陕西省汉中市2022-2023学年高二上学期期末理科数学（解析版）

2022-2023学年度高二第一学期期末质量检测考试

理科数学试题

注意事项：

L试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

2.答第I卷前考生务必在每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.

3.第∏卷答在答卷纸的相应位置上，否则视为无效.答题前考生务必将自己的班级、姓名、学

号、考号座位号填写清楚.

第I卷（选择题，共60分）

一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡上.

1.命题的否定是（）

A.3x≥O,%2+0r-1<OB.3%≥O,x2+αx-1>0

C.3x<O,X2+ax—\<0D.3x<O,x2+4ix—1≥O

【答案】C

【解析】

【分析】根据全称命题的否定是特称命题判断即可.

【详解】根据全称命题的否定是特称命题，所以“VxvO,χ2+ar-i≥o”的否定是

"3x<O,X2+ax—1<O,,.

故选：C

2.下列命题中，是真命题的是O

A.如果“>〃，那么ac>∕?CB.如果。>分，那么αc2>bc'

ab

C.如果。>》，那么一>—D.如果α>b,c<d,那么a—C>Z?—d

CC

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案.

【详解】对于A,如果C=O,那么ac=反，故错误；

对于B,如果C=O,那么改2=*2,故错误;

对于c,如果c<o,那么q<2,故错误；

CC

对于D,如果CV。，那么一c>-d,由。>人，则a—c>〃一d,故正确.

故选：D.

3.数列｛a,J中，％=5,an+i=an+3,那么这个数列的通项公式是()

A.3/7-1B.3〃+2C.3〃-2D.3n+l

【答案】B

【解析】

【分析】由已知等式证明数列｛4｝为等差数列，即可写出等差数列的通项公式.

【详解】因为4用-a“=3,所以数列｛4｝是以5为首项，3为公差的等差数列，

则an=5+3(〃-1)=3〃+2,〃eN*.

故选：B

【点睛】本题考查等差数列的概念及通项公式，属于基础题.

4.若椭圆5+丁=1上一点A到焦点K的距离为2,则点A到焦点8的距离为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析1利用椭圆的定义有IAKl+∣AKI=2a,结合已知即可求A到焦点尸2的距离.

【详解】由椭圆方程知:a=3∙根据椭圆的定义有IA用+|45I=2a.

因为IAEl=2,

所以IA与I=2a-∖AFx∣=6-2=4.

故选：D

5.记S,,为等比数列｛4｝的前〃项和.若邑=4,S4=6,则$6=()

A7B.8C.9D.10

【答案】A

【解析】

【分析】根据题目条件可得邑，54-S2,S6-S4成等比数列，从而求出$6-S4=l,进一步求出答案.

【详解】VS“为等比数列｛%｝的前〃项和，

成等比数列

ΛS2,S4-S2,$6-Sq

.∙.S2=4,S4-S2=6-4=2

Sb-S4=1,

S6=1+S4=1+6=7.

故选：A.

6.设αeR,贝∣J"2<α<3"是5a—6<0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】解出一元二次不等式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】由/一5α-6<0可得(α-6)(α+l)<0,即一l<α<6,

则2<α<3是一1<α<6的充分不必要条件，

故选：A.

21

7.已知x>0,ʃ>0,且一+—=1,则x+2y的最小值为()

yX

A.8B.9C.8√2D.9√2

【答案】B

【解析】

【分析】利用x+2y=?+g(x+2y)展开结合均值不等式即可求解.

【详解】因为2+'=l,所以χ+2y=(2+L](χ+2y)=N+型+522,+5=9,

2x2yC

当且仅当——=上，即九=y=3时等号成立，

所以x+2y的最小值为9,

故选：B

【答案】C

【解析】

【分析】利用导数研究函数的单调性，进而得到极大值.

【详解】由题意得/'(X)=:.

由/KX)>0,得()<χ<2;由r(x)<O,得x<0或无>2.

则/(x)在(-8,0)和(2,+8)上单调递减，在(0,2)上单调递增，

Q

故“X)极大值/⑵=：.

e

故选：C

10.已知等差数列｛α,,｝的前〃项和为S,,,若言不=3,则&=()

ʌi1—3«1

9598

BC-D

A.2-8-7-

10

【答案】A

【解析】

【分析】根据等差数列前〃项和公式，及下标和性质得到SU=Ila6、S11-S5=3(Λ6+«,,),即可得到方

程，计算可得；

6

【详解】解：由Sll=—~—=11«6,511—S5=<z6++α∣I=—~—=3(∏6+tz∣∣)»有

Ila6ɔ恁9

%/\=3,得』二不

3(%+4J为2

故选：A

22

11.已知点A,8分别是椭圆C：,2_=l(a>Z?>0)的右、上顶点,过椭圆C上一点P向X轴作垂线,

crb-

垂足恰好为左焦点6,且AB〃OP,则椭圆C的离心率为()

ʌɪɪC血

A.-rt>.-C.

422

【答案】C

所以AB=（—a,。），OP=（-G—）

a

由AB〃。尸得：AB//0P

b1

所以一。—=-b∙c

a

所以Z?二C

由/==/??+C?得：a=∖[2c

所以e=£=立

a2

故选：C

12.圣・索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年

拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列

为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点其中央主体建筑集球,

圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.小明同学为了估算索菲亚教

堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为（156-15）n,在它们之间的地面上的

点M（5,。三点共线）处测得楼顶A,教堂顶。的仰角分别是15。和60°,在楼顶A处测得塔顶。的

仰角为30。，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）

A.20mB.30mC.20√3mD.30√3m

【答案】D

【解析】

【分析】由正弦得出AAl,再结合正弦定理得到CM,进而能求CO.

【详解】由题意知：ZC4M=45o,NAMC=I050所以NACM=30°

ABAB

在中，AM

SinZAMB-sin15°

在A4CM中，由正弦定理得一好一=—也一所以CMAM∙sin45°_A6∙sin45°

sin30osɪn45°Sin30。一sin15°∙sin30°

(15√3-15)-∙-

ABsin45°∙sin60。

在R/OcM中,CO=CMsin60°==3O√3

sin15osin30°√6-√21

42

故选：D

第II卷(非选择题，共90分)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.不等式JY-I-3>O的解集为.

X-I

【答案】{^x<—3或x>l}

【解析】

【分析】由题可得(X-I)(X+3)〉0,进而即得.

+3

【详解】由上，>0,得(％—l)(x+3)>(),

所以XV-3或x>l,

故不等式得解集为{x∣X<—3或X>1}.

故答案为：{乂1<-3或x>l}.

14.在平面直角坐标系Xoy中，若抛物线y2=4χ上的点尸到该抛物线的焦点的距离为6,则点P的横坐

标X=.

【答案】5

【解析】

【分析】根据抛物线的定义和焦半径公式即可求解.

n2

详解】由题可知x+∙^=6=>x=6--=5.

22

故答案为：5.

15.若关于X的不等式/+(攵一l)χ+4>0对一切实数X恒成立，则实数人的取值范围是.

【答案】(-3,5)

【解析】

【分析】根据一元二次不等式与二次函数的关系，可知只需判别式△<(),利用所得不等式求得结果.

【详解】不等式d+(A—I)X+4>0对一切实数X恒成立，

.∙.Δ=(^-l)2-16<0=>-4<⅛-l<4,解得：一3<女<5

故答案为：(-3,5).

22

16.设耳，E是椭圆二→二=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且IP用疗引=2:1,则△耳Pg的面积

96

等于.

【答案】2√3

【解析】

【分析】先利用定义求出△耳P巴的各边，再求出SinNKPK=乎，即可求出△月PK的面积.

详解】由IPG+1尸用=6,且IP用疗闾=2:1,

.∙.∖PFl∖=4,∖PF2∖=2,X∣∕^∕S∣=2√9≡6=2√3

42+22-(2何ɪ

在APK6中，cosAFPF

x22×4×22

SinZFPF=B

i2-V

.∙.S=g∣P片IlP用SinN6尸g=2百.

故答案为：26)

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.

17.设P：实数X满足£一2以一3。2<0(。>0),∕2<x<4.

(1)若短=1,且P,4都为真命题，求X的取值范围；

(2)若夕是。的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

【答案】(1)2<x<3;

4

(2)ci≥—.

3

【解析】

【分析】(1)解不等式确定命题p,然后求出，q中X范围的交集可得;

(2)求出不等式的解，根据充分不必要条件的定义列不等式组求解.

【小问1详解】

。=1时，χ2-2χ-3<0--1<X<3.即〃：-l<x<3,又4：2<x<4,而〃，q都为真命题，所以

2<x<3;

【小问2详解】

。>0，X2-2ax-3a2VOo-QVXV3。，

-Q≤24

q是〃的充分不必要条件，贝4且等号不能同时取得，所以Q≥7∙

3a≥43

18.焦点在X轴上的椭圆的方程为三+汇=1,点P(J"1)在椭圆上.

4m

(1)求加的值.

(2)依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.

【答案】(1)2(2)长轴长4、短轴长2夜、焦距2夜、离心率先

【解析】

【分析】（1）根据题意，代入点P（JΣ,1）,即可求解.

（2）由（1）,写出椭圆方程，求解α,"c,根据椭圆长轴长、短轴长、焦距、离心率定义，即可求解.

【详解】（1）由题意，点P（√∑,l）在椭圆上，代入，

历2.2

得旺+L=l，解得〃/=2

4m

22

（2）由（1）知，椭圆方程为上+匕=1,则α=2,2?=J∑,c=JΣ

42

椭圆的长轴长2。=4；'

短轴长28=20:

焦距2c=2√2:

离心率e=£=也.

a2

【点睛】本题考查（1）代入点求椭圆方程（2）求解长轴长、短轴长、焦距、离心率；考查概念辨析，属

于基础题.

19.在"WC中，已知角A,B,C的对边分别为“，b.c,⅛2asinBcosC+2ccosAsinB=V3⅛

（1）求角B的大小；

（2）若ABC为锐角三角形，且c=2«,b=l,求ABC的面积.

【答案】⑴£或三

ɔɔ

⑵B

6

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理将己知式子统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求出角B,

（2）利用余弦定理结合已知条件求出ac,然后利用面积公式可求出三角形的面积.

【小问1详解】

因为2。sinBcosC+2ccosAsinB-y∕3h，

所以由正弦定理得2sinAsinBcosC+2sinCcosAsinB=6sinB

因为SinBWO,

所以SinAcosC+sinCcosA=√3

'^2

所以Sin(A+C)="，所以SinB=Y3,

22

因为Be（O,%）,所以B=C或4.

33

【小问2详解】

TC

因为三角形ABC为锐角三角形，所以3=—,

3

由余弦定理得，b2-a2+c2-2accosB»

因为c=2α,b=∖,所以F=/+4/-2α∙2α∙cosX,

3

所以α=XI,C=巫,

33

所以三角形ABC的面积为LαcsinB=-X×26-X=.

223326

20.已知各项均不相等的等差数列｛%｝的前4项和为10,且a”%，4是等比数列｛2｝的前3项.

（1）求4血;

,1，、

（2）设Ci+“①+1），求｛q,｝的前〃项和S”.

n

【答案】(1)aιl=n,bιl=2^'

(2)S=2"------

n"H+1

【解析】

【分析】（1）利用等差数列的通项公式与等比中项公式求得基本量q,d,从而利用公式法依次求得4,4；

（2）结合（1）中结论，利用分组求和法与裂项相消法即可得解.

【小问1详解】

设等差数列｛q｝的公差为d,前〃项和为T“，则d≠0,

4×3

因为乙=10,则4q+^-d=10,即2q+34=5,

又因为4,4，。4成等比数列，所以42=4%，即(q+d)2=%(α∣+3d),整理得解。Id,

又因为d≠0,所以％=d,

20∣+3d=514=1

联立j,解得1,

ax-a[d=I

所以a“=l+("-l)χl=〃，

又仇=q=l,b2=a2=2,也,｝是等比数列，

所以4=3=2,则a=∕w"T=2"T.

【小问2详解】

由(1)得q=2i+-r⅛π=2"T+!-4τ,

九(〃+1)nA2+1

所以V+以…+2'一+『齐段+

112

-×(-")llɪ_2»ɪ.

1-2n+1n÷l

所以数列｛ς,｝的前n项和Sn=2"一±.

1

21.已知函数f(x)=万依92—InX-2(。wR)

(1)当Q=I时，求曲线/(幻在点(L/⑴)处的切线方程；

(2)讨论函数单调性.

3

【答案】(1)y=-二

2

(2)α≤0时，递减区间为(0,+8)；当。〉0时，/O)在(0,也)递减，在(迈什⑹递增.

aa

【解析】

【分析】(1)求导数，利用导数的几何意义求曲线/(x)在点(1，/(1))处的切线方程；

(2)先求出函数的导数，通过讨论。的取值范围求出函数的单调区间.

【小问1详解】

当α=l时，函数/(x)=gχ2-]nx一2,尸(X)=X-L

・"'⑴=0,/(1)=-∣)

.∙.曲线/(x)在点(1,/(1))处的切线方程为y=

【小问2详解】

2[

尸⑺=竺^—(χ>o)•

当α<0时，r(χ)<0,/(x)的单调递减区间为(0,+8)；

当α>0时，令/'(X)=Onar2=1nX=或X=(舍去),

aa

(ι~∖

故当/'(x)<0nx∈θ,ɪ,当/'(x)>0nXE

22.已知椭圆的中心在原点，焦点在X轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直

线/在y轴上的截距为机(加。())，/交椭圆于A,B两个不同点.

(1)求椭圆的方程；

(II)求，"的取值范围；

(III)求证直线MA,MB与X轴始终围成一个等腰三角形.

【答案】(I)—+ɪ=1；(ID一2<〃?<2且加工0；(In)证明见解析.

82

【解析】

【分析】(I)设出椭圆方程7+F=l(α>8>0),根据题意得出关于4力的方程组，从而求得椭圆的

方程；

(H)根据题意设出直线方程，并与椭圆方程联立消元，根据直线与椭圆方程有两个不同交点，利用八〉0

即可求出，"的取值范围；

(III)设直线MA,MB的斜率分别为配k2,根据题意把所证问题转化为证明内+依=0即可.

a-Ib

22/=8

【详解】（1）设椭圆方程为、+方=l（α＞分＞O）,由题意可得V4，解得《,