《5.1.1 任意角》课件与导学案

第5章

三角函数5.1.1任意角角的定义【导入】现实生活中随处可见超出0°~360°范围的角.例如体操中的“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等动作.这里不仅角度超出了0°~360°，并

且旋转的方向也不相同.【探究】如图是两个咬合的齿轮旋转的示意图，可以看出两

个齿轮旋转的方向刚好相反，联想到角的旋转定义(一个角的大小取决于绕顶点旋转的的射线旋转的角度)，我们知道，要准确描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，这就需要我们对角的概念加以推广.角的分类【定义】我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺

时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有任何旋转，那么它就

形成了一个零角.零角的始边和终边重合，如果是零角，那么.

左图中的角是一个正角，它等于730°.右图中，正角，负角

，，正常情况下，如果以零时为起始位置，那么钟表的时针与分针在旋转时形成的角总是负角.730°

为了简单起见，在不引起混淆的情况下，角或∠可以简记为

相等角、角的加减【1】设∠α由射线OA绕端点O旋转而成，∠β由射线OA绕端点O旋转而成.如果它们

的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β.

设α，β是任意角，我们规定：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β.类似于实数t的相反数是-t，我们引入角α的相反角的概念.如图：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为-α，则α-β=α+(-β).

于是角的减法可以转化为角的加法，如图：αβα+βαα-α-α30°-120°OA相等角、角的加减【总结】（1）角的概念推广后，角度的范围不再局限于0°~360°（2）确定任意角的度数既要知道旋转量，又要知道旋转方向，如顺时针旋

转30°和逆时针旋转30°缩成的角是不同的，它们互为相反角.（3）用图像表示角时，箭头的方向体现角的正负，因此箭头不能少.（4）角的概念推广后，角的加减可以类比正负数的加减规则.象限角与轴线角【定义】我们通常在坐标系内讨论角.为了方便，我们把角的顶点固定在原点，角

的终边始终与轴的非负半轴重合.

那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角.如下图左

边的角α就是第一象限角，角β就是第三象限角.αβ如果角的终边在坐标轴上，那么它就不属于任何一个象限，此时我们称这个角为轴线角.如上边右图的角γ.γ

象限角与轴线角【问题】锐角，第一象限角，小于90°的角，它们之间的区别是什么？α=390°【答】①第一象限角不一定是锐角，如图左②锐角是大于0°且小于90°的角，一定是第一象限角，如图中30°75°③小于90°的角还包括零角和负角，如图右α=0°β=-130°【问题】把角放在坐标系中之后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应，反

过来，对于直角坐标系内的任意一条射线OB，以它为

终边的角是否唯一？

答案是否定的.那么终边相同的角有什么关系？终边相同的角30°OB【答】不难发现，OB除了可以表示30°的角之外，还可以表示390°，-330°等角.

与30°终边相同的这些角都可以表示成30°角与k个(k∈Z)周角的和.390°=30°+360°(k=1)-330°=30°-360°(k=-1)一般地，所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.【总结】对于S={β|β=α+k·360°，k∈Z}的理解应注意以下几点：终边相同的角【1】α是任意角【2】k∈Z有三层含义：①特殊性：每取一个整数值，就对应一个具体的角②一般性：表示所有与角α终边相同的角(包括角α本身)③从集合意义上看，k表示角的终边按一定的方向旋转的圈数，k取正整数

时，逆时针旋转；k取负整数时，顺时针旋转；k=0时，没有旋转.【3】集合中的k·360°与α之间用+连接，如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°)，

表示与-30°角终边相同的角【整理】各象限角的集合表示终边相同的角{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z}{α|k·360°+90°＜α＜k·360°+180°，k∈Z}{α|k·360°+180°＜α＜k·360°+270°，k∈Z}{α|k·360°+270°＜α＜k·360°+360°，k∈Z}【整理】轴线角的集合表示终边相同的角{α|α=k·360°，k∈Z}{α|α=k·360°+180°，k∈Z}{α|α=k·360°+90°，k∈Z}{α|α=k·360°+270°，k∈Z}{α|α=k·180°，k∈Z}{α|α=k·180°+90°，k∈Z}{α|α=k·90°，k∈Z}【1】锐角是第几象限角？直角呢？钝角呢？【解】锐角是第一象限角；直角是轴线角；钝角是第二象限角.【2】第一象限角一定是锐角吗？轴线角一定是直角吗？第二象限角一定是钝角吗？【解】第一象限角不一定是锐角，如390°；

轴线角不一定是直角，如180°；

第二象限角不一定是钝角，如-210°.【3】分别写出图中终边落在两个阴影部分的角α的集合【解】①在0°~3600°范围来看，阴影部分的角α的

范围是30°≤α≤105°，所以在坐标系中角α

的范围是

30°75°①②{α|k·360°+30°≤α≤k·360°+105°,k∈Z}②在0°~360°范围来看，阴影部分的角α的范围是210°≤α≤285°，所以在坐标系中角α的范围是{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+285°,k∈Z}【4】若α是第二象限角，请确定2α的终边所在的位置【解】①因为α是第二象限角，所以

k·360°+90°＜α＜k·360°+180°,k∈Z所以2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°,k∈Z如图，即2α的终边位于第三或者第四象限，或者位于y轴的负半轴上.【5】若α是第二象限角，请确定的终边所在的位置【解】①因为α是第二象限角，所以

①

k·360°+90°＜α＜k·360°+180°,k∈Z所以k·180°+45°＜

＜k·180°+90°,k∈Z

k=2n(n∈Z)时，k·360°+45°＜

＜k·360°+90°,k∈Z

k=2n+1(n∈Z)时，k·360°+225°＜

＜k·360°+270°,k∈Z

所以

的终边位于第一或者第三象限.

②③④②①③④也可以运用图示的高阶方法，从

轴正半轴沿逆时针把每个象限平分成2部分，并且依次标上①②③④，则标②的就是所在的区域.

【5】若α是第二象限角，请确定的终边所在的位置【解】

①

②③④②①③④这次我们直接运用图示的高阶方法，从

轴正半轴沿逆时针把每个象限平分成3部分，并且依次标上①②③④，则标③的就是所在的区域.④①②③

5.1任意角和弧度制第五章三角函数《