（江苏专用）高考数学 专题10 计数原、概率与统计 78 两个计数原理 理-人教版高三数学试题

训练目标熟练掌握两个计数原理并能灵活应用.训练题型两个计数原理的应用.解题策略理解两个计数原理的区别与联系，掌握分类与分步的原则，正确把握分类标准.1．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为________．2．将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i＝1,2，…，6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1<a3<a5，则不同的排列方法有________种．3．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是________．4．有3个男同学和3个女同学排成一排，若女同学不相邻，则不同的排法种数是________．5．(2015·钦州模拟)从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为________．6．(2015·梅州模拟)有5名班委进行分工，其中A不适合做班长，B只适合做学习委员，则不同的分工方案种数为________．7．如图所示，在A，B间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．8．(2015·温州二模)将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不同，则不同的放法数为________．9．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．10．某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为________(用数字作答)．11．两个家庭的4个大人与2个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排2个爸爸，另外，2个小孩一定要排在一起，则这6个人入园顺序的排法种数为________．12．马航MH370失联后，我国政府迅速派出9艘舰船(包括4艘军舰)在失联区域进行搜救，若将这9艘舰船平均分成3组执行搜救任务，每组至少有1艘军舰，则不同的分组方法有________种．13．用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫做“渐降数”，则上述四位数中“渐降数”的个数为________．14.某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)，要在右图所示的6个点A，B，C，A1，B1，C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有________种(用数字作答)．答案解析1．252解析由分步计数原理知，用0,1，…，9十个数字组成三位数(可用重复数字)的个数为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.2．30解析分两步：(1)先排a1，a3，a5，若a1＝2，有2种排法；若a1＝3，有2种排法；若a1＝4，有1种排法，共有5种排法；(2)再排a2，a4，a6，共有Aeq\o\al(3,3)＝6种排法，故不同的排列方法有5×6＝30种．3．18解析由于lga－lgb＝lgeq\f(a,b)(a>0，b>0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为eq\f(a,b)有Aeq\o\al(2,5)＝20种，又eq\f(1,3)与eq\f(3,9)相同，eq\f(3,1)与eq\f(9,3)相同，∴lga－lgb的不同值的个数为Aeq\o\al(2,5)－2＝20－2＝18.4．144解析本题可通过插空法解决．根据题意，先排男同学，有Aeq\o\al(3,3)种排法，然后在男同学形成的四个空中排女同学，有Aeq\o\al(3,4)种排法，故不同的排法种数是Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,4)＝144.5．8解析按从小到大的顺序排列，有1,2,4；1,3,9；2,4,8；4,6,9，共4个．同理，按从大到小的顺序排列也有4个，故这样的等比数列有8个．6．18解析先安排A，共有Ceq\o\al(1,3)种方案，再安排其他3位同学，共有Aeq\o\al(3,3)种方案，由分步计数原理可知，共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝18种方案．7．13解析每个焊接点都有脱落与不脱落两种状态，电路不通可能是1个或多个焊接点脱落，问题比较复杂，但电路通的情况却只有3种，即焊接点2脱落或焊接点3脱落或全不脱落，故满足题意的焊接点脱落的不同情况共有24－3＝13种．8．18解析依题意，对这3个盒子中所放的小球的个数情况进行分类计数：第一类，这3个盒子中所放的小球的个数是1,2,6，此类放法有Aeq\o\al(3,3)＝6种；第二类，这3个盒子中所放的小球的个数是1,3,5，此类放法有Aeq\o\al(3,3)＝6种；第三类，这3个盒子中所放的小球的个数是2,3,4，此类放法有Aeq\o\al(3,3)＝6种．因此满足题意的放法共有6＋6＋6＝18种．9．48解析分两类：第一类仅有1名老队员，此时有2名新队员，一定可以保证1、2号中至少有1名新队员，此时有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝36种排法；第二类有2名老队员，此时，要注意将新队员安排在1、2号中，有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝12种排法．于是，不同的排法数为36＋12＝48.10．7200解析其中最先选出的一个人有30种方法，此时不能再从这个人所在的行和列共9个位置上选人，还剩一个5行4列的队形，故选第二个人有20种方法，此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步计数原理，总的选法种数是30×20×12＝7200.11．24解析第一步：将2个爸爸排在两端，有2种排法；第二步：将2个小孩视为一人与2个妈妈任意排在中间的三个位置上，有Aeq\o\al(3,3)种排法；第三步：将2个小孩排序有2种排法．故总的排法有2×2×Aeq\o\al(3,3)＝24种．12．180解析先将4艘军舰分为3组，每组至少1艘，所以各小组的军舰数为2,1,1，不同的分法有Ceq\o\al(2,4)种，其余5艘舰船分成3组，其中1艘舰船与2艘军舰组成一组，剩余的4艘舰船平均分配到其余2组，则不同的分法为Ceq\o\al(1,5)×Ceq\o\al(2,4)种，由分步计数原理可得，不同的分组方法有Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(1,5)×Ceq\o\al(2,4)＝6×5×6＝180种．13．15解析由题意可知，只需找出组成“渐降数”的四个数字即可，等价于六个数字中去掉两个不同的数字．从前向后先取0有：0与1,0与2,0与3,0与4,0与5，共5种情况；再取1有：1与2,1与3,1与4,1与5，共4种情况；依次向后分别有3,2,1种情况．因此，共有1＋2＋3＋4＋