，。（2）已知函数在R上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是______．【答案】（1）（2）f（x）＝x2+2x【解析】由题意，设，则，则，因为函数为上的奇函数，则，得，即当时，.（2）当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＝x2+2x，又f（x）是偶函数，∴当x＜0时，f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x．故答案为：f（x）＝x2+2x．【一隅三反】1．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.则f(x)在R上的表达式为________．【答案】【解析】因为是奇函数，且定义域为，故当时，；则当时，.故答案为：.2．已知偶函数在时的解析式为，则时，的解式为_______.【答案】【解析】当时，，则.函数为偶函数，此时.故答案为：.考法七利用奇偶性求参数【例7】（1）函数y＝f(x)在区间[2a－3，a]上具有奇偶性，则a＝________.（2）若函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，则实数a的值为。（3）若函数f(x)=(a∈R)是奇函数，则a的值为（）A．1 B．0 C．－1 D．±1【答案】（1）1（2）1或-1【解析】（1）由题意知，区间[2a－3，a]关于原点对称，∴2a－3＝－a，∴a＝1.（2）：∵函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），即f（﹣x）＝ax2﹣（2a2﹣a﹣1）x+1＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1，即﹣（2a2﹣a﹣1）＝2a2﹣a﹣1，∴2a2﹣a﹣1＝0，解得a＝1或a=-（3）由题意，函数是定义域R上的奇函数，根据奇函数的性质，可得，代入可得，解得，故选B.【一隅三反】1．如果定义在区间[3-a, 5]上的函数【答案】8【解析】因为f(x)为奇函数由奇函数的性质可知，奇函数的定义域关于原点中心对称即3-a=2．已知函数为偶函数，则的值为__________.【答案】【解析】因为函数为偶函数,故,故恒成立.故.故,则.故答案为：3．判断函数f(x)＝x＋(a为常数)的奇偶性，并证明你的结论．【答案】为奇函数，证明见解析.【解析】为奇函数，证明如下：的定义域为{x|x≠0}．对于任意x≠0，，∴为奇函数．考法八单调性与奇偶性的综合运用【例8-1】已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【解析】为定义在上的偶函数，图象关于轴对称又在上是增函数在上是减函数，即对于恒成立在上恒成立，即的取值范围为：本题正确选项：【例8-2】函数的最大值是：（）A． B． C． D．【答案】A【解析】故函数的最大值为：.故答案为：A.【一隅三反】1．已知函数，则函数的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】在区间上任取，且，，，，则，，又，，即，函数在上单调递减，同理可证函数在上单调递增，所以函数在处取得最小值，最小值为.故选：C2．已知是定义在上的奇函数,且.（1）求的解析式；（2）判断在上的单调性,并用定义加以证明.【答案】(1)(2)在上单调递增.见解析【解析】（1）∵为奇函数,∴,∴.由,得,∴.（2）在上单调递增.证明如下:设,则∵,∴,,∴,∴,∴在上单调递增.3．设函数是上的奇函数，当时，．（1）求的表达式．（2）求证在区间上是增函数．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）当时，，∴．∵是奇函数，∴，∴，∴（2）设任意的，，且，则．∵，∴，，∴，∴，∴是上的增函数．3.3幂函数【思维导图】【常见考点】考点一幂函数的判断【例1】在函数，，，中，幂函数的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【一隅三反】1．下列函数中哪个是幂函数（）A． B． C． D．2．下列函数是幂函数的是（）A． B． C． D．考点二幂函数的三要素【例2-1】已知幂函数的图象过点，则______.【例2-2】（1）函数的定义域是_____，值域是_____；（2）函数的定义域是____，值域是_____；（3）函数的定义域是______，值域是_____；（4）函数的定义域是_____，值域是______.【一隅三反】1.若幂函数图像过点，则此函数的解析式是________.2．已知幂函数的图象过点，则______．3．（若点，均在幂函数的图象上，则实数_____．4．讨论下列函数的定义域、值域.（1）；（2）；（3）；（4）.考法三幂函数的性质【例3】．已知幂函数()在上是减函数，则n的值为（） B．1 C． D．1和【一隅三反】1．已知幂函数的图象关于轴对称，且与轴、轴均无交点，则的值为（）A． B．0 C．1 D．22．设，则使函数的定义域为，且为偶函数的所有的值为（）A． B． C． D．2．设，则使得的定义域为R且为奇函数的所有n值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4考法四幂函数的图像【例4-1】已知幂函数在第一象限内的图象如图所示．若则与曲线，，，对应的的值依次为（）A．B．C．D．【例4-2】函数恒过一个定点，这个定点坐标是;【一隅三反】1．幂函数的大致图象是()A． B．C． D．2．下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是A．①，②，③，④B．①，②，③，④C．①，②，③，④D．①，②，③，④3．三个幂函数（1），（2），（3）都经过的点的坐标是（）A． B． C． D．3.3幂函数答案解析考点一幂函数的判断【例1】在函数，，，中，幂函数的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】因为，所以是幂函数；由于出现系数2，因此不是幂函数；是两项和的形式，不是幂函数；（），可以看出，常数函数的图象比幂函数的图象多了一个点，所以常数函数不是幂函数.故选：B.【一隅三反】1．下列函数中哪个是幂函数（）A． B． C． D．【答案】A【解析】幂函数是，，显然，是幂函数.，，都不满足幂函数的定义，所以A正确．故选：A．2．下列函数是幂函数的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】形如的函数称为幂函数，据此只有才符合幂函数的定义，故选择D.考点二幂函数的三要素【例2-1】已知幂函数的图象过点，则______.【答案】1.5【解析】因为函数是幂函数，所以，又因为幂函数的图象过点，所以，所以所以，故答案为：1.5【例2-2】（1）函数的定义域是_____，值域是_____；（2）函数的定义域是____，值域是_____；（3）函数的定义域是______，值域是_____；（4）函数的定义域是_____，值域是______.【答案】R【解析】（1）的定义域是，值域是；（2）的定义域是，值域是；（3）的定义域是，值域是；（4）的定义域是，值域是；故答案为：；；；；；；；．先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项【一隅三反】1.若幂函数图像过点，则此函数的解析式是________.【答案】【解析】设幂函数的解析式为，由于函数图象过点，故有，解得，所以该函数的解析式是，故答案为：.2．已知幂函数的图象过点，则______．【答案】4【解析】由题意令，由于图象过点，得，故答案为：4．3．若点，均在幂函数的图象上，则实数_____．【答案】9【解析】设幂函数为，将代入得，所以，令，求得.4．讨论下列函数的定义域、值域.（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）定义域为R，值域为；（2）定义域为，值域为；（3）定义域为，值域为；（4）定义域为R，值域为.【解析】（1）函数的定义域为R，值域为.（2）因为，所以函数的定义域为，值域为.（3）因为，所以，且，所以函数的定义域为，值域为.（4）因为，所以函数的定义域为R，值域为.考法三幂函数的性质【例3】．已知幂函数()在上是减函数，则n的值为（）A． B．1 C． D．1和【答案】B【解析】因为函数是幂函数所以所以或当时在上是增函数，不合题意.当时在上是减函数，成立故选：B【一隅三反】1．已知幂函数的图象关于轴对称，且与轴、轴均无交点，则的值为（）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】由题意可得：且为偶数，，解得，且为偶数，，∴．故选：C．2．设，则使函数的定义域为，且为偶函数的所有的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数，定义域为，且为奇函数，不符合题意.函数，定义域为，且为偶函数，符合题意.函数，定义域为，且为偶函数，符合题意.函数，定义域为，且为奇函数，不符合题意.故选：D2．设，则使得的定义域为R且为奇函数的所有n值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】当时，定义域为，不满足题意当时，定义域为，不满足题意当时，定义域为，不满足题意当时，定义域为，且为奇函数，满足题意当时，定义域为，是偶函数，不满足题意当时，定义域为，且为奇函数，满足题意所以，使得的定义域为R且为奇函数的所有n值的个数为2故选：B 考法四幂函数的图像【例4-1】已知幂函数在第一象限内的图象如图所示．若则与曲线，，，对应的的值依次为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，曲线，，，对应的的值依次为：故选：C.【例4-2】函数恒过一个定点，这个定点坐标是;【答案】【解析】因为恒过，故恒过故答案为【一隅三反】1．幂函数的大致图象是()A． B．C． D．【答案】C【解析】幂函数在是减函数，且为偶函数，故选:C.2．下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是A．①，②，③，④B．①，②，③，④C．①，②，③，④D．①，②，③，④【答案】B【解析】②的图象关于轴对称，②应为偶函数，故排除选项，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除故选：．3．三个幂函数（1），（2），（3）都经过的点的坐标是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，得到，，，故都过点.故选：.3.4函数的应用（一）【常见考点】考点一一次函数模型【例1】某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（）A．2000套 B．3000套C．4000套 D．5000套【一隅三反】1．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施.方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗为30000元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费.问：（1）工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明.若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？考点二二次函数模型【例2】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售单价（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售单价为元/千克时，每日可售出该商品千克.（1）求的值；（2）若该商品的进价为元/千克，试确定销售单价的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值.【一隅三反】1．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个，若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个_____元.2.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，且投资1万元时的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元，（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？考点三分段函数模型【例3】.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数，其中x（台）是仪器的月产量．（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益总成本利润）【一隅三反】1．2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥—港珠澳大桥正式通车。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到220辆/千米，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度为100千米/时研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数.（1）当时，求函数的表达式；（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大？并求出最大值.2．某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为(万元)．（1）若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；（2）当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？3．某商品在某月的30天内每件销售价格（元）与时间（天）的函数关系式是，该商品的日销售量（件）与时间（天）的函数关系式是，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的是30天中的第几天.3.4函数的应用（一）答案解析考点一一次函数模型【例1】某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（）A．2000套 B．3000套C．4000套 D．5000套【答案】D【解析】因利润z＝12x－(6x＋30000),所以z＝6x－30000,由z≥0解得x≥5000,故至少日生产文具盒5000套.故选：D【一隅三反】1．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施.方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗为30000元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费.问：（1）工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明.若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？【答案】见解析【解析】设工厂每月生产x件产品时，依方案一的利润为y1，依方案二的利润为y2，由题意知y2当x=3000时，y1=42000因为y1（2）当x=6000时，y1=114000因为y1考点二二次函数模型【例2】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售单价（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售单价为元/千克时，每日可售出该商品千克.（1）求的值；（2）若该商品的进价为元/千克，试确定