2023年广东省惠州市博罗县中考一模数学试卷（含答案与解析）

2023广东省惠州市博罗县中考一模试卷

数学

（试卷满分120分，考试用时120分钟）

注意事项：

1.答题前，考生先用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、准考证号填写在试卷及答题卡的指定

位置，然后将条形码准确粘贴在答题卡的“贴条形码区”内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体

工整，笔迹清晰。

3.按照题号顺序在答题卡相应区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4.在草稿纸、试卷上答题无效。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

I.下列图形是中心对称图形的是（）

2.据统计，2022年全国新冠病毒疫苗及接种费用1500余亿元，将数据1500亿用科学记数法表示

（）

A.1.5×109B.1.5×IO10C.1.5×lθ"D.0.15×1012

3.下列运算错误的是（）

3\225

A.(a%*"?)=B.ɜʌj..2_y22xy2C.a5÷a2=ai

x=(-mnI=m~n

4.如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（）

5.2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，则本次

比赛共有参赛队伍（）

A.8支B.9支C.10支D.11支

6.数据2,4,8,5,3,5,5,4的众数、中位数分别为（）

A.4.5、5B.5、4.5C.5、4D.5、5

7.关于X一元二次方程（ɑ-l）/+x+/—1=0的一个根是0,则a的值为（）

A.1B.1或TC.-1D.0.5

8.如图，平行四边形ABCz）的对角线AC、8。相交于点。，E是AB的中点，若aAEO的面积为1,

A.2B.3C.4D.5

9.如图，在半径为6的：。中，点A,B,C都在Oo上，四边形Q46C是平行四边形，则图中阴影部分

10.如图，等边-ABC的边长为4cm,点尸，点。同时从点A出发点，。沿AC以ICmZS的速度向点C运

动，点尸沿A—8—C以2cm∕s的速度也向点C运动，直到到达点C时停止运动，若AAPQ的面积为

S（单位：c机2）,点。的运动时间为政单位:s）,则下列最能反映S与，之间关系的大致图象是（）

二、填空题（本大共5小题，每小题3分，共15分）

x+y=6

11.二元一次方程组〈--,解是_______.

2x-y=6

12.已知一个〃边形的内角和等于720。，则〃=.

13.将抛物线y=3/向上平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式是.

14.已知/-α=ι,则代数式3+2a—2"的值为.

15.如图，CE是以BCO的边AB的垂直平分线，垂足为点0,CE与D4的延长线交于点E.连接AC,

BE,DO,Oo与AC交于点凡则下列结论：

①四边形ACBE是菱形；

®AACD=ZBAEi

③A尸：BE=2:3；

@5maκAFOEt5ΔCOD—2：3.

其中正确的结论有.（填写所有正确结论的序号）

三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

其中α=—1.

18.如图，AB/7CD,AB=CD,点E、F在BC上，B.BE=CF.

（1）求证：△ABE^ΔDCF;

（2）试证明：以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形.

四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

19.以“赏中华诗词、寻文化基因，品生活之美”为基本宗旨的《中国诗词大会》是央视首档全民参与的诗

词节目.某语文科组对本校学生了解《中国诗词大会》的情况进行调查，随机选取部分学生进行问卷调查，

问卷设有4个选项（每位被调查的学生必选且只选一项）：A.几乎每期都看；B.看过几期；C.听说过，但

没看过；D没听说过，现绘制了如图的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：

（1）本次共问卷调查________名学生：扇形统计图中，B选项对应的扇形圆心角是度.

（2）补全图中的条形统计图.

（3）该校选"A”学生中有甲、乙、丙三人最关注该节目，学校决定从这三名学生中随机抽取两名为该

节目作宣传，用列表法或画树状图法求同时抽到甲、乙两名学生的概率.

20.因疫情防控的需要，某小学购买儿童医用口罩和成人医用口罩以满足全体师生的需要，其中这两种口

罩每包所装的片数相同，每包成人医用口罩的价格比每包儿童医用口罩的价格少4元，用1200元购买儿童

口罩的包数恰好是同样的钱购买成人口罩的包W.

（1）求成人医用口罩和儿童医用口罩每包的价格分别是多少元？

（2）若购买这两种口罩共120包，要求儿童口罩的包数不少于成人口罩包数的3倍.请设计一种购买方

案，使所需总费用最低.

k

21.如图，直线y=x+b与双曲线y=-（左≠0）交于A、B两点,且点A的坐标为（2,3）.

（1）求双曲线与直线的解析式；

（2）求点B的坐标；

k

（3）若x+b>-,直接写出X的取值范围.

X

五、解答题(三)(本大题共2小题，每小题12分，共24分)

22.如图，/%是Oo切线，切点为A,AC是。。的直径，连接OP交。。于E.过A点作

AB_LPo于点D,交1.0于B,连接3C,PB.

(1)求证：PO//BC；

(2)求证：PB是OO的切线；

(3)若COSNH48=®,BC=1，求PO的长.

10

23.如图，直线y=；x+c与X轴交于点3(4,0),与y轴交于点C,抛物线y=gχ2+⅛r+c经过点

B,C,与X轴的另一个交点为A.

备用图

(1)求抛物线的解析式;

(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，求四边形ACPB面积最大时点P的坐标；

(3)在抛物线上是否存在点M,使NMCB=NABC?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明

理由.

参考答案

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

1.下列图形是中心对称图形的是()

【答案】B

【解析】

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可.

【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意，故选项A错误；

8、是中心对称图形，符合题意，故选项B正确；

C、不是中心对称图形，不符合题意，故选项C错误；

。、不是中心对称图形，符合题意，故选项D错误；

故选B.

【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解题的关键.

2.据统计，2022年全国新冠病毒疫苗及接种费用1500余亿元，将数据1500亿用科学记数法表示为

()

A.1.5×109B.1.5×10'°C.1.5×lθ"D.0.15×10l2

【答案】C

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为"X10"的形式，其中1W∣“∣V1O,〃为整数.确定”的值时，要看把原数

变成〃时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，〃是正

数；当原数的绝对值小于1时，〃是负数.

【详解】解：1500亿用科学记数法表示为1.5XlOL故C正确.

故选：C.

【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为αX10",其中1《同V10,〃可以用整数位数减

去1来确定.用科学记数法表示数，一定要注意，，的形式，以及指数〃的确定方法.

3.下列运算错误的是（）

A.=α%3B.3xy2-xy2=Ixy2C.a5÷a2=a3D.=m2n5

【答案】D

【解析】

【分析】根据积的乘方、塞的乘方运算、单项式乘除单项式法则逐项判断.

【详解】解：A、原式="⅛Λ故该选项正确，

B、原式=2孙2,故该选项正确，

Cs原式=/,故该选项正确，

D、原式=疡〃6,故该选项错误；

故选：D.

【点睛】本题考查整式的运算，掌握整式相关运算法则是解题关键.

4.如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（）

bd

AΠ~HC∙出∙⅛

【答案】B

【解析】

【分析】根据从上面看到的图形即为俯视图进一步分析判断即可.

【详解】从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形，

故选：B.

【点睛】本题主要考查了三视图的判断，熟练掌握相关方法是解题关键.

5.2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，则本次

比赛共有参赛队伍（）

A.8支B.9支C.10支D.11支

【答案】C

【解析】

【分析】设有X支队伍，根据题意，得gx（x-l）=45,解方程即可.

【详解】解：设有X支队伍，根据题意，得gx（x-l）=45,

解方程，得玉=10,X2=-9（舍去）

故选：C

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.

6.数据2,4,8,5,3,5,5,4的众数、中位数分别为（）

A4.5、5B.5、4.5C.5、4D.5、5

【答案】B

【解析】

【分析】根据众数和中位数的定义分别进行解答即可.

【详解】解：数据中5出现的次数最多，所以众数为5,

将数据重新排列为2、3、4、4、5、5、5、8,

4+5

则中位数为----=4.5,

2

故选：B.

【点睛】此题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数：中位数是将一组数据从小到大

（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数.

7.关于X的一元二次方程（ɑ-l）/+龙+/一I=。的一个根是0,则〃的值为（）

A.1B.1或-1C.-ID.0.5

【答案】C

【解析】

【分析1根据方程是一元二次方程，可得。一1。0,将X=O代入方程，求出。的值即可.

【详解】解：；关于X的一元二次方程（α-l）W+x+∕-l=0的一个根是0,

a-l≠0,/—1=0，

α=-1；

故选：C.

【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解.熟练掌握一元二次方程二次项系数不为0,

使等式成立的未知数的值是方程的解，是解题的关键.

8.如图，平行四边形ABC。的对角线AC、B。相交于点。，E是AB的中点，若4AEO的面积为1,

则一ABC的面积为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质及三角形中位线可进行求解.

【详解】解：；四边形ABCD是平行四边形，

.,.OA=OC,

「E是AB的中点，

.∙.OE〃BCQE=>BC,

2

.∙.VAEO^NABC,

,/Z∖AEO的面积为1,

・∙UABC=4；

故选C.

【点睛】本题主要考查三角形中位线、平行四边形的性质及相似三角形的性质，熟练掌握三角形中位线、

平行四边形的性质及相似三角形的性质是解题的关键.

9.如图，在半径为6的。中，点4,B,C都在:一。上，四边形。43。是平行四边形，则图中阴影部分

的面积是（）

A.6兀B.3>∕3πC.2πD.2^∣3π

【答案】A

【解析】

【分析】连接。B,根据平行四边形的性质得到OA=BC,推出，BOC是等边三角形，得到N6OC=60°,

根据扇形的面积公式即可得到结论.

【详解】解：连接。8，

•••四边形。钻C是平行四边形，点A,B,C都在，。上，

.∙.OA=BC,

,：OB=OC=OA,

/.OC=OB=BC,

∙∙.,BOC是等边三角形，

.∙.ZBOC=GOo,

0。的半径为6,

._nτrR2_60°;T×62_

,,、阴影='晶彩CWC=360°=―36Q≡—=6兀'

故选：A.

【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，平行四边形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键.

10.如图，等边.ABC的边长为4cm,点P,点。同时从点A出发点，。沿AC以ICmZS的速度向点C运

动，点P沿4—B—C以2cm∕s的速度也向点C运动，直到到达点C时停止运动，若AAPQ的面积为

S（单位:cτ√）,点。的运动时间为《单位：s）,则下列最能反映S与，之间关系的大致图象是（）

D.

【答案】C

【解析】

【分析】分为P在AB上和BC上运动，利用解直角三角形解除相应三角形的高，再分别建立面积关于时

间的关系式即可得解.

【详解】当点P在AB边运动时如图,

S=:AQXPQ,

又AP=2t=2AQ=2×t,ZA=60°,

.∙.PQlAC,

.∙.PQ=APXsinZA=2t×-ɪ-=ʌ/ɜz，

.,.S=LXfXGf=3/,

22

第一段过原点，开口向上，故排除A、B项；

当点P在BC边运动时，作AC如图，

S=SAPAC-SNQC,PH=PCXSinNC，PC=4+4—2/

S^^AC×PH-^CQ×PH,

11/Q

S=-Aβ×PCxsinZC=-×Z×(8-2r)×^-＞图象为开口向下的抛物线，排除。项,

只有C项符合题意，

故选C.

【点睛】本题是运动型综合题，考查了到解直角三角形，求函数解析式，二次函数图像的性质；关键在于

根据不同情况，理解动点的完整运动过程，建立面积与时间的函数关系.

二、填空题(本大共5小题，每小题3分，共15分)

x+y=6

11.二元一次方程组4°',的解是__________.

2x-y-6

X=4

【答案】

y=2

【解析】

【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可.

x+y=6①

【详解】解:

2尤_,=6②

①+②得：3x=12,

解得：x=4,

把x=4代入①得：4+y=6,

解得：y=2,

x=4

・•・方程组的解为：↑c∙

b=2

x=4

故答案为：∖C.

卜=2

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，根据方程组中未知数系数的特点选择恰当的方法消元是

解决此题的关键.

12.已知一个〃边形的内角和等于720。，贝ij〃=.

【答案】6

【解析】

【分析】根据多边形内角和公式计算即可.

【详解】解：由5—2)x180。=720。，

解得〃=6∙

故答案为：6.

【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，掌握多边形内角和定理的计算公式是解题的关键.即多边形

的内角和为("-2)X180。"23的整数).

13.将抛物线y=3∕向上平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式是.

【答案】y=3x2+2

【解析】

【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解.

【详解】抛物线y=3/向上平移2个单位得到y=3f+2.

故答案为：y=3∕+2.

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故α不变，所以求平移后

的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出

解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

14.已知〃一。=1，则代数式3+2α-2"的值为.

【答案】1

【解析】

【分析】整理代数式，再利用已知条件计算即可.

【详解】解/—a=i，

/.3+Za-2tz^-3-2—α)-3-2=1,

故答案为：1.

【点睛】本题考查了代数式的求值，已知代数式的值求式子的值，掌握整体代入是解题的关键.

15.如图，CE是%BC。的边AB的垂直平分线，垂足为点O,CE与D4的延长线交于点E.连接4C,

BE,D0,。。与AC交于点F,则下列结论：

①四边形ACBE是菱形；

②/ACD=NBAE:

®AF：BE=2：3；

④S四边彩AFoE:SACoD=2:3.

其中正确的结论有____.（填写所有正确结论的序号）

【答案】①②④.

【解析】

【分析】根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可.

【详解】：四边形ABCD是平行四边形，

ΛABCD,AB=CD,

YEC垂直平分AB,

11

AOA=OB=-AB=-DC,CDlCE,

22

VOA√DC,

.EAEOOA1

*'ED^EC^CD^2'

AE=AD,OE=OC,

VOA=OB,OE=OC,

.∙.四边形ACBE是平行四边形，

VABɪEC,

.∙.四边形ACBE是菱形，故①正确，

∖∙ZDCE=90o,DA=AE,

.∙.AC=AD=AE,

ΛZACD=ZADC=ZBAE,故②正确，

；OA〃CD,

.AFOA1

.∙.=---=一,

CFCD2

AFAF1,,-,.,

•>----==-,故③z错x4陕r，ι

ACBE3

设AAOF的面积为a,则AOFC的面积为2a,ACDF的面积为4a,4AOC的面积=AAOE的面积=3a,

四边形AFoE面积为4a,△()DC的面积为6a

∙,∙S∣ιq⅛KAF0E:SACOD=2：3.故④正确.

故答案是：①②④.

【点睛】此题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等高模型等知识，

解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题.

三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

16.计算：φ^l-2cos30。+1—GI—（4—万）°.

【答案】2

【解析】

【分析】分别计算负整数指数累，锐角三角函数，绝对值，零次累，再合并即可.

【详解】解：（ɪ）-'-2cos300+1|-（4-万）°

=3-2×-+λ^^-l

2

=3-币+y∣3—I

=2.

【点睛】本题考查实数的运算，考查了负整数指数基，锐角三角函数，绝对值，零次基的运算，掌握以上

知识是解题的关健.

cr—a（a∖

17.先化简，再求值：-V—~-÷1+--,其中α=T∙

【答案】一。，1

【解析】

【分析】原式括号中的两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最

简结果，把。的值代入计算即可求出值.

。2_〃a

【详解】解：÷1+------

I∖-a

q(α-l)(l-αa、

(α-1)?[1-。1—a,

=­7×(1-^)

ci—1

=-Q.

当α=-l时，原式=—(T)=L

【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键

18.如图，ABZzCD,AB=CD,点E、FBC±,且BE=CF.

(1)求证：△ABE^∆DCF;

(2)试证明：以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形.

【解析】

【分析】(1)由全等三角形的判定定理SAS证得△ABEgZ∖DCF;

(2)利用(I)中的全等三角形的对应角相等证得NAEB=NDFC,则NAEF=NDFE,所以根据平行线的

判定可以证得AE〃DF.由全等三角形的对应边相等证得AE=DF,则易证得结论.

【详解】解：(1)如图，：AB〃CD,.∙.NB=NC.

：在△ABE与△DCF中，AB=CD,ZB=ZC,BE=CF,

Λ∆ABE^∆DCF(SAS).

(2)如图，连接AF、DE,

AE=DF,ZAEB=ZDFC.

.∙.ZAEF=ZDFE.ΛAE√DF.

.∙.以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形.

四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

19.以“赏中华诗词、寻文化基因，品生活之美”为基本宗旨的《中国诗词大会》是央视首档全民参与的诗

词节目.某语文科组对本校学生了解《中国诗词大会》的情况进行调查，随机选取部分学生进行问卷调查，

问卷设有4个选项（每位被调查的学生必选且只选一项）：A∙几乎每期都看：8.看过几期；C听说过，但

没看过；D没听说过，现绘制了如图的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：

（1）本次共问卷调查________名学生：扇形统计图中，8选项对应的扇形圆心角是度.

（2）补全图中的条形统计图.

（3）该校选“A”的学生中有甲、乙、丙三人最关注该节目，学校决定从这三名学生中随机抽取两名为该

节目作宣传，用列表法或画树状图法求同时抽到甲、乙两名学生的概率.

【答案】（1）100：54；

（2）补图见解析；（3）-

3

【解析】

【分析】（1）结合扇形统计图和条形统计图的信息即可得到总共调查的学生数和扇形圆心角的度数；

（2）根据调查总人数及各项人数得到C的人数进而补充条形统计图；

（3）先利用树状图统计概率，再利用概率的定义即可得到甲、乙两名学生的概率.

【小问1详解】

解：♦.•。项所占的人数为25人，。项所占的百分数为25%,

本次共问卷调查学生人数为：25÷25%=1∞（人），

YB项的人数为15人，

.∙.B项对应的扇形圆心角是：360工旦=54°,

100

故答案为100,54；

【小问2详解】

解：∙.∙8项的人数为15人，。项所占的人数为25人，A项所占的人数为5（）人，

.∙∙C项所占的人数为：100-50—15—25=10(人),

补全条形统计图如图所示：

21

P(同时抽到甲、乙两名学生)

63

【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，概率的统计方法及概率的定义，掌握条形统计图和扇形统

计图是解题的关键.

20.因疫情防控的需要，某小学购买儿童医用口罩和成人医用口罩以满足全体师生的需要，其中这两种口

罩每包所装的片数相同，每包成人医用口罩的价格比每包儿童医用口罩的价格少4元，用1200元购买儿童

口罩的包数恰好是同样的钱购买成人口罩的包数9.

4

(1)求成人医用口罩和儿童医用口罩每包的价格分别是多少元？

(2)若购买这两种口罩共120包，要求儿童口罩的包数不少于成人口罩包数的3倍.请设计一种购买方

案，使所需总费用最低.

【答案】(1)成人医用口罩每包的价格为12元，儿童医用口罩每包的价格为16元；

(2)购买30包成人医用口罩，90包儿童医用口罩时，所需总费用最低

【解析】

【分析】(1)设成人医用口罩每包的价格为X元，儿童医用口罩每包的价格为(x+4)元，根据用1200元

购买儿童口罩的包数恰好是同样的钱购买成人口罩的包数二3列出方程，解方程并检验即可得到答案；

4

(2)设购买。包成人医用口罩，购买(120-α)包儿童医用口罩，所需总费用为W元，列出总费用的一次

函数表达式，求出”的取值范围，根据一次函数的性质进行解答即可.

【小问1详解】

解：设成人医用口罩每包的价格为X元，儿童医用口罩每包的价格为(X+4)元,

120012003

根据题意,得4r二力

解得：X=I2

经检验，X=12是原分式方程的解且符合题意.

.∙.X+4=12+4=16,

答：成人医用口罩每包的价格为12元，儿童医用口罩每包的价格为16元.

【小问2详解】

设购买。包成人医用口罩，购买(120-a)包儿童医用口罩，所需总费用为W，元，依题意，得

VV=I2a+16(120—0)=4+1920,

120-。≥3α,

.∙.0<Λ≤30,

∙.∙-4<0,

.∙.当α=30时，W有最小值，

此时120—α=90,

答：购买30包成人医用口罩，90包儿童医用口罩时，所需总费用最低.

【点睛】此题考查了分式方程和一次函数的应用，读懂题意，正确列出方程和函数表达式是解题的关键.

21.如图，直线y=x+。与双曲线y=∕(AwO)交于A、8两点，且点A的坐标为(2,3).

(1)求双曲线与直线的解析式；

(2)求点8的坐标；

(3)若x+8>4,直接写出X的取值范围.

X

【答案】（1）y=9,y=χ+i;（2）（-3,-2）；（3）一3<无<0或x>2;

X

【解析】

【分析】（1）把A的坐标代入一次函数与反比例函数的解析式即可求出解析式：

（2）把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，求出方程组的解即可;

（3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案.

【详解】解：（1）：点A（2,3）在双曲线y=A上，也在直线y=x+b上，

X

∙'∙Z=3x2=6,/?=3—2=1；

.∙.双曲线的解析式为y=$,

X

直线的解析式为y=χ+i;

（2）：点8是直线y=χ+l和双曲线y=色的交点,

X

γ=x÷l

・・・点5的坐标是方程组《6的一个解;

>=一

X

x1=2x2=—3

[y=3出=-2

，点8的坐标为(-3,-2)；

k

（3）由图象可知，若x+8>-,则X的范围是：-3<χV0或x>2.

X

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的解析式，用待定系数法求出一次函数的解析式，函数与不等

式等知识点的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，用了数形结合思想.

五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）

22.如图，R4是。。的切线，切点为A,AC是0。的直径，连接OP交,0于E∙过A点作

AB工PO于点D,交I。于8,连接5C,PB.

(1)求证：PO//BC-,

(2)求证：PB是。的切线；

(3)若COSNPAB=巫,BC=I，求Po的长.

10

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；(3)PO=5

【解析】

【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角得出C,结合已知条件即可得证；

(2)证明AAOPgAB。P(SAS)则NQBP=NQ4P,结合已知条件即可得证：

(3)根据题意得出CoSNC=CoSNPAB=典，在RtZXABC中，CoSNC=生=」一=亚，得出

10ACAC10

AC=Ji6,AO=邛，证明APAOS2XABC,根据相似三角形的性质即可求解.

【小问1详解】

解：证明：Ae为OO的直径，

.-.ZABC=90°,

即：ABJ.BC，

又ABLPO,

.∙.PO∕∕BC

【小问2详解】

证明：连接。B,

PO//BC

..AOP=NC,NPOB=NOBC,

OB=OC,

:.NOBC=NC,

..AOP=NPOB,

在,AOP与ABOP中

OA^OB

<ZAOP=ZPOB,

PO=PO

・•.△AOPdBOP(SAS)

.∙.ZOBPZOAP,

以为。。的切线，

.∙.NoAP=90°,

NOBP=90。，

；.PB是。的切线；

【小问3详解】

ZPAB+ZBAC=90o,ZC+ZBAC=90°

..ZPAB=ZC,

：.cosZC=cosNPAB-

10

在RtZ∖4BC中，cosZC=-=-^-=—，

ACAC10

.∙.AC=√i?,AO=乎，

ABAC=90°-ZPOA=ZP,ZABC=NΛ4O=90。，

.ΛPAO^ΛABC，

POAO

"~AC~~BC,

√iδ

Λ/ɔG]

:.PO=-∙AC≈^-∙√10=5'

BC1

【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，切线的判定,

熟练掌握以上知识是解题的关键.

23.如图，直线丁=3》+。与》轴交于点3(4,0),与V轴交于点。，抛物线y=g∕+z7χ+c经过点

B,C,与X轴的另一个交点为A.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，求四边形AePB面积最大时点P的坐标；

(3)在抛物线上是否存在点M,使NMCB=NABC?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明

理由.

1,3

【答案】(1)y=-x—x—2

22

(2)P(2,-3)

⑶点•郎)或(3,-2)

【解析】

【分析】(1)首先求得点C(O,-2),然后利用待定系数法求得抛物线解析式即可；

(2)过点尸作PELAB交BC于点E,首先求得点A(-l,0),设点则