陕西省咸阳市2023届高三三模文科数学试题（解析版）

咸阳市2023年高考模拟检测（三）

数学（文科）试题

注意事项：

1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.设集合A={xwN'∣-l<x≤3},则集合A的真子集个数是（）

A.6B.7C,8D.15

【答案】B

【解析】

【分析】由题意列举出集合A中的元素，再用真子集个数公式2"-1（〃为集合中元素个数）计算即可.

【详解】因为A={XGN*∣-1<X≤3},

所以A={l,2,3},

所以集合A的真子集个数是2'-1=7，

故选:B.

2-3i

2.已知复数Z=-则复数Z的虚部是（）

i

A.-2B.-2iC.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的除法运算求解z,即可得结果.

【详解】由题意可得：z=2二21=2W匚=一3一万，

•;2

所以复数Z虚部是-2.

故选：A.

3.如图，在AABC中，点。为BC边的中点，O为线段AZ）的中点，连接C。并延长交AB于点E,设

AB=a，AC=〃，则CE=()

17

B.—a—b

34

]31-3

C-a--bD.—a——br

4434

【答案】A

【解析】

【分析】设AE=/143,再根据平面向量基本定理分别表示CO,CE，进而根据向量共线设CE=〃C。,

ɪ

λ

3

代入向量可得」进而得到CE,

μ

3

【详解】设4E=4A8，则CE=AE-AC=2α-b，又

1313

CO=-CA+-CD=--AC+-(AB-AC)=-AB--AC=-a--b，

22244444

(]3)

设CE=μC0，则λcι—b—//I—ɛzI>

λμλ^-

73

故,即,

._3;£4

-1μ=一

43

41

数CE=—CO=—a—b.

33

故选：A

)

4.已知方程Sina+2CoSa=0,则CoS2ez-sinαcosa=(

434

A.----B.-cD.-

55∙-15

【答案】B

【解析】

【分析】由已知可得tanα=-2,cos?o-SinaCOSe用齐次式方法处理后得l~^na,将tanα值代入

tana+1

即可得出答案.

【详解】方程Sina+2COSa=O,化简得tanα=-2,

22

cos^a-smacosacos-a-smacosa

则Cos2αf-sincrcosa=

1sin26z+cos2a

2

八十八ELa办…-cosa—sinacosa1-tana

分子分母同时除9以COrzSn2。可得：-----ɔ-----------ɔ——=—ɔ--------

Sirra+cosatan-a+l

2.1-tana_1-(-2)_3

将tan2=-2代入可得cos-a-smαcosα=

tan2α+l(-2)2+15

故选：B.

5.已知函数/(x)的部分图象如图所示，则它的解析式可能是()

ev

ʌ-fMB∙fix')

sinxcos%

C.f(x)=evcosxD./(x)=e*sinx

【答案】D

【解析】

【分析】利用排除法，结合函数图象，利用函数的定义域和导数研究函数的单调性，依次判断选项即可.

【详解】由图象可知，函数/(x)的定义域为R∙

A：/(X)=函数F(X)的定义域为{x∣XHAπ∕∈Z},所以A不符题意;

SinX

,函数/(x)的定义域为(x∣x≠]+E,%∈Z卜所以B不符题意;

B：/(%)

COSX

C：当()<xv元时，/(x)=er∙cosx,则f,(x)=eA∙cosx-ex∙sinx=ev(cosx-sinx),

TrTT

当0<x<一时，f∖x)>0,当一<x<兀时，f,(x)<0,

44

所以/(χ)在(0,：)上递增，在(：,兀］上递减，所以是函数的极大值，

结合图形，不是极大值，故C不符题意;

D：当OVXV定时，/(x)=ev∙sinx,

则f,M=eʌ∙cosx+ex∙sinx=ev(cosx+sinx),

3JΓ3TΓ

当0<x<二时，∕z(x)>0,当e<x<π时，∕,(x)<0,

44

所以/(χ)在(θ,今)上递增，在(子,兀］上递减，结合图形，D符合题意；

故选:D.

6.已知正三棱锥A—BQD的所有棱长均为2,点M,N分别为棱Ao和BC的中点，点E为棱AB上一个动

点，则三角形例EN的周长的最小值为()

A.3B.2+y/2.C.1+V2+ʌ/ɜD.4+Λ∕5

【答案】B

【解析】

【分析】将侧面ABC和侧面谢展开为一个平面，求出ME+NE最短时的长度，再计算出MN的长度即

可.

【详解】根据题意，将正三棱锥A-BC。的侧面4BC和侧面曲展开为一个平面，如图所示，

当点M,N,E在同一直线上时，ME+NE最短,

因为正三棱锥A—3CZ)的所有棱长均为2,

所以Ar)=DB=BC=AC,即四边形ADBC为菱形，

又因为点M,N分别为棱AO和BC的中点，

所以四边形AMNC为平行四边形，

所以脑V=AC=2,

DMA

下面求MN的长;

连接。N,过点A和点N作AOL平面ABC,MPL平面ABC,垂足为点。和点P,

因为三棱锥A-BCD为正三棱锥,

所以点0和点P在底面ABC的中线Z)N上，且点0为等边三角形ABC的中心,

则CN=,C=1，DN=yJCD2-CN2=√22-l2=√3>

所以NP=DO=ZDN=空~

33

因为49_L平面ABC,Mp，平面ABC，。。U平面ABC,

所以AO∕∕MP,AOlOD,则MPLOr>,

又因为点M为AO中点，所以MP=LA。，

2

在RJAoD中，AO=y]AD2-DO2=ʌ22-(—)2=-则MP=如，

Y333

在RtAMPN中，MN=[MP?+NP?=J俘=及,

所以三角形MEN的周长的最小值为NE+ME+MN=2+√2>

故选：B.

χ-γ≥i,

7.若实数X,y满足(2x-y≤4,,则x+y+1的取值范围为()

,γ≥0,

A.[1,5]B.(1,5)C.(2,6)D.[2,6]

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式组作出可行域，如图，当直线z=x+y+1经过点B时，Z取得最小值，当经过点A

时，z取得最大值，求出点A、B的坐标即可求解.

【详解】由不等式组，作出可行域，如图，

令Z=X+y+l,则y=x+l-z,作直线>=%,

平移直线>=X,当直线经过点B时，z取得最小值，

当直线经过点A时，z取得最大值，

又8（1,0）,此时z=2,

y=%—1

由，C,解得x=3,y=2,即A（3,2）,止匕时z=6,

y=2%-4

所以2=》+），+1的取值范围为[2,6].

、,且/(X)在(θ,f［上单

O>0),对任意XeR,恒有/(x)≤ʃɪ

∖J7I4J

调递增，则下列选项中不正确的是（）

A.ω=2

lζjτjr

B.函数/（X）的对称轴方程为*=万+§（左eZ）

y=∕（χ+专）为奇函数

ππ

D./⑴在一Wq上的最大值为2

2

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角函数的对称性和单调性求得ω=2,进而求得/(x)=2sin2x一看卜利用整体代换法,

结合奇偶函数的定义和三角函数的最值依次判断选项即可.

【详解】A：由题意，Vx∈R,恒有/(x)≤/[三

ITTrTrTr

所以X=K是函数F(X)的一个最高点，即Co-'=2+E,%∈Z,

3362

得口=2+3k,Z∈Z.

/Jl]Ti[7t]ITtTt71

又函数/(X)在[OqJ上单调递增，则0<x<7n[①工一彳卜[一不，7口一不

ITi兀\

又函数)，=$皿%的单调递增区间为[-5+2桁,耳+2祈)«€Z,

兀兀兀兀兀c,1,r

所以(一不,W①~~kJq[-5+2E,∕+2Ej,z∈z,

兀兀

-----F2kπ<——k<-

即426,%ez,解得<6,AeZ,

31

—兀+2Cκ7π、≥-兀ω——兀k≥------

〔246〔83

当女=On寸，3=2,此时—L≤z<-

7,符合题意；

12(

71

当&=1时，(W=5,此时—≤%≤—,不成立，故不符合题意,

246

所以0=2.所以/(尤)=2$.[2》一季

.故A正确；

解得X

6232

jτk

即函数的f(χ)的对称轴为x=—+—兀/wZ,故B正确；

32

,(兀、­・ʌ(7Γʌ71.n2x,令g(x)=/(X+1]=2sin2x,

C：fzXH----=2Sin2XH——=2s

I12JLI12J6j

TI

则g(r)—2sin(-2x)--2sin2x-—g(x),即函数/(χ+在)为奇函数，故C正确：

兀,，兀2兀，八兀,兀

D：——≤x≤-=>-----≤2x----≤—,

44363

因为函数y=sinx在(一日•,一上单调递减(ππʌ

，在一5，§上单调递增，

所以函数f(χ)在一：,£上，-2≤/(x)≤√3,即函数/O)的最大值为百，故D错误.

故选：D.

9.已知实数X,y=[0,2],任取一点(x,y),则该点满足V+y2≥2的概率是()

【答案】C

【解析】

【分析】根据几何概型的方法，求出X,y=[0,2]表示的区域中满足d+y≥2的面积所占的比例即可.

【详解】设O={(x,y)∣0≤x≤2,0≤x≤2},则在平面直角坐标系中画出平面区域。，如图所示,

则平面区域。的面积为：2x2=4,

圆f+y2=2的圆心为(0,0),半径为夜，

则在。中满足尤2+VN2的面积为：4-l×^×(√2)2=4--,

42

4-工

则。中的点满足/+V≥2的概率4^21兀，

1--------1-----

48

I2（P2COq------

1°∙已知"=淅，b=萍'r∙=2023，则（）

20232023

A.a>b>cB.h>a>C

C.b>c>aD.a>c>b

【答案】B

【解析】

【分析】构造函数/(x)=eλ-x-l,利用导数分析单调性即可得出。<匕；由O<cos<1，可得

1

cθs

^2023,ɪ-j>进而求解•

20232023

详解】设/(x)=eA—x—1,

所以/''(x)=e*—1,令/'(x)<0=>x<(),令,f'(x)>()=>x>0,

所以函数f(χ)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，

则/(x)N∕(0)=0,即e*-x-l≥0,得e*≥x+l.

-胆20221

所以8=e2。23>一上空+1=_!_a，即α</?；

20232023

.,1

X0<COS------<1,所以c°s20231即c<α,

2023c=----<

20232023

所以c<α<0.

故选：B.

11.已知等差数列｛4｝,∙⅛｝的前〃项和分别为S“，Tn,若(2〃+3电=叫，则詈=()

31911

A.-B.-C.—D.—

732525

【答案】A

【解析】

SOaS”〃

【分析】根据等差数列前〃项求和公式可得U=T1,由题意可得才=7；~~令”=5,计算即可求解.

T9b5Tn2〃+3

Sn

【详解】(2"+3电=忆n式=诉P

又S9=~(q+)=5X2。5=9。5，

99

τ

9=-0ι+b9)=-×2b5=9b5,

所吟长9=3

,

T92×9+37

α3

所以5,=)•

々7

故选：A.

12.已知抛物线y='χ2（y≤8）,把该抛物线绕其对称轴旋转一周得到一个几何体，在该几何体中放置一个

4

小球，若使得小球始终与该几何体的底部相接，则小球体积的最大值为（）

`,C4C32r256

A.4兀B.-7tC.—7iD.-----Ti

333

【答案】C

【解析】

【分析】要使球的体积取到最大值，球需接触到抛物线旋转所形成的的曲面上，设此时球与平面Xay的交

点为P（Xo,为），球心为。.半径为厂，利用导数的几何意义求出尸处的切线方程，利用点到直线的距离公

式、两直线垂直斜率之积为-1计算化简，求出r,结合题意和球的体积公式即可求解.

【详解】要使球的体积取到最大值，球需接触到抛物线旋转所形成的的曲面上，

设此时球与平面χθy的交点为尸（玉）,%），球心为°∣，半径为『，

则No=；片，O1（0,8-r）,

设抛物线在点P处的切线为/,则∕∙LO∣P,且。到直线/的距离为r,

y=-^χ2ny'=gχ,所以直线/方程为y-%=；Xo(X-X0)，

即/i+%-产。，所以点。倒直线的距离为

1C1,„1,

-xo×O-l×(8-r)+yo--xo-(8-r)--x0

d=/=1—=r①,

J(gXo)?+(T)2G片+1

又勺％P=T,即几=一1,

1,

整理得8-r=2+^x；，代入①式，

因为球始终与该几何体的底部相接，所以点P为原点，即XO=0,此时r=Jx；+4=2,

所以球的最大体积为V=3»/=3%x23=%%.

333

第II卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若一数列为2,7,14,23,…，则该数列的第8个数是.

【答案】79

【解析】

【分析】根据题意可得数列的通项公式，进而可得结果.

【详解】由题意可得：2=l2+2×l-l,7=22+2×2-l,14=32+2×3-l,23=42+2×4-l,∙∙∙,

可得a”=1+2/1-1.

所以4=8?+2x8—1=79.

故答案为：79.

14.已知AABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若acosC+c,cosA=3，且/+c2=9+ac>

则B=.

【答案】y##60°

【解析】

【分析】如图，根据解三角形可得。=acosC+ccosA,进而b=3,贝∣J∕+。2一〃结合余弦定理

计算即可求解.

【详解】如图，在-ABC中，过B作LAC于点。，

A

∕∖z）

BC

则DC=acosC,AD=ccosAf

得DC+AD=acosC+ccosA,即b=cosC+ccosA,

又。COSC+ccosA=3,所以)=3∙

由a?+C2=9+ac，^a2+C2-b1=ac>

由余弦定理得COSB=cr+cj-=」£=］.,

IacIac2

又0<8<180°,所以5=60°.

故答案为：60.

15.已知/(χ)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，/(x)=e*-CoSX,则不等式/(x-l)-l<e"的解集是

【答案】(1-兀,1+兀)

【解析】

【分析】利用导数判断当XNo时，/(X)的单调性，结合偶函数解不等式.

【详解】当x≥0时，ʃ(ɪ)=ev-cos%,∕,(x)=eκ+sinx≥l+sinx>O,

则/(X)在［0,+∞)上单调递增，

因为/(χ)是定义在R上的偶函数，则/(χ)在(-∞,0］上单调递减，

若/(x—1)—1<e",即/(x-l)<eπ+l=∕(π),

可得∣X-1∣<7Γ,解得l-7l<X<l+7l,

所以不等式/(x-l)7<e"的解集是(1一兀,l+π).

故答案为：(l-π,l+π).

22

16.已知耳，鸟是双曲线C：二一?=1的左，右焦点，点M是双曲线C在第一象限上一点，设/,G分

别为AMEE的内心和重心，若/G与y轴平行，则MF1-MF2=.

【答案】68

【解析】

【分析】由题意，结合图形，根据内切圆的性质和双曲线的定义可得出AITEAl=26、闺川+优川=6,

进而求得巧=6，则X/=%，由重心的定义有XG=X°+c；(-c),求出乙,求得M(36,4C),利用

平面向量数量积的坐标表示计算即可求解.

【详解】由题意知α=方/=2,c=3.

如图，。/为△加片B的内切圆，切点分别为A、B、C,设M(Xo,%),

则/q=I耳叫Mq=IM4国H=I居目,由双曲线的定义知，

∖MF]-∖MF2∖=2a,gp∖MC∖+∖F;C∖-(∖MB∖+∖F2B∖)=∖FiA∖-∖F2A∖=2a=2^5,

又由A∣+∣玛H=2c=6,所以忸旬=3+6,内川=3-石,

得IaAl=IKA∣-c=3+石一3=石，S∣Jχz=√5.

又丛MF∖Fi的重心G与内心/的连线平行与y轴，即/G，X轴于点A,

所以X/二XG,

因为二才,所以与二

XG=-—ɪ3XG—3xj=ɜʌ/ʒ,

代入双曲线方程，得1«)巾一］,解得%=4√Ξ,即M(36,40),

54

又片(一3,0),∕ζ(3,0),所以MK=(-3-3√5,-4√2),MF2=(3-3√5,-4√2),

所以ME•屿=(3-3石)(-3-36)+(T0)2=68.

故答案为：68.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如图所示的频

率分布直方图.

频率

组距

（I）求这IOO份数学试卷的样本平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）在样本中，按照分层抽样从数学成绩不低于125分的试卷中抽取6份，再从抽取的试卷中随机抽取出

2份试卷进行答卷分析，求至少有一份试卷成绩不低于135分的概率.

3

【答案】（1）100（2）-

【解析】

【分析】（I）根据频率分布直方图，结合求平均数的方法计算即可求解；

（2）由题意设位于［25,135）的4份分别记作A,B,C,O,位于［135,145］的2份分别记作α,b.利用

列举法，结合古典概型的概率公式计算即可.

【小问1详解】

由题意，这100份数学试卷的平均分为

60×0.02+70×0.08+80×0.14+90×0.15+l∞×0.24

+110×0.15+120×0.1+130×0.08+140×0.04=l∞.

所以这100份数学试卷的平均分为100分；

【小问2详解】

抽查的100份试卷中，成绩位于区间［125,135）的有8份，位于区间［135,145］的有4份，

共计12份试卷.从中分层抽取6份，

设其中位于区间［25,135）的4份分别记作A,B,C,。，位于区间［135,145］的2份分别记作mb.

从6份试卷中任取2份试卷的所有可能情况有

AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da,Db,ab,共计15种结果，且每个结果的

发生是等可能的.

至少有一份试卷成绩不低于135分的情况有：Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,Da,Db,ab,共计9种结果.

（至少有一份试卷成绩不低于135分）=,9=M3，

3

即至少有一份试卷成绩不低于135分的概率为M.

18.如图，三棱柱ABe-44G的侧面Ge是边长为1的正方形，侧面BAGC，侧面A4,g8,

o

AB=4,ZAfi1B=60,G是的中点.

(1)求证：平面GBCJ_平面BBCC；

(2)若尸为线段BC的中点，求三棱锥A—P3G的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)在

6

【解析】

【分析】(1)在.GgB中，由余弦定理求出GB，由勾股定理逆定理得出GBL64,再说明GBL平面

CC和Gbu平面G8C,即可证明；

(2)由匕_p8G=%-ABG，说明PB为三棱锥尸一ABG高，即可求出体积.

【小问1详解】

在AGB片中，Gg=；A6=2,BB1=1,ZA1B1B=60°,

2

则在，GBiB中，由余弦定理得GB=y∣GB-+BB1-2GBl-BBxcosΛAlBiB=√3，

222222

因为BB；+GB=I+(√3)=4=GBf,即Gfil=BB1+GB,

所以GBJ.BB-

由己知平面BBCC∙L平面AA1B1B,且平面BBCCn平面AA4B=BBl,

又GBU平面A4∣B∣B,故GB_L平面B4GC,

又GBu平面GBC,则平面GBC±平面BB1C1C.

【小问2详解】

由题总知，YA-PBG=^P-ΛBG

由（1）知，G3_L平面BqGC,BCU平面BgGC,

则JBCLG3,

又BCL8g,且GBBB1=B,G8,u平面AAg6,

可得BC，平面AAg8,因此PB为三棱锥p—ABG的高，

o

因为NAIBlB=60,NGBBl=90°,

所以NABG=30°,

又Sme=ɪsinZABG×AB×BG=ɪ×ɪ×4×V3=G,

△ABG222

=

所以VAΛ-rPtSB∖Gj~VrP-ΛAr>Bt√G3~×SZAΔAtBSlGjXPB=ɜ~×ʌ/ɜ×2-=ð.

19.已知数列｛%｝满足4.-2%=〃—1,且q=l.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）数列｛4｝的前〃项和为s“，若S”<2023,求〃的最大值.

l,

【答案】（1）alt=2-n

（2）10

【解析】

【分析】（I）根据题意中的递推公式可得=2,则数列｛α,,+“｝是以2为首项，2为公比的等比

数列，结合等比数列的通项公式即可求解；

（2）由（I）,利用分组求和法,结合等差、等比数列前n项求和公式计算可得Sn=2e-2—幽土D<2023,

2

求出SKpSU即可求解.

【小问I详解】

Van+l-2an=n-l,且q=I,

.∙,αn+l+/+I=2an+2n=2（an+〃）.

由于q=l,则q+l=2xθ,αzι+"≠0.

.∙.数列｛an+〃｝是以2为首项，2为公比的等比数列.

得a,,+n=2∙2"-'=2",则an=2"-n,

即数列｛为｝的通项公式为«„=2n-n.

【小问2详解】

•：an^T-n,

：.S11=al+a2+ai++an

=(2-l)+(22-2)+(23-3)++(2,,-n)

_2„+1ɔ/?(/?+1)

一—2-'

n+

∙.∙S11<2023,即2'-2-<2023,

当〃=10时，2"+1-2-；;(/7+1)=1991；当〃=11时，2,,+1-2-//(/?+1)=4028.

22

.∙.满足S,,<2023的∏的最大值为10.

20.已知椭圆C:£+E=l(a>8>0)的左，右焦点分别为6,居，离心率为立，M为椭圆C上的一个

a^b^2

动点，且点M到右焦点F2距离的最大值为2+6.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知过点心的直线/交椭圆C于A,B两点，当的面积最大时，求此时直线/的方程.

2

【答案】(1)—+/=1

4

(2)x+√∑y-6=0或X-0-8=0.

【解析】

【分析】(1)根据题意，由椭圆的几何性质可得£=且、α+c=2+JL结合〃=82+。2求出。即

a2

可求解;

(2)设直线/的方程为X=my+√LA(XI，X)，Bo2，必)，联立椭圆方程，利用韦达定理表示X+%、

>∖y2,根据弦长公式表示5电8,结合基本不等式计算即可求解.

【小问1详解】

椭圆C离心率为£=走，

a2

又点M到右焦点尼距离的最大值为2+百，即α+c=2+6，

解得α=2,C=ʌ/ɜ.

又由∕=02+c2,可得∕7=1.

.∙.椭圆C的方程为：—+/=1.

4

【小问2详解】

由题意，设直线/的方程为x=my+G,

M2_1

—y=1，F-

联立J4得(苏+4)丁+26雨)，-1=0,

X=my+∖∣3,

设A(M,y∣),B(x2,y2),

πll∣-2∖βm_1

则X+%=标77'y%=一中'

S4F∖AB=W耳用|其一必|=力J(y+%)2-4乂%

46叵工46--------第=2

"+426

yjm2÷1

3L

当且仅当J/∕+ι=Iɔr即加=÷>∕2时取等号•

√m+1

所求直线/的方程为％+V∑y-百=O⅛E%-y∕2y-∖∣3=O.

21.已知函数/(x)=V+xlnx-or,^(x)=ae~2x+x2.

(1)当α=l时，求曲线y=∕(χ)在点(L/⑴)处的切线方程；

(2)若函数/*)和g(χ)有相同的极值点方,求实数〃的值.

【答案】⑴2x-y-2=0

(2)1

【解析】

【分析】(1)根据导数的几何意义运算求解；

(2)根据题意整理可得α=ln(x0e2AO)+I=∙⅞e2*,,构建〃⑺=lnf+lτ,利用导数判断函数单调性，结

合单调性求函数零点.

【小问1详解】

当α=l,f(x)=x1+x∖nx-x,/'(X)