2023年高考第三次模拟考试卷-数学（广东B卷）（解析）

2023年高考数学第三次模拟考试卷B

数学.全解全析

注意事项：

ɪ.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求.

1.集合A=WX-Il<1},集合B={y∣y=χ2},则AB=()

A.(0,2)B.［0,2)C.(→o,2)D.(-1,2)

【答案】A

【分析】先化简集合4,B,再利用集合的交集运算求解.

【详解】解：因为A={x∣T<xT<l}={x∣0<x<2),而8={y∣yN0},

所以A8=(0,2).

故选：A

2.已知复数Z满足z(l+i)=3-i,则z∙乞=()

A.-3B.0C.4D.5

【答案】D

【分析】由复数的乘除运算即可化简

3-i(3-i)(l-i)

［详解］由z(l+i)=3T,则有z=「==l-2i,

l÷ι:(l÷ι.Q)(l-ι.)

所以ZN=(I-2i)(l+2i)=5.

故选:D.

3.《张丘建算经》曾有类似记载：“今有女子善织布，逐日织布同数递增(即每天增加的数量相同)

若该女子第二天织布一尺五寸，前十五日共织布六十尺，按此速度，该女子第二十日织布()

A.七尺五寸B.八尺C.八尺五寸D.九尺

【答案】D

【分析】利用等差数列求和公式和通项公式可求得公差d,进而得到的。即可.

【详解】由题意知：该女子每天织布的尺寸成等差数列，记为｛q｝,其前〃项和为S“，则∙=L5,

§15=6°,

一九」'"；也=i54=66,∙-∙¾=4,

数列｛%｝的公差d=叫生=WK,∙",=4+12"=4+12x^=9,

即该女子第二十日织布九尺.

故选：D.

4431

4.'^｛x-1)=a4x+a3x+a1x+aix+a0,则q-囚=()

A.-1B.ɪC.15D.16

【答案】C

【分析】利用赋值法结合条件即得.

432

【详解】因为(X-I)4=a4x+aix+a2x+aix+a0,

令X=O得，%=1,

4

令X=-I得，a4-a3+a2-at+a0=(-2)=16,

所以，a4-a3+a2-ai=16—1=15.

故选：C.

5.中国空间站(C7“wSpaceSs⅛w)的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年

10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦

天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为'7'字形架构，我国成功将中国空间站建设完

毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设中国空间站要安排甲、乙等5名航天员进舱开展

实验，其中“天和核心舱”安排2人，“问天实验舱”安排2人，“梦天实验舱”安排1人.若甲、乙两人

不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有()

A.9种B.24种C.26种D.30种

【答案】B

【分析】先利用分组与分配的求法求得5名航天员共有30种不同的安排方案，再利用分类加法计数

原理求得甲、乙两人在同一个舱内有6种不同的安排方案，从而利用间接法即可得解.

【详解】依题意，先从5名航天员中安排1人到“梦天实验舱”，则有C；=5种安排方案，

再将剩下的4人分成两组，每组2人，则有净=3种安排方案，

接着将这两组分配到“天和核心舱”与“问天实验舱”，有A；=2种安排方案，

所以这5名航天员的安排方案共有5x3x2=30种，

其中甲、乙两人同在“天和核心舱”内的安排方案有C；C；=3种，同在“问天实验舱”内的安排方案有

C；C=3种,

即甲、乙两人在同一个舱内做实验的安排方案有3+3=6种，

所以甲、乙两人不在同一个舱内做实验的安排方案有30-6=24种.

故选：B.

6.已知斜率为Z(Z>0)的直线过抛物线GV=4x的焦点尸且与抛物线C相交于AB两点，过AB

分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为A,B∖,若A8S与AABA的面积之比为4,则k的值为

()

3c4c3c5

A.-B.-C.-D.一

4353

【答案】B

【分析】方法一：根据题意，尸(1,0),进而设直线A8：y=k(x-∖),AQ,*),B(x2,y2),进而

联立方程，结合韦达定理得，%+Z=专匕，再根据面积比得忸尸∣=4∣AF∣,进而结合焦

半径公式得々=4%+3,再解方程组即可得答案；

方法二：设直线AB的倾斜角为叫进而根据面积比得忸/∣=4∣AF∣,根据焦半径与倾斜角的关系得

ɔɔ44

IAFl=I—,IBFl=I—,进而得COSCf==,tanα≈-,即可得答案.

l+cosαɪ-cosa53

【详解】解：解法一：

由抛物线C：V=4x得Fa0),

设直线A8：y=%(x-l),4(x∣,y∣),β(x,,γ2),

y2=4x

故联立方程得小;2一(2∕+4)χ+∕=o

y=k(χ-l)

所以'=1'-+»卡f)E÷4

S-；忸嘲AAIiLlBFL4

由已知和抛物线定义知:λ4

S^BA

Il∣AA1∣∣ΛlBl∣>∣IAFi

所以忸同=4∣AF∣,故由焦半径公式得:¾+l=4(x1+l),即XZ=43+3,

x=4x+3

2l14

,解方程组得玉=；,电=4«=；

故X1X2=1

2Λ2+4

X+X=

12k2

故选：B

方法二:

_；忸AllABJ忸耳怛尸|=4

由已知和抛物线定义知:

1M11ΛF1

ΛABA

i"1∣M∣MΓ^^

设直线AB的倾斜角为α,则IM=,，IM=Z

l+cosaI-CoSa

Q7a4

所以「於一解得COSa=所以tana=?.

1+cosa-lcos<z53

故选：B.

7.y=/(X)的定义域为R,y="x+2)为偶函数，"2)=1且〃x)=g(2x)-g(4-2x),则下列说

法不正确的是()

A.y=/(X)的图象关于(Lo)对称B.y=∕(x)的图象关于X=2对称

C.4为y=f(x)的周期D.∑∕(⅛)=0

k=∖

【答案】D

【分析】由y=∕(x+2)为偶函数可得函数产〃尤)关于x=2对称，由/(x)=g(2x)-g(4-2x)可得

/(x)+∕(2-x)=0,故y=〃x)关于(1,0)对称，故可得4为"x)的周期，然后通过计算逐项进行

判断即可

【详解】由y="x+2)为偶函数可得“x+2)=∕(τ+2),

可知函数y=∕(x)关于X=2对称，故B正确；

/(x)=g(2x)-g(4-2x),把X换成2-X可得/(2-x)=g(4-2x)-g(2x),

两式相加可得/(x)+42-力=0,

故y=∕(χ)关于(LO)对称，故A正确；

/(x)=-∕(2-x)=-∕(2+x),所以/(x)=-∕(2+x)=f(x+4),

可知4为"x)的周期，故C正确；

令x=l,"l)=g(2)-g(2)=0,"3)=/(I)=O,"4)="0)=-∕(2)=T,

22

所以∑7(%)=5("l)+∕(2)+43)+∕(4))+"l)+∕(2)=5(0+l+0-l)+0+l=l,D不正确，

Jt=I

故选:D.

8.已知q=e°∖〃=《，C=啊，则()

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】C

【分析】根据对数运算以及作差法，整理代数式InaTnA,构造函数/(x)=x-ln(l+x),利用函

数单调性，可得6的大小关系；根据二项式定理以及中间执法，整理小,例,,可得答案.

【详解】由Ina=Ine°∣=0.1,Inb=In苗=InLl,则lnα-ln6=0.1-lnl.l=0.1-ln(l+0.1),

令F(X)=X-In(I+x),jf(χ)=l-±=自，

当xe(0,M)时，/Rx)>0,则/(x)单调递增，即〃0∙l)>∕(0)=0,

⅛I0.1-In1.1>0,可得lno>lnb,即

2o

由b'°=J=(l+0.1)'°=l+C;oO.l+C[oO.l+∙.+C]θO.Γ

202o

=l+lO×O.l+C^oO.I++CjθO.Γ=2+C^O,l++CjθO.l'>2,

且CK)=L9<2,则〃°>c,°,BP⅛>c.

综上，a>h>c.

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题正确的是()

附：

P(Kj)0.0500.010.005

%3.8416.6357.879

A.若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.66和-0.85,则乙组数据的线性相关性更强

B.已知样本数据内,々，，%的方差为4,贝1]2占+30,2%+30,,2a+30的标准差是4

C.在检验A与B是否有关的过程中，根据所得数据算得K=6.352,则有99%的把握认为4和B

有关

D.对具有线性相关关系的变量x、y,有一组观测数据α,y)(i=L2,,10),其线性回归方程是

aη

y=bx+∖,且X]+Λ2+Λ⅛++±0=3(y∣+%+>¾++y∣o)=9,则实数A的值是一§

【答案】ABD

【分析】比较相关系数的绝对值大小即可判断A；根据方差和标准差的关系即可判断B；根据

6.352<6.635即可判断C；先算出"再根据其线性回归方程即可求得实数石的值，进而即可判

断D.

【详解】对于A,由∣-0.85∣>∣0.66∣,则乙组数据的线性相关性更强，故A正确；

对于B,由样本数据占,当，，x”的方差为4,则2为+30,22+30,,2兑+30的方差是2?x4=16,所

以其标准差为4,故B正确

对于C,由6.352<6.635,则没有99%的把握认为A和B有关，故C错误；

对于D,依题意可得X=a,y=-,贝1]m=bχ^+l,得b=J,故D正确.

故选：ABD.

10.己知函数/(x)=Sin(CoSX)+cos(sinx),下列关于该函数的结论正确的是()

A./(x)的图象关于直线X=兀对称B./(x)的一个周期是2兀

C./(x)在区间6,π)上单调递增D∙/(x)的最大值为SinI+1

【答案】ABD

【分析】利用诱导公式判断"x)与/(2兀-x)是否相等判断A,判断/(x)与/(x+2π)是否相等判

断B,利用三角函数及复合函数的单调性判断C、D.

【详解】已知/(x)=Sin(COSX)+cos(sinx),

对于A,/(2π-x)=sin(cos(2π-x))+cos(sin(2π-x))=sin(cosΛ∙)+cos(-sinx)

=Sin(CoSX)+8S(SinX)=/(x),故A正确；

对于B,/(2π+x)=sin(cos(2π+x))+cos(sin(2π+x))=sin(cosx)+cos(sinx)=∕(x),故B正确;

对于C,/^-/(π)=cosl+sinl-l≈√2sin(l+^)-1>√2sin^-1=0,贝U/图>"π),又函

数"x)连续，故C错误；

对于D,因为-l≤8sx≤l,当COSX=I时，所以y=sin(cosx)的最大值为sinl,

当COSX=I时，sin%=0,y=cos(sinx)=cosO=l,也取得最大值,

所以的最大值为SinI+1,故D正确；

故选：ABD

11.如图，点M是棱长为1的正方体A88-AAGA中的侧面4。RA上的一个动点(包含边界)，

则下列结论正确的是()

A.不存在点M满足CM，平面CBD

B.存在无数个点M满足CMLAR

C.当点M满足而S7=：砧时，平面8。M截正方体所得截面的面积为渔

32

D.满足I如=2∣MRl的点M的轨迹长度是1

【答案】BCD

【分析】对于A：根据线面垂直关系可得AC，平面GBD,分析判断；对于B：根据线面垂直关系

可得AA∙L平面AOCg,分析判断；对于C：根据平行线的性质以及利用空间向量分析运算求截面，

进而可求截面面积；对于D：利用空间向量求点M的轨迹，进而求点M的轨迹长度.

【详解】对于选项A：连接AC,AG，

因为四边形ABCD是正方形，所以AC,

∙.∙AAJ∙平面ABC。，且BDU平面A8Cf>,所以8。，

AeCAA=4,AC,ΛtAu平面AAC,

所以加工平面AAeC-且ACU平面AACG,

可得BCAC，

同理可证8CJAiC,

BDBC,=B,8。,BGU平面G8。，所以ACJL平面G8O,

又点M是面4。AA上的一个动点（包含边界），所以当M与Al重合时，CM_L平面C∣8C,

故A错误;

对于选项B：连接A∣2B]C,

CD_L侧面ADRA，AAU侧面AQAA,则CD_LAO-

又因为AA-LA。，A1DDC=D,AQ,DCu平面AQC用，

所以AR平面ADC用，

可知当M在线段A。上时，有CM故存在无数个点满足CM_LA",故B正确

对于选项C:延长AM交。IE于点E,

∙.∙而？=：砌，则M为线段A。靠近点A的三等分点，

且DtD,则告=缁=；，则E为线段AA的中点，

JL-ʃ∣JL^LVlL

如图，以D点为原点建立空间直角坐标系，

(1、UUiruur(1

则A(0,0,1),3(1,1,0),El,0,2,可得=(T,7,1),3E=0,—1,/

n∙BDl=-x-y+z=0

设平面M的法向量为〃=(χ,Xz),贝Ib一1

n∙BE=-y+-z=0

令z=2,贝!∣y=l,χ=l,即“=(1,1,2),

zUUU

设平面CG=F,点F((U,c),则8P=(T,0,c),

_,IUUU.1

贝!l"∙BF=-l+2c=0，解τιz得0c=5,

则尸(0局,故EF=(TI,0),

UUUUUUUUUULlU

可得3分后/=(T)X(-1)+(—l)xl+lxO=O,BPBDt1EF,

且I威卜7(-ι)2+(-1)2+12=后|明=7(-1)2+ι2+°2=√2,

1IUUlTIIUlKI1.—.—∕A

故截面BEQF面积S=牙网X网心xGx&=半Λ，故C正确;

对于选项D：

因为正方体ABC。-ABCQ的棱长为1,所以设M(X,0,z),Z)(0,0,0)，A((),(),l),

所以A®=(—x,0,—z),MDt=(-Λ,0,1-Z),

222

因为IMq=2∣MDJ,所以√X+2=2√√+(l-z)(O≤x≤l,0≤z≤l),

化简得：V+(z-g)=F(O≤x4∣,∣Vz<l),

所以点M的轨迹是一段以N[O,θg)为圆心，半径为I的圆弧，

设圆弧与A2，。R分别交于点PQ,

取X=0,则Z=彳，即DQ=1;取z=l,则X=>即AP=；

则PA=且,RN=J,则tan∕∕W"=黑=百，

33DlN

且ZPTVD1e(θ,∙∣),即ZPTVD1=W,

.∙.轨迹长度是2:XTlt=2JT故D正确.

12.在湖边，我们常看到成排的石柱子之间两两连以铁链，这就是悬链线(Ca/〃。疗)，其形状因与

悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名.选择适当的坐标系后，悬链线的方程是一个

双曲余弦函数/(χ)="∙coshj=β∙-士二，其中“为非零常数，在此坐标平面上，过原点的直线

2

与悬链线相切于点TaJ伉))，则C

-的值可能为()(注：［可表示不大于X的最大整数)

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】AC

【解析】求出导数，表示出切线，令f=E,可得(IT)d+(l+f)eτ=θ,构造函数

a

MX)=(I-x)e*+(l+x)e∖可得μx)是偶函数，利用导数求出单调性,结合零点存在性定理可得

或1＜区＜2,即可求出.

aa

【详解】小)=”,学，，r(x)="l,

⅞_Jo⅞-⅞

・•・切线斜率4=空工二，"xj=4.色上二，

22

则切线方程为aea+eQea-ea、

V—2—(χ-⅞)

2

⅞-⅞⅞⅞

直线过原点，...a〃+e";Pa_八p<1)

2

令”亍，则可得(IT)，+。+”=。,

令MX)=(Ir)"+(1+力"”,贝卜是MX)的零点,

h{-x)=(∖+x)ex+(∖-x)ex=∕ι(x),是偶函数，

(X)=T(/+e-*),

当x>O时，∕√(x)<O,MX)单调递减，

Λ(l)=2e^1>0,Λ(2)=-e2+3e^2<0,

.∙∕(x)在(1,2)存在零点t,由于偶函数的对称性MX)在(-2,-1)也存在零点，

且根据单调性可得MX)仅有这两个零点，

.∙.-2<么<-l或1<员<2,

aa

.∙∙2]=-2或1.

a

故选：AC.

【点睛】本题考查利用导数求切线,利用导数研究函数的零点,解题的关键是将题目转化为令r=血,

a

(1→)√+(1+Z)e-=O,求MX)=(I-x)e'+(l+x)e-*的零点问题.

第∏卷

三'填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知e∣,e2是夹角为120。的单位向量,若m=2e,+3e1,n=4el-e2,则相，〃的夹角为.

【答案】90°

【分析】利用平面向量的数量积即可求解.

【详解】依题意，底〃=(3+3«)∙(4e∣-α)=8ej+10q©-3e；=8-5-3=0,

所以〃J_质,则，*，〃的夹角为90。.

故答案为：90°.

14.大西洋鲤鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究雄鱼的科学家发现鲜鱼的游速”单位：m∕s）

可以表示为v=<log3与，其中L表示鲤鱼的耗氧量的单位数，当一条雄鱼以2m∕s的速度游动时,

2100

它的耗氧量的单位数为

【答案】8100

【分析】将v=2代入v=；log3卷，化简即可得答案.

【详解】因为鞋鱼的游速V（单位：m∕s）可以表示为:

vɪɪlog,ʌ,

263IOO

所以，当一条鞋鱼以2m∕s的速度游动时,

IL

2=-1Iog-----

23IOO9

••一,

100

L=8100.

故答案为:8100.

15.如图，某环保组织设计一款苗木培植箱，其外形由棱长为2（单位：m）的正方体截去四个相

同的三棱锥（截面为等腰三角形）后得到.若将该培植箱置于一球形环境中，则该球表面积的最小值

【分析】将正方体补全，依题意可得A、B、C、。为正方体底面边上的中点，要使球的表面积最

小，即为求ABCD-EFG〃的外接球的表面积，建立空间直角坐标系，几何体A3CQ-EFG”外接

球的球心必在上、下底面中心的连线上，设球心为M（1,1,机），球的半径为R,由距离公式得到方程,

求出机，即可求出炉，从而得解.

【详解】如图将正方体补全，依题意可得A、8、C、O为正方体底面边上的中点,

要使球的表面积最小，即为求ABCD-E尸G”的外接球的表面积，

如图建立空间直角坐标系，则A(l,0,0),W(0,0,2),则几何体ASCD-EFG”外接球的球心必在上、

下底面中心的连线上,

设球心为M(1,1,小),球的半径为R,则R2=∣M4∣2=L,

即R2=l2+∕n2=12+12+(W-2)2,解得，〃=

所以R2=a+但T=I1,

⑷16

4141412

所以外接球的表面积S=4兀R2=4πχ^=:兀，即该球表面积的最小值为:〃m.

1644

故答案为：；41加

4

22

16.已知双曲线C:二-1=I,4为C的两条渐近线，过C的右焦点尸作乙的垂线，垂足为A,

ab

且该垂线交4于点B,若84=34尸，则曲线C的离心率e=.

【答案】巫

3

【分析】不妨设4为＞=*,4为y=-2χ,则直线A8的方程为y=-f(χ-c),联立联立

aab

y=-'(x-c)y=-^-(x-c)

，,,求得A点的坐标，联立b.，求得8点的坐标，再根据8A=3AF,得

bb

y=-xy=——X

Lal'a

出。力，C的齐次式，从而可得出答案.

【详解】解：不妨设4为h4为y='bχ,

aa

过C的右焦点F作4的垂线，垂足为A,且该垂线交4于点B,

F(c,0),则直线AB的方程为y=-5(x-c),

2

-"-c)a

yx——/2,、

caab

联立,,解得,即απAλ—,—

bah

y=—Xy=—√

ac

a2c

y=J(χ-c)X=--------7

a-b

联立,,解得即B

babc{a1-b-,b--a1

y=——X

ay=~a^

a2ab

则,AF=

a2-b29cb2-a2)

因为84=3AF,

故答案为：巫.

3

四'解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤.

Ir

17.在一ABC中，角A,B,C所对的边分别为mh,c,B=-.

(ɪm-ɪɪ,判断/BC的形状;

aa+b

]

⑵求的最大值.

tanA+tanC

【答案】（1）直角三角形

2也

6

【分析】（1）根据余弦定理，结合正弦定理进行求解即可;

（2）根据同角的三角函数关系式，结合辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可.

【详解】（1）因为"q=一―，所以从=∕+αc,

aa+b

22

由余弦定理得：b"=cι~+C—2,cιc×—=6f^^÷C—etc9

222

a-i-ac=a+c-ac9所以c=2^,

由正弦定理得：sinC=2sinA,因为8=三，所以Sin[A+]J=2sinA,

所以JSinA+Y^cosA=2sinA,所以CoSA=百SinA,即tanA=—,

223

TrTT

又A∈(O,τr),故A=g得C=:,所以ΛBC为直角三角形.

62

1_1_COSACOSC

(2)因为8=5，所以tanA+tanC-SinAfsinC-SinB

cosΛcosC

2cosAcosf--A

--cosA+——sinA

=耳I3√3

∖22

因为A∈(O,4],所以-g<2A-g<2,所以Sinl

kɔ√o66Io√V2

当24-泻即sin(2A4卜时，笠sin,-jg取最大值恪,

]的最大值为£.

此时A=1,C=p故

tanA+tanC

18.某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在M处投一次三分球，投进得3分,

未投进不得分，以后均在N处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分.测试者累计得分高于3分

即通过测试，并终止投篮.甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在M处

和N处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如图表:

甲乙

N两分球。三分球

第1轮第2轮第3轮第4轮第5轮

若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.

(1)求甲同学通过测试的概率;

(2)在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率.

【答案】(1)0.3；(2)ɪ

O

【分析】(1)记甲同学累计得分为X,计算出甲同学两分球和三分球投篮命中的概率，进而可计算

得出P(X≥4),即为所求；

(2)设“甲得分比乙得分高”为事件A,“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件B,计算出P(A8)、

?⑻，利用条件概率公式可求得P(A忸)，即为所求.

Σ±l±l

【详解】(1)甲同学两分球投篮命中的概率为10+10+10+10+10,

5

112£

甲同学三分球投篮命中的概率为10IoIO+IO-A，

一ʊ.11

5

设甲同学累计得分为X,

贝(∣P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=0.9χ0.5*0.5+0.1χ0.5+0.1χ0.5χ0.5=0.3,

所以，甲同学通过测试的概率为().3；

(2)乙同学两分球投篮命中率为而+历+而+而+而_04，

5

_1__I_2__I__3_I__1_I3__

乙同学三分球投篮命中率为1010101010_.

_Un.9N

5

设乙同学累计得分为y,则P(y=4)=0.8x04x0.4=0.128,

p(y=5)=0.2×0.4+0.2×0.6×0.4=0.128,

设“甲得分比乙得分高”为事件A,“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件8,

贝(∣P(Aβ)=P(X=5)∙P(y=4)=0.075×0.128=0.0096,

p(8)=[p(X=4)+P(X=5)]∙[p(y=4)+P(y=5)]=0.0768,

由条件概率公式可得P(A⑻=需=需1.

【点睛】思路点睛：用定义法求条件概率P(BlA)的步骤：

(1)分析题意，弄清概率模型;

(2)计算P(A)、P(AB)5

(3)代入公式求P(8∣A)=北宗.

19.如图，在多面体ABCC出。Bl中，四边形GAD圈是边长为2的正方形，A4,〃BBI〃CG且

AA=BBl=CG,441，平面GADl4,。为AA的中点，BCBcl=E.

(1)证明：平面。REJ"平面CC；

(2)若C,B±AB1,求平面AB1C与平面AtBlC的夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵近

3

【分析】(1)先由平面CMA4,WCG,得到Ac，平面8BCC，再由四边形AAGC为

矩形，得到AGAC,从而AC，平面BBCC,然后借助中位线得到OEl平面BBCC,再利用面

面垂直的判定定理证明；

(2)先由(1)得到几何体中的数量关系，建立空间直角坐标系，分别求得平面ABC和平面相C的

法向量，然后利用向量的夹角公式求解.

【详解】(1)证明：⑴因为AAJ•平面GADlBI,AAi∕/CCi,

所以CGL平面CMA4,所以CG∙LAG.

因为四边形CMABl是正方形，

所以G4∙LAG,又CGnciBi=G,

所以AG_L平面BBCC.

易知四边形AAGC为矩形，所以AaAC,所以ACL平面BBCC.

易知四边形8CC田是矩形，所以E为BC的中点，

又D为ABl的中点，所以班〃AC,(三角形中位线定理)，

所以DE/平面CC.

因为DEU平面DDiE,

所以平面。。EL平面BqGC.

(2)由(D知AC_L平面BqeC，因为BGU平面BCG4,所以ACLBC∣,

又BC1-LAB],ACABf=A,AC,ABiU平面AS1C,

所以BG，平面Age,所以Bq,BC,

所以四边形8CC声是正方形，故AC=BC=CCL2.

UUU

以Cl为坐标原点，分别以向量GA,C1B1,GC的方向为X,y,Z轴的正方向，建立如图所示的空

D1

则6(0,0,0),C(0,0,2),(2,0,0),B(0,2,2),B1(0,2,0),

所以0=(2,0,—2),CB1=(0,2,-2).

设平面AZJC的一个法向量为。=(X,y,z),

CAn=02x-2z=0

则l,所以

2y-2z=0

CB1W=O

令X=1,贝U"=(1,1,1).

易知平面AB1C的一个法向量为C1S=（0,2,2）.

CBn4√6

所以COS（G民力）x

∣C,B∣∣∕i∣-2√2×√3^3

所以平面AS1C与平面A8,C夹角的余弦值为好.

3

20.若正项数列｛叫的前〃项和S“满足S“=§+例（〃eN）

Zan

⑴求数列｛4｝的通项公式;

（2）若对于任意的火∕eZ,都有&成立，求ZT的最大值.

【答案】（1）见=2（∖∣n2+n—∖∣n2—n）

⑵-1

【分析】⑴根据条件S,,=++强（"WN"）可推得S,；-S3=8〃，由此利用累加法求得S：=4/+4〃，

Zan

即可求得数列｛q｝的通项公式；

（2）利用（1）的结论，化简并结合基本不等式可推出>2,继而判断数列｛4｝的单调性，可得

2<0,,<2√2,结合对于任意的％JeZ,都有Z<q,<f成立，即可求得答案.

【详解】（I）〃=1时，α∣=5'=⅜+7'且4>°，

解得4=2a,（Ot=-2母舍去）,

化简可得〃≥2时，朦-5,3=8”，

•局TT=8",(n≥2),SZT2=8("T),L,-S,2=8×2,

累加可得，S；-S；=8〃+8(〃-l)++8×2=8×^n-^n+2^=4(n-l)(n+2),

又S：=8,故〃≥2时,=4n2+4n,

当〃=1时，4=*=20,上式也成立，

所以H=4∕+4”,(.eN*),

又因为4,>0,所以S.>0,所以S,,=2√T金，

2222

.∙.n≥2,afl=Sn-Sn_}=2∖∣n+n-2^(H-1)+(n-l)=2V∏+∏-y∕n-nj,

〃=1时，q=2夜适合该式，

(2)由(1)得a.=26(J〃+l-Jk-I)

2_________________________2_______________

________ɪ________(」几+1+∖∣n-l)

册(G-g新尸一gg+g

2222

I11

1+-+1——

（此处不等关系是因为:f2≥2血∙∙∙2（f2„,,亨≥（等）2,

故巴也忙运，当且仅当时取等号，而l+l≠jJ.,故上式中等号取不到）,

2V2nn

an=2∖fn(J〃+l-y∣n-∖^

4册_4>∣n+l

J〃+l+∖∣n-T/，+l∖∣n+2+y∣n

4Λ∕Π+14yjn

V/r+2+>∕HJ〃+l+y/n—1

4〃+1(+1÷-1)-4ʌ/n(J几+2+册)

(J.+2+∖[π)(Jtt+1+yjn—1)

(H÷1)+√??2—1—√/?2+2n—n

=4×

(J/+2+册)(J>+1+J〃-1)

l+∖∣n2-l-∖∣n2+2n

=4×

(J〃+2+∙∖∣~a)(+1+-1)

因为JnI-I<n，

所以(1+J胃-1)=n2+2Λ∕H2-1<n2+2n=[>]n2+2n

即1+√√-l-yjn2+2n<()，

所以“向-4<O，即%>，所以数列｛¾｝是递减数列,

所以2<q=2χ∕2,

因为GjeZ,都有A<%<f成立，

所以∕T)max=2-3=T.

【点睛】方法点睛：本题考查数列的递推关系和数列的函数特性，属于较难题，解答时要注意：(1)

利用累加法求出S,,,再由S"与”“的关系求解；(2)利用基本不等式得4>2,再证明数列是单调递

减数列，根据单调性求解.

21.已知椭圆C：4+4=1(a>6>0)的离心率为且，上、下顶点分别为鸟，B2,直线/经

ab-3

过点Q(Oq)且与椭圆C交于P,。两点，当4P+4Q=24。时，四边形片PB?。的面积为6夜.

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)若直线Bf,Bg交于点、N,试判断点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，

请说明理由.

【答案】(1)—+2-=l;(2)点N在定直线上，y=4.

64

【分析】(1)由题意可得。为PQ的中点，所以「。，用生，由点。(0微)可计算出|p。，再由四边

形的面积公式可得关于“力的方程，再结合离心率以及即可求得”,6的值，可得椭圆的方

程；

(2)设/：y=kx+∖,P(XI,χ),Q(Λ2,%)联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得%+七、工丙，

求出直线用P,修。的方程，求得交点N的坐标，化简整理，可得点N在定直线上.

【详解】(1)由题意知8在=23,当B∣P+B∣Q=2BQ时,易得。为PQ的中点，

所以PQ，4员,

又直线PQ过点O(Oq)

，所以IPQl=2∙

此时四边形4P&Q的面积5=曰耳因・|尸。|=名必=6啦

又e，=包，a1^b2+c2,

a3

得a2=6>b2=49

所以椭圆C的标准方程为4+片=1.

(2)点N在定直线上.

显然直线/的斜