第24练空间直线平面的平行与垂直-2023年高考数学一轮复习小题练习（新高考）（解析版）

专题07立体几何初步

第24练空间直线、平面的平行与垂直

谁练基础

1.（2022•浙江浙江•二模）已知直线/〃平面α,点Pe平面α,且P不在/上，那么过点尸且平行于直线/

的直线（）

A.有无数条，仅有一条在平面ɑ内B.只有一条，且不在平面ɑ内

C.有无数条，均不在平面α内D.只有一条，且在平面ɑ内

【答案】D

【解析】过直线/与点P的平面有且只有一个,记该平面为万.

又因直线/〃平面α,点Pe平面α

所以过点P且平行于直线/的直线只有一条，且这条线为平面α与平面夕的相交线.

故选：D.

2.（2022•浙江杭州•二模）设为两个不同的平面，则α〃夕的充要条件是（）

A.α内有无数条直线与夕平行B.α,6垂直于同一平面

C.α,Z?平行于同一条直线D.4内的任何直线都与万平行

【答案】D

【解析】A选项，α内有无数条直线与夕平行，α与夕可能相交，A选项错误.

B选项，a,77垂直于同一平面，”与夕可能相交，B选项错误.

C选项，//平行于同一条直线，α与尸可能相交，C选项错误.

D选项，α内的任何直线都与A平行，则α∕/,D选项正确.

故选：D

3.（2022•广东•模拟）在正方体A8C。-CA中，M是正方形ABeD的中心，则直线与直线与M所

成角大小为（）

A.30oB.45oC.60oD.90°

【答案】A

【解析】设正方体的棱长为2α,连接BC,MC,MB,

因为4C//A。，故NCgM或其补角为直线A1Q与立线BIM所成角.

而与五，22∕22

C=2√5α,MC=aBiM=√B,B+BM=√4i+2tz=√60,

故SC?=8附2+。用2,所以Mq_LCM,

所以COSNC3∣Λ∕=且,

-^L-因为为锐角，故。,

ZCB1MZCB1M=30

2叵a2

故选：A.

（•山西•一模（文））如图,正方体）中，若分别是棱。，的

4.202248Cf-ABIGBE,F,GACtC,BlCl

中点，则下列结论中正确的是（)

A.BEl平面。RGB.AE〃平面。FG

C.CE〃平面Z）FGD.平面AEB〃平面DFG

【答案】C

【解析】由Aβ8-A4G。为正方体，且尸，G分别是棱CC，8,G的中点，则FG〃A。，则平面DFG即

为平面AOFG,

A选项，如图连接AG,由正方体可知RG〃BE,又AGj.&G不成立，所以BE,AG不成立，即A选项

错误；

B选项，由AEl平面AOFG=A，故AE与平面AOFG不平行，B选项错误;

C选项，连接CE,则CE//AQ,又AGU平面AOFG,CEEAQFG,所以CE〃平面A力尸G,C选项正确;

D选项，平面AEB与平面A。FG有公共点A，故D选项错误;

故选：C.

5.（2022•广东•深圳市光明区高级中学模拟）如图所示，ABCn_48/。。/是棱长为”的正方体，M,N分

别是下底面的棱4/氏，8/C/的中点，P是上底面的棱Ao上的一点，AP=∣^,过P，M,N的平面交上底面

于PQ,。在CD上，则PQ=.

【答案］迤L

3

【解析】=MAW平面488,平面PMNon平面ABCD=PQ,MNU平面尸QNM,

.,.MNHPQ,易知DP=OQ=,

_ɔ

22

故PQ=y∣PD+DQ=CPD=-√2β.

2√2ɑ

故答案为:

3

6.（2022•河南•宝丰县第一高级中学模拟（文））在矩形ABa）中，ΛB=2ΛT>=4,点E为8的中点（如

图1）,沿AE将445E折起到△APEilii,使得平面尸AE_L平面ABCE（如图2）,则直线PC与平面ABeE

所成角的正切值为.

【答案】（

【解析】取AE的中点F,连接CF,PF,

：AA=PE且E为C。的中点，ΛPFYAE.

又,/平面PAEJ•平面ABCE,平面PAE'平面ABCE=AE,P尸U平面PAE,

.*.PEj_平面ABCE,

则直线PC与平面ABCE所成角为ZPCF

AE=-JAD2+DE2=2√2>PF=EF=应

CF'=EF2+CE'-ZEFCE-cosNCEF=lθBPCF=√10，

所以tanZPCF=^==-.

√105

1.（2022•湖北省仙桃中学模拟）已知平面α,夕，7,直线。，b,c,下列说法正确的是（）

A.若alia,bHβ,a∕∕b,则allβ

B.若〃_1.2,a±β,则R//?

C.若a_La,blip,2〃尸，则:

D.若αcy=α,β∖γ=b,a∕∕h,贝IJa%

【答案】C

【解析】若R∕α,bllβ,a∕∕b,则α与夕平行或相交，故A错误；

若a_La,aLβ,则W/夕或αu∕,故B错误；

若α,c,bllβ,α∕/,山血血平行与线血垂直的性质定理可得，故C正确;

若αcy=",βγ=b,a∕∕h,则α与夕平行或相交，故D错误.

故选：C.

2.（2022•广东•普宁市华侨中学二模）如图，在四面体ABCO中，若截面PQMN是正方形且P。〃AC,则

在下列说法中，错误的为（）

A.AC±BDB.AC〃截面PQMN

C.AC=BDD.异面直线PM与BO所成的角为45。

【答案】C

【解析】A：由题设，易知QMllBD,又PQ_LQW,PQ//AC,即有AC1.8Z）,正确;

B：由PQ//AC,PQU截面PQMN,AC<X截面PQMM则ACH截面PQMN,正确；

C：仅当只。为中点时AC=BD,故错误；

TT

D：由A知：异面直线PΛ∕与BO所成的角为∠PMQ=正确.

故选：C

3.（2022•浙江湖州•模拟）如图，已知四边形ABC。，45Co是以BO为斜边的等腰直角三角形，AABD为

等边三角形，BD=2,将△∙£）沿对角线BO翻折到APBD在翻折的过程中，下列结论中不E㈣的是（）

A.BDYPCB.。尸与BC可能垂直

C.直线OP与平面BCO所成角的最大值是45。D.四面体PBa）的体积的最大是立

3

【答案】C

【解析】如图所示，取8。的中点/，连接PM,CM

ΛBCD是以B4为斜边的等腰直角三角形,，BDJ.CM

△A8O为等边三角形,二3£>，PM

.∙.8OJ•面PMC,.-.BDLPC,故A正确

对于B,假设QPL3C,又BCLCD

.∙.BCJ>面PC。，.∙.BC±PC,

又PB=2,8C=>^,PC=√^e[G-l,G+l],故。P与3C可能垂直，故B正确

当面PBOJ.面BC。时，此时PM_L面BCD,NPzM即为直线。尸与平面8C£）所成角

此时,NPOB=60",故C错误

当面P8£>_L面BCZ）时，此时四面体PBCz）的体积最大，此时的体积为：

V=-SBCD∙PM=i×^×√2×√2）×√3=-，故D正确

3B3323

故选：C

4.（2022•山东师范大学附中模拟）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系

外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠''的表面上

2

有四个点满足尸，面AC±BC,则该“鞠”的体积的最小值为（）

RAK,A=LPAABC,^VP,ABC=-9

2599

A.—∏B.9兀C.-πD.-π

628

【答案】C

［解析】取AB中点为。,过O作ODHPA,且OD=BPA=ɪ,因为PA，平面ABC,^Jf以OD，平面ABC.由于

AC_LBC,故ZM=OB=Z)C,进而可知OA=O3=OC=OP.所以。是球心.为球的半径.

112

V222

由P-ABC=-×-ΛC∙CBPA=-=>ACCB=4,又AB=AC+BC≥2AC∙BC=S,当且仅当AC=Be=2,等

号成立,故此时AB=2√L所以球半径R=OA=M+(A"≥Jtj+(√2)2=|,故"|,体积最小值

故选：C

5.（2022•江苏淮安•模拟）周总理纪念馆是由正方体和正四棱锥组合体建筑设计，如图所示，若该组合体

接于半径R的球0（即所有顶点都在球上），记正四棱锥侧面PBc与正方体底面ABcR所成二面角为6,

贝（］tan9=.

【答案】√3-l

【解析】由正方体的性质可知该组合体的外接球的球心为正方体的中心，

设正方体底面ABG。的中心为BC的中点为E,连接PO,O∣E,PE,

则PE_LBlG,0也_LsG,

则∕PEO∣=e,设正方体的棱长为。，则尸O=等”,PO∣=*

tanθ=尸°l=ʌ/ɜ—1

O1E

故答案为：√3-l∙

6.（2022•海南•模拟）如图，在长方体ABCO-ABCQl中，A3=3cm,AD=2cm,AAi=Icm,则点用到

平面ABQ的距离为Cm

【答案】ʃ

【解析】在长方体ABC。-ABCR中，ABL平面AORA,则有ABL4R,

又45=3Cm,AD=2cm,AAl=ICm,于是有49=石，s,.=-AB∙AD=,

*八“a5h21γ2

,13

而A8_L84，AAJ平面A8B,,SAB及=；ABBB、=7,

设点用到平面ABD1的距离为h,由VBLABD,=∖-λbb,f导：3SAB[)∣■‘7-3SABBj^ʌt，

即侦〃=3.2,解得〃=毡，

225

所以点Bl到平面ABDt的距离为W.

故答案为：亭

7.(2022•江西省丰城中学模拟(文))在三棱锥A-BcD中，底面BC。为直角三角形，且BCLCZ),斜边

B。上的高为1,三棱锥A-BCD的外接球的直径为AB.若该外接球的表面积为16肛则当三棱锥A-88的

体积最大时，z∖88的外接圆半径为.

【答案】√2

【解析】设Ao=X，过C作CE_LBQ交8。于E,则CE=L

因为外接球的表面积为16肛故外接球的半径为2,故AB=4.

因为AB为球的直径，故NAQ仇NBCA均为直角，故A0_LB。，BCLAC,

而BC_LCnACCCO=C,故5C，平面AC。，

而ΛL>u平面ACQ,故8C_LAf),而53CBC=8,

故ADl.平面BCD,故VΛ,KCD=^×AD×SBCD,

又2

S0s=JxlxJ16-0,j⅛VABCD=1×Λ×1√I6-X≤ɪl=p

当且仅当X=2√2时等号成立，此时BD=2√2即ABCD的外接圆半径收.

故答案为：y∣2-

8.(2022•广西桂林•二模(理))在三棱锥ABCD中，对棱AB=CO=石，AD=BC=岳,AC=BD=yftO,

当平面α与三棱锥ABCD的某组对棱均平行时，则三棱锥ABCD被平面a所截得的截面面积最大值为

【答案】3

【解析】因为每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥ABCQ放入长方体中，设长宽高分别为X,y,z,则

22222

y∣x+y=√5,√X+Z=√iθ,7√+z=√13，则X=Ly=2,z=3.

当平面α与三棱锥ABCO的对棱A8,C。均平行时，截而为四边形EFG”，ABHFGHEH,CDHEFHHG,

设空=r(0<f<1),则变=四=f,所=18,同理=(1T)A8,NHEF(或其补角)是异面直线AB,CD

ACCDAC

所成的角，

SEKH=EF-EHsinZHEF=t(l-t)AB-CDsinZHEF,其中ABCDsinZHEF为定值，

t(∖-t)=-t'+t=-[t--)^+^r>f=77时，f(lτ)取得最大值，即截面EFGH血积最大，此时E,F,G,H是所

242

在棱中点，

山长方体性知最大面积为长方体上下底面面积的一半;孙=1,

13

同样地，当平面。与三棱锥ABs的对棱AC,BO均平行时，截面最大面积为EXZ=]；当平面α与三棱

锥ABCD的对棱AQ,BC均平行时，截面最大面积为g*=3.

故答案为：3.

3维练素养Ml

1.（2022•广东广州•三模）一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABa）为正方形，EF分别为P&PC

的中点，在此几何体中，下面结论错误的是（）

A.直线A£：与直线8尸异面B.直线AE与直线。尸异面

C.直线EF，平面∕½OD.直线E尸.平面ABCz）

【答案】B

由题意知：该几何体是底面为正方形的四棱锥，如图所示，AE,EF,BF,DF,易得EFBC,BCAD,

则EF//AD.

故E£4D共面，则AE,£＞尸共面，故B错误；又FW面AEFD,8任面AEFr）,歹不在直线AE上，则直线

AE与直线8尸异面，A正确；

由所〃Ar）,EFeZ平面PAO,ADU平面RW,则直线E/，平面PAZ）,C正确；

EF（Z平面458，ADu平面A6C3,则宜线E/平面ABC。，D正确.

故选：B.

2.（2022•北京四中三模）如图，在正方体ABC。-ABCA中，E是棱CG的中点，尸是侧面8CC£内的

动点，且A尸与平面RAE的垂线垂直，则下列说法不正确的是（）

A.AF与。E不可能平行B.AF与BE是异面直线

C.点尸的轨迹是一条线段D.三棱锥F-ABR的体积为定值

【答案】A

【解析】解：设平面RAE与直线BC交于G,连接AG,EG,

则G为BC的中点，分别取用B,BC的中点用，N,

连接AM,MN,AiN,

如图，VAiM/∕DiE,AME平面AAE,AEU平面AAE,

/.AiM//平面D1AE,同理可得MNH平面D1AE,

又A/、MN是平面AMN内的两条相交直线，

.∙.平面AMN〃平面R4E,而AF〃平面AAE,.∙.ΛIFU平面AMN,

得点F的轨迹为一条线段，故C正确；

并由此可知，当产与“重合时，AF与AE平行，故A错误；

•；平面AMN//平面〃AE,和平面AAE相交，.∙.A/与BE是异面直线，故B正确；

'：MNHEG,则点F到平面RAE的距离为定值，.∙.三棱锥尸-ABq的体积为定值，故D正确.

故选：A.

3.（2022•浙江绍兴•模拟）正方体ABC。-ABC。中，。为正方体的中心，P为正方体表面上的一个动点,

若直线OP与平面4旦。、平面ACA所成的角都是30%则这样的点P的个数为（）

A.4B.6C.8D.无数个

【答案】C

【解析】•；AAQD为正方形，则AA±A1D

又YCQ，平面AAyDlD,则ADt±CD

A1DCD=D,则AOj•平面A4C。

/.AD1IB1D

同理可得：ACIB1D,AClADi=A

：.BQ_L平面ACq

如图，取AR的中点E,连接CE交瓦。丁点G,若平面EeR（即平面ACR）存在点“，使得OM与平面

ABQ、平面4C"所成的角都是30。，连接"G,过M作MNLCE,垂足为N,连接CW,则MW〃RE

设正方体的边长为6,则。G=后,NOMG=NMON=P

6

：.Mo=2瓜MG=NO=3,MN=瓜NG=瓜

即在线段CE作NG=卡确定点N,再过点N作MN〃AR,且MN=拒,连接OM,则宜线OM即为满足

题意的直线。P

根据对称可知满足条件的直线OP共有4条，则这些直线与正方体表面的交点共有8个

4.

场

4.（2022•广东•模拟）在三棱锥P-ABC中，A8C为等腰直角三角形，AB=AC=2,ZXPAC为正三角形,

且二面角P-AC-区的平面角为则三棱锥尸-ABC的外接球表面积为（）

O

A.一C28n32

bC.---71D.—π

9∙139

【答案】C

【解析】如图所示，-ABC为直角三角形，又AB=AC=2,

所以BC=2√Σ,

因为aPAC为正三角形，所以PA=PC=AC=2,

连接PC,OE,。为AC的中点，E为BC中点,

则PDA.AC,DEIAC,所以NPOE为二面角P—AC-8的平面角

所以NPr>E=30。.

因为.,ABC为直角三角形，E为BC中点,

所以点E为ABC的外接圆的圆心,

设G为的中心，则G为aPAC的外接圆圆心.过E作面A8C的垂线，过G作面PAC的垂线，设两

垂线交于O.

则。即为三棱锥P-ABC的外接球球心.设GO与DE交于点H,

1万

所以“E=OE-OH=OE="Extan60=苧

17

・•.R2=CO2=CE2+EO2=2+-=-.

33

所以S=4TR2=,L,

3

故选：C.

5.（2022•山东青岛•二模）己知正方体ABCo-A4GA，动点尸在线段3。上，则下述正确的是（）

PC//AD

A.tiB.PC1IA1C

C.PGj■平面AB。D.PG〃平面ABQ

【答案】BD

【解析】对A,如图，根据正方体的性质有4B〃QCFLAB=QG,故平行四边形48GR,故

故当且仅当P在B点时才有PG〃A。，故A错误；

对如图，由正方体的性质可得平面故∣又∣

B,AC,B£,AA,2BCC,A8L8G,ACCAB,BlC,Alβ,⊂

平面ABC。，故平面A4CO,故BGAAC，同理。CAC,故AC,平面Bc¢,故尸c∣,AC,

故B正确;

对当尸在时，故尸，平面不成立，故错误；

C,8ZC1BA=60.GABoC

对D,同B有AC，平面ABQ,故平面BG。〃平面AsR,故PG〃平面ABQ成立，故D正确;

故选：BD

6.（2022•湖北•模拟）棱长为1的正方体ABC。—AgGR中，A。分别在棱8C、CG上，CP=x,CQ=y,

x∈[0,1],ye[0,1]且/+>2/0,过4、p、Q三点的平面截正方体ABCD-A,BlClDl得到截面多边形,则（）

A.尢='时・，截面一定为等腰梯形B.x=l时，截面一定为矩形且面积最大值为近

C.存在X,y使截面为六边形D.存在X,y使8R与截面平行

【答案】BD

【解析】对A,x=y=l时，截面为矩形，故A错;

对B,当X=I时，点尸与点B重合,设过A、P、Q三点的平面交。。于M,则因为平面Λ4Q。〃平面叫GC,

故尸Q〃AM,∖±ABLPQ,此时截面为矩形，当点。与点、-币；）时面积最大,此时截面枳S=lxj∑=√∑,

B正确;

对C,截面只能为四边形、五边形，故C错；

对D,当X=y=g时，延长8/交0P延长线于N,画出截面AP0M如图所示.此时因为BP=CP,

BN//CQ,故RrVBPN=RfVCPQ,则BN=CQ=；.由面面平行的截面性质可得VAZW:VPCQ,

2I

AD=ZPC,故MQ=2QC=：,此时MA=故MD、=BN凫MD、〃BN,故平行四边形MRBN,故

MN//DtB,根据线面平行的判定可知BA与截面平行，故。正确.

N

故选：BD

7.（2022•福建省厦门集美中学模拟）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，它是由边数不全相同的正多边

形为面围成的多面体，体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三

棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为12+46,则关于该半正多面体的下列说法中正确

的是（）

ʌ-A3与平面Bs所成的角町

C.与AB所成的角是（的棱共有16条D.该半正多面体的外接球的表面积为6万

【答案】AC

【解析】补全该半正多面体得到一正方体,设正方体的棱长为

由题意知，该半正多面体由6个全等的正方形和8个全等的正三角形构成.

则由半正多面体的表面积为I2+4√J,

2

得8χ手X

=12+4√3,解得a=2,

"：a=2,

因为AE_L平面BCE>,NABE为AB与平面BCO的夹角,

Tr

因为aAEB为直角三角形，且AE=5E,所以∕Λ3E=:

4

TT

所以A3与平面38所成的角为NABE=:，故A正确；

4

ʌAB-y∣AE2+BE2=√2-故B错误：

TT

在与AB相交的6条棱中，LVAB所成的角是不的棱有4条，又这4条棱中，每一条棱都有3条平行的棱，

故与AB所成的角是?的棱共有16条，故C正确；

由半正多面体的对称性可知，其对称中心与相应的正方体的对称中心是同一点，其对称中心为正方体的体

对角线的中点。，点。在平面ABE的投影点为α,

则有OOl=1,Aq=I,所以Ao=JOq°+A。”"

故该半正多面体的外接球的半径为亚，面积为4τrx（0）2=8π,故D错误；

故选：AC.

8.（2022•重庆•一模）如图，在棱长为2的正方体ABCo-A与GR中，点M在线段BG（不包含端点）上

运动，则下列结论正确的是.（填序号）

①正方体ABC。-AgG〃的外接球表面积为48〃；②异面直线A例与AA所成角的取值范围是；③

直线AM〃平面ACD1.④三棱锥D1-AMC的体积随着点M的运动而变化.

【答案】②③

【解析】正方体对角线长为2石，即这外接球直径，因此球半径为r=6,球表面积为S=4万产=12万，①

错；

正方体中48与CQl平行且相等，ABG。是平行四边形，AD∖HBC∖,是正三角形，AMHBa的

夹角（锐角或直角）的范围是弓,因此②正确；

由②上知BCJ/AR,而BC"平面ACR,AD1U平面ACR,所以8C∣//平面ACR,同理A1B//平面ACDt,

又A8CBG=8,Λ18,BQu平面ABG，所以平面ABG〃平面AC。，而AMU平面ABe∣,所以4例//

平